北师大版九年级上第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定 全国优质课一等奖

矩形的性质与判定情景导入

小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？本节课我们就来研究这个问题.1.对角线

的

是矩形.2.有三个角是

的

是矩形.相等平行四边形直角四边形新识探究（1）先截出两对符合规格的铝合金窗料如图①，使AB=CD，EF=GH；（2）摆成四边形（如第②个图），这时窗框的形状是平行四边形；（3）将直角尺紧靠窗框的一个角（如第③个图），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时，说明窗框合格，这时窗框是矩形.新识探究定义判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形。（方法一）你还有其它的判定方法吗？ABCD∠A=900四边形ABCD是矩形∵∴（已知）（矩形的定义）几何语言：新识探究

工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。新识探究命题：对角线相等的平行四边形是矩形。已知：平行四边形ABCD，AC=BD。求证：四边形ABCD是矩形。ABCD新识探究证明：

∴AB=CD,BC=BC（平行四边形对边相等）∴△ABC≌△DCB（SSS）∵四边形ABCD是平行四边（已知）在△ABC和△DCB中AB=CD（已证）BC=BC（已证）AC=BD（已知）∴

∠ABC=∠DCB（全等三角形对应边相等）又∵

∠ABC+∠DCB=180°（平行四边形邻角互补）

∴∠ABC=90°（等式的性质）又∵四边形ABCD是平行四边形（已知）∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）ABCD新识探究对角线相等的平行四边形是矩形矩形的判定方法：几何语言：∵AC=BD，四边形ABCD是平行四边形（已知）∴四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）ABCDO新识探究

李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”这样，她说这就是一个矩形，她的判断对吗？为什么？猜想：你能证明上述结论吗？有三个角是直角的四边形是矩形。新识探究命题：有三个角是直角的四边形是矩形。已知：四边形ABCD，∠A=∠B=

∠C=90°

。求证：四边形ABCD是矩形。ABCD新识探究ABCD证明：∵四边形ABCD，∠A=∠B=90°，∵四边形ABCD，∠B=

∠C=90°，∴AD∥BC，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵

∠A=90°

，∴四边形ABCD是矩形。（矩形的定义）知识点一1.如图，已知ABCD，下列条件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2,④AB⊥BC中，能说明ABCD是矩形的有

（填写序号）.2.(2014,济宁中考模拟）下列说法正确的是（）A.有一个角是直角的四边形是矩形B.两条对角线相等的四边形是矩形C.两条对角线垂直的四边形是矩形D.四个角都是直角的四边形是矩形①④D3.如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）

A.AB=CDB.AD=BCC.AB=BCD.AC=BDD知识点二4.（宿迁中考）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋.若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变.当∠α为

度时，两条对角线长度相等.5.顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH是矩形，可以添加的一个条件是（）A.AD∥BCB.AC=BDC.AC⊥BDD.AD=AB90C点点对接例1：如图，将ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F.（1）求证：△ABF≌△ECF;(2)若∠AFC=2∠D，连接AC、BE，求证：四边形ABEC是矩形.点点对接证明：（1）∵AB=EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴∠BAE=∠FEC.又∵∠AFB=∠EFC，∴△ABF≌△ECF；（2）∵FA=FE，FB=FC.又∠ABF=∠D，∠AFC=2∠D，∴∠AFC=2∠ABF.∴∠ABF=∠BAF.∴FA=FB，∴FA=FE=FB=FC，∴AE=BC，点点对接例2：已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4cm,求这个平行四边形的面积.解析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值.点点对接解：∵四边形ABCD是平行四边形.∵AO=BO，∴AC=BD.∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.在Rt△ABC中，∵AB=4cm,AC=2AO=8cm,∵AB=4cm,AC=2AO=8cm,6.如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，在不添加任何辅助线和字母的情况下，请添加一个条件，使得ABCD变为矩形，需要添加的条件是

..（写出一个即可）7.如图，DE∥BC，AC=BC，AE=EC，延长DE到F，使EF=DE，连结AF、FC、CD，则图中四边形ADCF是

.AC=BD或矩形∠ABC=90°8.下列关于矩形的说法中正确的是（）A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相平分的四边形是矩形C.矩形的对角线互相垂直且平分D.矩形的对角线相等且互相平分9.在□

ABCD中，增加一个条件就为矩形，则增加的条件是（）

A.AB=CDB.∠B+∠D=180°C.AC=2ABD.对角线互相垂直DB10.（白银中考）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF.（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由.解：（1）BD=CD.理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE.∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD.∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DECAE=DE，（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边