甘肃省平凉市崆峒区2021年中考数学一模试卷(含解析)

2021年甘肃省平凉市姓恫区中考数学一模试卷

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（3分）（-1）2=（）

A.1B.-1C.2D.-2

2.（3分）下列图形一定是相似图形的是（)

A.任意两个菱形B.任意两个正三角形

C.两个等腰三角形D.两个矩形

3.（3分）-2的倒数是（)

A.-2B.2c.-AD.A

22

4.（3分）cos45°的值为（)

返返

A.B.返c.AD.

3222

5.（3分）小杰从正面（图示“主视方向”）观察左边的热水瓶时，得到的俯视图是（）

全视方向

6.（3分）若反比例函数y=K（AW0）的图象经过点（-2,3）,则我的值是（）

x

A・-3B,-2C.6D.-6

23

7.（3分）两个相似三角形的相似比是1：4,那么它们的面积比是（）

A.1：2B.1：4C.1：16D.1：V2

8.（3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km,可早到10分钟，每小时骑12km

就会迟到5分钟.问他家到学校的路程是多少切7?设他家到学校的路程是则据题

意列出的方程是（）

A.工且^LB.工

1560126015601260

Cx_10x5D

-金+1°噎-5

9.（3分）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、

绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为工，遇到绿灯的概率为巨，那么他遇到

39

黄灯的概率为（）

A.4B.1C.5D.1

§399

10.（3分）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻

二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）

11.（4分）把数字35980000用科学记数法表示为.

12.（4分）使后1有意义的x的取值范围是.

13.（4分）因式分解：ab2-4a=.

14.（4分）求值：2sin30°=.

15.（4分）在RtZ\ABC中，ZC=90°,sinA=3,则tan4=.

5

16.（4分）如图，在AABC中，MN〃BC分别交AB,AC于点M,N.若AM=2,MB=4,

BC=6,则MN的长为

17.（4分）若sin（x-30°）=返，则x=.

2

18.（4分）下列用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2021个图共有枚

棋子.

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

三、解答题（共5小题，满分38分）

19.（5分）计算：（工）'2-\-l+V3l+2sin60°+（-1-«）.

2

20.（5分）如图，电信部门要在公路〃之间的S区域修建一座电视信号发射塔P.按照

设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇4B的距离必须相等，到两条公路”，〃的

距离也必须相等.发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标

出（不写作法但保留作图痕迹）.

21.（8分）如图，在RtZUBC中，ZC=90°,48=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的

22.（10分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点

。和5,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线〃上

选择适当的点T,确定PT与过点。且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45,〃，

ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ.

23.（10分）如图，A8和C。是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼A8的楼顶A点

测得楼CZ）的楼顶C的仰角为45°,楼底。的俯角为30°.求楼C。的高（结果保留根

号）.

四、解答题二（共5小题，清分50分）

24.（8分）有3张背面相同的纸牌A,B,C,其正面分别画有三个不同的几何图形（如图）.

（1）将这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，求摸出的图案是圆的概率;

（2）这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张，用树状图或列表法

求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.

B

25.（10分）2016年《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注

度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城

市”，。：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同

学只能从中选择一个我最关注的热词.根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整

的统计图.

条形统计图扇形统计图

(1)本次调查中，一共调查了多少名同学？

(2)条形统计图中，m=,n=;

(3)扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？

26.(10分)如图，矩形ABC。中，AB=6,BC=4,过对角线BO中点。的直线分别交AB,

C£)边于点E,F.

(1)求证：四边形BED尸是平行四边形；

(2)当四边形BED尸是菱形时，求OF的长.

27.(10分)如图，AB是。0的直径，00交8c的中点于。，DEVAC.

(1)求证：DE是。。的切线.

(2)已知：BC=8cm,AD=3cm,求线段4E的长.

28.(12分)如图，已知抛物线旷=0?+心+<?(a/0)的对称轴为直线x=-l,且抛物线经

过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点艮

(1)若直线y=,〃x+"经过8、C两点，求直线BC和抛物线的解析式；

(2)在抛物线的对称轴x=-1上找一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和

最小，求出点M的坐标；

(3)设点尸为抛物线的对称轴x=-1上的一个动点，求使aBPC为直角三角形的点P

的坐标.

2021年甘肃省平凉市焰炯区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）

1.（3分）（-1）2=（）

A.1B.-1C.2D.-2

【分析】根据乘方的定义：（-1）2表示两个-1的乘积，即可求解.

【解答】解：（-1）2=1.

故选：A.

2.（3分）下列图形一定是相似图形的是（）

A.任意两个菱形B.任意两个正三角形

C.两个等腰三角形D.两个矩形

【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图

形.

【解答】解：A、任意两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义,

故不符合题意；

8、任意两个等边三角形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题

忌；

C、两个两个等腰三角形，无法确定形状是否相等，故不符合题意；

。、两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意.

故选：B.

3.（3分）-2的倒数是（）

A.-2B.2C.-AD.A

22

【分析】根据倒数的定义：乘积是I的两数互为倒数.一般地，。•工=1QW0）,就

a

说a（aWO）的倒数是」.

a

【解答】解：-2的倒数是-』，

2

故选：C

4.（3分）cos45°的值为（）

cD

B.喙4-V

【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可得出结论.

【解答】解：cos45°=返.

2

故选：B.

5.（3分）小杰从正面（图示“主视方向”）观察左边的热水瓶时，得到的俯视图是（）

手视方向

【分析】找到从上面看所得到的图形即可.

【解答】解：从上面看可得到图形的左边是一个小矩形，右边是一个同心圆，故选C.

6.（3分）若反比例函数y=K（ZWO）的图象经过点（-2,3）,则%的值是（）

x

A.-AB.-2C.6D.-6

23

【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解.

【解答】解：I•反比例函数y=K&W0）的图象经过点（-2,3）,

x

:.k=-2X3=-6.

故选：D.

7.（3分）两个相似三角形的相似比是1：4,那么它们的面积比是（）

A.I：2B.I：4C.1：16D.1：V2

【分析】直接根据相似三角形的性质进行解答即可.

【解答】解：：两个相似三角形的相似比是1：4,

.•.它们的面积比是1：16.

故选：C.

8.（3分）小明从家里骑自行车到学校，每小时骑15km,可早到10分钟，每小时骑12km

就会迟到5分钟.问他家到学校的路程是多少h”？设他家到学校的路程是Mm,则据题

意列出的方程是（）

A.工工^LB.工工上总

1560126015601260

Cx10x__5_D.工+10=7^r-5

15

【分析】先设他家到学校的路程是xkm,再把10分钟、5分钟化为小时的形式，根据题

意列出方程，选出符合条件的正确选项即可.

【解答】解：设他家到学校的路程是Mm,

V1O分钟=也小时，5分钟=_L小时，

6060

・x,10_x_5

••瓦601260,

故选：A.

9.（3分）某校学生小亮每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、

绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为工，遇到绿灯的概率为互，那么他遇到

39

黄灯的概率为（)

A.AB.Ac.5D.A

9399

【分析】根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1,再根据在路口遇到红灯的概

率为工，遇到绿灯的概率为5,即可求出他遇到黄灯的概率.

39

【解答】解：：经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，

在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是1,

•.•在路口遇到红灯的概率为工，遇到绿灯的概率为5,

39

遇到黄灯的概率为1-5=工；

399

故选：D.

10.（3分）学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻

【分析】国旗的高度是徐徐上升的，高度从0开始，不断增大，图象为正比例函数图象.

【解答】解：根据题意：徐徐上升的国旗的高度与时间的变化是稳定的，即为直线上升.

故选：A.

二、填空题（共8小题，每小题4分，满分32分）

11.（4分）把数字35980000用科学记数法表示为3.598X为7.

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为“X10”,其中〃为整数,

且n比原来的整数位数少1,据此判断即可.

【解答】解：35980000=3.598X107.

故答案为：3.598X107.

12.（4分）使后1有意义的x的取值范围是一^1.

【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式组，求出x的取值范围即可.

【解答】解：有意义，

...X-120,解得

故答案为：

13.（4分）因式分解：/-4a=a（t+2）（b-2）.

【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可.

【解答】解：原式（庐-4）

=a32）（6-2）,

故答案为：a（6+2）（b-2）

14.（4分）求值：2sin30°-1.

【分析】根据特殊教的三角函数值直接解答.

【解答】解：2sin30°=2XJL=1.

2

15.（4分）在RtZiABC中，ZC=90°,sinA=&,则tanA=3.

5一

【分析】根据已知条件设出直角三角形一直角边与斜边的长，再根据勾股定理求出另一

直角边的长，运用三角函数的定义解答.

【解答】解：由sinA=3=W＞知，可设。=3y则c=5x,b=4x.

c5

tanA=—=.

b4x4

16.（4分）如图，在△ABC中，MN〃BC分别交AB,AC于点M,N.若4M=2,MB=4,

BC=6,则MN的长为6.

【分析】首先判定△AMNSAABC,根据相似三角形的性质可得幽」画，然后再代入相

ABBC

应数据可得答案.

【解答】解：,:MNHBC,

：.△AMNSZMBC,

•AMMN

"AB=BC,

\'AM=2,MB=4,BC=6,

•.•2MN,

2+46

：・MN=6.

故答案为：6.

17.(4分)若sin(x-30°)=返，则x=90°.

2

【分析】根据特殊角的三角函数值得出x-30°=60°,再求出答案即可.

【解答】解：：sin(x-30°)=返，

2

.•.X-30°=60°,

/.x=90°,

故答案为：90°.

18.(4分)下列用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2021个图共有6064

枚棋子.

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【分析】根据图形的变化规律，寻找第〃个图的一般形式，然后代入数值计算即可.

【解答】解：观察图形可知：

第1个图形的棋子个数为IX3+1=4,

第2个图形的棋子个数为2X3+1=7,

第3个图形的棋子个数为3X3+1=10,

第4个图形的棋子个数为4X3+1=13,

第〃个图形的棋子个数为3〃+1.

当〃=2021时，3X2021+1=6064个，

故答案为：6064.

三、解答题（共5小题，满分38分）

19.（5分）计算：（/）-2-|-l+V3l+2sin60°+（-1-遍）.

【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数基的性质、绝对值的性质、负整数指

数基的性质分别化简得出答案.

【解答】解：原式=4-~1）+2X义2-1-5/3

2

=4-V3+1+V3-1-V3

—4-V3-

20.（5分）如图，电信部门要在公路"之间的S区域修建一座电视信号发射塔P.按照

设计要求，发射塔P到区域S内的两个城镇A,B的距离必须相等，到两条公路小"的

距离也必须相等.发射塔P建在什么位置？在图中用尺规作图的方法作出它的位置并标

出（不写作法但保留作图痕迹）.

m

【分析】作线段A8的垂直平分线，再作直线机与〃的夹角的角平分线，两线的交点就

是P点.

【解答】解：如图所示.

21.（8分）如图，在RtA48C中，ZC=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tan4的

【分析】根据勾股定理求出AC,再根据锐角三角函数的定义求出答案即可.

【解答】解：在RtaACB中，由勾股定理得：AC=7AB2-BC2=V102-62=8,

所以sin4=K=M=3,cosA=—=—=A,tan/4=—=A=_3..

AB105AB105AC84

22.（10分）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点

Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点S且与PS垂直的直线〃上

选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得。5=45〃?，

57=90%,QR=60m,求河的宽度P。.

7

a

【分析】根据相似三角形的性质得出=岖，进而代入求出即可.

PQ-H2SST

【解答】解：根据题意得出：QR〃ST,

则△PQRS^PST,

故-FQ=®_,

POOSST

'：QS=45m,ST=90m,QR=60m,

._PQ_=60

,•pQ+4590"

解得:尸0=90(〃?)，

•••河的宽度为90米.

23.（10分）如图，AB和C。是同一地面上的两座相距39米的楼房，在楼A8的楼顶A点

测得楼C。的楼顶C的仰角为45°,楼底。的俯角为30°.求楼CD的高（结果保留根

号）.

二

口

口

口

口

冒

口

口

口

口

口

RD

【分析】在题中两个直角三角形中，知道已知角和其邻边，只需根据正切值求出对边后

相加即可.

【解答】解：延长过点4的水平线交CC于点E,则有AE_LCD,四边形A8OE是矩形,

4E=BO=39米.

；NCAE=45°,

...△AEC是等腰直角三角形,

；.CE=AE=39米.

在RtZXAE。中，tan

AE

.,.ED=39Xtan30°=135/^，

：.CD=CE+ED=（39+13加）米.

答：楼C。的高是（39+13«）米.

四、解答题二（共5小题，清分50分）

24.（8分）有3张背面相同的纸牌A,B,C,其正面分别画有三个不同的几何图形（如图）.

（1）将这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，求摸出的图案是圆的概率；

（2）这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张，用树状图或列表法

求摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率.

ABC

【分析】（1）直接由概率公式求解即可；

（2）画树状图，共有9个等可能的结果，摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的

结果有4个，再由概率公式求解即可.

【解答】解：（1）将这3张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，摸出的图案是圆的概率为1;

3

（2）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的结果有4个,

...摸出两张牌面图形都是中心对称图形的纸牌的概率为名.

9

25.(10分)2016年《政府工作报告》中提出了十大新词汇，为了解同学们对新词汇的关注

度，某数学兴趣小组选取其中的A：“互联网+政务服务”，B：“工匠精神”，C：“光网城

市”，£＞：“大众旅游时代”四个热词在全校学生中进行了抽样调查，要求被调查的每位同

学只能从中选择一个我最关注的热词.根据调查结果，该小组绘制了如下的两幅不完整

的统计图.

请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：

(1)本次调查中，一共调查了多少名同学？

(2)条形统计图中，m=60,n=90；

(3)扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是多少度？

【分析】(1)根据A的人数为105人，所占的百分比为35%,求出总人数，即可解答；

(2)C所对应的人数为：总人数X30%,8所对应的人数为：总人数-A所对应的人数

-C所对应的人数-O所对应的人数，即可解答；

(3)根据B所占的百分比X360。，即可解答.

【解答】解：(1)105・35%=300(人)，答：一共调查了300名同学，

(2)n=300X30%=90(人)，机=300-105-90-45=60(人).

故答案为：60,90；

(3)型_X360。=72°.

300

答：扇形统计图中，热词B所在扇形的圆心角是72度.

26.(10分)如图，矩形ABCD中，AB=6,BC=4,过对角线8。中点。的直线分别交AB,

CO边于点E,F.

(1)求证：四边形8EZ5F是平行四边形；

(2)当四边形8EDF是菱形时，求OF的长.

DC

AEB

【分析】（1）根据平行四边形ABC。的性质，判定aBOE丝△">尸（ASA）,得出四边形

BEZ5F的对角线互相平分，进而得出结论；

（2）在Rtz^AQE中，由勾股定理得出方程，解方程求出。F的长.

【解答】（1）证明：；四边形ABC。是矩形，。是80的中点，

/.ZA=9O0,AD=BC=4,AB//DC,OB=OD,

：.ZOBE=ZODF,

：./\BOE^/\DOF（ASA）,

：.EO=FO,

...四边形BEZJF是平行四边形；

（2）解：当四边形BEZ小是菱形时，BD±EF,

设BE=x,则DE=x,AE=6-x,

在RtZXAQE中，DE1=AD2+AE1,

.*.X2=42+（6-x）2,

解得：尸迫，

3

•.♦。F=里

3

27.（10分）如图，A8是O。的直径，。0交BC的中点于。，DELAC.

（1）求证：OE是。0的切线.

（2）已知：BC=Scm,AD=3cm,求线段4E的长.

【分析】（1）连接。£>,只要证得/顼）。=90°即可得到。E是00的切线;

（2）根据线段中点的定义和勾股定理即可得到结论.

【解答】(1)证明：连接0D,

是8c的中点，

:.BD=CD.

•：OA=OB,

：.OD//AC.

又：£>E_LAC,

OD±DE.

...DE是OO的切线；

(2)..•。是BC的中点，

.•.B£>=CD=」8c=4Cem),

2

是。。的直径，

:.ADLBC,

：.AC=AB,

AD=3cm,

:'AC=VAD2+CD2=VS2+42=5

'：DE±AC,

...OE=典晅="1=丝(cm),

AC55

—(cm).

5

28.(12分)如图，已知抛物线y=ax2+fec+c(”W0)的对称轴为直线x=-