【圆相关证明与计算】类型二-与切线有关的证明与计算（解析版）

类型二与切线有关的证明与计算【典例1】如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上不同于A，B的两点，AD＝BC，AC与BD相交于点F．BE是半圆O所在圆的切线，与AC的延长线相交于点E．（1）求证：△CBA≌△DAB；（2）若BE＝BF，求证：AC平分∠DAB．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB＝90°，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠BFE，根据切线的性质得到∠ABE＝90°，根据三角形的内角和以及角平分线的定义即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，在Rt△CBA与Rt△DAB中，，∴Rt△CBA≌Rt△DAB（HL）；（2）解：∵BE＝BF，由（1）知BC⊥EF，∴∠E＝∠BFE，∵BE是半圆O所在圆的切线，∴∠ABE＝90°，∴∠E+∠BAE＝90°，由（1）知∠D＝90°，∴∠DAF+∠AFD＝90°，∵∠AFD＝∠BFE，∴∠AFD＝∠E，∴∠DAF＝90°﹣∠AFD，∠BAF＝90°﹣∠E，∴∠DAF＝∠BAF，∴AC平分∠DAB．【点评】本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，正确的识别图形是解题的关键．【典例2】如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）详见解析；（2）2【解析】【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据平行线的性质得到∠AOF＝∠B，根据切线的性质得到∠CDO＝90°，等量代换即可得到结论；（2）根据三角形中位线定理得到OE＝BD＝×8＝4，设OD＝x，OC＝3x，根据相似三角形的性质即可得到结论．【详解】解：（1）连接OD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BD，∵OF⊥AD，∴OF∥BD，∴∠AOF＝∠B，∵CD是⊙O的切线，D为切点，∴∠CDO＝90°，∴∠CDA＋∠ADO＝∠ADO＋∠BDO＝90°，∴∠CDA＝∠BDO，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOF＝∠ADC；（2）∵OF∥BD，AO＝OB，∴AE＝DE，∴OE＝BD＝×8＝4，∵sinC＝＝，∴设OD＝x，OC＝3x，∴OB＝x，∴CB＝4x，∵OF∥BD，∴△COF∽△CBD，∴，∴，∴OF＝6，∴EF＝OF−OE＝6−4＝2．【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例3】如图，与相切于点，交于点，的延长线交于点，是上不与重合的点，．（1）求的大小；（2）若的半径为3，点在的延长线上，且，求证：与相切．【答案】（1）60°；（2）详见解析【解析】【分析】(1)连接OB，在Rt△AOB中由求出∠A=30°，进而求出∠AOB=60°，∠BOD=120°，再由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可以求出∠BED的值；(2)连接OF，在Rt△OBF中，由可以求出∠BOF=60°，进而得到∠FOD=60°，再证明△FOB≌△FOD，得到∠ODF=∠OBF=90°．【详解】解：(1)连接，∵与相切于点，∴，∵，∴，∴，则．由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知：．故答案为：．(2)连接，由(1)得，，∵，，∴，∴，∴．在与中，∴，∴．又点在上，故与相切．【点睛】本题考查圆的有关性质、直线与圆的位置关系、特殊角的三角函数值、解直角三角形、全等三角形的判定和性质，熟练掌握其性质是解决此类题的关键．【典例4】如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为D.连接BC并延长，交AD的延长线于点E．（1）求证：AE=AB；（2）若AB=10，BC=6，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】【分析】(1)连接OC,由同旁内角互补得出AD//OC,可得∠OCB＝∠E,即可推出∠ABE＝∠E,AE=AB．(2)连接AC,由勾股定理求出AC,由△EDC∽△ECA得出相似比,求出CD即可．【详解】（1）证明：连接OC∵CD与⊙O相切于C点∴OC⊥CD又∵CD⊥AE∴OC//AE∴∠OCB＝∠E∵OC=OB∴∠ABE＝∠OCB∴∠ABE＝∠E∴AE=AB（2）连接AC∵AB为⊙O的直径∴∠ACB＝90°∴∵AB=AE，AC⊥BE∴EC=BC=6∵∠DEC＝∠CEA,∠EDC＝∠ECA∴△EDC∽△ECA∴∴．【点睛】本题考查圆与三角形的综合性质及相似的证明和性质,关键在于合理作出辅助线将已知条件转换求解．【典例5】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）若直径AB＝6，求AD的长．【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．【解答】（1）证明：连接OD，∵＝＝，∴∠BOD＝180°＝60°，∵＝，∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，∵OA＝OD，∴∠ADO＝∠DAB＝30°，∵DE⊥AC，∴∠E＝90°，∴∠EAD+∠EDA＝90°，∴∠EDA＝60°，∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠DAB＝30°，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∴AD＝＝3．【点评】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．【典例6】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，BD＝DC，过点D作DE⊥AC，垂足为E，⊙O经过A，B，D三点．(1)求证：AB是⊙O的直径；(2)判断DE与⊙O的位置关系，并加以证明；(3)若⊙O的半径为3，∠BAC＝60°，求DE的长．【分析】：(1)连接AD，证AD⊥BC可得；(2)连接OD，利用中位线定理得到OD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出BF的长，由DE为三角形CBF中位线，即可求出DE的长．【答案】：(1)连接AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB为圆O的直径(2)DE与圆O相切，证明：连接OD，∵O，D分别为AB，BC的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD为圆的半径，∴DE与圆O相切(3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接BF，∵AB为圆O的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D为BC的中点，∴E为CF的中点，即DE为△BCF中位线，在Rt△ABF中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得BF＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3)，则DE＝eq\f(1,2)BF＝eq\f(3\r(3),2)【典例7】如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A＝∠EBC.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)已知CG∥EB，且CG与BD，BA分别相交于点F，G，若BG·BA＝48，FG＝eq\r(2)，DF＝2BF，求AH的值．【分析】：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG得eq\f(BC,BG)＝eq\f(AB,BC)，可求出BC，再由△BFC∽△BCD得BC2＝BF·BD，可求出BF，再求出CF，CG，GB，通过计算发现CG＝AG，可证CH＝CB，即可求出AC.【答案】：(1)连接CD，∵BD是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE是⊙O切线(2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG，∴eq\f(BC,BG)＝eq\f(AB,BC)，即BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4eq\r(3)，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在Rt△BCF中，CF＝eq\r(BC2－FB2)＝4eq\r(2)，∴CG＝CF＋FG＝5eq\r(2)，在Rt△BFG中，BG＝eq\r(BF2＋FG2)＝3eq\r(2)，∵BG·BA＝48，∴BA＝8eq\r(2)，∴AG＝5eq\r(2)，∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝4eq\r(3)，∵△ABC∽△CBG，∴eq\f(AC,CG)＝eq\f(BC,BG)，∴AC＝eq\f(CB·CG,BG)＝eq\f(20\r(3),3)，∴AH＝AC－CH＝eq\f(8\r(3),3)【典例8】如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝2eq\r(5)DE，求tan∠ABD的值．【答案】：(1)∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°(2)连接DO，∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°，∴DF是⊙O的切线(3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴eq\f(DC,AD)＝eq\f(DE,DC)，∴DC2＝AD·DE.设DE＝x，则AC＝2eq\r(5)x，AC2－AD2＝DC2＝AD·DE，即(2eq\r(5)x)2－AD2＝AD·x，整理得AD2＋AD·x－20x2＝0，解得AD＝4x或AD＝－5x(舍去)，则DC＝eq\r(（2\r(5)x）2－（4x）2)＝2x，故tan∠ABD＝tan∠ACD＝eq\f(AD,DC)＝eq\f(4x,2x)＝2【典例9】如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD，AC分别交于点E，F，且∠ACB＝∠DCE.(1)判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)若tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，求⊙O的半径．【答案】：(1)直线CE与⊙O相切.理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接OE，有OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即OE⊥CE.又OE是⊙O的半径，∴直线CE与⊙O相切(2)∵tan∠ACB＝eq\f(AB,BC)＝eq\f(\r(2),2)，BC＝2，∴AB＝BC·tan∠ACB＝eq\r(2)，∴AC＝eq\r(6).又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝eq\f(\r(2),2)，∴DE＝DC·tan∠DCE＝1.在Rt△CDE中，CE＝eq\r(CD2＋DE2)＝eq\r(3)，设⊙O的半径为r，则在Rt△COE中，CO2＝OE2＋CE2，即(eq\r(6)－r)2＝r2＋3，解得r＝eq\f(\r(6),4)【典例10】如图，已知AB为⊙O的直径，AC为⊙O的切线，OC交⊙O于点D，BD的延长线交AC于点E.(1)求证：∠1＝∠CAD；(2)若AE＝EC＝2，求⊙O的半径．【答案】：(1)∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO，∴∠1＝∠CAD(2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE，∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2eq\r(2)，设⊙O的半径为x，则OA＝OD＝x，在Rt△AOC中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2eq\r(2)＋x)2，解得x＝eq\r(2)，∴⊙O的半径为eq\r(2)【典例11】如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，且BD＝BC，延长AD到E，且有∠EBD＝∠CAB.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)若BC＝eq\r(3)，AC＝5，求圆的直径AD及切线BE的长．【答案】：(1)连接OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝∠EBD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO，∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点B在⊙O上，∴BE是⊙O的切线(2)设圆的半径为R，连接CD，∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD，∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝eq\f(1,2)AC＝eq\f(5,2)，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠BDE＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴eq\f(DB,CA)＝eq\f(DE,CB)，∴eq\f(\r(3),5)＝eq\f(DE,\r(3))，∴DE＝eq\f(3,5)，∵∠OBE＝∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴eq\f(OF,OB)＝eq\f(OD,OE)，∴eq\f(\f(5,2),R)＝eq\f(R,R＋\f(3,5))，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝eq\r(AD2－BD2)＝eq\r(33)，∵eq\f(AC,AB)＝eq\f(BD,BE)，∴BE＝eq\f(3\r(11),5)【典例12】如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG∶OC＝3∶5，AB＝8.(1)求⊙O的半径；(2)点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将eq\o(CE,\s\up8(︵))沿弦CE翻折，交CD于点F，求图中阴影部分的面积．【答案】：(1)连接AO，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝4，∵OG∶OC＝3∶5，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得k＝1或k＝－1(舍去)，∴5k＝5，即⊙O的半径是5(2)将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO·sin60°＝5×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(5\r(3),2)，∴S阴影＝S扇形OMC－S△OMC＝eq\f(120×π×52,360)－eq\f(1,2)×5×eq\f(5\r(3),2)＝eq\f(25π,3)－eq\f(25\r(3),4)，即图中阴影部分的面积是eq\f(25π,3)－eq\f(25\r(3),4)【典例13】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点E是AB边上一点(点E不与点A，