2020课标导学高中数学北师大版必修3全册教师用书

1936年美国大选，有两位候选人，一位是民主党的罗斯福，一位是共和党的兰登，著名杂志《文学文摘》预言兰登会以57︰43的优势战胜罗斯福，这在当时产生了很大的反响．而实际情况是罗斯福以62︰38的压倒性优势战胜兰登当选总统．正是由于这个重大失误，这家杂志不久便宣告破产．当时《文学文摘》作了大量的样本调查，它从号码簿和俱乐部会员花名册上选取访问对象.1936年，美国有家庭的人和俱乐部会员都是条件较好的，他们当时大部分支持兰登，所以造成了预测失误．其实造成这么大失误的原因是样本的选取有误．因此从本章开始我们学习统计学，这些知识可以帮助我们更好地作出预测和判断．§1从普查到抽样Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))一天，爸爸叫儿子去买一盒火柴，临出门前，爸爸嘱咐儿子要买能划燃的火柴．儿子拿着钱出门了，过了好一会儿，儿子才回到家．“火柴能划燃吗？”爸爸问．“都能划燃．”“你这么肯定？”儿子递过一盒划过的火柴，兴奋地说：“我每根都试过啦．”问：在这则笑话中，儿子采用的是什么抽查方式？这种抽查方式好不好？还可采用什么方法抽查？通过本节的学习，自然会回答这些问题．Xeq\o(\s\up7(新知导学),\s\do5(inzhidaoxue))1．普查普查是为了了解总体的一般情况，对所有的对象都无一例外地进行调查，也称整体调查与全面调查．当普查的对象_很少__时，普查无疑是一项非常好的调查方式．当普查的对象_很多__时，普查的工作量就很大，要耗费大量的人力、物力与财力，并且组织工作繁重、时间长．更值得注意的是，在很多情况下，普查工作难以实现．2．抽样调查从调查对象中按照一定的方法抽取_一部分__，进行调查或观测，获取数据，并以此对调查对象的某项指标作出推断，这就是抽样调查．其中，调查对象的_全体__称为总体，被抽取的_一部分__称为样本．3．抽样调查与普查辨析调查方法特点普查抽样调查优点1.所取得的资料更加全面、系统2.调查某时段总体的数量1.迅速、及时2.节约人力、物力和财力，对个体信息的了解更详细缺点耗费大量的人力、物力和财力获取的信息不够全面、系统适用范围总体容量不大，要获取详实、系统和全面的信息1.大批量检验2.破坏性检验3.不必要普查等4.统计过程在统计活动中，特别是大型的统计活动，统计者常常需要对统计方案进行仔细的设计，以避免一些外界因素的干扰．通常需要确定调查的_对象__、调查的_方法与策略__，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的_方法__，然后对数据进行分析，得出统计结果．Yeq\o(\s\up7(预习自测),\s\do5(uxizice))1．下列几项调查，适合普查的是(C)A．调查全省食品市场上某种食品的色素含量是否符合国家标准B．调查某城市的空气质量C．调查你所在班级全体学生的身高D．调查全省初中生每人每周的零花钱数[解析]普查结果准确，所以在要求精确、调查难度相对不大并且检验无破坏性的情况下应选择普查方式．2．某共有36个班级，每班50人，现要求每班派3名代表参加会议，在这个问题中，样本容量是(C)A．36 B．50C．108 D．150[解析]样本容量为36×3＝108.3．在古代，我国的科学技术发展水平是否居于世界领先地位呢？为了说明这一问题，应该(D)A．列举我国的文化遗产B．列举我国古代著名科学家C．列举外国人对我国科技成就的赞扬D．列举全世界古代所有重大科学技术成果，统计其中百分之几是中国人的创造[解析]看我国古代的科学技术发展水平是否居于世界领先地位，应该把全世界古代所有重大科学技术成果看成是总体．4．从全年级20个班中任取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩，在这次抽样中，样本为_20名同学的学习成绩__，样本容量为_20__.5．为了调查我校高三(1)班学生视力情况，可采用的调查方法应该是_普查__.6．为了了解某县3000名高一学生的数学成绩，从中抽取了1000名学生的数学成绩进行统计分析．在这个问题中，请指出样本和总体分别是什么？样本容量又是多少？[解析]3000名高一学生的数学成绩是总体．所抽取的1000名高一学生的数学成绩是样本．样本容量是1000.Heq\o(\s\up7(互动探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命题方向1⇨普查典例1某根据高考考场要求，需要给本校45个高考考场配备监控设备，高考前新进45套监控设备，需要检查这批监控设备的质量，是全部检查还是抽取部分检查？谈谈你的想法和理由．[思路分析]利用普查的特点进行判断．[解析]必须全部检查，即普查．因为高考是一件非常严肃、责任重大的大事，高考要求又十分严格，所配设备都必须保证合格，而这批设备的数量较少，全部检查也可以完成，因此要全面检查，以保万无一失．『规律总结』在进行普查时，一定要注意普查的两个特点：(1)所取得的资料全面、系统；(2)主要调查在特定时段、特定情形下总体的数量．〔跟踪练习1〕为了“创建和谐平安校园”，某校决定在开学前将的电灯电路使用情况进行调查，以便排除安全隐患，此调查能否进行普查，为什么？[解析]由于一个的电灯电路数目不算大，且对“创建和谐平安校园”来说，必须排除任一潜在或已存在的安全隐患，故必须用普查的方式．命题方向2⇨抽样调查典例2体育老师要调查高一全体学生的平均身高，本校高一学生男女生比例大约为1︰1.问采取什么方法既省力又合理，应注意什么问题？[思路分析]根据普查与抽样调查的特点选取调查方式．[解析]要想既省力又合理地调查，最好的方法是分类抽取，因为不同性别的高一学生差异太大，可以分男生、女生两类．因为高一学生中，有男生，有女生，如果直接编号抽取，或隔一定数从学号中抽取，都有可能产生绝大部分是男生(或女生)，因此采取分类抽取的方法．因为高一学生中男女生比例大约为1︰1，所以可以采取抽取n个男生和n个女生的抽样调查方法．『规律总结』设计合理的调查方案是调查的基础，是统计活动中非常重要的环节．在一个班抽取的被调查人，一定要随机抽取．〔跟踪练习2〕抽样调查在抽取调查对象时(A)A．按一定的方法抽取B．随便抽取C．全部抽取D．根据个人的爱好抽取[解析]抽样调查在抽取调查对象时必须要能保证所抽取出的样本具有代表性，使每个个体被抽入样的可能性相等，因此抽样时一定要注意事先设计好抽样的程序，按即定的程序进行抽样．Yeq\o(\s\up7(易混易错警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))典例3为了调查参加运动会的1000名运动员的年龄情况，从中抽取了100名运动员进行调查，就这个问题来说，下面说法正确的是(D)A．1000名运动员是总体 B．每个运动员是个体C．抽取的100名运动员是样本 D．样本容量是100[错解]A根据定义，1000名运动员是总体[辨析]解决此题，关键是熟练掌握有关个体、总体、样本容量等概念，本例中调查的是运动员的年龄，不是运动员．[正解]D由基本概念，总体是1000名运动员的年龄，个体是每个运动员的年龄，样本是抽取的100名运动员的年龄，所以A、B、C是错的．故选D．[点评]熟练掌握概念，并会应用是这部分的重点．Xeq\o(\s\up7(学科核心素养),\s\do5(uekehexinsuyang))调查方式的应用典例4下列调查中哪些是普查，哪些是抽样调查？(1)为了了解我们班级每个学生穿几号鞋，向全班同学作调查；(2)为了了解我们高一年级学生穿几号鞋，向我们所在班的全体同学作调查；(3)为了了解我们班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取2名学生作调查；(4)为了了解我们班同学每天的睡眠时间，选取班级号为双数的所有学生作调查．[思路分析]根据普查与抽样调查的定义进行求解．[解析](1)因为调查的是班级的每个学生，所以用的是普查．(2)通过某班的全体同学穿鞋的号码来了解高一年级学生穿鞋的号码，这是抽样调查，样本是某班的全体同学穿鞋的号码，总体是高一年级学生穿鞋的号码．(3)(4)都是抽样调查，样本分别是：每小组中选取的2名学生的睡眠时间；学号为双数的所有学生的睡眠时间；总体都是我们班的同学每天的睡眠时间．『规律总结』选择普查或抽样调查来了解总体情况，并对总体进行研究，具体是由什么来划分的？在具体的问题情境中，往往会出现选择错误．避免出现这一问题的最好方法是认真辨析普查与抽样调查的区别与联系，在上述的四个小问题中，由于问题成对出现，使这两者的关系极易区分．解题过程中应作这样的比较，以减少出错率．Keq\o(\s\up7(课堂达标验收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．2019年7月2日～4日，某进行了期末统一考试，该校为了了解高一年级1000名学生的考试成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法正确的是(D)A．1000名学生是总体B．每个学生是个体C．1000名学生的成绩是一个个体D．样本容量是100[解析]根据总体、个体、样本、样本容量的概念，可知1000名学生的成绩是统计中的总体，每个学生的成绩是个体，被抽取的100名学生的成绩是一个样本，其样本容量为100.2．医生要检验病人血液中血脂的含量，采取的调查方法应该是(B)A．普查B．抽样调查C．既不能普查也不能抽样调查D．普查与抽样调查都可以[解析]医生要检验病人血液中血脂的含量，不可能将病人的所有血液都抽出来检查，因此不能用普查，只需抽出适量的血液作为样本来检验即可．3．下列调查，是抽样调查的是_(2)(3)__.(1)为了了解高一(4)班每个学生的情况，对全班同学进行调查；(2)为了了解人们对春节晚会(央视)的收视情况，对部分电视观众进行调查；(3)灯泡厂为了了解一批灯泡使用寿命，从中选出了10个灯泡进行试验．4．在食品质量检验中，为了检验某批次袋装牛奶(10万包)的细菌超标情况，请你说出检验方法，并说明其合理性．[解析]要检验某批次袋装牛奶的细菌超标情况不可能将每一包牛奶进行检验，也就是不可能进行普查.因此，我们只能抽查少量的进行检验就可以了，然后推断这批袋装牛奶的细菌是否超标，并对超标情况进行统计，认为这批牛奶的细菌超标情况基本如此．5．我军某部新装备了一批新型导弹，为了测试该种导弹的射程、飞行速度、破坏杀伤力等技术性能，能否对这批导弹进行普查检测？为什么？[解析]因为检查导弹的技术性能对导弹是一种破坏性检查，不可能全部检测，否则就失去了装备的意义，故用抽样调查的方式，不能用普查的方式．一、选择题1．若要调查某城市家庭的收入情况，在该问题中，总体是(B)A．该城市B．该城市的所有家庭的收入C．该城市的所有人口D．该城市的工薪阶层[解析]要调查的是某城市家庭的收入情况，所以总体是指该城市的所有家庭的收入，故选B．2．下列哪个问题不宜用普查(C)A．为了缓解城市的交通情况，北京市准备出台限制私家车的政策，为此要进行民意调查B．对你所在的学生最喜欢的体育活动情况的调查C．某轮胎厂要对一个批次轮胎的寿命进行调查D．对上海市常住人口家庭收入情况的调查[解析]轮胎寿命的检查有破坏性，把每一个轮胎破坏掉不符合生产者的初衷和实际情况，因此不能用普查方法．A、B、D选项可以运用抽查也可用普查．3．下列调查工作适合采用普查的是(D)A．环保部门对淮河水域的水污染情况的调查B．电视台对某电视节目收视率的调查C．质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查D．企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查[解析]A、B中的调查，在理论上来说采用普查是可行的，但是普查会费时费力；C中，质检部门对各厂家生产的电池使用寿命的调查不能采用普查，因为调查时的检验对电池具有破坏性，生产的电池都用在了调查上，那么什么时候能生产出一块能够使用的电池呢？D中，企业在给职工做工作服前进行的尺寸大小的调查必须采用普查，否则工人的工作服会不合体．故选D．4．为了了解所加工的一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是(C)A．总体 B．个体C．总体的一个样本 D．样本容量[解析]总体是这批零件的长度，个体是每个零件的长度．故A、B错．样本容量是200，D错．5．从某年级500名学生中抽取60名学生进行体重的统计分析，则下列说法中正确的是(C)A．500名学生是总体B．每个被抽查的学生是个体C．抽取的60名学生的体重是一个样本D．抽取的60名学生是样本容量[解析]选项A中总体应是500名学生的体重，选项B中个体应是每个被抽查学生的体重，选项D中样本容量应是60.6．为了检查一批袋装奶粉中蛋白质的含量，从中任意抽取了30袋进行检测，这次调查中的个体是(B)A．所有这一批袋装奶粉的蛋白质含量B．每一袋袋装奶粉的蛋白质含量C．抽取的30袋奶粉的蛋白质含量D．30[解析]A指总体，C指的是样本，D是样本容量．二、填空题7．为了了解某班学生会考合格率，要从该班70名学生中抽取30人进行考查分析，则在这次考查中考查总体数为_70__，样本容量为_30__.8．为了得到2018年全国总人口数，我们需要采取_普查__方式．三、解答题9．你认为下列调查用普查还是抽样调查较合适？并简单说明理由．(1)检验某厂生产的乒乓球的合格率；(2)测试某种绿豆的发芽率；(3)了解《新闻联播》在某省的收视率；(4)检查某批飞机零件的合格率；(5)审查自己某篇作文的错别字．[解析](1)、(2)的调查具有破坏性，所以要采用抽样调查；(3)的调查对象的数量太多，普查难以完成，故适合采用抽样调查；(4)中调查的对象总数不是太多，而且要求每个零件必须检查，否则易发生重大事故，故适合普查；(5)中调查的对象总数也不是太多，而且每一个错别字都会影响文章的质量，而且抽查效果不好，所以采用普查．10．中央电视台在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率，下面三名同学为电视台设计的调查方案．甲同学：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中．这样，我就可以很快统计收视率了．乙同学：我给我们居民小区的每一户住户发一份是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率．丙同学：我在号码本上随机地选出一定量的号码，然后逐个给他们打，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率．请问：上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗？为什么？[解析]综上所述，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率，因为并不是每个人都有互联网可上；某一地方的居民小区代表性不强；并不是每家都拥有．§2抽样方法2.1简单随机抽样Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))电脑中的中文输入法不外乎三种：拼音输入、五笔输入和独特编码输入，这三个之中使用人群最广的就是拼音输入法．从最早Windows自带的全拼、智能ABC和微软拼音，到现在的新华拼音、紫光拼音、拼音加加、智能狂拼、搜狗拼音等等，拼音输入软件越来越多，各种输入法不断地调整升级，使得拼音输入法的速度大幅度提升，用户使用起来几乎没有任何难度，如果我们要调查输入法的使用情况，应该采用什么抽样方法得到相关数据呢？要解决这个问题就要用到抽样方法．Xeq\o(\s\up7(新知导学),\s\do5(inzhidaoxue))简单随机抽样在抽取样本的过程中，要保证每个个体被抽取到的概率_相同__，这样的抽样方法叫作简单随机抽样．这是抽样中一个最基本的方法．通常采用_抽签法__和_随机数法__(利用工具产生随机数)．[特别提示]1．(1)简单随机抽样的特点：①总体的个体数有限；②逐个抽取；③不放回抽样；④等可能性抽样．判断一个抽样是否为简单随机抽样，只要看是否符合以上四个特点即可．(2)在使用抽签法时要把号码写在形状大小相同的号签上．每次抽取时要搅拌均匀．(3)在随机数表中读数时，要注意开始数字的选取及读数的规则．2．抽签法与随机数法的区别和联系．区别：(1)抽签法适合于个体数较少的总体．(2)随机数法适合于个体数目较多的总体，抽样的过程要借助于随机数表．(3)用随机数法时编号的位数要相同，而抽签法不要求编号的位数相同．联系：抽签法和随机数法都是最简单、最基本的抽样方法，并且要求被抽取样本的总体的个体数有限．Yeq\o(\s\up7(预习自测),\s\do5(uxizice))1．对于简单随机抽样，每个个体被抽到的机会(A)A．相等 B．不相等C．不确定 D．与抽取的次数有关[解析]简单随机抽样中每个个体被抽到的机会相等，且与抽取的顺序无关．2．用随机数法进行抽样有以下几个步骤：①将总体中的个体编号；②获取样本号码；③选定开始的数字．这些步骤的先后顺序应为(B)A．①②③ B．①③②C．③②① D．③①②[解析]用随机数表法抽样应先将个体编号，然后从随机数表中选取开始的数字读数，得到符合条件的样本号码，对应样本号码的个体为所得的样本．3．某工厂的质检人员对生产的100件产品，采用随机数表法抽取10件检查，对100件产品采用下面的编号方法：①1,2,3，…，100；②001,002，…，100；③00,01,02，…，99；④01,02,03，…，100.其中正确的序号是(C)A．②③④ B．③④C．②③ D．①②[解析]用随机数表法时编号的位数要相同，符合条件的有②③.4．某高一年级有400人，高二年级有320人，高三年级有280人，以每人被抽取的机会为0.2，抽取一个容量为n的样本，则n＝_200__.[解析]由eq\f(n,400＋320＋280)＝0.2，解得n＝200.5．从10个篮球中任取1个，检验其质量．用抽签法抽取样本时，应编号为_1,2,3,4，…，10__；用随机数法抽取样本时，应编号为_0,1,2,3，…，9__.[解析]由抽签法和随机数法可得．Heq\o(\s\up7(互动探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命题方向1⇨简单随机抽样的概念典例1下面的抽样方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从无限多个个体中抽取100个个体作样本；(2)某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加组织的某项活动；(3)从20个零件中一次性抽出3个进行质量检验；(4)一儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩后放回再拿下一件，连续玩了5件．[思路分析]要判断所给的抽样方法是否是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的四个特点：①总体的个体数目有限；②从总体中逐个进行抽取；③是不放回抽样；④是等可能抽样．同时还要注意以下几点：①总体中的个体性质相似，无明显层次差异；②总体的个体数目较少，尤其是样本容量较小；③用简单随机抽样法抽出的样本带有随机性，个体间无固定间距．[解析](1)不是简单随机抽样，因为被抽取样本的总体个数是无限的，而不是有限的．(2)不是简单随机抽样，因为这不是等可能抽样．(3)不是简单随机抽样，因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．(4)不是简单随机抽样，因为这是有放回抽取．『规律总结』判断一个抽样是否是简单随机抽样，一定要看它是否满足简单随机抽样的四个特点，即总体数目有限，等可能抽取个体，逐个、无放回抽取这是判断的唯一标准．〔跟踪练习1〕下列抽取样本的方法是简单随机抽样吗？为什么？(1)从50个乒乓球中一把抓出5个作为样本；(2)从某班50名同学中指定6名女生参加的活动．[解析](1)不是简单随机抽样，因为它是一次性抽取，不是逐个抽取．(2)不是简单随机抽样，因为它抽取的是女生这同一类中的6人，没有“搅拌均匀”．命题方向2⇨抽签法典例2某大学为了支援西部教育事业，现从报名的18名志愿者中选取6人组成志愿小组，请用抽签法的一般步骤设计抽样方案．[思路分析]可以按照抽签法的一般步骤设计．[解析]第一步：将18名志愿者编号，号码是01,02，…，18.第二步：将号码分别写在相同形状、大小的纸上，制成号签．第三步：将得到的号签放入一个不透明的袋子中，并充分搅匀．第四步：从袋子中依次抽取6个号签，并记录上面的编号．第五步：所得号码对应的志愿者就是志愿小组的成员．『规律总结』一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制作号签是否方便；二是号签是否容易被搅拌均匀．本题中总体个体数(18)较少，制作号签比较方便，并且容易搅拌均匀，所以可以采用抽签法．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．〔跟踪练习2〕某小区有73户居民，居委会计划从中抽取25户调查其家庭收入状况，请你帮助居委会设计一个用抽签法抽取样本的抽样方案．[解析](1)将73户居民编号为1,2，3，…，73；(2)将1,2,3，…，73分别写在制作好的完全一样的纸片上，得到73个号签；(3)将号签放入一个纸盒子中，搅拌均匀；(4)每次取出1个号签，连续从纸盒子中抽取25次，记下号签上的数字，所得到的25个号码对应的25户居民组成样本．命题方向3⇨随机数法典例3要从某汽车厂生产的3000辆汽车中随机抽10辆进行测试．请选择合适的抽样方法，写出抽样过程．[思路分析]本题总体容量较大．若用抽签法，制签复杂，将号签搅拌均匀也不容易，可用随机数法．[解析]第一步：将3000辆汽车编号，号码是0000，0002，…，2999；第二步：在随机数表中任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选数“4”，向右读；第三步：从数“4”开始，向右读，每次读取四位，凡不在0000～2999中的数跳过去不读，前面已经读过的数也跳过去不读，依次可得到2616,1410,1457,2042，2707，1676，1012,0372，1014，2188；第四步：以上号码对应的10辆汽车就是要抽取的对象．『规律总结』总体和样本的数目都较小，可采用抽签法进行；当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数表法抽取样本．使用随机数表时，选取开始读的数是任意的，读数的方向也是随机的，可以向左，也可以向右，向上或向下等．在读数过程中，得到一串数字号码，在去掉其中不合要求或与前面重复的号码后，其中依次出现的号码可以看成是依次从总体中抽取的各个个体的号码．解决本类问题时，将整体问题的研究转化为部分问题的研究是数学思想的重要体现．〔跟踪练习3〕现有一批编号为10,11，…，99,100，…，600的元件，打算从中抽取一个容量为6的样本进行质量检验．如何用随机数表法设计抽样方案？[解析]解法一：第一步将元件的编号调整为010,011,012，…，099,100，…，600.第二步在随机数表中(见课本)任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第1行第7个数“7”，向右读．第三步从数“7”开始，向右读，每次读取三位，凡不在010～600中的数跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到407,024,369,204,349,358.第四步以上号码对应的6个元件就是要抽取的对象．解法二：第一步将每个元件的编号加100，重新编号为110,111，…，700.第二步在随机数表中(见课本)任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向．比如，选第3行第1个数“2”，向右读．第三步从数“2”开始，向右读，每次读取三位，凡不在110～700中的跳过去不读，前面已经读过的也跳过去不读，依次可得到297,634,132,424,124,241.第四步这6个号码分别对应原来的197,534,32,324,24,141，这些号码对应的6个元件就是要抽取的对象．Yeq\o(\s\up7(易混易错警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))典例4假设我们要检验某公司生产的袋装牛奶的质量是否达标，需从800袋袋装牛奶中抽取50袋进行检验．利用随机数法抽取样本，写出抽样过程．[错解]第一步，将800袋牛奶编号1,2,3，…，800；第二步，从随机数表中任取一位置如第三行第9列开始，每次取一组4个数，用每组前1位、前2位或前3位数，依次得到2,4,24,19,9,23,8,98,5,241，….其中超出1～800的不取，重复的不取，先取个位数再取前两位，后取前3位数，一直取到50个为止．第三步将所选出的50个号码对应的50袋袋装牛奶取出得样本．[辨析]已知总体中的个体数为800，是三位数．用随机数法进行抽样时，给总体编号为000,001，…，799，采用教材中表1－2抽取50个不重复且在编号内的三位数，号码对应的个体组成样本．[正解]第一步将800袋袋装牛奶编号为000,001，…，799；第二步从随机数表中任意一个位置，例如从教材表1－2中第1行的第8列，第9列和第10列开始选数，向右读，抽得第1个样本号码208，依次得到样本号码：026,314,070,243，…，其中超出000～799范围的数和前面已出现的数舍去，一直到选出50个样本号码为止；第三步所选出的50个号码对应的50袋袋装牛奶即为所要抽取的样本．Xeq\o(\s\up7(学科核心素养),\s\do5(uekehexinsuyang))简单随机抽样是其他抽样方法的基础．因为它在理论上是最容易处理，而且当总体容量不太大时，实施起来比较容易，所以在日常生活中应用比较普遍．如做某项任务人选的产生，抓阄安排某种东西的归属，某宗产品质量的检测等．典例5省环保局收到各县市报送的环保案例28件，为了了解全省环保工作的情况，要从这28件案例中抽取7件作为样本研究．试确定抽取方法并写出操作步骤．[解析]总体容量小，样本容量也小，可用抽签法．步骤如下：(1)将28件环保案例用随机方式编号，号码是1,2,3，…，28；(2)将以上28个号码分别写在28张相同的小纸条上，制成形状、大小均相同的号签；(3)把号签放入一个不透明的容器中，充分搅拌均匀；(4)从容器中无放回地逐个抽取7个号签，并记录上面的号码；(5)找出和所得号码对应的7件案例，组成样本．『规律总结』解决实际生活中的抽样问题时，若总体中的个体数目不多且个体之间无差异时，可采用简单随机抽样的方法抽取，但需注意的是在操作时一定要本着公平的原则，即每个个体被抽到的机会都是相等的．Keq\o(\s\up7(课堂达标验收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．下列抽样中，用抽签法方便的有(B)A．从某厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验[解析]当样本个数比较小且制号签比较方便时，用抽签法．故选B．2．下列调查的样本不合理的是(B)①在校内发出一千张印有全校各班级的选票，要求被调查学生在其中一个班级旁画“√”，以了解最受欢迎的教师是谁②从一万多名工人中，经过选举，确定100名代表，然后投票表决，了解工人们对厂长的信任情况③到老年公寓进行调查，了解全市老年人的健康状况④为了了解全班同学每天的睡眠时间，在每个小组中各选取3名学生进行调查A．①② B．①③C．③④ D．②④[解析]因为①中样本不符合有效性原则，在班级前画“√”与了解最受欢迎的老师没有关系．③中样本缺少代表性．②④都是合理的样本．3．某总体共有60个个体，并且编号为00,01，…，59，现需从中抽取一个容量为8的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11、12列的18开始，依次向下读数，到最后一行后向右，直到取足样本为止(大于59及与前面重复的数字跳过)，则抽取样本的号码是_18,24,54,38,08,22,23,01__.9533952200187472001838795869328176802692828084253990846079802436598738820753893556352379180598900735464062988054972056951574800832164670508067721642792031890343384682687232148299708060471897634930213071597305500822237177910193204982965926946639679860[解析]由随机数法可得．4．下列抽样方法属于简单随机抽样的有_②③__.①从1000个个体中一次性抽取50个个体作为样本；②将1000个个体编号，并把编号写在形状、大小相同的签上，然后将号签放在一个足够大的不透明的容器内搅拌均匀，从中逐个抽取50个个体作为样本；③从10个乒乓球中抽取3个进行质量检验．首先将乒乓球进行编号0,1,2，…，9，再将转盘分成10等份，分别标上整数0,1,2，…，9，转动转盘，指针指向的数字是几就取几号个体，直到抽出3个个体为止．[解析]简单随机抽样是逐个抽取，不能是一次性抽取，所以①不属于简单随机抽样；②属于简单随机抽样中的抽签法；③属于简单随机抽样中的随机数法．故填②③.5．为了适应新高考改革，尽快推行不分文理科教学，对比目前文理科学生考试情况进行分析，决定从80名文科同学中抽取10人，从300名理科同学中抽取50人进行分析．由于本题涉及文科生和理科生的混合抽取，你能选择合适的方法设计抽样方案吗？试一试。[解析]文科生抽样用抽签法，理科生抽样用随机数表法，抽样过程如下：(1)先抽取10名文科同学：①将80名文科同学依次编号为1,2,3，…，80；②将号码分别写在形状、大小等均相同的纸片上，制成号签；③把80个号签放入一个不透明的容器中，搅拌均匀，每次从中不放回地抽取一个号签，连续抽取10次；④与号签上号码相对应的10名同学的考试情况就构成一个容量为10的样本．(2)再抽取50名理科同学：①将300名理科同学依次编号为001,002，…，300；②从随机数表中任选一数字作为开始数字，任选一方向作为读数方向，比如从教材附表的第4行第1列的数字6开始向右读．每次读取三位，凡不在001～300范围内以及重复的数都跳过去，得到号码032,142,154,121,206，…；③这50个号码所对应的同学的考试情况就构成一个容量为50的样本．一、选择题1．关于简单随机抽样的特点，有以下几种说法，其中不正确的是(D)A．要求总体的个数有限B．从总体中逐个抽取C．它一般情况是一种不放回的抽取D．每个个体被抽到的可能性与抽取的顺序有关[解析]在简单随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，它与抽取的顺序无关，故D错误．2．下列抽样方法是简单随机抽样的是(D)A．从50个零件中一次性抽取5个做质量检验B．从50个零件中有放回地抽取5个做质量检验C．从实数集中随机的抽取10个正整数分析奇偶性D．运动员从8个跑道中随机抽取一个跑道[解析]简单随机抽样每个样本是逐个抽取，并且是无放回的抽取，样本总体的容量为有限个，故A、B、C均错．3．用随机数法从100名学生(男生25人)中抽选20人进行评教，某男学生被抽到的概率是(C)A．0.01 B．0.04C．0.2 D．0.25[解析]明确是简单随机抽样且每个个体被抽到的概率是相等的，问题的突破口就找到了．因为样本容量为20，总体容量为100，所以总体中每一个个体被抽到的概率为eq\f(20,100)＝0.2.4．下列问题中，最适合用简单随机抽样方法抽样的是(B)A．某单位有员工40人，其中男员工30人，女员工10人，要从中抽8人调查吸烟情况B．从20台电视机中抽取5台进行质量检查C．中央电视台要对春节联欢晚会的收视率进行调查，从全国观众中选10000名观众D．某公司在甲、乙、丙三地分别有120个、80个、150个销售点，要从中抽取35个调查收入情况[解析]根据简单随机抽样的概念及其特点可知当总体中的个体数和样本容量都较小时可采用简单随机抽样．抽出的样本必须准确地反映总体特征．5．对于简单随机抽样，下列说法中正确的有(D)①它要求被抽取样本的总体的个数有限，以便对其中各个个体被抽取的概率进行分析；②它是从总体中逐个地进行抽取，以便在抽取实践中进行操作；③它是一种不放回抽样；④它是一种等概率抽样，不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种方法抽样的公平性．A．①②③ B．①②④C．①③④ D．①②③④[解析]由简单随机抽样定义得D正确．6．下面的抽样方法是简单随机抽样的是(D)A．在某年的明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽样的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格C．某分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解机构改革的意见D．用抽签法从10件产品中选取3件进行质量检验[解析]A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的，不具有随意性；C不是简单随机抽样，因为总体的个体之间差别比较大，抽取的个体不一定具有代表性；D是简单随机抽样．二、填空题7．抽签法中确保样本具有代表性的关键是_搅拌均匀__.[解析]在数理统计里，为了使样本具有较好的代表性，设计抽样方法时，最重要的是将总体“搅拌均匀”，使每个个体有同样的机会被抽到，而抽签法是简单随机抽样，因此在给总体标号后，一定要搅拌均匀．8．某总体容量为M，其中带有标记的有N个，现用简单随机抽样方法从中抽取一个容量为m的样本，则抽取的m个个体中带有标记的个数估计为N·eq\f(m,M).[解析]设m个个体中带有标记的个数为n，根据简单随机抽样的特点知eq\f(N,M)＝eq\f(n,m)，解得n＝N·eq\f(m,M).三、解答题9．判断下面这几个抽样调查选取样本的方法是否合适，并说明理由．(1)一个手表厂欲了解6～11岁儿童戴手表的比例，周末来到一家业余艺术调查200名在那里学习的学生；(2)为调查全校学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率，在全校所有班级中抽取8个班级，调查8个班级所有学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率；(3)为调查一个省的环境污染情况，调查省会城市的环境污染情况．[解析](1)不合适，选取样本不具有代表性．因为能够参加业余艺术的学生家庭都比较富裕．(2)合适，选取样本具有代表性．为调查全校学生对购买正版书籍、唱片和软件的支持率，随机地在全校抽取8个班级的所有学生，不但有代表性，而且抽样调查的人数也足够多．(3)不合适，选取样本不具有代表性．为了调查一个省的环境污染情况，只调查省会城市的污染情况是不够的，省会城市是集商店、工厂、各种文化场所于一体的地点，各种车量比较集中，环境污染较严重，它不能代表一个省的环境污染情况．10．为了迎接2018年6月8号至7月8号第21届俄罗斯足球世界杯，现要在全球征集筛选的50个吉祥物中抽取6个参加最后的筛选．每个吉祥物被选中的机会均等，若采用抽签法，该如何进行？[解析]①将50个吉祥物标号，号码为01,02，…，50；②将50个吉祥物的编号分别写在一张小纸条上，并揉成完全相同的小球，制成号签；③将制成的号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；④从容器中逐个抽取6个号签，并记录上面的编号，如：02,21,27,08,46,11；⑤对应上面6个编号的吉祥物就是参加最后筛选的吉祥物．2.2分层抽样与系统抽样2.2.1分层抽样Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))大家都知道盲人摸象的故事，四个盲人在庞大的大象面前，每人只摸了大象的一个部位，就都有了对大象与众不同的认识．在他们争得面红耳赤，不可开交时，有一智者对他们建议，要他们每个人按一定的间隔从左到右、从上到下去摸大象，结果每个人都得到了大象的正确形象，你知道这是一种什么方法吗？Xeq\o(\s\up7(新知导学),\s\do5(inzhidaoxue))分层抽样将总体按其_属性特征__分成若干类型(有时称作_层__)，然后在每个类型中随机抽取一定的样本，这种抽样方法通常叫作_分层__抽样，有时也称为_类型__抽样．[特别提示](1)分层抽样时，由于各部分抽取的个体数与这一部分个体数的比等于样本容量与总体的个体数之比，所以分层抽样时每个个体被抽到的机会都是均等的．(2)分层抽样的操作步骤：①将总体按适当的标准进行分层；②计算抽样比k＝eq\f(样本容量,总体容量)；③按抽样比确定每层需要抽取的个体数；④各层分别进行抽样，汇合成样本．Yeq\o(\s\up7(预习自测),\s\do5(uxizice))1．分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每层抽取若干个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能入样，必须进行(C)A．每层等可能抽样B．每层不等可能抽样C．所有层按同一抽样比等可能抽样D．所有层抽同样多样本，等可能抽样[解析]保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的共同特征．为了保证这一点，分层时用同一抽样比是必不可少的．2．有40件产品，其中一等品10件，二等品25件，次品5件，现从中抽出8件进行质量分析，问应采取何种抽样方法(D)A．抽签法 B．随机数表法C．系统抽样 D．分层抽样[解析]因为个体之间有明显差异，所以应用分层抽样．3．某高一、高二、高三三个年级共有学生3000人，采用分层抽样的方法从全体学生中抽取一个容量为60的样本，已知高一年级学生为1200人，则该年级抽取的学生数为(C)A．20 B．30C．24 D．25[解析]抽样比：eq\f(60,3000)＝eq\f(1,50)，∴高一抽取：1200×eq\f(1,50)＝24.4．(2018·全国卷Ⅲ文，14)某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异．为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，则最合适的抽样方法是_分层抽样__.[解析]因为客户数量大，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异，所以最合适的抽样方法是分层抽样．5．具有A、B、C三种性质的元素的总体，其容量为63，将A、B、C三种性质的元素的个体按1︰2︰4的比例进行分层调查，如果抽取的样本容量为21，则A、B、C三种性质的元素分别抽取的数量为_3,6,12__.[解析]∵抽取的样本容量为21，A、B、C三种性质的个体按1︰2︰4的比例进行分层调查，∴A、B、C三种元素分别抽取eq\f(1,7)×21＝3，eq\f(2,7)×21＝6，eq\f(4,7)×21＝12.Heq\o(\s\up7(互动探究解疑),\s\do5(udongtanjiujieyi))命题方向1⇨分层抽样的概念典例1(1)如果采用分层抽样，从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的可能性为(C)A．eq\f(1,N) B．eq\f(1,n)C．eq\f(n,N) D．eq\f(N,n)(2)下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是(B)A．从10名同学中抽取3人参加座谈会B．某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C．从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D．从生产流水线上，抽取样本检查产品质量[思路分析]1.分层抽样是等可能抽样吗？2.分层抽样的适用范围是什么？[解析](1)根据每个个体都等可能入样，所以其可能性为样本容量与总体容量比，即为eq\f(n,N).(2)A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样．『规律总结』分层抽样的前提和遵循的两条原则(1)前提：分层抽样使用的前提是总体可以分层，层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小，每层中所抽取的个体数可按各层个体数在总体的个体数中所占比例抽取．(2)遵循的两条原则：①将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；②分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比．〔跟踪练习1〕(1)对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2、p3，则(D)A．p1＝p2＜p3 B．p2＝p3＜p1C．p1＝p3＜p2 D．p1＝p2＝p3(2)某有男、女学生各500名．为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是(D)A．抽签法 B．随机数法C．系统抽样法 D．分层抽样法[解析](1)根据随机抽样的原理可得简单随机抽样，分层抽样，系统抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3，故选D．(2)由于被抽取的个体的属性具有明显差异，所以宜采用分层抽样法．命题方向2⇨分层抽样的方案设计典例2一个单位有职工160人，其中有业务人员112人，管理人员16人，后勤服务人员32人，为了了解职工的某种情况，要从中抽取一个容量为20的样本，写出用分层抽样的方法抽取样本的过程．[思路分析]分层抽样中各层抽取个体数依各层个体数之比来分配，确定各层抽取的个体数之后，可采用简单随机抽样或系统抽样在各层中抽取个体．[解析]三部分所含个体数之比为112︰16︰32＝7︰1︰2，设三部分各抽个体数为7x，x,2x，则由7x＋x＋2x＝20得x＝2.故业务人员、管理人员、后勤服务人员抽取个体数分别为14,2和4.对112名业务人员按系统抽样分成14个部分，其中每个部分包括8个个体，对每个部分利用简单随机抽样抽取个体．若将160名人员依次编号为1,2,3，…，160.那么在1～112名业务人员中第一部分的个体编号为1～8.从中随机取一个号码，如它是4号，那么可以从第4号起，每隔8个抽取1个号码，这样得到112名业务人员被抽出的14个号码依次为4,12,20,28,36,44,52,60,68,76,84,92,100,108.再用抽签法可抽出管理人员和服务人员的号码．将以上各层抽出的个体合并起来，就得到容量为20的样本．『规律总结』分层抽样的注意事项分层抽样是当总体由差异明显的几部分组成时采用的抽样方法，进行分层抽样时应注意以下几点：(1)分层抽样中分多少层、如何分层要视具体情况而定，总的原则是，层内样本的差异要小，各层之间的样本差异要大，且互不重叠．(2)为了保证每个个体等可能入样，所有层应采用同一抽样比，等可能抽样．(3)在每层抽样时，应采用简单随机抽样或系统抽样的方法进行抽样．[特别提醒]保证每个个体等可能入样是简单随机抽样、系统抽样、分层抽样共同的特征，为了保证这一点所有层按同一抽样比，等可能抽样．〔跟踪练习2〕某政府机关有在编人员100人，其中科级以上干部10人，科员70人，办事员20人．上级机关为了了解他们对政府机构改革的看法，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并写出具体的抽样过程．[解析]因为个体差异较大，而且机构改革关系到各人的不同利益，故采用分层抽样法抽取．抽样过程如下：第一步，确定抽样比：eq\f(20,100)＝eq\f(1,5).第二步，确定各层抽取的人数：从科级以上干部中抽取10×eq\f(1,5)＝2(人)；从科员中抽取70×eq\f(1,5)＝14(人)；从办事员中抽取20×eq\f(1,5)＝4(人)．第三步，在各层中分别用简单随机抽样抽取，抽取科级以上干部2人，科员14人，办事员4人．第四步，将所抽取的个体组合在一起构成样本．Yeq\o(\s\up7(易混易错警示),\s\do5(ihunyicuojingshi))典例3某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体状况，从他们中抽取容量为36的样本，最适合的抽样方法是(D)A．简单随机抽样 B．系统抽样C．分层抽样 D．先从老年人中剔除1人，再分层抽样[错解]C[辨析]因为本题中很明显是由具有明显差异的三部分组成，因而盲目地选C，却忽略了分层抽样过程中的取整要求，事实上，若直接用分层抽样，由于按抽样比eq\f(n,N)＝eq\f(36,163)在各层内抽取个体时，抽取的数目不为整数，故考虑先剔除1人，抽取比例变为36︰162＝2︰9，则中年人抽取12人，青年人抽取18人，先从老年人中剔除1人，老年人抽取6人，组成容量为36的样本．[正解]D总人数25＋54＋81＝163(人)，样本容量为36，由于总体由差异明显的三部分组成，故考虑用分层抽样，若按eq\f(36,163)抽样，无法得到整解，故考虑先剔除1人，抽样比变为eq\f(36,162)＝eq\f(2,9)，故中年人应抽取54×eq\f(2,9)＝12(人)，青年人应抽取81×eq\f(2,9)＝18(人)，先从老年人中随机地剔除1人，老年人抽取27×eq\f(2,9)＝6(人)，组成容量为36的样本，故答案选D．『规律总结』(1)先确定各层中所抽取样本的个体数量：各层中个体数量为n1，n2，…，nk，样本容量n，总体N，则各层中抽取的个体数量分别为eq\f(n1,N)·n，eq\f(n2,N)·n，…，eq\f(nk,N)·n.(2)当eq\f(n,N)·ni不是整数时，先在该层中随机剔除几个个体使eq\f(n,N)·ni是整数．Xeq\o(\s\up7(学科核心素养),\s\do5(uekehexinsuyang))抽样方法的选取随机抽样有以下三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样，简单随机抽样又有抽签法和随机数法两种方法，在具体选取抽样方法时应根据它们各自的适用范围选取．典例4为了考察某校的教学水平，将对这个高三年级的部分学生的本学年考试成绩进行考察，为了全面地反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查：(已知该校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)①从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20人，考察他们的学习成绩；②每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察．(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)根据上面的叙述，试回答下列问题．(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式中各自采用何种抽取样本的方法？(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤．[思路分析]本题目主要考查数理统计的一些基本的概念和基本方法．做这种题目时，应该注意叙述的完整和条理．[解析](1)这三种抽取方式中，其总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本年度的考试成绩．其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本年度的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，样本容量为100.(2)上面三种抽取方式中，第一种方式采用的方法是简单随机抽样法；第二种方式采用的方法是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的方法是分层抽样法和简单随机抽样法．(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步，首先在这20个班中用抽签法任意抽取一个班．第二步，然后从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩．第二种方式抽样的步骤如下：第一步，首先在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a.第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计19人．第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层．因为若按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，所以在抽取样本时，应该把全体学生分成三个层次．第二步，确定各个层次抽取的人数．因为样本容量与总体的个体数之比为100︰1000＝1︰10，所以在每个层次抽取的个体数依次为eq\f(150,10)，eq\f(600,10)，eq\f(250,10)，即15,60,25.第三步，按层次分别抽取：在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用系统抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人．Keq\o(\s\up7(课堂达标验收),\s\do5(etangdabiaoyanshou))1．某校高三年级有男生500人，女生400人．为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查，这种抽样方法是(D)A．简单随机抽样 B．抽签法C．随机数表法 D．分层抽样[解析]样本由差异明显的几部分组成，抽取的比例由每层个体占总体的比例确定，即为分层抽样．2．交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12、21、25、43，则这四个社区驾驶员的总人数N为(B)A．101 B．808C．1212 D．2012[解析]本题考查了分层抽样知识．由题意得，eq\f(96,N)＝eq\f(12,12＋21＋25＋43)，解得N＝808.解决本题的关键是分清各层次的比例，属基础题，难度较小．3．一支田径运动队有男运动员56人，女运动员42人．现用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的男运动员有8人，则抽取的女运动员有_6__人．[解析]本题主要考查了分层抽样．男运动员的抽样比为eq\f(8,56)＝eq\f(1,7).故女运动员抽取42×eq\f(1,7)＝6人．注意在同一个抽样中分层抽样的抽样比是相同的．4．课题组进行城市空气质量调查，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为4,12,8，若用分层抽样抽取6个城市，则丙组中应抽取的城市数为_2__.[解析]本题考查抽样方法中的分层抽样．由于总共24个城市，抽取6个，则丙组中抽取eq\f(6,24)×8＝2个．5．某校按分层抽样的方法从高中三个年级抽取部分学生调查，从三个年级抽取人数的比例为如图所示的扇形面积比，已知高二年级共有学生1200人，并从中抽取了40人．(1)该校的总人数为多少？(2)其他两个年级分别抽取多少人？(3)在各层抽样中可采取哪种抽样方法？[解析]高二年级所占的角度为120°.(1)设总人数为n，则eq\f(120,360)＝eq\f(1200,n)，可知n＝3600，故该校的总人数为3600.(2)高一、高二、高三人数所占的比为150︰120︰90＝5︰4︰3，可知高一、高三所抽取人数分别为50,30.(3)在各层抽样中可采取简单随机抽样与系统抽样的方法.A级基础巩固一、选择题1．某市对大、中、生的视力进行抽样分析，其中大、中、生的人数比为2︰3︰5，若采用分层抽样的方法抽取一个样本，且生中被抽到的人数为150，则抽取的样本容量n等于(C)A．1500 B．1000C．500 D．150[解析]设抽到的大、中、生的人数分别为2x,3x,5x，由3x＝150，得x＝50，所以n＝100＋150＋250＝500.2．某市新上了一批便民公共自行车，有绿色和橙黄色两种颜色，且绿色公共自行车和橙黄色公共自行车的数量比为2︰1，现在按照分层抽样的方法抽取36辆这样的公共自行车放在某校门口，则其中绿色公共自行车的辆数是(D)A．8 B．12C．16 D．24[解析]设放在该校门口的绿色公共自行车的辆数是x，则eq\f(x,36)＝eq\f(2,1＋2)，解得x＝24.3．(2019·山西大同五县高一期末测试)某单位有职工75人，其中青年职工35人，中年职工25人，老年职工15人，为了了解该单位职工对“木桶理论”的理解情况，决定用分层抽样的方法从中抽取一个样本，若样本中的青年职工为7人，则样本中的中年职工为(B)A．3人 B．5人C．7人 D．8人[解析]设样本中的中年职工为m人，由题意得eq\f(m,25)＝eq\f(7,35)，∴m＝5，故选B．4．某地区有300家商店，其中大型商店有30家，中型商店有75家，小型商店有195家．为了掌握各商店的营业情况．要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的中型商店数是(C)A．2 B．3C．5 D．13[解析]在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为eq\f(20,300)＝eq\f(1,15)，则抽取的中型商店数为75×eq\f(1,15)＝5.5．某城市有700所，其中大学20所，200所，480所．现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本，进行某项调查，则应抽取数为(B)A．70 B．20C．48 D．2[解析]由分层抽样知，抽取数为70×eq\f(200,700)＝20，故选B．6．某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、肉食品类、果蔬类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是(C)A．4 B．5C．6 D．7[解析]四类食品的比例为4︰1︰3︰2，则抽取的植物油类的数量为20×eq\f(1,10)＝2，抽取的果蔬类的数量为20×eq\f(2,10)＝4，二者之和为6，故选C．二、填空题7．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为_16__.[解析]考查分层抽样．解答此题必须明确“每个个体被抽到的概率相同”及“每层以相同比例抽取”．所有学生数为150＋150＋400＋300＝1000人，则抽取比例为eq\f(40,1000)＝eq\f(1,25)，所以应在丙专业抽取400×eq\f(1,25)＝16人．8．某校有学生2000人，其中高三学生500人．为了解学生的身体素质情况，采用按年级分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个200人的样本．则样本中高三学生的人数为_50__.[解析]抽样比为eq\f(200,2000)＝eq\f(1,10)，样本中高三学生的人数为500×eq\f(1,10)＝50.三、解答题9．某家电视台在因特网上征集某电视节目现场参与观众，报名的总人数为12000人，分别来自4个城区，其中东城区2400人，西城区4600人，南城区3800人，北城区1200人，用分层抽样的方式从中抽取60人参加现场的节目，应当如何抽取？写出抽取过程．[解析]第一步：分层：按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．第二步：按比例确定每层抽取个体的个数．抽样比为eq\f(60,12000)＝eq\f(1,200)，所以在东城区抽取2400×eq\f(1,200)＝12(人)，在西城区抽取4600×eq\f(1,200)＝23(人)，在南城区抽取3800×eq\f(1,200)＝19(人)，在北城区抽取1200×eq\f(1,200)＝6(人)．第三步在各层分别用简单随机抽样法抽取样本．第四步确定样本．将各城区抽取的观众合在一起组成样本．10．某市有大型、中型与小型的商店共1500家，它们的家数之比为1︰5︰9，要调查商店的每日零售额情况，要求抽取其中的30家商店进行调查，应当采取怎样的抽样方法？(1)能不能用简单随机抽样的方法对上述问题进行抽样？为什么？(2)根据大型、中型与小型的商店的家数之比，你能求出大型、中型与小型的商店占商店总数的比例吗？(3)怎样根据大型、中型与小型的商店的家数所占商店总数的比例，求出它们各自的家数？(4)如果按照大型、中型与小型的商店占商店总家数的比例来抽取30家商店进行调查，那么大型、中型与小型的商店各抽取多少家？[解析](1)不能．因为在这个问题中，商店有大型、中型和小型之分，商店的每日零售额直接受到商店规模的影响，如果采用简单随机抽样的方法，可能抽样的结果不具有代表性．(2)由题意知大型商店所占的比例为eq\f(1,1＋5＋9)＝eq\f(1,15)；中型商店所占的比例为eq\f(5,1＋5＋9)＝eq\f(1,3)；小型所占的比例为eq\f(9,1＋5＋9)＝eq\f(3,5).(3)大型商店的家数为1500×eq\f(1,15)＝100；中型商店的家数为1500×eq\f(1,3)＝500；小型商店的家数为1500×eq\f(3,5)＝900.(4)大型、中型与小型的商店分别抽取eq\f(1,15)×30＝2，eq\f(1,3)×30＝10，eq\f(3,5)×30＝18.B级素养提升一、选择题1．某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(C)A．30 B．25C．20 D．15[解析]由分层抽样知，样本中松树苗数为eq\f(150,30000)×4000＝20，故选C．2．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为30的样本，每个零件被抽取的可能性为25%，则N为(D)A．150 B．200C．100 D．120[解析]根据简单随机抽样每个个体被抽取的概率等于eq\f(n,N)进行计算．因为从含有N个个体的总体中抽取一个容量为30的样本时，每次抽取一个个体时任一个体被抽到的概率为eq\f(1,N)；在整个抽样过程中各个个体被抽到的概率为eq\f(30,N)；所以eq\f(30,N)＝0.25，从而有N＝120.3．某有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为(A)A．100 B．150C．200 D．250[解析]由题意，得抽样比为eq\f(70,3500)＝eq\f(1,50)，总体容量为3500＋1500＝5000，故n＝5000×eq\f(1,50)＝100.4．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(B)A．6 B．8C．10 D．12[解析]设在高二年级学生中抽取的人数为x，则eq\f(30,40)＝eq\f(6,x)，解得x＝8.二、填空题5．假设吉利公司生产的“远景”“金刚”“自由舰”三种型号的轿车产量分别是1600辆、6000辆和2000辆，为检验公司的产品质量，现从这三种型号的轿车中抽取48辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_8__、_30__、_10__.[解析]因为汽车总量为1600＋6000＋2000＝9600辆．要抽取48辆，∴抽样比例为eq\f(48,9600)＝eq\f(1,200)，∴1600×eq\f(1,200)＝8,6000×eq\f(1,200)＝30,2000×eq\f(1,200)＝10，∴应依次抽取8,30,10辆．6．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4︰5︰5︰6，则应从一年级本科生中抽取_60__名学生．[解析]根据题意，应从一年级本科生中抽取的学生人数为eq\f(4,4＋5＋5＋6)×300＝60.三、解答题7．一个地区共有5个乡镇，人口共3万人，其中人口比例为3︰2︰5︰2︰3，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的抽样方法？并写出具体过程．[解析]因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法，具体过程如下：(1)将3万人分成5层，其中每一个乡镇为一层．(2)按照样本容量的比例随机抽取各乡镇应抽取的样本300×eq\f(3,15)＝60(人)，300×eq\f(2,15)＝40(人)，300×eq\f(5,15)＝100(人)，300×eq\f(2,15)＝40(人)，300×eq\f(3,15)＝60(人)，因此各乡镇抽取人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．(3)将这300人组到一起，即得到所要抽取的样本．8．某网站欲调查网民对当地网页的满意程度，在登录的所有网民中，收回有效帖子共50000份，其中持各种态度的份数如下表所示：很满意满意一般不满意10800124001560011200为了了解网民的具体想法和意见，以便决定如何更改才能使网页更完善，打算从中抽选500份．为使样本更具有代表性，每类中各应抽选出多少份？[解析]首先确定抽取比例，然后确定各层要抽取的份数，因为eq\f(500,50000)＝eq\f(1,100)，所以eq\f(10800,100)＝108，eq\f(12400,100)＝124，eq\f(15600,100)＝156，eq\f(11200,100)＝112，所以持四种态度的有效帖子应分别抽取108,124,156,112份进行调查．9．为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人).高校相关人数抽取人数Ax1B36yC543(1)求x、y；(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程．[解析](1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的所以有eq\f(x,54)＝eq\f(1,3)⇒x＝18，eq\f(36,54)＝eq\f(y,3)⇒y＝2.(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：第一步，将36人随机的编号，号码为1,2,3，…，36；第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；第三步，将号签放入一个不透明的容器中，充分搅匀，依次抽取2个号码，并记录上面的编号；第四步，把与号码相对的人抽出，即可得到所要的样本．2.2.2系统抽样Qeq\o(\s\up7(情景引入),\s\do5(ingjingyinru))某高一年级共有25个班，每班60人，共有1500人．想了解高一学生的视力状况，以便日后与高二、高三时的状况进行比较，决定从这1500人中抽取一个容量为100的样本进行检查．你能帮助确定一个抽样方法吗？抽签法能行吗？Xeq\o(\s\up7(新知导学),\s\do5(inzhidaoxue))系统抽样系统抽样是将总体的个体进行编号，按照_简单随机抽样__抽取第一个样本，然后按相同的_间隔__(称为抽样距)抽取其他样本．这种抽样方法有时也叫_等距__抽样或_机械__抽样．[特别提示]如果总体中个体数N正好被样本容量n整除，则每个个体被入样的可能性是eq\f(n,N)；若N不能被n整除，需要剔除余数m个