高考数学重点考点解析第二章 (二)

•MATHEMATICSn

第一章坐标系

【综合评价】

通过直角坐标系，平面和空间中的点与坐标（有序数组）、曲线与方程建立了联

系，实现了数形结合，这些数所表示的几何含义是不同的，同一曲线在不同坐标

系下的方程也有不同形式.因此我们研究几何图形时可以根据需要选择不同的坐

标系.本讲介绍了极坐标系、柱坐标系和球坐标系，其中极坐标系是重点内容,

同学们要认真领会极坐标系下直线和圆的方程，理解它们的特点、意义.

【学习目标】

1.回顾在平面直角坐标系中刻画点的位置的方法，体会坐标系的作用.

2.通过具体例子，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

3.能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中

刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.

4.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的

方程.通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，体会在用方程

刻画平面图形时选择适当坐标系的意义.

5.了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法，并与空间直角坐标

系中刻画点的位置的方法相比较，体会它们的区别.

【学习计划】

内容学习重点建议学习时间

坐标系的选择；直角坐标系下的伸缩

平面直角坐标系2课时

变换

极坐标系极坐标的概念1课时

点的极坐标与直角坐标的互化1课时

直线和圆的极坐标方程1课时

曲线的极坐标方程与直角坐标方程的

1课时

互化

圆锥曲线统一的极坐标方程1课时

柱坐标系和球坐标系两种坐标系的概念2课时

§1平面直角坐标系

歹自主预习课前预习区

1.坐标系

(1)坐标法：根据几何对象的特征,选择适当的坐标系，建立它的方程,通过左

程研究它的性质及与其他几何图形的关系.

(2)坐标法解决几何问题的“三步曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方

程表示问题中涉及的几何元素,将几何问题转化成代数问题;第二步，通过代数

运算，解决代数问题；第三步，把代数运算结果“翻译”成几何结论.

2.平面直角坐标系的作用

平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标(有序实数对),曲线与方程建立联

系，从而实现数与形的结合.

3.平面直角坐标系中的伸缩变换

(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标

伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.

(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中任意一

7=&,2〉0,

点，在变换7:的作用下,点P(x,y)对应到点P'(x',>'),称心为

〃>0

平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.

【思维导图】

【知能要点】

1.回顾坐标系有关概念，体会坐标系的作用.

2.了解建立坐标系的方法和原则.

x'=Xx,2>0,

3.坐标伸缩变换Q,c

〃>o.

h讲练互动课堂讲练区

题型一平面直角坐标系

坐标系是现代数学中的重要内容，它在数学发展的历史上起过划时代的作用.坐

标系的创建，在代数和几何之间架起了一座桥梁.利用坐标系，我们可以方便地

用代数的方法确定平面内一个点的位置，也可以方便地确定空间内一个点的位置.

它使几何概念得以用代数的方法来描述，几何图形可以通过代数形式来表达，这

样便可将抽象的代数方程用形象的几何图形表示出来，又可将先进的代数方法应

用于几何学的研究.

建立直角坐标系，数形结合，我们可以解决许多数学问题，如函数问题就常常需

要借助直角坐标系来解决.

【例1】如图所示，圆Q与圆。2的半径都是1，1。1。2尸4,

过动点P分别作圆01、圆。2的切线PM、PN(M、N分别为切

点)，使得|PM=6lPN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨㈤④

迹方程.

分析本题是解析几何中求轨迹方程问题，由题意建立坐标系，写出相关点的坐

标，由几何关系式：\PM\=y{2\PN\,即|PM2=2|PN]2,结合图形由勾股定理转化

为|POl『—12=2(|pO2|2-]2)设尸也>),由距离公式写出代数关系式，化简整理

可得.

解以0。2的中点。为原点，。1。2所在的直线为龙轴，建立如图所示的平面直

角坐标系，则。](—2,0),仍(2,0).

由已知|「知|=啦1尸2，得|PM『=2|PN|2.『

因为两圆的半径均为1,所以|「。『一1=2(|「。2『一1).

设P(x,y),则。+2)2+/—1=2[。-2)2+丫2—1],有口益,

即(x—6)2+y2=33,

所以所求轨迹方程为(x—6尸+：/=33(或f+y2—]2X+3=0).

【反思感悟】本题求点的轨迹，考查建坐标系和数形结合思想，利用勾股定理、

两点间距离公式等知识，巧妙探求动点P满足的条件.

X，变式迁移

1.一种作图工具如图①所示.0是滑槽AB的中点，短杆0N可绕0转动，长杆

通过N处钱链与0N连接，MN上的栓子。可沿滑槽A3滑动，且DN=ON=1,

MN=3.当栓子。在滑槽4?内作往复运动时，带动N绕。转动一周(。不动时，

N也不动)，M处的笔尖画出的曲线记为C以。为原点，A3所在的直线为无轴建

立如图②所示的平面直角坐标系.

试求曲线。的方程.

y),依题意，MD=2DN,且|而=

解设点。(30)(MW2),N(即，y0),M(x,

的=1,

所以(f—x,—y)=2(x()—t,非)，

J(x()—力2+yo=h

且L+M=L

[t-x—2xo-23

即J且〃L2M))=0.

ly=-2y(),

由于当点。不动时，点N也不动，所以，不恒等于0,

于是f=2xo，故xo=本光=一].代入/+*=1,

2222

可得髭+；=1，即所求的曲线。的方程为髭+；=】.

【例2】如图所示，四边形ABCO的四个顶点坐标分别为

A(—l,3),仅一3,-2),C(4,-2),。(3,4),求四边形

ABCD的面积.

分析本例是帮助同学们进一步了解点的坐标.点的坐标还可

以表示点到坐标轴的距离(点A(a,b)到x轴的距离为|可，到y轴的距离为同)，从

而得出某些我们需栗的线段的长度.

将四边形A8C0分割成两个三角形和一个梯形，其中8E的长度等于B到y轴的

距离减去A到y轴的距离，AE的长度为A到x轴的距离加上8到x轴的距离，

依此类推可以求出。F,CF,EF的长度,从而求出四边形ABCO的面积.

解作A—BC,WU8C.垂足分别为E、F.S^ABE=^BEAE=

2X5CFDF1X6

25；SACDF223；

(AE+DF)EF

S梯形AEFD=O

(5+6)X4

=22,

所以四边形ABC。的面积为5+22+3=30.

【反思感悟】本例是坐标系在几何图形中的应用，在求面积时要尽量利用图形中

的垂直关系，将原图形分割求得面积.

”变式迁移

2.一直角梯形的上、下底边分别为12和15,两腰分别为3小和6,选择适当的坐

标系，表示各顶点坐标及较短对角线的长.

解如图所示，以。为原点，CO边所在直线为x轴，建立平

面直角坐标系，

则A(0,35)，B(12,3小)，C(15,0),0(0,0),

\BD\=3\[l9.

题型二坐标伸缩变换

平面几何图形的伸缩变换可以归结为坐标的伸缩变换，学习中可结合坐标间的对

应关系理解.在伸缩变换下，平面直角坐标系保持不变，在同一坐标系下对坐标

进行伸缩变换，展示了坐标法思想.

在伸缩变换下，直线仍然变为直线，抛物线变为抛物线，双曲线变为双曲线，而

椭圆可以变为圆，圆可以变为椭圆.

【例3】在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换

后的图形.

(l)5x+2y=0；(2)Z+/=1.

分析根据变换公式，分清新旧坐标即可.

卜=那，(x=2x,,

解(1)由伸缩变换〈.得彳，，

将其代入5x+2y=0,得到经过伸缩变换后的图形的方程是5y+3/=0.

经过伸缩变换后，直线仍然是直线.

⑵将1代入*+y2=l,

]=3y

/俨

得到经过伸缩变换后的图形的方程是T+T=l.

49

经过伸缩变换后，圆变成了椭圆.

【反思感悟】伸缩变换栗分清新旧坐标，直接利用公式即可，变换后的新坐标用

x',y'表示.

经变式迁移

X'=X,V’2

3.伸缩变换的坐标表达式为，，曲线C在此变换下变为椭圆/+七=1.求曲

[y'=4y.16

线C的方程.

解设P(x,y)为曲线C上任意一点.

把｛1I；代入/+冬=1，得f+y2=i.故曲线0的方程为f+Jn.

【例4】求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4f+9y2=36变成曲线/+y，2

=1.

分析求满足图形变换的伸缩变换，实际上是求出其变换公式，将新旧坐标分

清，代入对应的曲线方程，然后比较系数就可得了，椭圆伸缩变换之后可得圆或

椭圆.

£=忒2>o

解设变换为，’’;可将其代入第二个方程，

[y=〃y,〃>0,

得下》2+〃2,2=L与4*+9/=36比较，

49I】卜'4'

将其变为环2+荻2=],即§/+*2=],比较系数得J1/.<]

、[〃=，•[y-^

即将椭圆4f+9y2=36上的所有点横坐标变为原来的;，纵坐标变为原来的;，可

得到圆%,2+y2=i.

【反思感悟】对于图形的伸缩变换问题，只要搞清新旧坐标，区别x,y和x',

y,比较公式中的系数即可.

M变式迁移

4.在同一平面直角坐标系中，将曲线d—36y2—8x+12=0变成曲线一一了2一44

+3=0,求满足图像变化的伸缩变换.

解x2—36y2—8x+12=0可化为

浮%9尸].①

一一y2—4/+3=0可化为

(y-2)2-y2=i.(2)

比较①②两式得尸一2=亏3,y=3y.故所求伸缩变换为："一中'

一j'=3y.

h课堂达标:当堂达标区

1.已知一条长为6的线段两端点A、8分别在x、y轴上滑动，点M在线段A8上,

且AM：MB=\：2,求动点M的轨迹方程.

解(代入法)设A(a,0),B(0,b),M(x,y),

'：\AB\=6,.•./+/=36.①

n+^XO2

x=j=

1+2f_3

〃分4?的比为;2②

b=3y.

22

将②式代入①式，化简为念+3=1.

2.已知8村位于A村的正西方向1公里处，原计划经过8村沿着北偏东60。的方

向埋设一条地下管线帆但在A村的西北方向400米处，发现一古代文物遗址W.

根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址W周围100米范围划为禁区.试问：

埋设地下管线m的计划需要修改吗？

解解决这一问题的关键，在于确定遗址W与地下管线机的相对位置，如图所

示，

y

一

BAx

以A为原点，正东方向和正北方向分别为x轴和y轴的正方向，建立平面直角坐

标系，则A(0,0),B(-l000,0).由W位于A的西北方向及[AW]=400,得W(一

200vL20以尼)，由直线机过8点且倾斜角为90。-60。=30。，得直线机的方程

口r.RH小士心U-20072-73-20072+1000|

是x—000=0.于是，点W到直线机的距禺为---------2--------

=100(5-72-^6)^113.6>100,

所以，埋设地下管线〃，的计划可以不修改.

3.阐述由曲线y=tanx得到曲线y=3tan2x的变化过程，并求出坐标伸缩变换.

解y=tanx的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的;，得到y=tan2x,

再将其纵坐标伸长为原来的3倍，横坐标不变，得到曲线y=3tan2x.

x>0,

设y'=3tan2x',变换公式为彳

ly=〃y,〃>0.

\X'--X

将其代入y'=3tan2x彳导22

幺=3,ly'=3y.

h教材链接J释疑解惑区

[P2思考交流]

1.在平面直角坐标系中，圆心坐标为(2,3),5为半径的圆的方程是什么？

答(x—2)2+&-3)2=25.

2.在平面直角坐标系中，以(a,加为圆心，r为半径的圆的方程是什么？

答(x—a)2+(y—b)2=i2.

[P5思考交流]

我国1990年至2000年的国内生产总值如表1-2(单位：亿元)

表1一2

年份19941995199619971998

生产总值4380057733677957477279553

年份19992000200120022003

生产总值820548940495933102398116694

选择适当的平面直角坐标系，根据表1-2画出统计图，与同学交流，观察各自的

特点.

答统计图

100000・

90000

80000.,

70000.,

60000

50000,

40000,

----：_dfII,'III：a

1994199519961997199819992000200120022003

从表中统计数据可看到，我国的生产总值年年增长，1994〜1997年增长较快，

1997~2001年放慢了增长速度，2001年之后又以较快的速度增长.

[P6思考交流]

1.观察例3(2)中y=sinx的图像与(1)中y=2sin3光的图像，讨论它们的关系？

答y=sinx的图像和y=2sin3x的图像可以通过伸缩变换相互得到：

纵坐标不变

y=sin元的图像得y=sin3x的图像

横坐标缩短为原来的]

横坐标不变

------------------->■得>'=2sin3x的图像，

纵坐标伸长为原来的2倍

横坐标不变

y=2sin3x的图像----三Y——j导^=4113光的图

纵坐标缩短为原来的5

纵坐标不变

像得^=§布》的图像

.横坐标伸长为原来的3倍

2.试将上述讨论引申为坐标轴单位长度任意伸缩的情况.

答设函数y=/（x）与函数y="/（（ux）（其中to>0,〃>0）图像之间的关系为：

纵坐标不变.横坐标缩短为原来的工得到

co

V=/（‘•）的图像<、V

*■'纵坐标不变,横坐标伸长为原来的3倍得到」

一向小横坐标不变，纵坐标伸长为原来的〃倍

=J的图像L一一一一一一_

横坐标不变，纵坐标缩短为原来的-L得到

y=〃/（（yx）的图像.

它们的图像可以通过伸缩变换相互得到.

【规律方法总结】

1.建立平面直角坐标系，可以利用未知点满足条件的坐标形式，求点的轨迹方程.

2.利用平面直角坐标系，可以将平面图形坐标化，进行证明或计算.

3.在伸缩变换中，要分清新旧坐标，然后代入公式比较系数即可.

x'=Xx（A>0），

4.在伸缩变换，,、,、、的作用下，抛物线变为抛物线，双曲线变为双

[y=fiy（〃>0）

曲线，圆可以变为椭圆，椭圆可以变成圆，我们可以把圆作为椭圆的特例.

h课时作业i课后巩固区

一、选择题

loABCD中三个顶点A、B、C的坐标分别是（一1,2）、（3,0）、（5,1）,则点。

的坐标是（）

A.(9,-1)B.(-3,1)

C.(l,3)D.(2,2)

解析由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出。点坐标.设。(x,y),

2-0y-l

=

，出产Me,—-l-3x-5*

则J,即j

RAD——匕灰?，2-y0-1

-l-x=3-5'

x=1,

.，故。(1,3).

U=3.

答案C

2.要得到函数产sin(4x—2的图像，只需将函数y=sin4x的图像()

A.向左平移盍个单位B.向右平移自个单位

C.向左平移g个单位D.向右平移5个单位

解析由尸514龙一号)=5m4，一缶得，只需将尸sin4x的图像向右平移盍个

单位即可，故选B.

答案B

x'=5x,.

3.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换，.后，曲线C变为曲线/十

ly'=3y

4y2=1,则曲线c的方程为()

A.25?+36J2=1B.9f+100)2=1

C.10x+24y=1D.^x2+|y2=l

jx，=5x

解析将，厂代入/+4/=1,

ly=3y

得25/+36/=1,为所求曲线C的方程.

答案A

4.将一个圆作伸缩变换后所得到的图形不可能是()

A.椭圆B.比原来大的圆

C.比原来小的圆D.双曲线

解析设圆的方程为(x—a)2+(y一份2=凡

X'=AJC,X=~^X',

变换为《,'化为〈[(A,〃不为零).

【尸⑷,、，—L，

pC^-xa)*2+/(y—〃份2=M,

.(/一瓶)2工(y，一面)2

；，一(Ar)2+(〃〃)21.此方程不可能是双曲线.

答案D

二、填空题

5.4ABC中，8(—2,0),C(2,0),△ABC的周长为10,则A点的轨迹方程为

解析•.•△ABC的周长为10,

：.\AB\+\AC\+|5C]=10.其中|BC|=4,

即有|AB|+|AC|=6>4.

...A点轨迹为椭圆除去长轴两端点，

且2a=6,2c=4...a=3,c=2,b1=5.

r2v2

；.A点的轨迹方程为甘+左=1&W0).

答案■+方=1(y*。)

—2%

6.在平面直角坐标系中，方程f+y2=l所对应的图形经过伸缩变换一‘后

U=3y

的图形所对应的方程是.

解析代入公式，比较可得Yx'2+tv='2l.

答案¥+号=1

x，—2_丫

7.y=cosx经过伸缩变换1,=3y'后曲线方程变为-

fx—

X,=2JC,

解析由I尸刀，化为<1,

〔尸y

iii

代入y=cosx中得:铲=cos产，即：V=3cos

答案y'=3cos%'

8.台风中心从A地以20km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30km内的地

区为危险区，城市3在A地正东40km处，则城市3处于危险区内的时间为

________h.

解析以A为坐标原点，A8所在直线为x轴，建立平面直角坐[

标系，则8(40,0),以点5为圆心，30为半径的圆的方程为(x

-40)2+/=302,台风中心移动到圆8内时，城市8处于危险

区，台风中心移动的轨迹为直线y=x,与圆5相交于点N,点3到直线y=x

的距离J=^=20V2.

求得|MN|=2y3()2=20(km),

故甯=1,所以城市8处于危险区的时间为1h.

答案1

三'解答题

9.已知Q48CD,求证：|Aq2+|BD|2=2(|/lB|2+|/lD|2).

证明法一坐标法以A为坐标原点。，所在的直线为x轴，建立平面直角

坐标系xOy,

则A(0,0),设8(a,0),C(b,c),

则AC的中点或，品由对称性知。9一小c),所以|AB|2=\

、)D(b-afc)C(b,c)

ay|/4D|2=(/?—a)2+c2,1/^^^

|4。|2=从+。2,国徐B^O)—x

|BD|2=(Z>-2a)2+c2,

IAb+1明2=4,+2b2+2cz_4ab

—2(2«2+/?2+c2—■2ab),

\ABr+|A£>|2=2a2+/,2+c2-lab,

Z.|AQ2+|BD|2=2(|AB|2+|AD|2).

法二向量法在口ABC。中，AC=AB+AD,

两边平方得|=恁『=牯2+疝2+2b.疝，

同理得防2=1防『=或2+交+2放.反:，

以上两式相加，得

|AC|2+防F=2(丽2+曲2)+2BC-(AB+BA)

=2(|AB|2+|Ab|2),

即|AC|2+|BD|2=2(|AB|2+|AO『).

(x—1)2

10.通过平面直角坐标系中的平移变换与伸缩变换，可以把椭圆一—+

(g2)：=1变为中心在原点的单位圆,求上述平移变换与伸缩变换，以及这两

种变换的合成变换.

\x'=X—\,(x—1)2(y+2)2x，2

解先通过平移变换，一把椭圆一^一十-4一=1变为椭圆号+

[y'=x+2949

(x'

Yn——

V，2X.3，Y，2V，2

宁=1.再通过伸缩变换J,,把椭圆勺+==1变为单位圆一+y"2=].由上

1T

述两种变换合成的变换是

y+27\

F习题解答J规范对照区

习题1一1(第7页)

A组

1.由两点式写直线的方程为35x+36y—41=0.

2.直线]+；=—2与x轴、y轴的交点坐标以及直线的斜率分别为(-12,0)、(0,

3.解△ABC是以NA为直角的直角三角形，且平行于x轴，AC平行于y轴.

的平分线的斜率为1,所在直线方程为x—y+l=O.

BC所在直线的方程为4x+3y—29=0,

f26

x—y+l=O,产r=-7'

解｛标+3)-29=0,得])=邺

ZA的平分线的长为嘤.

4.解法一由两点式写出直线A3的方程为3x+y—6=0.

将点C(4,—6)代入方程3X4+(—6)—6=0,

点C在直线A8上，

...A、B、C在同一条直线上.

法二kAB=-3,kisc=-3

...A、B、C三点在同一条直线上.

5.解与x轴交点令y=0,2x-10=0,x=5,

与y轴交点令x=0,-5y一10=0,y=~2,

SA=1X5X2=5.

6.证明如图：矩形0A8C.设OA=a,OC=h,以。为原点建立如

C-----\B

图所示的直角坐标系.I____

_Ax

则0、A、B、C的坐标分别为(0,0),3，0),伍，b),(0,b)\OB\1

=-\]c^+b2,

\AC\=1层+(—a)2=y“2+82,

：.\OB\=\AC\.

结论得证.

7.解(1)设圆的方程为(x—a)2+y2=J

(―1—a)2+1=^,

代入C、。两点得

(1—a)2+9=/，

解得a=2,r=y[lQ,

二方程为(x—2)2+y2=io

(2)设圆心为(0,b)m

则5=|/?-6|,8=1或11,

方程为*+&-1)2=25或？+(y—11)2=25.

(3)设方程为(X—3—/2=

•.•过A、3两点,圆心在2元一＞=3上,

((5—)2+(2—。)2=/,

(3-a)2+(—2—8)2=，，

[2〃一b=3.

解得a=2,b=l,r=yflO.

...方程为(x—2)2+。-1)2=10.

（4）设圆方程为（龙一。尸+^—。）2=/,

"(3—a)2+(2—b)2=r2,

/?=2。，

由题意可得〈c-Q

|2〃一b+5|

J3+4，

二圆的方程为（》-2）2+&-4）2=5或C[+/一=5，

图略.

8.解以底边中点为原点，底边所在直线为九轴建立平面直角坐标系.设△ABC,

底边8C=8,高为AO=5,

则5(-4,0),C(4,0),0(0,0),A(0,5),

设圆的方程为(x—af+Cy—b)2=J

((—4—4)2+川=J,

22

则｛(4-a)+b=^9

la2+(5-b)2=J,

/94i2

得“=0,b=正/=而

...圆方程为幺+/一卷?_1681

=100'

9.解川为|+恒2川=2+14=16=2小。=8,

Fi(-6,0),尸2(6,0),c=6,.•.层=28.

椭圆标准方程为言+&=L

10.解(1)由题意知〃2=8,=5,

22

椭圆方程为^'+^=1.

oJ

⑵由题意知a=3Z?

b=l,椭圆方程：方-+£=1；

当焦点在x轴上时«=3,

当焦点在y轴上时b=3,a=9,椭圆方程:

（3）由题意知。=24，

92

设椭圆方程为/十5=1,P（小，一加）在椭圆上.

解得d=20,廿=8,

22

椭圆方程为言+}=1.

11.略

B组

1.证明•圆直径的端点是A（x”>1）,8（X2,）2）

圆心坐标为第色中，

半径为三三亘妥五三

...圆的方程为Q—空f+Q—空2

（即一检）？+（）'1一）'2）2

—4'

2ZI.I（汨十》2）\2、」（6+>2）2

九一只九1十X2）十4+y一〉。1+”）+4

(X|—X2)2+2

4

2

2_z,(Xl+X2)2(XL.=)：2_,z,i,x,,<yi+.V2)

xx(%i-iX2)।44+)y(y\'y2)I4

(丁|—>2)2「

4=°，

x2—x(xi+x2)+xi》2+y2-y(yi+竺)+%竺=0，

—

(%—%i)(x—x2)+(y-yi)Cvy2)=0,

，圆的方程为(X—X1)(X—X2)+Cv—y)(y—m)=0.

[(x-3)2+(厂5)2=4,

x-1f+(厂5)

2=1

得x-1=0，

直线方程为x—1=0.

3.解以地球球心与距地最近点所在直线为x轴，以最近点与最远点的中点为原

点建立平面直角坐标系.

贝U2。=6636+8196=14832,a=7416,«2=54997056,

c=8196-7416=780,，/=54388656.

22

•••椭圆方程为豆苏演+54388656=L

§2极坐标系

2.1极坐标系的概念

2.2点的极生标与直角生标的互化

守自主预习课前预习区

1.极坐标系的概念,

(1)极坐标系的建立：如图在平面内取一个定点。，叫作极点,

从。点引一条射线Ox,叫作极轴,选定一个单位长度和角的0时节公Wk；

正方向(通常取逆时针方向).这样就确定了一个平面极坐标系,简称为极坐标系.

(2)极坐标系内一点的极坐标的规定：对于平面内任意一点M,用。表示线段OM

的长,。表示以Ox为始边、0M为终边的角度,。叫作点M的极径,8叫作点M

的极角,有序实数对(p,叫作点M的极坐标,记作MS，0).

当点M在极点时，它的极径闫b极角。可以取任意值.

2.极坐标和直角坐标的互化

(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系

中的原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③两种坐标系取相同的长度单位.

02=f+y2,

x=〃cos仇

(2)互化公式：，

y=〃sin夕；tan3=^(xWO)

------x--------

【思维导图】

直角坐标系*点f坐标

八互化

极坐标系*点极坐标

【知能要点】

1.极坐标系的四要素.

2.点的极坐标的写法.

3.极坐标和直角坐标的互化.

守讲练互动!课堂讲练区

题型一极坐标系的概念与点的极坐标

1.极坐标系的概念

极坐标系的建立有四个要素：①极点；②极轴；③单位长度；④角度单位和它的

正方向.四者缺一不可.

极坐标系就是用长度和角度来确定平面内点的位置.

2.点的极坐标

每一个有序实数对S，。)确定一个点的位置.其中，p是点M的极径，。是点M的

极角.

平面上给定一点，可以写出这个点的无数多个极坐标.根据点的极坐标S，。)的定

义，对于给定的点S，。)有无数个极坐标，可分为两类，一类为S，。+2E)

(Aez),另一类为(一/),。+2左兀+兀)(AeZ).

在极坐标S，。)中，一般限定02。.当〃=0时，就与极点重合，此时。不确定.给

定点的极坐标S，阴，就唯一地确定了平面上的一个点.但是，平面上的一个点的

极坐标并不是唯一的，它有无穷多种形式.由此可见，平面上的点与它的极坐标

不是一一对应关系.这是极坐标与直角坐标的不同之处.如果限定2>o,0或。<2兀，

则除极点外，平面上的点就与它的极坐标构成一一对应的关系.

【例1】写出图中A、B、C、。、E、F、G各点的极坐标（p〉0,0或82兀）.

解对每个点我们先看它的极径的长，再确定它的极角，因此这些点的极坐标为

A（7,1）,8（4,竽）,《5,卷）d6,华）,E（9,0）,F（3,n）,《9,劣.

【反思感悟】（1）写点的极坐标要注意顺序：极径"在前，极角。在后，不能把

顺序搞错了.

（2）点的极坐标是不唯一的，但若限制p>0,0^e<2n,则除极点外，点的极坐标

是唯一确定的.

N,变式迁移

1.写出下列各点的极坐标.

【例2】在极坐标系中，作出下列各点:

A(2,野，B(6,-120°),C(L哥，O(4,一竽)，E(4,0),F(2.5,180°).

解各点描点如图所示.

【反思感悟】知道点的极坐标S，。)，我们可以先根据极角。确定方向(射线),

然后根据0来确定距离，进而描出s，。)的对应点.

绐变式迁移

2.在极坐标系中，写出点A,B,C的极坐标，并标出点。(3,春，44,引，

F(2,离所在的位置.

解由图可得点A,

77r2L5TT

12212

5TTIT

6

UTTTT

12n

TTx

131T23n

1212

7ITIlir

守

7ir6

57r

47r

T

171T37T191T

12~212

点。，E,E的位置如上图所示.

【例3】在极坐标中，若等边△ABC的两个顶点是A（2,胃，02,苧），那么顶

点C的坐标可能是（）

C.（2小，Ji）D.（3,兀）

解析如图所示，由题设可知4、8两点关于极点0对称，

即。是AB的中点.

又|AB|=4,△ABC为正三角形，10cl=2小，ZAOC=^,C

对应的极角空或夕=卜，=一?，即c点极坐标为卜小，第或

乙*1*14\/

答案B

【反思感悟】在找点的极坐标时，把图形画出来，可以帮助我们解决问题，从图

形中很容易找到极角和极径.这一点跟直角坐标系中的方法是一致的，数形结合.

绐变式迁移

3.点M的极坐标是（一2,一看它关于直线6=］的对称点坐标是（）

B-（-2,芝|

解析当"<0时，我们找它的极角应按反向延长线上去找.描廿a丹

M-2,烹）力，（2,方

点（-2,一方时，先找到角一的终边.又因为户=-2<0,所\唔一

以再沿反向延长线上找到离极点2个单位的点即是点（一2,

直线。=看就是由极角为方的那些点的集合.

故从一2,关于直线8专的对称点为M（2,款但是选择支没有这样的坐

标.

又因为M（2,野的坐标还可以写成2,高，故选B.

答案B

题型二两点间的距离公式

一般地，设A3,仇），B（p2,02）,由余弦定理可得到两点间的距离公式|AB|=

1届+/—2cos（仇一。2）•

【例4】已知A、8两点的极坐标分别是（2,哥，（4,引，求A、8两点间的距

离和△A08的面积.

解求两点间的距离可用如下公式：

S/、A0B=gbi"2sin（仇一。2）|=；2X4Xsin（^y-^|=^X2X4=4.

【反思感悟】求两点间距离可以直接套用公式，求三角形面积时可以结合公式S

=y-absin。考虑.

犷变式迁移

4.若△ABC的三个顶点为A（5,乳

,判定△ABC的形状.

解/25+64—2X8X5cos^=^/49=7,

^9+64—2X8X3Xcos^=7,

BC=

4兀

AC=25+9-2-3-5cosy=7,

...△ABC为等边三角形.

题型三极坐标与直角坐标的互化

我们把极轴与平面直角坐标系xOy的正半轴重合，且两种坐标

系取相同的长度单位，设P(x,y)是平面上的任一点，如图所

x-pcos0,

示，则.°①

j=psin0.

p=ylx2+y2,

从①可得V②

tan0—(x#0)

龙

①与②是平面直角坐标系与极坐标系中同一点的直角坐标(x,y)与极坐标S，8)

之间的换算公式.

【例5】(1)把点M的极坐标(一5,令)化成直角坐标;

(2)把点N的直角坐标(一小，一1)化成极坐标.

解(l)x=-5cos^=—2>/3»y=-5sin^=—

.•.点M的直角坐标是(一|\「，-j).

(2)p(­A/3)2+(—1)2=2,tan6=3-

7

又•.•点N在第三象限，"〉0....最小正角0=^7i.

故点N的极坐标是(2,看，

【反思感悟】把极坐标化成直角坐标，直接代入公式即可；把直角坐标化为极坐

标，通常有不同的表示法(极角相差2兀的整数倍)，一般只要取8G[0,2K),p>0

即可.

绐变式迁移

5.若以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系.

(1)已知点A的极坐标为(4,引，求它的直角坐标；

(2)已知点8和点C的直角坐标为(2,-2)和(0,-15),求它们的极坐标e>0,

0・。〈2兀)

解⑴x=4co爵=2,y=4sin,=-24.

・••直角坐标为(2,一2小).

____—2\F52、历7兀

⑵0=、4+4=2啦,sind=2啦=—2，仇=2蛆=2，，仇=了，

.•.(2,-2)的极坐标为(26，引，

P2=15,sin&=­1，cos。2=°，

.\^2=y,.,.(0,—15)的极坐标为(15,

尹课堂达标j当堂达标区____________________________________________________________________

1.在极轴上与点(4蛆，3的距离为5的点的坐标是.

解析设所求点的坐标为(P，0),则

y^p2+(4A/2)2—2X4-\/2pcos^=5.

即p2-8p+7=0,解得p=l或〃=7....所求点的坐标为(1,0)或(7,0).

答案(1,0)或(7,0)

2.在直角坐标系中，已知点A(—3,35B(3y[3,3).

将A、B两点的直角坐标化为极坐标.

解直接根据互化公式，可得A的极坐标为(6,|兀)，

B的极坐标为(6,点).

3.某大学校园的部分平面示意图如图所示.

北

----东

用点。、A、B、C、。、E、产分别表示校门，器材室，公寓，教学楼，图书馆,

车库，花园，建立适当的极坐标系，写出各点的极坐标.(限定0W*2兀且

极点为(0,0))

解以点。为极点，。4所在的射线为极轴。式单位长度为1m）,建立极坐标

系，如图所示.

由QB|=600m,NAO3=30°,ZOAB=90°,得|A8|=300m,\OA\=30（h[3m,

同样求得|。。|=2|0月=300\&,所以各点的极坐标分别为0（0,0）,A（300\「，

0）,«600,即，C[300,电，。（30所，彳），£（300,兀），/^150^2,?）.

4.已知点Q（p，，），分别按下列条件求出点P的极坐标.

（1）点P是点Q关于极点O的对称点；

⑵点P是点Q关于直线的对称点.

解（1）由于尸、。关于极点对称，得它们的极径|OP|=QQ,极角相差（2Z+

1）兀伏GZ）.所以，点尸的极坐标为S，（2左+1）兀+。）或（一"，2E+0）伙@Z）.

TT

（2）由尸、。关于直线。=]对称，得它们的极径|OP|=|OQ|,点P的极角夕满足夕

=兀-6+2E（左GZ）,

所以点P的坐标为S，（2左+1）兀一。）或（一p,2kn-ff）（kGZ）.

h教材链接J释疑解惑区____________________________________________________________________

[Pio练习]

在极坐标中，点S，。）与点（一"，兀一。）有什么关系？

答关于极轴对称.

设M点坐标为S，。），为直观，以极点为原点，以x轴的正

方向与极轴建立直角坐标系，不难看出与M点关于y轴对称

的点M\的坐标为（p，兀一。）

M关于极点对称的点知2的坐标为（一"，代一6）

则也与M关于极轴对称，如图所示.

【规律方法总结】

1.建立极坐标系可以确定点的位置和直角坐标不同，平面内一个点的极坐标有无

数种表示.规定2>o,0W，<2兀，则除极点外，平面内的点和极坐标一一对应.

2.利用极坐标可以刻画点的位置，有时比直角坐标方便，在台风预报、测量、航

空、航海中主要采用这种方法.

3.以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并且取相同的长度单位，

平面内一点的直角坐标和极坐标可以进行互化.

课时作业J课后巩固区

一、选择题

1.点P的直角坐标为（一啦，啦），那么它的极坐标可表示为（）

A.（2,B（2,中）C.（2,y）