高考数学最经典必考50题详解

高考数学最经典必考50题详解

i.求下列函数的值域：

(1»=2疝(2》=cog+sinr

2+sinx

4

(1)解法1y=-1+-----,—IWsinxWl,/.lW2+sinrW3,

2+sinx

―-—W4,/.，WjW3,即函数的值域为［1,3］.

32+smx33

解法2由原式，得$取="侬，:|sinr|Wl,/.|"12|W1,即

1+y1+y

|2(1-^)|★|1+川.此不等式等价于4(1一了，W(1+3)2解之，：0W3.

⑵解法1丁cos2r=l-sin2x,^=-sm2x+sinx+l=—(smr——)2+

24

31119

'/一IWsinxWl,——Wsinx-—W-,0W(sinr-—>W—,

22224

即函数的值域为［-1,-］

9444

解法2令t=sin*,则/'(C)=—广+，+1,丁|sin*：W1,

1.问题转化为求关于£的二次函数八。在闭M间上的最值.

抛物线片式。的对称轴m=2气-1,1］又抛物线开口向下，故加x=；d)=2.

224

比较式-1方式1)的大小，得为出=一1.；.了弓［一1,-］.

4

本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数

在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思

想.善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是

实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简

单，一句话：由难化易.可见化归是转换的口的，而转换是实现化归段

手段。

2.设仃一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的

4

焦点处，当此慧星离地球相距〃7万千米和36万千米时，经过地球和

慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为'和（，求该慧星与地球的最近

距离。

解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点，'（y,o）处,椭圆的

.zi-i

方程为/京一（图见教材P132页例1）。

当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为?时，由椭圆的几何意义可

知，彗星A只能满足或"=y).作

19

0r于B贝I“河=一|/咧=二〃7

23

ca2

m=—(---c)

ac

故由椭㈱第：定义可知得£〃=£(/—C+2⑼

,3ac3

两式相减得

-m=--—ni,a=2c代入第一式得〃?--(4c-c)--

3a322

22

c=—ni.ac=­m.

33

2

答：彗星与地球的最近距离为］'〃万「米。

说明：(1)在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭恻，而恒

星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是

远地点，这两点到恒星的距离一个是4-。，另一个是Q+C

(2)以上给出的解答是建篁在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概

念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数

学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘吃含条件，有意识地训练数

学思维的品质。

3.A,B,C是我方三个炮兵阵地，A在B1E东6Km,C在B正北偏

西30°,相距4Km,P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某

种信号，由于B,C两地比A距P地远，因此4s后，B,C才同时发

现这一信号，此信号的传播速度为A若炮击P地,求炮击的

方位角。(图见优化设计教师用书P249例2)

解：如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为)，轴建迂坐标系，则

8(-3,0),43,0),。(-5,20)，因为阀=罔,所以点P在线段BC的垂直平

分线上。

因为〃比=一仃，BC中点〃(-4,右)，所以直线PD的方程为

y-43=《(x+4)

(1)

又|/科-/叫=4故P在以A,B为焦点的双曲线右支上。设〃&J),则

X*y2

双曲线方程为7-t-=1(xN°)

(2)o联立(1)(2),得丫=8/=5力，

所以〃(8,56).因此⑥4=占尚=6，故炮击的方位角北偏东30°

X-3

说明：本题的关键是确定P点的位置,另外还要求学生掌握方位角的基

本概念。

4.河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一

小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，间水面上

涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行?

解：建立平面直角坐标系，设拱桥型抛物线方程为』=-2/小(p>0)o

将B(4,-5)代入得P=1.6

,•v2=-3.2y船两侧与抛物线接触时不能通过

2

则A(2,yA),由2=-3.2yA得y,、=-1.25

因为船露出水面的部分高0.75米

所以h=IyA|+0.75=2米

答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行

|思维点拔|注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决

实际问题的技巧。.

5.如图所示，直线/，和相交于点M,乙JL/2,点Ne;以A、B

为端点的曲线段C上任一点到八的距离与到点N的距离相等。若

A4MN为锐角三角形，|4W|=JIV,14Vl=3,EL|Nq=6,建立适当的

坐标系，求曲线段C的方程。

解：以直线4为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建⑦直角坐标

系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以/?为准线的抛物线的

一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。

设曲线段C的方程为好=2PMp>0)(%<x<xl),y>0),其中

打,/为A、B的横坐标，"=所以例(一3°)”(多°),由

HM=Vi7j4N|=3,得(以+92+2夕以=17

(1)(必-§)、2,乙=9

_4.

(2),(1)(2)联汇解得孙=p,代入(I)式，并由〃>°

P=4jp=2p

解得产］工=2,因为A4MV为锐角三角形，所以5>工"

p=2fp=4

故舍去卜=2,所以自=1

p

由点B在曲线段C上，得人二|8Vl-5=4,综上，曲线段c的方

程为=8x(14x44)>0)

I思维点拔］本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数

法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。

6.设抛物线/=4ar(a>0)的焦点为A、以B(a+4,0)点为圆心，|AB

I为半径，在x轴上方画半圆,设抛物线与半圆相交与不同的两点M,

N。点P是MN的中点。

(1)求IAM|+|AN|的值

(2)是否存在实数a,恰使IAM||AP||AN|成等差数列？若存在，

求出a,不存在，说明理由。

解：⑴设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M',N'P.

IAMI+|ANI=IMM'|+|NN'|=xM+xt<+2a又圆方程

[x-(q+4)]2+y2=16

将V=4aY代入得x?-2(4-a)x+/+&/=0

•F+X,Y=2(4-o)得|AM|+|AN|=8

(2)假设存在a

因为IAMI+|AN|=|MM'I+|NN;|=2IPP'|

所以IAPI=IPP'I,P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛

盾。故a不存在。

7.抛物线/=2px(j)>0)上有两动点A,B及一个定点M,F为焦点，

若|41，河,|即|成等差数列

(1)求证线段AB的垂直平分线过定点Q

(2)若“I=4,|O@=6(O为坐标原点)，求抛物线的方程。

(3)对于(2)中的抛物线，求4AQB面积的最大值。

解：(1)设力(XQ)夙》2，必)河&),%),则\AF\=xi+f,

|^1=jr2+y,IM=xo+y,由题意得•%=土产，的中点

坐标可设为Go/),其中

1=*0(否则|"|=四川=忸*=〃=0),

k二.一必二必一必_二£__«

而即为一々J_&2_y2)一乂+“一/,故AB的垂直平分线

2pV127

为y—=：(x7。)，即心一七)一〃)+切=。，可知其过定点

氯/+2,0)

(2)由|MF|=4,|oa=6,得/+苧=4,/+"=6,联立解得

2

夕=4,%=2/.y=8xo

(3)直线AB：y-f=y(x-2),代入/.y2=8x得

/-2(y+2/2-16=0,

22

(y\-y2)=9+必)2-4必为=---=64-4/,

._/2

Ul-X)2=—(V1-J2)2

2lo

2i、

二?(16-/2)|第=J(X1-xJ+&-犷=•,,=2V(16+/?X16-/2)

=-V256-/4,又点.。)到AB的距离〃=•••=J16+—,

・'•S&3=Td=；J(256-〃)(16+〃)

=-V4096+256/2-16/4-/6

4

令”=4096+256/2-16〃-r,则〃，=5口/一64〃一6/，令M=0即

/2_16

512/-64/J-6/5=0,得/=0或t2=-16或'一7，

时&磔）=£石。

I思维点拔］设而不求法和韦达定律法是解决圆锥曲线中的两大基本方法,

必须熟练掌握，对定点问题和最值的处理也可由此细细的品味。

8、已知直线/：y=tan（x+2近）交椭圆/+9歹2=9于A、B两点,

若0为/的倾斜角，目|48|的长不小于短轴的长，求〃的取值范围。

解：将/的方程与椭圆方程联立，消去）•，得

（1+9tan，a）x2+36V5taifax+72tAaR9=0

2-VK6t6

/.\AB\-vl+tIa|rr2-x,|=V1+taafi------；—=------；—

(1+9t然力1+9t\a\

iJ3

\AB\>2,得tan?a---<tana^―

乃\J5;r)

**•a的取值范围是[°Nr[Ty7r)

I思维点拔I对于弦长公式一定要能热练掌握、灵活运用民。本题由于/的

方程由tana给出，所以可以认定。*三，否则涉及弦长计算时，还

71

要讨论”二万时的情况。

9、已知抛物线歹2二一工与直线V=做X+1）相交于A、B两点

(1)求证：OA±OB

(2)的面积等于加时，求女的值。

犷=-x

(1)证明：图见教材P127页，由方程组jy=〃(x+i)消去X后，

整理得方2+y—%=°。设力(修必),以出,必)，由韦达定理得

2

yty2=-1•••48在抛物线y=-x上，

2222

xx

「•必=一阳，»2=-x2,y,-y2=\i

kOA-kOB=^^=^^-=—^—=-},.\OAlOB

王々演・三yry2

⑵解：设直线与*轴交于N,又显然人工0，二令

y=0,贝卜=—L即N(—L0)

.•.S,g匪=S,m\；+5'曾就=3。可从|+：|＜刈|必|=；|°川］乂一必|

S2AB=；1.J(M+»21一4M必=gJ(»+4

&Q姐=而,，而=；+4,解得〃=

|思维点拔I本题考住了两直线垂直的充要条件，三角形的面积公式，函数

与方程的思想，以及分析问题、解决问题的能力。

10、在抛物线yMx上恒有两点关于直线y=kx+3对称，求k的取值范围。

R解》设B、C关于直线y=kx+3对称，直线BC方程为x=-ky+m代入y2=4x

得：

y'+4ky-4m=0,设B(x”yj、C(x2>y2),BC中点M(x0,y0)>则

2

y0=(yi+y2)/2=-2koXo=2k+m,

2—+2A+3

2

•・•点M(x0,y0)在直线上。.'.-2k(2k+m)+3,--------%-----又BC

与抛物线交于不同两点，・•・/I=16k、16m>0把m代入化简得

公+24+3八(2+1)(公一女+3)门

—y—(。即------%一

解得T<k<0

|思维点拔］对称问题要充分利用对称的性质特点。

11、已知椭圆的个焦点件(0,-241),对•应的准线方程为y=-9”，且

4

离心率e满足：2/3,e,4/3成等比数列。

(1)求椭圆方程；

(2)是否存在直线/,使/与椭圆交于不同的两点M、N,且线段MN

恰被直线x=-g平分。若存在，求/的倾斜角的范围：若不存在，请

说明理由。

K解》依题意©=丁

a295/2Jl2V2

(I)'：--C=~~242=~^,Xe=­/.a=3,c=2Vi,b=l,又E(0,

9>/2

-26),对应的准线方程为丫=-一］。.•.椭圆中心在原点，所求方程为：

(2)假设存在直线,,依题意/交椭圆所得弦肌被x=T平分一•.直线/的

斜率存在。设直线小»=履+机由y^kx^m

2y2

x+丁=1消去y,整理得

(d+9)x2+2kmx+m2-9=o

•・•直线/与椭圆交于不同的两点M、N.・・Z=4k2m2-4(kM)(m2-9)>0

即m2-k2-9<0

①

设M(xRyj、N(x2,y2)

x+x-km1k2+9

•-}---2=­：--=—•m=---

-2k2+92',,2k

②

把②代入①可解得：k>也或k<-6

(兀乃\/兀2乃、

・•・直线/倾斜角。丘丘司义万,丁,

|思维点拔|倾斜角的范国，实际上是求斜率的范围。

3x-y-6V0

12、设x,y满足约束条件>；»若目标函数z=ax+by(a>0,

23

b>0)的值是最大值为12,则1的最小值为()

258II

A.yB.3cTD.4

答案：A

解析：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当立线ax+by=z(a>0,

b>0)过11线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by

(a>0,b>0)取得最大12,即4a+6b=12,即2a+3b=6,而

23,23、2。+3力13力13.25,

~+7=+■-7-=T-+(~+T)^—+2=7'»故选A.

abaDobano6

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问

题.要求能准确地网出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数

23

的最值，对于形如已知2a+3b=6,求/+1的

最小值常用乘枳进而用基本不等式解

答.

13、本公司计划2008年在甲、乙两个

电视台做总时间不超过300分钟的广

告，广告总费用不超过9万元，甲、乙

电视台的广告收费标准分别为500元/分

钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视

台为该公司所做的每分钟广告，能给公

司事来的收益分别为0.3万兀和0.2

万元.问该公司如何分配在甲、乙两个

电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是万

元.

答案：70

解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和5分钟,

yW300,

・500x+200^^90000,

总收益为二元，由题意得

x20,y^O.

目标函数为z=3000x+2000y.

x+y<300,

<5x+2yW900,

二元一次不等式组等价于eo,y2o

作出二元一次不等式组所衣示的平面区域，即可行域.

如图：作直线/：3000x+2000y=0,即3x+2y=°.

平移直线，从图中可知，当直线过M点时，目标函数取得最大值.

x+y=300,

联近《5x+2y=9O0解得了=[00N=2c..点”的坐标为

(100,200).

/.zmax=3000X+2000y=700000(元)

点评：本题是线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出

各届之间的关系，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，通过数

形结合解答问题.用线性规划的方法解决实际问题能提高学生分析问题、

解决问题的能力，随着课改的深入，这类试题应该是高考的热点题型之

14、设〃为实数，函数/(x)=2f+(x-a)|x-a|.

(1)若求■的取值范围：

⑵求/（X）的最小值：

（3）设函数〃（》）二/（X）,X€（d+8）,巨按写小（不需给出演算步骤）不

等式力（幻21的解集.

（a<0

解析：⑴若/（0）之1,则臼小1=［匕］=。4!

当x>a时

[f{aa>a1a>

当x<a时

,一、f(-aa之a2a>

/(x)=k+2ax—=1〃、/C=L2A

J\'5/(«),«<02a2,a<6,

-2a2,a>0

综上小篇=

(3)工£(。,+0°)时，〃(工)之1得3/一20<+42-120,

A=4a2-12(tr-l)=12-8t72

当但孚如冷时,A<0,XG(a,+oo).

讨论得：当aw殍.当）时，解集为3内）：

当即（-冬-冬时，解集为⑷伫与丁4增运2;

当邛当时，解集为［"年互二）.

点评：本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等

基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分

析与解决问题的综合能力.

15、知函数/。）=5亡+/-2.

（I）设｛风｝是正数组成的数列，前〃项和为S”，其中q=3.若点

（%，。；+1-24出）（11£1^）在函数R=/*）的图象上，求证：点（〃，$”）

也在y=/（x）的图象上：

（II）求函数/（X）在区间（a-l,a）内的极值.

解析：（I）证明；因为/3=；/+/-2,所以/'（x）=/+2x,

由点m“，C+i—2aT）（〃wN+）在函数y=f'M的图象

匕=a；+2a”

(4+i+4X/—4)=2(a”+/),又4＞。(〃eN+),

所以。“+1一%=2,{%}是q=3,4=2的等差数列，

所以\=3〃+%»x2千2+方，乂因为/(〃)=/+2〃，所以s.=八〃),

故点5，S〃)也在函数y=/*)的图象上.

(H)解:/'(X)=K+2X=MX+2),令/'(X)=0,得X=0或X=-2.

当x变化时，/'(X)、"X)的变化情况如下表:

X(-8,2)-2(-2,0)

f(x)+0—

r(x)/极大值

注意到|(。一1)一。|=1<2,从而

」2

①当&_]<_2s即-l<a<对/仅由极大值为f(-2)=y,此时小)无极

小值；

②当4-l<0<a*P0<a<耐/(x)的极小值为/(0)=-2,此时/(x)无极大

值；

③当a4-2或-130曲之1时/(x)既无极大值又无极小值.

点评：本小题主要考直函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整

合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.

16、设.若是3"与3”的等比中项，则L』的最小值为

ao

()

A.8B.4C.1D.1

4

答案：B

解析：因为3"・3'=3,所以Q+/>=1,:+；=g+6)d+%=2+g+?

N2+2泛=4,当且仅当"4即a=〃=；时"=”成立，故选择B.

\anah2

点评：本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运

用，考查了变通能力.

17、设数列｛4｝满足4=0，%=财+1-c,ce其中。为实数.

(I)证明：an£[°，1]对任意”eN•成汇的充分必要条件是C£[°，1]；

(H)设证明：q,Nl-(3c)"T,〃eN*：

12

(HI)设。<c<：7,证明：«f+a；+•••«；+

J1~~«^v>

解析：⑴必要性：7^=0,/.a2=1-<7,又

・・・%w[OJ,・・・OG-cG,即ce[O」L

充分性：设cw[°，l],对〃eN*用数学力纳法证明q

当H=1时，q=。£[0,1],假设/£[0,1]伏21)

则4+i=ca；+l-cWc+l-c=l,且

。八1=caj+1-c>1-c=>0

9

・•・4句£血1],由数学归纳法知an£【°J对所有〃£N*成立.

(2)设o<c<；,当"=1时，q=0,结论成立.

当时，

=4=ca：i+1-c,「・1一%=贝一a,-XI+)9

由(1)知q-VO,,所以l+qi+a"W3且

1-%NO,

，1一4“V36b〃_1

9

2

・•・1-4«3c(1-的)<(3C)(1-^,2)<-.<(次严…)=(3C)〃

・・・4Nl-(3c)"T(〃eN,)

2

(3)设Ove、，当〃=1时，^=<>>2--^,结论成立,

JI"""«?v

当〃N2时，由⑵知2-1一(3。)"1>0

・•・a：>(1一(3°产)2=1-2(3c)”“+(3c严f>1-2(3c)i

a；4-47；H-----1-a：=q；4----\-a1>n-\-2[3c+(3c)2H-----F(3c)rt-1]

点评：该题综合考直/等比数列的求和、不等式的性质的应用、充分必

要条件和数学归纳法等,具有较高的难度，对逻辑推理能力的考查要求

较高.

18、将微子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概

率为（）

解析：做子连续抛掷三次得到的数列共有63个，其中为等差数列有三类:

（1）公差为0的仃6个：（2）公差为1或7的有8个；（3）公差

为2或-2的有4个，共有18个，成等差数列的概率为普V，选B.

612

点评：本题是以数列和概率的背景出现，题型新颖而别开生面，有采取

分类讨论，分类时要做到不遗漏，不重复.

19、等差数列｛仇｝和｛6｝的前〃项和分别用S”和7；表示，若争=羔,

则忤的值为（）

4〃—28/7—36M—36/7—2

A3w+lB6〃+20加+2D8〃+3

答案：A

解析：,:S?”l（2〃—1）勺+yL=（2〃-眄：也.

・q一4（2〃-1）/一4二4"2

.."Ft3（2n-i）+56rt+23«+1,

点评：考查等差数列的前n项和的变形。

20>已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列,x,c,d,y成等比数列,

则誓入最小值是--------

答案：4

解析.••・・包埋=3》但五

=4・

cdxy

点评：考查等差等比数列的基本知识，均值不等式。

2］、命题6实数,,满足/—40¥+3/〈0,其中4<0,命题（7：实数工

满足一一工一640或X2+2X-8>0,且W是一>9的必要不充分条

件，求°的取值范围.

解析：设力={x|/-4<jx+3a2<0(«<0)|={x|3a<x<a},

8=卜|/-x-6<0i'Vx:+2x-8>0j=1x|x:-x-6<O}kJ{x|x:+2x-8>0}

={X|-2<X<3}<J{X|X<-4必>2}={x|x<-4必2-2)

因为「P是「q的必要不充分条件，所以「q=「p,且「P推不

出f7

jfijCRB={XI-4x<-2},CRA=[x\x^3a,»Jcv>a]

所以"1一<一2}0315必2〃},则{：；;或仁：

2

即或ai.

点评：考查逻辑用语，一元二次方程及其含参数的解集。

22、已知二次函数/(x)的二次项系数为a,且不等式f(x)>-2x的解

集为(1,3).

(1)若方程/(x)+M=O行两个相等的根，求/(用的解析式：

(2)若/G)的最大值为正数，求a的取值范围.

解析：(I)因为/(分殊的解集为(1,3),所以

/(x)+2x=a(x-lXx-3)且"0.

因而f(x)-a(x-\)(x-3)-2x=ax2-(2+4a)x+3a(1)

由方程/(x)+6a=°得：a/一(2+4a)x+9a=0(2)

因为方程(2)有两个相等的根.

所以A=[-(2+4a)]2-4^9a=0,up5a2-4a-]=0.

解得：a=\(舍去)或。==，

1人、1,63

将。=-1代入(I)得/(x)的解析式为：/(幻=一,厂一

/・/、2.1+2。、，+4/7+1

(2)f(x)=ax_2(l+2a)x+3a=，(K---------y--------------,

aa

彳ja<0,可得/,")的最大值为，、了,

”,、，a2+4«+1「

所以-------->0,且a<0.

a

解得：av-2-6或-2+6va<0,

故当/(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是

(-CO,-2->/3)U(-2+^,0).

点评：含参数的未知一元二次方程，求函数表达式以及参数的取值范程。

计算最比较大，且要求对一元二次函数的知识熟练O

23、己知数列上｝中，s,是其前”项和，并且*”=4q+2(〃=1,2」,・)冯=1,

⑴设数列3=%+i-2%(〃=1,2,...),求证：数列用是等比数列；

⑵设数列c.喙，(〃=L2,……),求证：数列上｝是等差数列：

⑶求数列｛q｝的通项公式及前”项和。

分析：由于｛b“｝和｛c“｝中的项都和伯〃｝中的项有关，｛a｝中又有

S”“=4a”+2,可由S”.2-S”.i作切入点探索解题的途径.

解：⑴由S“-1=4a+2,S”+2=4a”.i+2,两式相减，得S>2-S"+i=4(a>La”),

即a”+2=4a”“-4a”.(根据b的构造,如何把该式表示成bz与b”的关

系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)

a”+2-2a=2(aM+I-2a”)，又b”=a”.i-2a”，尸力以b”.i=2b”①

己知S2=4ai+2,a1=l,ai+a2=4a1+2,解得a2=5,bi=fl2-2ai=3②

由①和②得，数列｛b.｝是首项为3,公比为2的等比数列，故b,=3・2'i.

(2)因为7=£(#N)，所以%+1-7=瑞喙=①全导=务

3♦3

2n+14•

又分=§•=，故数列是首项为，公差是I的等差数列，

乙乙乙

31

Cn=4n-4,

(3)因为%=£,又％=所以#=,-；，a〃=(3n-l)

♦2n-2.

当n22时，S,=4a.,+2=2'(3n-4)+2：为n=l时，S=a=1也适合」:式.

综上可知，所求的求和公式为S.=2一(3n-4)+2.

说明：1.本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，

等比数列，求数列通项与前〃项和。解决本题的关键在于由条件鼠,=4亿+2

得出递推公式。

2.解综合题要总揽全局，尤火要注意上问的结论可作为下面论证的已

知条件，在后面求解的过程中适时应用.

24、设实数〃工0,数列e｝是首项为4,公比为一。的等比数列，记

d=4lg14I("wN"),S“=々+%+…+，

求证：当"T时，对任意自然数”都有邑=黑^+(-1产。+〃+，⑼

l1

解：a“=qg==a(-ar=(-1)-a"o

:匕=%1g|aj=(-ir"1g|(-1广"|=(-ir'm-lg|a|

，S„=a\g\a\-2a2\g\a\+3ay1g|a|+•••+(-!)":(n-l)a^'lg|a|"Ig|a|

=[a-2a2+313+...+(-l)^2(〃_1+㈠尸砌1g⑷

记S=a-2<?+初3+...+(_])"-2(〃_])“2+(_[)，，-%/①

仆="-为3+…+(_]产(〃_2)/」+(_[)"?(“_])/+(-1)"1//«"-'(g)

①+②得U+a)s=a-a?+/+•••+(-1)"%"1+(-l)n2a"+(-!)"③

。-1,二(1+a)S=+("l)"'w./

1-(1-r7)

c«+(-!)"'a"-'+(l+a).(-l)-'-n-

:.、--------------------------；-----------------

(l+0>

*_a+(l+〃+〃0卜(一1)"++〃+

(l+a)2(1+“

:.s.=+(7)""(1+"+na)aa\

说明：本例主要复习利用错位相减解决差比数列的求和问题。关键是先

研究通项，确定-｝是等差数列，也｝等比数列。

25、设正数数列｛a｝为-一等比数列，H.a,=4,a.=16.

求limlgan+i+lgan+2+…+lga-

卜n—oo口

解设数列｛aJ的公比为q,显然q/1,包=/=4,由于、〉0,

a2

nWN,故q=2.于是ai=.=2,故/=a]♦q"」=2乳.因此

q

lgan+i+lga»2+…+lga2n1g2n+2+坨产-+…+怆2超

n

[(n+1)+(n+2)+-+2n]

m------------------5-----------------Ig2

n

f3n2+(3n+n)♦=3

原式=hm2・1g2=lg2•hm---------------p1i—=-lg2.

…12n25…2n2•工2

n2

说明：这是2000年全国高考上海试题，涉及对数、数列、极限的综合题,

主要考住等比数列的定义及通项公式，等差数列前n项和公式，对数计

算，求数列极限等基础知识，以及综合运用数学知识的能力.

26、(2004年北京春季高考20)下表给出一个“等差数阵”:

47()()()••••••••••••

712()()()•.......••••••

()()()()()••••••.........

()()()()()........••••••

••••••••••••••••••.......•...............••••••••••••

%%••••••■g••••••

••••••.......••••••••••••••••••

•………

其中每行、每列都是等差数列，、表示位于第i行第j列的数。

（I）写出％，的值；（II）写出的计算公式：

（III）证明：正整数N在该等差数列阵中的充要条件是2N+1可以分解

成两个不是1的正整数之积。

分析：本小题主要考件等差数列、充要条件等基本知识，考宣逻辑思维

能力、分析问题和解决问题的能力。

解：（D

（II）该等差数阵的第一行是首项为4,公差为3的等差数列：

令/T

第二行是首项为7,公差为5的等差数列：

第/•行是首项为4通T）,公差为2+1的等差数列，因此

（HD必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i,j使得八知田明

从而

即正整数2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积。

充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2N+1是奇

数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数匕/,使得

从而八

可见N在该等差数阵中。

综上所述，正整数、在该等差数阵中的充要条件是2\+1可以分解成两个

不是1的正整数之枳。

27、已知点的序列4L*,o）JeN,其中々=o,4=以（。>°）,A?是

线钱AA的中点，”是线段A屈的中点，…，A,是线段4-4-1的中点，…。

<1）写出勺与X*-】、勺-2之间的关系式（&23）

（II）设%=演+1一%，计算的，a2,西，由此推测数列（*｝的通项公式.

并加以证明。

X_X*-l+X*-2

（I）解：当n23时，*2

（II）解:勺=叼一再=a

x1,、1

2=-^2-x1）=--a

X3+X211]1

……丁-x3=一/-6-5（-V）=铲

（€的

由此推测。an

%+%

即=X.+]-X*

证法一：因为为=&>0

且2.

*】一/1z、1

一！-=一科・一％）=/“】32）所以%=£）二

证法二：（用数学（H纳法证明：）

（i）当时,公式成立,

（ii）假设节时，公式成立，即2成立。

%+&1/、

,1aJt+l=ZJU2~XM~Z=-zl）

那么当*=上+】时，22

（1

——

I2屋仍成立.

根据（i）与（ii）可知，对任意公式成立

评注：本小题主要考查中点坐标公式、等比数列等基本知识，考查运算能力和逻

辑思维能力。

28、（94年全国理）设｛4｝是正数组成的数列，其前〃项和为S.,并且对所有自

然数","与2的等差中项等于S.与2的等比中项.

（I）写出数列｛4｝的前三项：（2）求数列｛4｝的通项公式（写出推证过程）：

⑶令丽2\a&*l,（〃£N）,求：/甘如…+"-〃.

%+2

解：（1）由题意2=师&>0

a1+2

令ff=l时，2=#7Si=a：解得at=2

a：+2

令/尸2时有2师—解得6

&3+2

令〃3时有2网s・aja,+a,解得4.10

故该数列的前三项为2、6,10.

(2)解法一:由⑴猜想数列｛a,J有通项公式&-4疗2,下面用数学归纳法证明数

列｛a,J的通项公式是a,4/72(〃GN)

r当"1时，因为4X12=2,又在(1)中已求得国二2,所以上述结论正确.

20假设折k时，结论iE确，即有国4k-2

9=后

由题意有2得冰侏2,代入上式得2k后，解得52k

由题意有2后:工“=1+及”得，2k2代入得I2J2(4+210

整理a2k.「4a“+4-16k0由于&,>0,解得：a“=2+4k

所以国.；2+4k4(k+l)-2

这就是说炉k+1时，上述结论成立.

根据1。，2°上述结论对所有自然数〃成立.

解法二：由题意有，老师(〃£N)整理得，[4-2)

£

由此得S*&(%计2),所以5=Sz-S,=8[(4「2)z(%-2)口

整理得(名「4)4)()由题意知我.+4*0,所以分「a.4

即数列⑷为等差数列，其中&=2,公差等4,

所以"纳+("I)"2-4("1)即通项公式44/r2.

⑶令c,b.1,

1f^±L_^__'i2TM2]-1—1

a+2

则C,r2In、+1人2L（2n-l）l2n+lj」=2n-l2n+l

〃G+C+・・・+G

1=1-1

1-弁（沁卜…十12n-l2n+l2n+l

说明：该题的解题思路是从所给条件出发，通过观察、试验、分析、归纳、概括、

猜想出一般规律，然后再对归纳、猜想的结论进行证明.对于含自然数〃的命题，

可以考虑用数学归纳法进行证明，该题着重考查了归纳、概括和数学变换的能力.

29、（江苏18）如图，在平面直角坐标系◎中，M、N分别是椭圆7*2=1

的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，

过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC,并延长交椭圆于点B,设直线

M的斜率为k

（1）当直线PA平分线段MN,求k的值；

（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；

（3）对任意k>0,求证：FA±PB

本小题主要考查椭圆的标准方程及几何性质、直线方程、直线的垂直关

系、点到直线的距离等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，

满分16分.

解：（1）由题设知，"=2》二J5,故"（一20）,"（0,—应）,所以线段

MN中点的坐标为"争,由于直线

线段MN,故直线PA

V2

k工农

过线段MN的中点，又直线PA过坐标原点，所以-12

y=2x代入椭圆方程得=+==L

（2）直线PA的方程42

27424

x=土三，因此〃(q，三)，力(一W，-

解得33333

C(|,o),

于是I直线AC的斜率为

0+4

2

_3_=1,故II线48的方程为x-y=0.

22

-+-

33

(3)解法一:

将直线PA的方程代入

?+—=1,解得x=±/一、，记〃/2,

42J+