第08讲 设计轴对称图案（教师版）-数学八年级上册同步讲义（苏科版）江苏初中数学（苏教版）

第2章轴对称图形

2.3设计轴对称图案

客目标导航

课程标准课标解读

1、初步经历对图形的欣赏、观察、分析和

1、初步接触通过相关数学软件进行轴对称图形设计的

补充画图过程，掌握有关图形设计的初

操作方法，了解相关的信息技术在数学方面的应用。

步操作技能，发展初步的审美能力，增

2.掌握有关画图的技能及设计轴对称图形是本节课的难

强对图形欣赏的意识。

点。

2、能按要求把所给出的图形补成以某直线

3.掌握有关轴对称图形的设计操作技能,并能利用图形

为轴的轴对称图形，能依据图形的轴对

之间的轴对称关系来设计轴对称图形。

称关系设计轴对称图形。

魏知识精讲

史'知识点01利用轴对称作图

1、已知轴对称图形求作对称轴

方法：先确定图形的两个对应点，再作以这两个对应点为端点的线段的垂直平分线，这条直线就是它的对

称轴.

2、已知对称轴，求作与已知图形成轴对称的图形的步骤

【微点拨】

方法：（1）先观察已知图形，并确定能代表已知图形的关键点；

（2）分别作出这些关键点关于对称轴的对应点；

（3）根据已知图形连接这些对应点，即可得到与已知图形成轴对称的图形.

【即学即练1】图中阴影部分是由4个完全相同的正方形拼接而成，若要在①，②，③，④四个区域中的某

个区域处添加一个同样的正方形，使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在

()

A.区域①处B.区域②处D.区域④处

【答案】D

【分析】直接利用轴对称图形的定义得出答案.

【详解】解：要在①，②，③，④四个区域中的某个区域处添加一个同样的正方形,

使它与阴影部分组成的新图形是轴对称图形，则这个正方形应该添加在区域④.

故选D.

【即学即练2】将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（）

【分析】根据轴对称图形的概念：如果•个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图

形叫做轴对称图形，据此进行分析即可.

【详解】解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意;

B.不是轴对称图形，故本选项不合题意;

C.不是轴对称图形，故本选项不合题意;

D.是轴对称图形，故本选项符合题意;

故选：D.

知识点02轴对称的应用（最短路径）

基本问题：在直线/上找一点尸，使得其到直线异侧两点A、B的距离之和最小.

A•

•B

变式1：在直线/上找一点P,使得其到直线同侧两点A、8的距离之和最小.

•B

A.

变式2：直线加、“交于。，P是两直线间的一点，在直线m、〃上分别找一点A、8,使得，小8的周

长最短.

【即学即练3】已知点A,点8都在直线/的上方，试用尺规作图在直线/上求作一点P,使得PA+PB的值

最小，则下列作法正确的是（）

【答案】D

【详解】如图，由作图可知，B,B'关于直线对称，所以8P=8'P,

此时AP+PB'^AP+PB值最小,

符合题意的图形如下：

乂

I

故选D.

a能力拓展

考法01轴对称的应用

1.轴对称图形是-一个一定要沿着某直线折叠后，直线两旁的部分互相重合的图形，之所以说到他们的关系

是因为他们两个总是被一条直线所连着，好似一对分不开的兄弟，关系十分的密切。把他们拉在一起的这

条直线就是他们的对称轴。当然这条对称轴就像-一个公正的法官。左右两边的长度、面积、大小等，都一

一点儿也不差，唯一不同的就是他们所朝的方向。

2.生活当中的轴对称图形

H)A

®A

【典例1】作图计算题.如图，在正方形网格上有一个ABC(三个顶点均在格点上，网格上的最小正方形

的边长为1).

⑴作ABC关于直线用的轴对称图形(不写作法);

(2)画出：A8C中8c边上的高AD；

（3）画一个锐角,OMN（要求各顶点在格点上），使其面积等于ABC的面积.

（4）在HG上画出点P,使PB+PC最小.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析（答案不唯一）；（4）见解析

【分析】（1）分别作出A,B,C的对应点4,Bi,。即可；

（2）延长CB,然后过点A利用三角板的两条直角边作图即可；

（3）作一个面积等于3的三角形即可（答案不唯一）；

（4）连接8历，交“G于点P,点P即为所求.

【详解】（1）解：如图，&4G即为所求；

（2）解：如图,线段4力即为所求;

r

r

（3）解：如图，。脑V即为所求;

（4）解：如图，点P即为所求;

考法02轴对称的作图

一个图形与另一个图形沿着某条直线折叠后能完全重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，折痕

所在的直线就是它们的对称轴，并诅连接任意-对对称点的线段被对称轴垂直平分;己知图形和对称轴作对称

图形，先作已知图形中每个特殊点关于对称轴的对称点，再一连接对称点得其对称图形

【典例2】如图，由4个小正方形组成的田字格，AABC的顶点都是小正方形的顶点，请在田字格上画出与

△ABC成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形（要求四个图互不一样）.

【答案】见解析

【分析】根据轴对称的性质画出图形即可.

【详解】解：如图所示：

fii分层提分

题组A基础过关练

1.如图，正三角形网格中，已有三个小正三角形被涂黑，再将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂

黑的图案构成一个轴对称图形的方法有（）

A.2种B.3种C.4种D.5种

【答案】C

【分析】根据轴对称的概念作答.如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能互相重合，那么这个

图形叫做轴对称图形.

【详解】解：如图所示：将图中其余小正三角形涂黑一个，使整个被涂黑的图案构成•个轴对称图形的方

法有4种.

2.2020年的春节，对于所有人来说真的不一般.为了打好疫情攻坚战，医护人员在岗位上同时间赛跑，与

病魔较量，而我们每个人都能为打赢这场仗贡献一份力量.勤洗手，戴口罩，少聚会，积极配合；防控工

作，照顾好自己和家人，还有，说出一句简单的：中国加油！武汉加油！在“中国加油”这4个美术字中，可

以看作轴对称图形的是（）

A.中B.国C.加D.油

【答案】A

【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解.

【详解】解：“中”可以看作轴对称图形，其他三个字不能看作轴对称图形,

故选：A.

3.如图，图中的阴影部分是由5个小正方形组成的一个图形，若在图中的方格里再涂黑一个正方形，使整

个阴影部分成为轴对称图形，涂法有（

A.3种B.4种C.5种D.6种

【答案】A

【分析】根据轴对称的性质作图分析即可.

【详解】解：涂法有：

共3种

故答案为：A

4.如图，从标有数字123.4的四个小正方形中拿走一个，成为一个轴对称图形，则应该拿走的小正方形的

标号是（）

【答案】B

【分析】根据轴对称图形的概念，逐一判断选项，即可得到答案.

【详解】•••拿走数字1的小正方形，不是轴对称图形，

，A错误；

•••拿走数字2的小正方形，可得轴对称图形，

.".B正确；

•.•拿走数字3的小正方形，不是轴对称图形，

，C错误；

•••拿走数字4的小正方形，不是轴对称图形，

•••D错误；

故选B.

5.正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有种.

【答案】4

【分析】利用轴对称图形定义进行补图即可.

【详解】解：如图所示：

共4种，

故答案为：4.

6.如图，在网格图中选择一个格子涂阴影，使得整个图形是以虚线为对称轴的轴对称图形，则把阴影涂在

图中标有数字的格子内.

【答案】3

【分析】根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，所以阴影应该涂在标有数字3的格子内.

【详解】解：根据轴对称的定义，沿着虚线进行翻折后能够重合，

..•根据题意，阴影应该涂在标有数字3的格子内；

故答案为3.

7.如图，有一个英语单词，四个字母都关于直线/对称，请写出这个单词.

【答案】BOOK

【分析】根据轴对称图形的性质，画出完整图形，即可解答.

【详解】解：如图，

BOOK，

这个单词是BOOK.

故答案为BOOK；

8.如图，在3x3的正方形网络中，与AABC关于某条直线对称的格点三角形（顶点在格线交点的三角形）

共有个.

【答案】6

【分析】通过变换对称轴的位置，确定对称格点三角形的个数.

【详解】解：在此网格中与8c关于某条直线对称的

格点三角形有6个，如图

故答案：6.

9.如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用3种方法分别在下图方格内涂黑2个小正

【分析】如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则这个图形是轴对称图形，这条

直线是对称轴，根据轴对称图形的含义，按照要求完成即可.

10.如图，在2x2的正方形格纸中，ABC是以格点为顶点的三角形，也称为格点三角形，请你在该正方形

格纸中画出与.‘ABC成轴对称的所有的格点三角形（用阴影表示）.

【答案】见详解

题组B能力提升练

1.如图，在3x3的正方形网格中，从空白的小正方形中再选择一个涂黑，使得3个涂黑的正方形成轴对称

图形，则选择的方法有（）

【答案】C

【分析】将空白部分小正方形分别涂黑，任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1,3,5,6,7有5种情况

可使所得图案是一个轴对称图形.

【详解】解：如图，

将图中剩余的编号为1至7的小正方形中任意一个涂黑共7种情况，其中涂黑1,3,5,6,7有5种情况

可使所得图案是一个轴对称图形，

故选：C.

2.如图，在3x3的正方形网格中，格线的交点称为格点，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，图中的

ABC为格点三角形，在图中与A8C成轴对称的格点三角形可以画出（）

H

A.6个B.5个C.4个D.3个

【答案】A

【分析】直接利用轴对称图形的性质分别得出符合题意的答案.

【详解】解：符合题意的三角形如图所示：分三类

对称轴为横向:

对称轴为纵向:

iSBH

对称轴为斜向：

满足要求的图形有6个.

故选:A.

3.如图，点A,B在直线/的同侧，在直线/上找一点P,使R1+P8最小，则下列图形正确的是（）

B.

【分析】作A点关于/的对称点4,连接48与/的交点为P,此时H1+P8最小.

【详解】解：•.•点4,8在直线/的同侧，

.,•作A点关于/的对称点4,连接48与/的交点为P,

由对称性可知AP=A'P,

此时见+PB最小，

故选:B.

4.把一张长方形纸片按如图①，图②的方式从右向左连续对折两次后得到图③，再在图③中挖去一个如图

所示的三角形小孔，则重新展开后得到的图形是（）

今国

③

A.B.c.<1：t>"|D.

・・・・・・■（••a•

【答案】c

【详解】试题分析：重新展开后得到的图形是C,

故选C.

5.如图，在6x6的正方形网格中，选取13个格点，以其中的三个格点A,B,C为顶点画；,A8C,请你在

图中以选取的格点为顶点再画出一个A4BP,使与成轴对称.这样的尸点有一个.（填尸点的

个数）

<C

7

/.

/

A

1B

【答案】2

【分析】根据轴对称图形的性质画出图形即可.

【详解】解：如图，满足条件的A，的有2个,

PC

V4

.\XBL

X

P,

故答案为2.

6.小明站在河岸边看见水中的自己胸前球衣的号码是5I，则实际的号码为.

【答案】12

［分析】画出轴对称图形得到实际的号码.

【详解】解：如图，根据轴对称图形，实际的号码应该是12.

故答案是：12.

7.在如图的方格纸上画有2条线段，若再画1条线段，使图中的三条线段组成一个轴对称图形，则这条线

段的画法最多有种.

【答案】4

【详解】试题解析：如图所示，共有4条线段.

故答案为4.

8.如图，在正方形网格中，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形AABC是一个格点三角形，请你根

据给定的对称轴/,分别画出与AA8C成轴对称的格点三角形.

【答案】见解析

9.在3x3的正方形格点图中，有格点，ABC,请在下图1〜4中分别画出一个格点三角形，要求画出的格点

三角形与，关于某直线对称.

【分析】根据轴对称的性质作出符合题意的图形即可.

【详解】解：如图所示：

10.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A,B,C均落在格点上.

⑴画出.ABC关于直线/的轴对称图形二ABC.

（2）连接48、CB,则WBC的面积为

【答案】（1）见解析；（2）8

【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出4,B,C的对应点4,B',C,然后顺次连接4,B',C,即可;

（2）把三角形的面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可.

【详解】（1）解：如图，△A'8'C即为所求.

（2）解：SAA，BC=4X7-yx4x4-|xlx3-1x7x3=8.

故答案为：8.

题组C培优拔尖练

1.如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中己经涂黑了3个小三角形

（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的图形是一个轴对称图形，

一共有（）种涂法.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】将一个图形沿着某条直线翻折，直线两侧的部分能够完全重合的图形是轴对称图形，根据轴对称图形

的概念进行设计即可.

【详解】解：如图所示：

2.一名同学想用正方形和圆设计一个图案，要求整个图案关于正方形的某条对角线对称，那么下列图案中

不符合要求的是()

【答案】D

【分析】轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着

对称轴折叠时，互相重合.

【详解】解：4图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符合要求：

8、图象关于对角线所在的直线对称，两条对角线都是其对称轴；故符合要求；

C、图象关于对角线所在的直线对称，有一条对称轴；故符合要求；

D.图象关于对角线所在的直线不对称；故不符合要求；

故选D.

3.如图所示的2x4的正方形网格中，ABC的顶点都在小正方形的格点上，这样的三角形称为格点三角形,

在网格中与ABC成轴对称的格点三角形一共有()

A.1个B.2个D.4个

【答案】C

【分析】根据轴对称的性质，结合网格结构，分横向和纵向两种情况确定出不同的对称轴的位置，然后作

出与△A2C成轴对称的格点上角形，即可得出答案.

【详解】如图所示，与AABC成轴对称的格点三角形有3个.

4.某台球桌面为如图所示的长方形ABC。，小球从A沿45。角击出，恰好经过5次碰撞到B处，则=

()

--------------7--------------

\/•

51------上---------------1c

A.1:2B.2:3C.2:5D.3:5

【答案】C

【分析】根据题意画出图形，再根据轴对称的性质求出矩形的长与宽的比值即可.

如图所示，将矩形A8C。沿着CQ对称，经过5次撞到8处,

AA'=2AD=5AB.所以他:仞=2:5.

故选C.

5.如图，3x3方格图中，将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的

轴对称图形共有个.

【答案】3

【分析】利用轴对称图形的定义作出轴对称图形后即可确定轴对称图形的个数.

【详解】解：将其中一个小方格的中心画上半径相等的圆，使整个图形为轴对称图形，这样的轴对称图形

6.如果直线《、4相交成30°的角，交点为0、P为平面上任意一点，若作点P关于4的对称点P是第1次,

再作点P关于4的对称点2是第2次，以后继续轮流作关于4、的对称点.那么经过次后，能回

到点P.

【答案】12

【分析】根据轴对称的性质，作出图象结合图象求解.

【详解】如图所示.

由图可得共需12次，能回到p点.

7.如图，圆柱形容器中，高为18cm,底面周长为24cm,在容器内壁离容器底部4cm的点8处有一蚊子,

此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为

cm（容器厚度忽略不计）.

【答案】20

【详解】试题分析：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点4,连接4B交EC于R则A5即为

最短距离.

•..高为18cm,底面周长为24cm,在容器内壁离容器底部2cm的点8处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容

器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处,

".A'D=12cm,BD=16cm,

二在直角中，48=,d+4=20(cm).

故答案是：20.

8.如图1,网格中的每一个正方形的边长为1,AABC为格点三角形(点A、B、C在小正方形的顶点上),

直线〃，为格点直线(直线，”经过小正方形的格点).

C

(1)如图1,作出AABC关于直线"7的轴对称图形△4BC；

(2)如图2,在直线〃?上找到一点P,使布+P8的值最小；

(3)如图3,仅用直尺将网格中的格点三角形A8C的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影.

（4）如图4,仅用直尺作出三角形4BC的边A8上的高，简单说明你的理由.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；（4）见解析

【分析】（1）分别作出A,B,C的对应点A,B',。即可.

（2）作点8关于直线〃?的对称点连接48',交直线小于点P,则点P即为所求作的点：

（3）如图，取格点0,计算可知5/MOC=SZ\BOC=SAAOB=2（平方单位）.

（4）如图，选择格点。、E,证明△ACD丝△BCE.于是，AC^BC.选择格点0,证明△ACQgZ\8C。，于

是，AQ=BQ.推出CQ为线段48的垂直平分线，设C。与A8相交于点尸，则C尸为