福建省尤溪县2022年数学高一年级上册期末统考试题含解析

2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，

请将正确答案涂在答题卡上.)

1.已知一个水平放置的平面四边形的直观图是边长为1的正方形，则原图形的周长为()

A.6B.8

C.2+30D.2+2V3

2.已知实数X,y满足f+y2=2,那么到的最大值为。

11

A.-B.—

42

C.1D.2

3.已知人幻、g(x)均为LL3］上连续不断的曲线，根据下表能判断方程.*x)=g(x)有实数解的区间是()

X-10123

f(x)-06773.0115.4325.9807.651

g(x)-0.5303.4514.8905.2416.892

A.(-1,0)B.(l,2)

C.(0,1)D.(2,3)

4.函数=的大致图像为。

5.设。=ln3,〃=3；，。=怆；’则b，c的大小关系为()

N.a<b<cB.h<c<a

C.c<a<hD.c<b<a

6,若函数/(幻=———(2+a)x+l是偶函数，则的单调递增区间为()

A.(f,O]B.[0,+oo)

C.(-oo,+oo)D.[l,+oo)

7.已知向量M=(2,1),6=(1,A),且汗与石的夹角为锐角，则左的取值范围是

A.(-2,+oo)B.(-2,g)kJ(g,+oo)

C.(—oo,—2)D.(—2,2)

8.直线/：JIx—y+3=0的倾斜角a为

A.30°B.60

C.120。D.150。

9.已知圆G:》2+；/一26兀一4丁+6=()和圆。2：苫2+：/-6y=(),则两圆的位置关系为

A.内含B.内切

C.相交D.外切

兀711+sinB

10.设ae(0,式),/?e(0,-),且tana=——，则

22cos/?

A.3<7—尸=53a+£=5

nn

C.2a—/?=—D.2a+/?=~

11.下列各选项中的两个函数的图象关于y轴对称的是()

A・y=10"与y=10'B.y=3，与y=-3'

C.y=2"与y=—2'D.y=e'与y=Inx

x

12.函数y=(x-10)/g记的最小值为()

A.-10B.-1

c.o

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13.大西洋酷鱼每年都要逆流而上游回产地产卵，研究鱼的科学家发现大西洋鞋鱼的游速v(单位：m/s)可以表示

为丫=j1。83曳，其中M表示鱼的耗氧量的单位数.当一条大西洋鞋鱼的耗氧量的单位数是其静止时耗氧量的单位

23100

数的9倍时，它的游速是m/s

14.已知圆锥的表面积为。，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的体积是

p

15.函数六幻=ioga(2x-3),(a〉0直aHiy的图象恒过定点＞则尸点的坐标是---•

16.在平面直角坐标系xOy中，点〃(/，九)在单位圆O上，设ZJCOP=a,且。《.，彳).若cos(a+?)=-±,

则/的值为.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

17.已知函数/(x)=--2x+2在闭区间+(fwR)上的最小值为g(t)

(1)求gQ)的函数表达式；

(2)画出g⑺的简图，并写出g(f)的最小值

18.有三个条件：®/(x+l)=/(x)+2x-l;②/(x+l)=/(l-x)且/(0)=3；③f(x)最小值为2且/(0)=3.

从这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数/(x)满足,/(1)=2.

(1)求/(幻的解析式；

(2)设函数g(x)=/(x),XG[-1,4],求g(x)的值域.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

19.已知圆C过三个点M(L0),N(3,2),R(5,0).

(1)求圆C的方程；

(2)过原点。的动直线/与圆。相交于不同的A6两点，求线段A8的中点M的轨迹.

20.如图，在棱长都相等的正三棱柱4BC-4WC1中，D,E分别为A4,8c的中点.

---------------^14

(1)求证：OE//平面4BC；

（2）求证：5iC_L平面BDE.

21.已知/（x）=2sin（2x-?J

（1）求函数/（x）的单调递增区间与对称轴方程；

jr

（2）当xe0,-时，求“X）的最大值与最小值

22.已知圆C经过点M（—2,0）,N（0,2）两点，且圆心在直线x-y=（）上

（1）求圆C的方程；

（2）已知人是过点（（），1）且互相垂直的两条直线，且6与C交于4,B两点，乙与C交于尸、。两点，求四边形

AP80面积的最大值

参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的,

请将正确答案涂在答题卡上.）

1、B

【解析】由斜二测画法的规则，把直观图还原为原平面图形，再求原图形的周长

【详解】解：由斜二测画法的规则知，与X'轴平行的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变，

正方形的对角线在）"轴上，

可求得其长度为0,所以在平面图中其在，'轴上，且其长度变为原来2倍,是2垃，

其原来的图形如图所示；

所以原图形的周长是：2(OA+AS)=2x(1+J(2扬2+))=8

故选：B

【点睛】本题考查了平面图形的直观图应用问题，能够快速的在直观图和原图之间进行转化，是解题的关键，属于中

档题

2、C

【解析】根据重要不等式/+丁z2孙即可求最值，注意等号成立条件.

【详解】由/+^=222孙，可得当且仅当x=y=l或x=y=-l时等号成立.

故选：C.

3、C

【解析】设/心)可㈤-g(x),利用MO)MO)-g(0)=-0.44<0,-g(l)=0.542>0,即可得出结论.

【详解】设〃(x)寸x)-g(x),贝！JMO)40)-g(0)=-0.44<0,〃(1尸八1)-g(l)=().542>(),

.♦.Mx)的零点在区间(0，1),

故选：C.

【点睛】思路点睛：该题考查的是有关零点存在性定理的应用问题，解题思路如下：

(1)先构造函数h(x)=J(x)-g(x)；

(2)利用题中所给的有关函数值，得至！JM0)=-0.44<0,/»(1)=0.542>0；

(3)利用零点存在性定理，得到结果.

4、D

【解析】分析函数/(x)的定义域、奇偶性，以及/(0)的值，结合排除法可得出合适的选项.

【详解】对任意的xeR,4'+1>0,则函数/(x)的定义域为R,排除C选项；

…、1x1"、\-x\\x\“\

/(%)=―——,/(-X)=―-—■—=———=f(x]>

v72"+2、、)2-X+2X2T+2、v7

所以，函数/(X)为偶函数，排除B选项，

因为/(())=()，排除A选项.

故选：D.

5、D

【解析】根据指数函数和对数函数的单调性，再结合0,1两个中间量即可求得答案.

【详解】因为a=ln3>lne=l,0<b=3~^<3°=1，c=lgg<lgl=O,所以c<b<a.

故选：D.

6、B

【解析】利用函数f(x)是偶函数，可得/(-x)=/(x),解出a.再利用二次函数的单调性即可得出单调区间

【详解】解：••・函数f(x)是偶函数，

•.f(-x)=/(X),

-ax2-(2+a)x+1=-ax2+(2+a)x+l,

化为(2+a)x=0,

对于任意实数x恒成立，

.,.2+67=0>

解得a=-2；

f(x)=2x2+1,

利用二次函数的单调性，

可得其单调递增区间为［0,+8)

故选：B

【点睛】本题考查函数的奇偶性和对称性的应用，熟练掌握函数的奇偶性和二次函数的单调性是解题的关键.

7,B

【解析】因为汗与5夹角为锐角，所以COS<1,5>>0,且4与5不共线，由cos«,B)=ab2+k八口,

—TTi=7/-------->0且工1

司b石ji+公

得，k>一2且kN，,故选B

2

考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，向量夹角公式

点评：基础题，由夹角为锐角，可得到k得到不等式，应注意夹角为0。时，夹角的余弦值也大于0.

8、B

【解析】设直线J^x-y+3=0的倾斜角为0

由直线GX-y+3=o化为y=Gx+3,

tan0=y/3，

V0G[O,TT),.,.0=60°

故选B

9,B

【解析】由于圆£一2Gx—4y+6=(),即(X-A/3)2+(y-2)2=1,

表示以G（K，2）为圆心，半径等于1的圆

圆。2：一+旷2-6y=0,即f+（y—3）2=9,表示以。2（0,3）为圆心，半径等于3的圆

由于两圆的圆心距等于向1=2,等于半径之差，故两个圆内切

故选B

10、C

sin6z1+sinZ?.八.八

【解析】由已知得，tano=----=.....—,去分母得，sincos/?=cos+cossin/?,所以

cosacosp

兀

sinacosp-cosasin/?=cosa.sin（a-/?）=cosa=sin（--a）,又因为一,<a一/<5,

0<--a<-,所以a-£=2-a,即2a—£=工，选C

2222

考点：同角间的三角函数关系，两角和与差的正弦公式

11>A

【解析】根据题意，逐一分析各选项中两个函数的对称性，再判断作答.

【详解】对于A,点（%,为）是函数y=10'图象上任意一点，显然（―%,为）在y=io-'的图象上，

而点（公，%）与（一玉），%）关于y轴对称，则y=10'与y=1。7的图象关于y轴对称，A正确；

对于B,点（%,%）是函数y=3'图象上任意一点，显然（一%,-%）在>=一3-*的图象上，

而点（公，%）与（-%，一%）关于原点对称，则y=3'与〉=-3一'的图象关于原点对称，B不正确；

对于c,点（玉），%）是函数y=2’图象上任意一点，显然（%,-%）在y=-2'的图象上，

而点（当，％）与（/，-%）关于X轴对称，则y=2'与y=-2'的图象关于X轴对称，C不正确；

对于D,点（%,%）是函数y=e-'图象上任意一点，显然（%,/）在y=lnx的图象上，

而点（%，%）与（%，与）关于直线y=x对称，则丫=已,与y=lnx的图象关于直线片X对称，D不正确.

故选：A

12、C

【解析】利用对数函数单调性得出函数在x=l（）时取得最小值

x

【详解】y=（x-10）lg—=（x-10）（lgx-lglO）,

因为.y=lgx是增函数，因此当0<x<10时，lgx<lgio,（x-10）（lgjr-lgl0）>0,

当x>10时，lgx>lglO,(x-10)(lg%-lgl0)>0,

而x=10时，y=0,

所以x=1()时，yn)in=0

故选：c

二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.)

13、1

【解析】设大西洋鞋鱼静止时的耗氧量为计算出的值，再将M=9M°代入u=(log3击，即可得解.

1

【详解】设大西洋鞋鱼静止时的耗氧量为M。，则;1°g3温M=。，可得/。=100,

将A/=9M0=900代入u=；log3'j^可得u=；log39=l(m/s).

故答案为：1.

【解析】设圆锥母线长为R,底面圆半径长八，

••,侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为H，半圆弧长为2〃厂

TTR=2兀r，R=2r

表面积是侧面积与底面积的和

S表=g兀片+兀户-3nr2-a

.•，=后，则圆锥的底面直径2r=2后

・•,圆锥的高〃=J/?2一/=心

V=工兀户h=L兀户拒r=

339兀

点睛：本题主要考查了棱柱，棱锥，棱台的侧面积和表面积的知识点.首先，设圆锥母线长为R,底面圆半径长厂,

然后根据侧面展开图，分析出母线与半径的关系，然后求解其底面体积即可

15、(2,0)

【解析】令2“3=1,解得X=2,且胃2)=log.1=0恒成立，所以函数的图象恒过定点p(2,0)；故填(2,0丁

16版

10

Ti、n

【解析】由题意，XQ=cosa,coscr=cos[(«+—)——]=cosa+--cos—+sin(z+—sin—,只需求出

44

即可.

TC

【详解】由题意，&)=cosa,因为aw,所以a+7e

4'4

万、3

sina+—=JI—cos2(a+—)=—»所以cosa=cos[(e+—)—]=

I4八4544

(，吟兀、.(7v\,n4夜3夜V2

cosa+--cos—+sina+—sm—=——x——+-x——=-----

I4)4<4；4525210

故答案为：—也

10

【点睛】本题考查三角恒等变换中的给值求值问题，涉及到三角函数的定义及配角的方法，考查学生的运算求解能力，

是一道中档题.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。)

t2+l,z<0,

17、(1)^(0='1,0</<1,(2)见解析

t~—2f+2,f>1.

【解析】【试题分析】(1)由于函数F(%)的对称轴为x=l且开口向上，所以按「+1。/<1<，+1,。1三类，讨论函数

的最小值g(f).(2)由(1)将分段函数g(。的图象画出，由图象可判断出函数g(f)的最小值.

【试题解析】

(1)依题意知，函数/(x)是开口向上的抛物线，

卜—2

•••函数”X)有最小值，且当x=-五=一万=1时，/(%n=l

下面分情况讨论函数/(x)在闭区间上J+l](reR)上的取值情况：

①当闭区间[/J+l]u(-8[)，即2<0时，"X)在x=r+l处取到最小值，

此时8«)=(，+1)2_2(，+1)+2=j+1；

②当leRr+l],即0WY1时，“X)在％=1处取到最小值，此时g(r)=l；

③当闭区间&J+l]u(l,+oo),即r>l时，/(力在兀=，处取到最小值，

此时g(r)=『-2t+2

r2+l,r<0,

综上，g(。的函数表达式为gQ)=<l,O<f<l,

t~一2f+2,t>1.

(2)由(1)可知，g(f)为分段函数，作出其图象如图:

由图像可知g(r)而n=1

【点睛】本题主要考查二次函数在动区间上的最值问题，考查分类讨论的数学思想，考查数形结合的数学思想方法.

由于二次函数的解析式是知道的，即开口方向和对称轴都知道，而题目给定定义域是含有参数的动区间，故需要对区

间和对称轴对比进行分类讨论函数的最值.

18、(1)/(x)=x2-2x+3；(2)[2,11].

【解析】(1)若选择①，设/(犬)=依2+笈+c3/0),代入，根据恒等式的思想可求得a,〃,c,得到f(x)的解析式；

若选择②，设/(%)=依2+笈+以。*0),由/(0)=3,得c=3,由/(x+D=)(l-x),,得出二次函数的对称轴x=L

即2=1,再代入，解之可得/(x)的解析式；

2a

若选择③，设/(幻=加+区+c(a/O),由/(0)=3,得c=3,又恒成立，又/⑴=2,得出二次函数的

对称轴x=l,解之即可；

(2)由(1)知/(x)=f-2x+3,根据二次函数的对称轴分析出g(x)[-1,4]上的单调性，可求得g(x)的值域.

【详解】解：(1)若选择①，设/.。)=，a2+版+々。/0),贝!!

/(x+l)=a(x+l)2+b(x+\)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c,

又因为/(%+1)=/(x)+2%—1,即ax2+(2a+b)x+a+b+c=ax2+(b+2)x+c-l,

2a+b=b+2

解得。=l/=-2;,又=所以a+b+c=2,解得c=3,所以/*)的解析式为

a+/?+c=c-l

/(x)=x2-2x+3；

若选择②，设f(x)=g?+bx+c(aw0),由/(。)=3,得。=3,

又/u+1)=/a-%),,所以二次函数的对称轴x=1,即2=1,

2a

又/(1)=2,所以。+/?+9=2,解得。=1,。=一2;

所以/(x)的解析式为/(x)=V-2x+3；

若选择③，设/(幻=加+法+c(aH0),由/(0)=3,得c=3,又/(x)N2恒成立，又/⑴=2,所以二次函数的

对称轴x=1,即2=1,且a+人+c=2,解得a=1,Z>=-2;

la

2

所以fM的解析式为f(x)=x-2x+3t

⑵由(1)知/(x)=V-2x+3,所以g(x)=V-2x+3,因为对称轴工=1,所以g(x)在［—1,1］上单调递减，在［1,4］

上单调递增，g(x)皿=g(4)=11,g(%)^=^(1)=2,

故g(x)在［-1,4］上的值域为［2/1］.

【点睛】方法点睛：求函数解析式的方法：

换元法：已知复合函数/［g(x)］的解析式，求原函数“X)的解析式，把g(x)看成一个整体f,进行换元，从而

求出/(X)的方法，注意所换元的定义域的变化.

二.配凑法：使用配凑法时，一定要注意函数的定义域的变化，否则容易出错.

三.待定系数法：己知函数解析式的类型，可设其解析式的形式，根据己知条件建立关于待定系数的方程，从而求出

函数解析式的方法.

四.消去法(方程组法)：方程组法求解析式的关键是根据己知方程中式子的特点，构造另一个方程.

五.特殊值法：根据抽象函数的解析式的特征，进行对变量赋特殊值.

19、(1)(x-3/+y2=4

3a5

(2)(x—)~+y-=—,<x<3)

243

【解析】(1)设圆C的方程为/+丫2+.+力，+尸=0,列出方程组，求得尸的值，即可求得圆C的方程；

(2)根据题意得到CM_LQ0,得出M在以。。为直径的圆上，得到以OC为直径的圆的方程，再联立两圆的方程

组，求得交点坐标，即可得到点M的轨迹方程.

【小问1详解】

解：设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),

因为圆C过三个点M(l,0),N(3,2),R(5,0),

\+D+F=Q

可得(9+4+3O+2E+F=0,解得£>=-6,E=0,E=5,

25+5O+F=0

所以圆C的方程为V+3一6%+5=O,即以-3)2+>2=4.

【小问2详解】

解：因为M为线段的中点，且所以M在以OC为直径的圆上,

3Q

以℃为直径的圆的方程为“一利+丁=“

(x-3)2+y2=455

x=—x=一

33

联立方程组《或*

3丫29,解得,

X——+y27526'

2j4yy

33

aos

所以点"的轨迹方程为(X-1)2+y2=j,q<xV3).

20、(1)证明过程见解析；

(2)证明过程见解析.

【解析】(D根据面面平行的判定定理，结合线面平行的判定定理、面面平行的性质进行证明即可；

(2)根据正三棱柱的几何性质，结合面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、面面平行的性质定理进行证明即可.

【小问1详解】

设G是CG的中点，连接EG,Z)G,

因为E为8c的中点，所以EG//B«i，而所以EG//BC,

因为EG<Z平面ABC,BCu平面A5C,所以EG//平面ABC,

同理可证。G//平面A5C,因为EG,OGu平面DEG,且召Gp|DG=G,

所以面£)EG//平面ABC,而DEu平面DEG,所以。E//平面ABC；

【小问2详解】

设。是BC的中点，连接AO,EO,

因为E为8c的中点，所以EO//B]B,而AD//B]B,所以EO//A。，

由(1)可知:面DEG//平面ABC,平面AOEDn平面DEG=DE,平面AOEOA平面ABC^AO,因此Q4/ADE,

在正三棱柱48C-481cl中，平面BCC\B、_L平面ABC,而平面BCCtBt口平面ABC=BC,

因为A3C是正三角形，。是8c的中点，所以AO_L8C,因此AO_L平面BCC4,

而Cgu平面BCGB1,因此4。八。四，而。A//DE,所以。E_LCq,

因为正三棱柱ABC—4如G中棱长都相等，所以BB|=BC,而E分别为&C的中点,

所以BELC4，而BE,DEu平面BOE,BEcDE=E,所以8CJ•平面8QE.

兀兀7TKTL

21、(1)单调递增区间为一三+%兀,彳+攵兀，《GZ.对称轴方程为x=—+一，其中

6332

(2)f(x)的最大值为2,最小值为-1

【解析】(1)因为/@)=2$皿(2；1-e)，由一卷+2加＜2x—+k&Z,

兀7C

求得----FZc7T<X<---Fkit

639

7?TV

可得函数/(x)的单调递增区间为-w+E,；+Z兀,kwz

由21—乙=二+%兀，keZ,求得彳=工+如，AGZ

6232