专题03 勾股定理（原卷版）

专题03勾股定理知识点框架知识点讲解勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么。变式：，，,,.适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。用拼图的方法验证勾股定理的思路是：1）图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变2）根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理勾股定理的证明方法：方法一（图一）：，，化简可证．方法二（图二）：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为，所以方法三（图三）：，，化简得证图一图二图三勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，，，为正整数时，称，，为一组勾股数常见的勾股数：如；；；等典型题型考查题型一用勾股定理解三角形1．（2022·江苏常州·八年级期中）如图，在中，，，，则点到直线的距离是（

）A． B．3 C． D．22．（2022·江苏宿迁·八年级期中）如图，长为8cm的橡皮筋放置在直线l上，固定两端A和B然后把中点C竖直向上拉升3cm至点D处，则拉长后橡皮筋的长为（）A．8cm B．11cm C．18cm D．10cm3．（2022·江苏南京·八年级期中）在中，的对应边分别是，则下列式子成立的是（）A． B． C． D．4．（2022·江苏·南京市第二十九中学八年级期中）如图，在中，，点D是上的一点，且，则的值为（

）A．4 B．9 C．16 D．25考查题型二勾股数的问题5．（2022·江苏盐城·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是（）A．6、7、8 B．3、4、5 C．0.6、0.8、1 D．2、4、56．（2022·江苏·宿迁市宿豫区教育局教研室八年级期中）下列各组数中不是勾股数的是（

）．A．3，4，5 B．4，5，6 C．6，8，10 D．11，60，617．（2022·江苏无锡·八年级期中）下列各组数中是勾股数的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，考查题型三以直角三角形三边为边长的图形面积8．（2022·江苏盐城·八年级期末）用三张正方形纸片，按如图所示方式构成图案，若要使所围成阴影部分的三角形是直角三角形，则选取的三个正方形纸片的面积不可以是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．2，3，59．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，已知正方形B的面积为144，正方形C的面积为169时，那么正方形A的面积为（

）A．313 B．144 C．169 D．2510．（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）如图，在中，，分别以AB、AC、BC为直径向外作半圆，它们的面积分别记作、、，若，，则为（

）A．9 B．11 C．32 D．4111．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，，分别以AB，BC，CD，DA为一边向外作正方形甲、乙、丙、丁，若用S甲，S乙，S丙，S丁来表示它们的面积，那么下列结论正确的是（

）A． B．C． D．考查题型四勾股定理与网格问题12．（2022·江苏南通·八年级期末）如图，在的正方形网格中，若小正方形的边长是1，则任意两个格点间的距离不可能是（

）A． B． C．3 D．13．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，若每个小方格的面积为1，则图中以格点为端点且长度为的线段有（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条14．（2022·江苏南通·八年级期中）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则BD的长为（）A． B． C． D．考查题型五利用沟谷定理求两条线段的平方和（差）15．（2022·江苏盐城·八年级期中）在直角三角形ABC中，斜边AB=2，则AB2+BC2+AC2=

（

）A．2 B．4 C．6 D．816．（2022·江苏·泰州市海陵学校八年级期末）如图，在中，，，．以为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（

）A． B． C． D．17．（2021·江苏扬州·八年级期末）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝9，AD⊥BC于D，M为AD上任一点，则MC2－MB2等于（

）A．29 B．32 C．36 D．45考查题型六勾股定理的证明18．（2022·福建·漳州三中八年级期中）意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（

）A． B． C． D．19．（2022·河北邢台·八年级期末）课堂上，王老师要求学生设计图形来证明勾股定理，同学们经过讨论，给出两种图形，能证明勾股定理的是（

）A．①行，②不行 B．①不行，②行 C．①，②都行 D．①，②都不行20．（2022·重庆市南坪中学校八年级期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一．据《周髀算经》记载，勾股定理的公式与证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的蒋铭祖对《蒋铭祖算经》内的勾股定理作出了详细注释，并给出了另外一个证明，下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（

）A．B．C．D．21．（2022·河北承德·八年级期末）如图，已知直角三角形的直角边分别为a、b，斜边为c，以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、半圆、等腰直角三角形和正方形．那么，这四个图形中，直角三角形外，其他几个图形面积分别记作、、．结论Ⅰ：、、满足只有（4）；结论Ⅱ：∵，∴的有（1）（2）（3）．对于结论Ⅰ和Ⅱ，判断正确的是（

）．A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对考查题型七以弦图为背景的计算题22．（2022·江苏·阳山中学八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为129．则小正方形的边长为（

）A．13 B．10 C．15 D．923．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为（）A．90 B．100C．110 D．12124．（2022·江苏·星海实验中学八年级期中）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．625．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用，表示直角三角形的两直角边（），下列四个说法：①，②，③，④.其中说法正确的是(

)A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④26．（2022·江苏无锡·八年级期中）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书（周髀算经）中早有记载；如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内若直角三角形两直角边分别为6和8，则图中阴影部分的面积为（

）A．20 B．24 C．28 D．无法求出考查题型八用勾股定理构造图形解决问题27．（2022·江苏无锡·八年级期末）如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（

）A． B． C． D．28．（2022·江苏宿迁·八年级期中）为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行人校体温检测．如图，人校学生要求沿着直线AB单向单排通过校门口，测温仪C与直线AB的距离为3m，已知测温仪的有效测温距离为5m，则学生沿直线AB行走时测温的区域长度为（

）A．4m B．5m C．6m D．8m29．（2022·江苏南通·八年级期末）△ABC中，，，高，则△ABC的面积为（

）A．66 B．126 C．54或44 D．126或66考查题型九勾股定理与无理数30．（2022·江苏无锡·八年级期中）如图，点A所表示的实数为（）

A． B． C． D．2.531．（2022·江苏盐城·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(－2，3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于（

）A．－4和－3之间 B．3和4之间 C．－5和－4之间 D．4和5之间32．（2