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文档简介

数论

1.（台湾）已知X、y、Z为正整数，满足z（xz+l）2=（5z+2），X2z+y）。证明：z必为奇数,

且z为完全平方数。

2.（荷兰）求数对（p,m）,使得对素数p、正整数m均满足p3+m（p+2）=m2+p+i。

3.（泰国）试求最大整数q,使得对任意的素数p（p>3）有4PJ。。

4.（泰国）求正整数x、y,使得卫一可表示为一个素数的立方。

x+y

5.（白俄罗斯）已知〃eZ+，p为素数•求所有的数对（〃,p）使得pl

6.（白俄罗斯）已知〃eZ+，p为素数。试找出所有的数对（〃,p）使得p（p—l）=2（/+l）。

7.（捷克和斯洛伐克）求所有整数数对（。/），满足劣一!-=幺二L

一32b-l

n2+1

8.（亚太地区）求所有使得后一为整数的整数数n。

J〃+2

9.（巴尔干）试求所有满足丁+十'=2013工的正整数x、y、z。

10.（乌克兰）求满足3P0-2/T=19的所有素数对（p,q）。

11.（英国）是否存在无穷多个正整数数对（利〃），使得域〃2+］）,且〃弧+°?

12.（爱沙尼亚）求最小的正整数n,使得存在正整数对,外，（不全相同），满足

a,+/+…+a,=2013o

I2n

13.（爱尔兰）求最小的正整数m,使得5m是一个数的五次方，6m是一个数的六次方，7m

是一个数的七次方。

14.（爱尔兰）求最小的正整数N,使得方程（/一1，）2一］）=27（1<84^）至少有两组整数

解（x,y）。

15.（越南）证明：（1）存在无穷多个正整数t满足2012+1、2013/+1均为完全平方数;

（2）若正整数m、n满足（加+1）〃+1、加八+1均为完全平方数，则8（2m+11〃。

16.（希腊）试确定非负整数m、n满足“伽+2）=弁+病一加+］。

4

17.（罗马尼亚）对于正整数〃22,%、b,、c“均为整数，且满足

（V2-1）=an+Z?HV2+cnV4o证明：c“三l（mod3）当且仅当〃三2（mod3）。

18.（土耳其）设夕（〃）表示小于〃（〃eZ+）且与n互素的正整数的个数。求所有的正整数数

对（肛n）,使得2〃+（n-夕（〃）-1）=nm+1。

19.（土耳其）求所有的正整数数对（机,〃）使得加6=〃e+〃一1。

2（）.（克罗地亚）求所有正整数a、b,使得（/+矶•+。），且仅一碗加+百。

21.（克罗地亚）证明存在无穷多个正整数n,使得n的不同素因数个数大于2,且满足

闻2"一8）。

4〃一2

22.（荷兰）求使得之二为有理数平方的所有

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