等差数列知识点精讲知识点+典型例题

等差数列知识点精讲

知识精讲

1.等差数列的定义：a“—a“_i=d（d为常数

【例1】设&是数列｛斯｝的前〃项和,且&=2〃2一5〃,证明数列｛斯｝是等差数列。

【例2】设例是数列｛斯｝的前"项和,且S"=〃2,则｛小｝是（）

A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列

C.等差数列，而且也是等比数列D.既非等比数列又非等差数列

2.等差数列通项公式：=q+（〃一l）d=+qeN*）,首项为q,公差为d,末项为a”

推广：an=a,„+（n-m）d,从而4~—；

n-m

总结：等差数列的通项公式a“=4+（"-l）d=出+4-d是关于〃的一次函数，且斜率为公差d；

说明：等差数列的单调性：d>0为递增数列，"=0为常数列，d<0为递减数列。

［例I］（2003年全国高考题）等差数列｛小｝中，己知0=；,a2+a5=4,即=33,则”为（）

A.48B.49C.50D.51

【例2】首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是。

【例3】（2006年全国卷1）设面｝是公差为正数的等差数歹U,若ai+a2+a3=15,am2a3=80,则a3ai2+ai3等于（）

A.120B.105C.90D.75

［例4］若数列｛a。｝的前n项和$1）=112-1011（11=1,2,3”..）,则此数列的通项公式为；数歹打恒总中数值最小的

项是第项。

3.等差中项

（1）如果a,A,8成等差数列，那么A叫做。与〃的等差中项.即：A=i或2A="

2

（2）等差中项：数列｛/｝是等差数列=2%=%+4+］（〃>2）o2an+l=an+an+2

【例11如果等差数列｛6,｝中，a3+a4+a5=12,那么％+a2H----1-«7=___.

【例2】已知1,«,b成等差数列，3,a+2,b+5成等比数列，则等差数列的公差为（）

A.3或一3B.3或一1C.3D.一3

【例3】（2010年高考重庆卷文科2）在等差数列｛4｝中，4+旬=10,则%的值为（）

A、5B、6C、8D、10

【例4】在等差数列｛斯｝中，42+。6=竽，则sin（2“4—；）=（）

A.坐C.一坐D.—

【例5】（2009北京东城高三第一学期期末检测）已知旧｝为等差数列，若ai+a5+a9=?t,则cos（a2+a8）的值为.

【例6】等差数列｛%｝的前三项为x—1,x+1,2x+3,则这个数列的通项公式为（）

A.an=2n+1B.an=2n-1C.an=2n—3D.an=2n—5

4.等差数列的前n项和公式：S"=4巴十%）=+〃（“-1）d=4"+（1+Bn（其中A、B是常数,

所以当d翔时，S”是关于n的二次式且常数项为0）

特别地，当项数为奇数2“+1时，是项数为2n+l的等差数列的中间项：S2"+1=0"+1/；+%也）=（2"+1）”“I

（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）

【例1】（2011年高考江西卷文科）设｛q,｝为等差数列，公差d=-2,S,为其前n项和.若品）=S「则/=（）

A.18B.20C.22D.24

【例2】设S.是等差数列｛4｝的前n项和，若S3=3,S6=24,则a9=_.

【例3】设等差数列｛«„｝的前n项和为S“，若S9=72,贝以2+4+4=——•

［例4］设等差数列｛«„｝的前n项和为S,,,若Sg=72,则/为.

【例5】设｛。“｝是公差为-2的等差数列，如果0+01+...+a97=50,那么。3+“6+a9+..+"99=（

A.-182B.-78C.-148D.-82

【例6】（2006年重庆高考题）在等差数列｛风｝中，若。4+a6=12,Sn是数列｛%｝的前n项和，则S9的值为（）

A.48B.54C.60D.66

【例7】（1）已知等差数列｛a,,｝的前5项之和为25,第8项等于15,求第21项。

（2）等差数列-16,-12,-8……，前几项的和为72?

5.等差数列的性质

（1）当加+〃=时，则有%,+4”=%,+4，特别地，当加+〃=2〃时，则有+a“=2%,

注：4=4+。,1=%+。,”2=…，

【例1】已知｛%｝是等差数列，且4+“7+410=57,%+%+。6+…+。14=77,若4=13,则仁

a

【例2】在等差数列｛a“｝中，若。4+4+火+w+%2=120,则2aw-ay2=

【例3】等差数列｛a“｝中，ai+ai+an=24,求S*=

［例4］已知｛an｝为等差数列，3+融+”13+”18=100，求aio=

【例5】（2005年福建高考题）已知等差数列｛4｝中，〃7+卷=16,“4=1,则02=（）

A.15B.30C.31D.64

⑵若｛为｝、也｝为等差数列，贝乂幽,+耳,｛44+4〃｝都为等差数列

（3）若｛%｝是等差数列，则s,s,-s.e,,-%,，…也成等差数列

【例1】在等差数列｛aj中，若S4=l,S8=4,则a9+aio+a“+ai2=

【例2】设S”是等差数列｛a,J的前n和，若[L=<，则*=________

$83S]6

6.等差数列前n项和的最值

【例1】已知数列｛如｝为等差数列，若器<—1，且它们的前〃项和S,有最大值，则使3>0的〃的最大值为（）

A.11B.19C.20D.21

【例2】已知数列｛aj的前n项和S“=〃（〃-40）,则下列判断正确的是（）

A.ai9>0,a2i<0B.a2o>O,a21VoC.ai9<0,a2i>0D.ai9<0,a2（）>0

【例3】等差数列｛斯｝中，ai>0,S4=S9,则Sn取最大值时，n=

【例4】等差数列｛4｝中，a,=25,$9=&7，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。

【例5】若｛斯｝是等差数列，首项q>0,%）03+%004>°，«2005-«2（XM<0-则使前〃项和S,>0成立的最大正整数"是一

6.等差数列前n项和的比值问题

【例1】（武汉调研）已知等差数列｛如｝,｛仇｝的前n项和分别为S“和T“，若S也=「2/匕2，求”CL

T”3〃+1%

a5S

【例2】（2004年福建高考题）设S“是等差数列｛斯｝的前n项和，若/=x，则/=（）

生9S5

1

A.1B.-1C.2D.-

2

【例3】设｛%｝与｛瓦,｝是两个等差数列，它们的前"项和分别为S,,和T“，若鼠=网上1,那么丝=________

Tn4〃-3bn

7.设项技巧：

①一般可设通项a„=q+（〃-1）4

②奇数个数成等差，可设为…，a-2d,+a+2d...（公差为d）；

③偶数个数成等差，可设为…，a-3d,a-d,a+d,a+3d,...（注意；公差为2d）

【例1】成等差数列的四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求这四个数。

8.设数列｛%｝是等差数列，d为公差，S奇是奇数项的和,S偶是偶数项项的和，S“是前n项的和

①当项数为偶数2〃时，

cn(a.+a,)

2n〃(。2+。2")

s奇=4+4+%+…+%T=----k-=叫6+%+4+■,,+%,='2=叫用

S奇=na“_a“

s偶_§奇=na“+「叫=〃(4M)=/必