高考数学习题及答案 (三)

普通高等学校招生全国统一考试

数学试卷

（满分150分，考试时间120分钟）

一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）

1、圆：尤之+y_4x+6y=0和圆：/+丁-6x=0交于A、B两点，则AB的垂直平分

线的方程是（）

A、x+y+3=0B、2x-y-5=0C、3x-y-9=0D、4x-3y+7=0

2、圆：/+y2—2x-2y+l=0上的点到直线x-y=2的距离最大值是()

历

A、2B、1+V2C、1+—D、I+2V2

2

3、若MN是两个集合，则下列关系中成立的是（）

A.0gMB.(MCINKMC.(MuN)三ND.NS(MUN)

4、若a>b,CGR,则下列命题中成立的是（）

A.ac>heB.—>1C.ac2>he2D.—<—

bab

5、直线x+2y+3=0的斜率和在y轴上的截距分别是（）

A._工和一3B.，和一3C.」和3D.」和_。

222222

6、不等式卜-1|<2的解集是（）

A.x<3B.x>-lC.x<-l或x>3D.-l<x<3

7、下列等式中，成立的是()

A.sin(----x)-cost--x)B.sin(2^4-x)=-sinx

22

C.sin(x+2%)=sinxD・cos(r4-x)=cosx

8、互相平行的三条直线，可以确定的平面个数是（）

A.3或1B.3C.2D.1

9.已知夕表示平面，/，九〃表示直线，下列结论正确的是（）

A.若〃，根，〃，则/〃帆B.若/，〃，根贝〃，m

C若/〃。，m〃a,则/〃加口若/~L私相〃私则/"L

10.已知椭圆了十不二的焦点分别是片，居，点M在椭圆上，如果串1书M=°,那么

点M到％轴的距离是（）

3」

A.V2B.GC.D.1

11.等边AABC的边长为a,过AABC的中心0作€^，平面48（：,且0P=*a,则

O

点P到4ABC的边的距离为（）

书\[sm

A.aB.C.D.

乙JJ

12.已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，给出下列6个函数：

①g（x）=sm:（J‘I"叉）；②g（x）=sin（|Ji+x）；③g（x）=

1-sinxz

1+sinx-cosx

1+sinx+cosx

_____2

④g(x)=lgsinx⑤g(x)—lg(^/x2+l+x)；⑥g(x)=ex01T。

其中可以使函数F（x）=f（x）•g（x）是偶函数的函数是（）

A.①⑥B.①⑤C.⑤⑥D.③⑤

二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）

1.已知复数（〃+2i）（l+i）的实部为0,其中i为虚数单位，则实数a的值是——.

2.抛物线y2=2x上到直线x—y+3=0距离最短的点的坐标为.

3.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是行，艮R,这个长方体对角线

的长是.

4.设定义在R上的偶函数f(x)满足f(x+l)+f(x)=l,且当xG[1,2]时，f(x)=2—x,

则f(8.5)=.

三、大题：(满分70分)

1.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=(3c-b)cosA.

(1)求cosA的值；

(2)若b=3,点M在线段BC上，AB+AC=2AM,|AM|=3V2,求△ABC的面积.

2.在如图所示的圆台中，AB,CD分别是下底面圆0,上底面圆。'的直径，满足

K

AB1CD,又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角?

(I)若面BCD与面ABE的交线为1,证明：1〃面CDE；

(II)若AB=2CD,求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值.

3.如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩

(百分制)分布直方图，已知80〜90分数段的学员数为21人.

(I)求该专业毕业总人数N和90〜95分数段内的人数n；

(II)现欲将90〜95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，

若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不

同的分配方法？

(III)若90〜95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量&表示n

名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求&的分布列和数学期望.

组距

0.05

0.04

0.03

0.01

o65707580859095100分数

4.直线/2*+丫-4=(),求4关于直线/：3x+4y-1=0对称的直线4的方程.

5.不论m取什么实数，直线(2m-l)x+(m+3)y-(加-11)=0都经过一个定点，并求出

这个定点.

6.一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室.为节约经费,

他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出.已知镜框对桌面的

倾角为£(90”。＜180。)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a〃?、bm

3”),学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳?

参考答案：

一、选择题：

1-5题答案:CBBCD

6To题答案：DCADB

11T2题答案:BC

9.已知〃表示平面，/，也〃表示直线，下列结论正确的是()

A.若/则/〃加B.若/〃，根〃，则/

C若/〃。，m〃a,则/〃加0若/~L%加〃巴贝〃~Lm

D【解析】A,B,C选项，直线1与m相交、平行、异面都有可能；D选项，•.•，〃〃£，,

.•.存在一个平面夕，使得a〃△且加€尸，口叫

二+f=1

10.已知椭圆26的焦点分别是小居，点M在椭圆上,如果6M心"=0,那么

点M至卜轴的距离是()

3&

A.0B.6c.D.1

《+《=]____

【答案】B【解析】椭圆26一，即。=而b3。=必万=2,设点用的坐

标为(%%),又4"书”=°,.••点M又在以原点为圆心,半径为2的圆上，圆方程

i+i=1

为/+丁=4,即年+y：=4①，又26②,联立①②得％=±J3,点M到X轴的距

离是5

二、填空题：

1、2

2、(2,1)

3、R

1

4、2

三、大题：

1.在AABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB=(3c-b)cosA.

(1)求cosA的值；

(2)若b=3,点M在线段BC上，AB+AC=2AiS,|AM|=3A/2,求AABC的面积.

【解答】(本题满分为12分)

解：(1)因为acosB=(3c-b)cosA,由正弦定理得：sinAcosB=(3sinC-sinB)

cosA,

即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA,可得：sinC=3sinCcosA,

在AABC中，sinCHO,

所以cosA4.…（5分）

（2）VAB+AC=2AM,两边平方得：标'+位?+2靠•正

191

由b=3,|而=3-COSA=3,可得:c+9+2XcX3XT4X18,

解得：c=7或c=-9（舍），

所以ZWC的面积《53'茅=7"…

2.在如图所示的圆台中，AB,CD分别是下底面圆0,上底面圆0'的直径，满足

兀

AB±CD,又DE为圆台的一条母线，且与底面ABE成角?\

（I）若面BCD与面ABE的交线为1,证明：1〃面CDE；

（II）若AB=2CD,求平面BCD的与平面ABE所成锐二面角的余弦值.

【解答】（I）证明：如图，在圆台00,中，•「CDu圆（V,

」.CD〃平面ABE,

•面BCDC1面ABE=LAl//CD,

•.•CDu平面CDE,平面CDE,

，1〃面CDE；

(II)解:连接00,、BO'、0E,则CD〃OE,

由AB_LCD,得AB_LOE,

又O'B在底面的射影为OB,

由三垂线定理知:O'B±OE,.,.0/B±CD,

NO'B0就是求面BCD与底面ABE所成二面角的平面角.

K

设AB=4,由母线与底面成角可，

可得0E=20'D=2,DE=2,0B=2,00'=V3,

2V7

AcosZ0/B0=1T.

3.如图为2017届淮北师范大学数学与应用数学专业N名毕业生的综合测评成绩

(百分制)分布直方图，已知80〜90分数段的学员数为21人.

(I)求该专业毕业总人数N和9。〜95分数段内的人数n；

(II)现欲将90〜95分数段内的n名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校，

若每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，共有多少种不

同的分配方法？

(III)若90〜95分数段内的这n名毕业生中恰有两女生，设随机变量之表示n

名毕业生中分配往乙学校的两名学生中女生的人数，求€的分布列和数学期望.

组距

0.05

0.04

0.03

0.01

O65707580859095100分数

【解答】解：(I)80〜90分数段的毕业生的频率为:

pl=(0.04+0.03)X5=0.35,

此分数段的学员总数为21人，

21

毕业生的总人数N为N=073^=60,

90〜95分数段内的人数频率为：

p2=l-(0.01+0.04+0.05+0.04+0.03+0.01)X5=0.1,

...90〜95分数段内的人数n=60X0.1=6.

(II)将90〜95分数段内的6名毕业生随机的分配往A、B、C三所学校,

每所学校至少分配两名毕业生，且甲乙两人必须进同一所学校，

9C22c23

2-■A3

共有：A2=18不同的分配方法.

(III)&所有可能取值为0,1,2,

O2

CC

246

2

pC

-6-15

11

CC

24

8

2-

C

p6-

=-15

2O

CC

241

PO=

S=2)=15

所以&的分布列为:

012

6812

所以随机变量W数学期望为E(w)=0XT?+1Xl5+2><T5=y.

4.直线4：2x+y-4=(),求4关于直线/：3x+4y-l=0对称的直线的方程.

分析：本题可有多种不同的解法，给出多种解法的途径是：一类利用直线方

程的不同形式求解；另一类采用消元思想进行求解.

解法一：由-4=(：得乙与/的交点为玖3,_2),显见P也在U上.

设4的斜率为左，又4的斜率为-2,/的斜率为-则

33

——=一:，解得卜=-；.

1+(-)(-2)1+(-/11

故力的直线方程为y+2=-5(x-3).即2x+lly+16=0.

解法二：在直线4上取一点A(2,0),又设点A关于直线/的对称点为3(%,打)，

故由两点式可求得直线4的方程为2x+lly+16=0.

解法三：设直线4上一动点”(x,y)关于直线/的对称点为"(x,y)，则

y一y_4

一.

-X

X+X

解得x=7/24y+6一24%—7>+8

显然"⑺在,上即2.话型+受叱.3,也即"…口.这

便是所求的直线4的方程.

解法四：设直线4上一动点M(x,y)，则M关于/的对称点“在直线4上，可设

”的坐标为&0,4-2%)，则

|3x+4y-l|_|3x0+4(4-2x0)-l|

5一5，

'y-(4-2x0)=4

x-x03

-(3x+4y-l)_3x0+4(4-2x0)-l

即55

y-(4-2x0)=4

X-XQ3

消去X。，得2x+lly+16=0,即此所求的直线4的方程.

说明：在解法一中，应注意正确运用“到角公式”，明确由哪条直线到哪条

直线的角.在具体解题时，最好能准确画出图形，直观地得出关系式.在解法四

中，脱去绝对值符号时，运用了平面区域的知识.否则，若从表面上可得到两种

结果，这显然很难准确地得出直线A的方程.

本题的四种不同的解法，体现了求直线方程的不同的思想方法，具有一定的

综合性.除此之外，从本题的不同解法中可以看出，只有对坐标法有了充分的理

解与认识，并具有较强的数形结合意识，才有可能驾驭本题，从而在解法选择的

空间上，真正做到游刃有余，左右逢源.

5.不论，"取什么实数，直线(2加-l)x+(加+3)y-(m-11)=0都经过一个定点，并求出

这个定点.

分析：题目所给的直线方程的系数含有字母〃,，给加任何一个实数值，就可

以得到一条确定的直线，因此所给的方程是以，〃为参数的直线系方程.要证明这

个直线系的直线都过一定点，就是证明它是一个共点的直线系，我们可以给出加

的两个特殊值，得到直线系中的两条直线，它们的交点即是直线系中任何直线都

过的定点.

另一思路是由于方程对任意的，"都成立，那么就以,"为未知数，整理为关于〃？

的一元一次方程，再由一元一次方程有无数个解的条件求得定点的坐标.

解法一:对于方程(2加-1)%+(加+3)逐一(加-11)=0，令m=0,得x-3y-l1=0;令6=1,

得x+4y+10=0.

解方程组[、一:一：=；得两直线的交点为(2,-3).

将点(2,-3)代入已知直线方程左边，得：

(2m-1)x2+(/n+3)x(-3)-(m-11)=4m—2—3m—9-772+11=0.

这表明不论机为什么实数，所给直线均经过定点(2,-3).

解法二：将已知方程以机为未知数，整理为：

(2x+y-l)m+(-x+3y+11)=0・

由于机取值的任意性，有

f2x+j-l-0解得％=2,y=-3.

[-x+3y+ll=0

所以所给的直线不论，"取什么实数，都经过一个定点(2,-3).

说明：(1)曲线过定点，即与参数无关，则参数的同次幕的系数为0,从而求

出定点.

(2)分别令参数为两个特殊值，得方程组求出点的坐标，代入原方程满足，

则此点为定点.

6.一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室.为节约经费，

他们利用课桌作为展台，将装画的镜框旋置桌上，斜靠展出.已知镜框对桌面的

倾角为a(90"a<180。)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a〃?、bm

(a>b),学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳?

分析：建立如图所示的直角坐标系，AO为镜框边，A3为画的宽度，。为下

边缘上的一点，则可将问题转化为:

已知ZrO4=a,OA^a,OB=b,在x轴的正方向向上求一点C,