第3章 圆 圆周角定理 章末 选题 2021-2022学年北师大版九年级数学下册

2021-2022年北师大版九年级数学下册第3章《圆周角定理》章末精选题（附答案）

1.如图，A8是。。的直径，EF,EB是00的弦，且EF与AB交于点、C,连接

OF,若乙40尸=40°,则/F的度数是（）

2.如图，A,B,C是。。上三点，ZACB=25°,则NBAO的度数是（）

3.如图，已知。。的半径为5,锐角^ABC内接于。。，BCAC于点。，AB=8,贝ijtan

ZCBD的值等于（）

3554

4.如图，48是。0的直径，点C,D,E在。O上，若/AEZ）=20°,则N8CO的度数为

（）

B

A.100°B.110°C.115°D.120°

5.如图，/XABC是。0的内接三角形，AB=AC,NBCA=65°,作C£>〃AB,并与。。相

交于点。，连接BZ）,则/。8c的大小为（）

6.如图，已知A8是。。的直径，ZD=40°,则NCAB的度数为（）

7.如图，在。0中，N8AC=15°,/A£>C=20°,则/A8O的度数为（）

8.如图，点A,B,C在。。上，NA=36°,ZC=28°,则NB=()

A.100°B.72°C.64°D.36°

9.如图，A、3、C、O四个点均在O。上，ZAOD=JO°,AO//DC,则N3的度数为（)

A.40°B.45°C.50°D.55°

。在OO上，若N3CQ=130°,则N3OO的度数是（）

B.60°C.80°D.100°

11.如图，△A3。的三个顶点在OO上，A8是直径，点C在OO上，且NABD=52°,则

C.52°D.66°

12.如图，。。中，弦8C与半径OA相交于点。，连接48,OC.若/A=60°,ZADC

C.30°D.35°

13.如图，点。在半圆O上，半径08=闹，40=10,点C在弧30上移动，连接4C,

“是AC上一点，N£WC=90°,连接8",点C在移动的过程中，BH的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

14.如图，PA,PB、分别切。。于A、B两点，ZP=40°,则NC的度数为（）

15.如图，△ABC内接于0。，ZBAC=120°,AB=AC,8。为。0的直径，AD=6,则

16.如图，AB为。。的直径，C、。为。。上的点，AD=CD.若NCAB=40°,则NC4。

17.如图，一块含45°角的直角三角板，它的一个锐角顶点A在。。上，边AB,AC分别

与。。交于点。，£则NOOE的度数为.

18.如图，AB是。。的直径，点C,D,E都在上，/1=55°,则/2=

19.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的。。在格点上，则NAEO的正

切值为___________________

20.如图，在Rt/XABC中，NACB=9G°,AC=10,BC=8,点。是BC上一点，BC=3CD,

点P是线段AC上一个动点，以为直径作。。，点M为面的中点，连接AM,则AM

的最小值为.

21.如图，四边形4BCZ)是平行四边形，。0经过点A,C,D,与8c交于点E,连接AE,

若/£>=72°,则N8AE=

22.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,0),B(3,0),C为平面内的动点,

且满足NAC8=90°,O为直线y=x上的动点，则线段C£＞长的最小值为

23.如图，点A,B,C在。0上，四边形0ABe是平行四边形，0CAB于点E,交。。

于点。，则度.

24.如图，。。为锐角ABC的外接圆，若NBA0=15°,则/C的度数为

25.如图，4?为。。的直径，C,。为。。上的点，AD=CD.若NC48=50°,则NC4O

26.如图，。。的半径为2.弦AB=2,点P为优弧A8上一动点，4CLAP交直线PB于点

C,则aABC的最大面积是.

27.如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D,ZADB=90°,BE平分乙48。交

28.如图△ABC中，ZMC=60°,ZABC=45°,48=6,。是线段BC上的一个动点,

以AD为直径作。。分别交AB.AC于E、F,连接EF,则线段EF长度最小值为

29.如图，AB为。。的直径，C为0。上一点，NB0C=50°,AD//OC,40交。。于点

D,连接AC,CD,那么/ACO=.

30.如图，。。的直径AB过弦CO的中点E,若NC=26°,则

31.如图，四边形ABCO是平行四边形，。。经过点A,C,D,与BC交于点E,连接AE,

32.如图，已知在四边形ABC。中，ZABC=60°,连接AC、BD交于点E,EC=2AE=4,

若BE=2ED,则BD的最大值为.

33.已知。。的直径为10,点A,点B,点C在。。上，NC4B的平分线交。。于点£>.

(I)如图①，若2c为OO的直径，AB=6,求AC,BD,CO的长；

(II)如图②，若/C4B=60°,求BO的长.

34.已知：如图1,在中，直径AB=4,CD=2,直线AO,BC相交于点E.

(1)NE的度数为；

(2)如图2,AB与CD交于点F,请补全图形并求NE的度数；

(3)如图3,弦A8与弦8不相交，求/AEC的度数.

35.如图，AB为。。的直径，点C在。O上，延长BC至点。，使。C=C8,延长D4与

O。的另一个交点为E,连接AC,CE.

(1)求证：NB=ZD：

(2)若48=4,3C-AC=2,求CE的长.

36.已知：在△ABC中，以AC边为直径的。。交BC于点。，在劣弧俞上取一点E使N

EBC=NDEC,延长BE依次交AC于点G,交。。于H.

(1)求证：AC±BH；

(2)若NABC=45°,的直径等于10,BD=S,求CE的长.

37.如图，AB是。。的直径，CO是。。的一条弦，且CO1_A8于点E.

(1)求证：NBCO=ND：

(2)若CD=岖,AE=2,求。。的半径.

38.如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其它两边AC,BC的交点分别为。，E,且

DE=BE.

(1)试判断aABC的形状，并说明理由；

(2)已知半圆的半径为5,8c=12,求8。的长.

39.如图，四边形A8CO内接于。0,AB=AC,BDLAC,垂足为E,连接C。；

(1)若NC4D=23°,求NBAC的度数；

(2)若NACD=45°,AC=13,求8的长.

40.如图，AB为的直径，C、。为圆上的两点，OC//BD,弦AO与8C,OC分别交于

E、F.

(1)求证：AC—CD；

(2)若CE=1,EB=3,求。。的半径.

41.如图，A8是。。的直径，弦于点E,G是AC上一点，4G,DC的延长线交于

点F.

(1)求证：NFGC=/AGD.

，AF=a,求弦0c的长.

B

参考答案

1.解：连接用.

VZAOF=40°,

AZFOB=180°-40°=140°,

・・・NFEB=LNFOB=7。。

2

•:EF=EB

:.NEFB=NEBF=55°,

•:FO=BO,

：.ZOFB=ZOBF=20°,

:・/EFO=/EBO,

ZEFO=ZEFB-ZOFB=35°,

故选：B.

2.解：连接08,

VZACB=25°,

・・・NAOB=2X25°=50°,

由OA=OB,

：.ZBAO=ZABO,

：.ZBAO=1.(180°-50°)=65°.

2

3.解：过8作。。的直径8M,连接AM；

则有：ZMAB=ZCDB=90°,ZM=ZC；

:./MBA=NCBD；

过。作OE1AB于E；

心△OEB中，BE=1AB=4,。8=5；

2

由勾股定理，得：0E=3；

tanZMBA=还_=上；

BE4

因此tan/CBZ)=tan/M8A=3,故选D.

4.解：连接AC,

'：AB为。。的直径，

/.ZACB=90°,

VZAED=20°,

AZACD=20°,

/.ZBCD=ZACB+ZACD=110°,

解法二：连接BE,易得/BED为70°,再由圆内接四边形互补可得NBC£＞为110°.

5.解："：AB=AC,ZBCA=65°,

：.ZCBA^ZBCA=65°,ZA=50°,

•:CDaAB,

；./ACO=NA=50°,

NDBC=ZCBA-NABD=15°,

故选：A.

6.解：•.•/。=40°,

.,.ZB=ZD=40°.

：AB是。。的直径，

AZACB=90°,

：.ZCAB=900-40°=50°.

故选：C.

7.解：连接04、0C,

'：ABAC=\5°,NAQC=20°,

.,./AO8=2(/AOC+/BAC)=70°,

'：OA=OB(都是半径)，

：,ZABO=ZOAB=1.(180°-NAOB)=55°.

2

故选：B.

8.解：连接04,

9：OA=OC,

・・・NOAC=NC=28°,

：.ZOAB=M°,

，：OA=OB,

：.ZB=ZOAB=64°,

故选：C.

连接oc,

•:AO〃DC,

：.ZODC=ZAOD=JO°，

•・・oo=oc,

：.ZODC=ZOCD=10°,

・・・NCOO=40°，

：.ZAOC=110°，

.•.NB=_1/AOC=55°.

2

故选：D.

10.解：圆上取一点A,连接AB,A。，如图所示,

・・,点A、B,C,。在O。上，ZBCD=130°,

：.ZBAD=50°，

：.ZBOD=\00Q,

故选：D.

11.解：TAB是。。的直径,

/.ZADB=90°,

VZABD=52°,

AZA=90°-ZABD=38°；

AZBCD=ZA=38°.

故选：B.

12.解：VZA=60°,NAOC=85°,

：.ZB=S5°-60°=25°,ZCDO=95°,

AZAOC=2ZB=50Q,

AZC=180°-95°-50°=35°

故选：D.

13.解：如图，取A。的中点连接30,HM,BM.

AZAHD=90°,

・••点H在以M为圆心，MQ为半径的。M上,

・•・当〃、H、B共线时，8H的值最小，

TAB是直径，

/.ZADB=90°,

工BD=d(2倔产-102=12,

SM=VBD2+DM2=V122+52=13'

：.BH的最小值为BM-MH=13-5=8.

故选：D.

14.解：..•必是圆的切线.

：.ZOAP=90°,

同理NOBP=90°,

根据四边形内角和定理可得：

/AO8=360°-ZOAP-ZOBP-ZP=360°-90°-90°-40°=140

/ACB=l/AO3=70°.

2

故选：C.

15.解：•••BQ为。0的直径，

:.NBAD=NBCD=90°,

VZBAC=120°,

：.ZCAD=120a-90°=30°,

：.ZCBD=ZCAD=30°,

又；/BAC=120°,

/.ZBDC=1800-ZBAC=180°-120°=60°,

"：AB=AC,

：.ZADB=ZADC,

ZADB=AZBDC=AX60°=30°,

22

；AO=6,

.•.在RtAABD中，BD=A£)4-sin60°=6+立

2

在RtaBCQ中，DC=LBD=1乂4如=2如.

22

故答案为：

16.解：如图，连接BC,BD,

TAB为。。的直径，

AZACB=90°,

VZCAB=40°,

AZABC=50°,

VAE=CD-

AZABD=ZCBD=^ZABC=25°,

2

：,ZCAD=ZCBD=25°.

故答案为：25°.

：.ZDOE=2ZA=90°.

故答案为：90°.

VAB是直径，

・・・NADB=90°,

,.,/l=NAO£,

.*.Zl+Z2=90°,

VZ1=55°,

：.Z2=35°,

故答案为35.

19.解：由图可得，NAED=NABC,

・・・。0在边长为1的网格格点上，

.\AB=2,AC=L

则tanNA8C=>^=，，

AB2

：.tanZAED=X.

2

故答案为：1.

2

20.解：如图，连接OM,CM,过点A作AT,CM交CM的延长线于T.

B

PM=DM.

：.OMA.PD,

/.ZM(?D=90°,

:.NMCD=L/MOD=45°,

2

VZACB=90°,

AZACT=45°,

"."ATICT,

ZATC=90°,

；AC=10,

；.AT=AC・sin45°=5«,

'：AM^AT,

例》5料，

：.AM的最小值为5加，

故答案为5M.

21.解：•四边形48CD是平行四边形，ZD=72°,

/.ZDCB=(180°-ZD)=108°,

,/四边形AECD是圆内接四边形，

:./AEB=/D=72°,ZB=180°-/BCD=72°

：.ZBAE=}S00-72°-72°=36°,

故答案为：36

22.解：取AB的中点E,过点E作直线y=x的垂线，垂足为Q,

・・•点A(1,0),B(3,0),

：.OA=\,08=3,

JOE=2,

:.ED=2X与=五,

VZACB=90°,

.•.点C在以A3为直径的圆上，

线段CD长的最小值为&-1.

故答案为：V2-l-

23.解：：四边形0ABe是平行四边形，OC=OA,

：.OA=AB,

'JODI.AB,0。过O,

：.AE=BE,AD=BD,

即0A=2AE,

.,.ZAO£>=30°,

众和砺的度数是30°

：.ZBAD=15Q,

故答案为：15.

24.解：连接OB,如图，

'：OA=OB,

：.ZOBA=ZOAB=\5°,

/.ZAOB=180°-15°-15°=150°,

：.ZC=^ZAOB=75°.

2

故答案为75°.

25.解：连接0C,。。，如图所示：

VZCAB=50°,

：.ZCOB=2ZCAB=}QOQ.

vAE=CD-

.\ZAOD=ZCOD=1.(1800-NCOB)=40°,

2

AZCAD=^ZCOD=20°.

2

26.解：连接04、OB,作△ABC的外接圆。，如图1,

图1

\'OA=OB=2,AB=2,

：./\OAB为等边三角形，

AZAOB=60°,

/.ZAPB=^ZAOB=30°,

2

\'ACLAP,

AZC=60°,

•.N8=2,要使△力BC的最大面积，则点C到A8的距离最大,

VZACB=60°，点C在G)D上,

当点C优弧A3的中点时，点C到A8的距离最大，此时△4BC为等边三角形，且面积

为退A82=夷，

4

/\ABC的最大面积为

故答案为：V3.

27.解：如图，取AB的中点。，连接。C,OD,AE.

VZACB=ZADB=90°,OA=OB,

:.OC=OD=1AB,

2

C,B,。四点共圆，

'：CA=CB,

.../CBA=/CAB=45°,

.,./OM=NC&4=45°,ZCDB=ZCAB=45°,

：.ZCDB=ZCDA,

.•.。后平分/4。8,

•.・BE平分/AB。，

.•.点E是△A8O的角平分线的交点，

平分NBA。，

/BAE=ADAE,

•.•/C4E=/C4B+/B4E=45°+ZBAE,ZCEA=ZEDA+ZEAD=45°+ZDAE,

：.ZCAE=ZCEA,

；.CA=CE=定值，

...当CO的值最大时，生的值最小，

CD

••.CD是直径时，丝的值最小，最小值=挺_=返，

CDBA2

故答案为返.

2

28.解：由垂线段的性质可知，当AO为△ABC的边8c上的高时，直径AO最短，

如图，连接OE,OF,过。点作垂足为H,

•在RtZXADB中，ZABC=45°,AB=6,

:.AD=BD=3版,即此时圆的直径为3我，

由圆周角定理可知/£0"=//:'04=/^^=60°,

.•.在□△EOH中，EH=OE・sinNEOH=3近乂叵=冬良

_224

由垂径定理可知EF=2EH=^-,

故答案为：辿.

2

•:AD//OC,

・・・N£>A3=NBOC=50°,

*：OA=OD

：.ZAOD=180°-2ND48=80°,

/ACZ)=2/AOQ=40°

2

故答案为40°

ZD=ZABC,

「AB是直径,

点是CO的中点,

AZCEfi=90°，

：.ZABC=90°-ZC=90°-26°=64°,

：.ZD=64°,

故答案为：64°

31.解：•.•四边形4BCD是平行四边形，ZD=74°,

：.ZB=ZD=14°,

•.•四边形AEC。是圆内接四边形，

:.NAEB=ND=14°,

：.ZBAE=lS00-74°-74°=32°,

故答案为：32.

32.解：如图，作AABC的外接圆。。，连接OB,OA,OE,过点。作OHL4c于".

'：ZAOC^2ZABC,NA8C=60°,

AZAOC=120°,

V£C=2A£=4,

：.AE=2,

：.AC=AE+EC=6,

"：OA=OC,OHLAC,

：.AH=HC^3,EH=AH-AE=1,

'：ZOAC=ZOCA=30°,

/.O/7=A//*tan300=«,

0£=22=

VOH+EH7（V3）2+l2=2'0A=2°H=2

-OB=OA=2>y3，

:BEWOB+OE,

；.BEW2+2«,

的最大值为2+2立，

,:BE=2DE,

.♦.Z）E的最大值为1+V3-

二8力的最大值为3+3«.

故答案为3+3«.

33.解：（I）如图①，：BC是。0的直径，

.•./CAB=N8OC=90°.

；在直角△CAB中，8c=10,48=6,

；♦由勾股定理得到：AC—dBC2-AB2=Y102-62=8

,：AD平分NCAB,

，而=而，

：.CD=BD.

在直角△BOC中，BC=10,CD1+BIji2=BC2,

,易求8。=。。=5圾；

（II）如图②，连接OB,OD.

平分NC4B,且NC48=60°,

.../D4B=-l/C48=30°,

2

AZDOB=2ZDAB=60°.

又,：OB=OD,

...△08。是等边三角形，

：.BD=OB=OD.

VO<?的直径为10,则08=5,

：.BD=5.

34.解：(1)如图1,连接OD,OC,BD,

(1)

；OD=OC=CD=2

...△OOC为等边三角形,

...Z£>OC=60°

/.NDBC=30°

：.NEBD=30°

•：AB为直径，

ZADB=90°

.".Z£=90°-30°=60°,

/E的度数为60°；

(2)①如图2,直线4，CB交于点、E,连接OD,OC,AC.

(2)

♦：OD=OC=CD=2,

•••△OOC为等边三角形,

AZDOC=60°，

AZDAC=30°,

；.NEBD=30°,

VAB为直径，

AZACB=90°,

AZE=90°-30°=60°,

(3)如图3,连接0。，OC,

*：OD=OC=CD=2,

•••△OOC为等边三角形，

AZDOC=60°，

：.ZCBD=30°,

・・・NAQB=90°,

AZBED=60°,

/.ZAEC=60°.

35.(1)证明：・・・45为QO的直径,

・・・NACB=90°,

：.AC.LBC,

又YDC=CB,

:.AD=AB9

：.ZB=ZD；

(2)解：设8C=JG贝ijAC=x-2,

222

在Rt"3C中，AC+BC=ABf

(x-2)2+A?=42,

解得：Xl=l+H，X2=1-V7(舍去),

•:NB=NE,NB=ND,

:・/D=/E,

:.CD=CE,

•：CD=CB,

：.CE=CB=\+y/7.

36.(1)证明：连接4),

•:ZDAC=/DEC,ZEBC=NDEC,

：./DAC=NEBC,

〈AC是OO的直径，

AZADC=90°,

：.ZDCA+ZDAC=90°,

AZEBC+ZDCA=90°,

AZBGC=180°-(NEBC+NDCA)=180°-90°=90°

(2)解：VZBDA=1800-ZADC=90°,ZABC=45°,

・・・N84Q=45°,

:・BD=AD,

VBD=8,・・・AO=8,

在直角三角形AOC中，AO=8,AC=10,

根据勾股定理得：0c=6,则BC=8£»+£»C=14,

/EBC=/DEC,NBCE=AECD,

:.△BCEsgCD,

.•.他0,即CE2=BC・O)=14X6=84,

CECD

CE—\]84~2A/21-

37.(1)证明:如图.

OC=OB,

：.ZBCO=ZB.

,?ZB^ZD,

：./BCO=ZD；

(2)是。。的直径，且CO_L4B于点E,

:.CE=L：D=工乂4如=2近,

22

在RtZiOCE中，OU=C$+O$,

设00的半径为r,则OC=r,OE=OA-AE=r-2,

；.3=(2A/2)2+(”2)2,

解得：r=3,

，0。的半径为3.

38.解：（1）ZVIBC为等腰三角形.

理由如下：连接AE,如图，

E

D.

A----------O---------B

••,DE=BE)

，ZDAE=NBAE,即AE平分ABAC,

'：AB为直径，

AZAEB=90°,

：.AELBC,

•.,NC+NCAE=90°,NABC+NBAE=90°