初三数学相似三角形的性质及判定含答案

PagePAGE5ofNUMPAGES46相似三角形的性质及相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换．2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等．3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，与相似，记作，符号读作“相似于”．2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，与相似，则有．2．相似三角形的对应边成比例如图，与相似，则有（为相似比）．3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，与相似，是中边上的中线，是中边上的中线，则有（为相似比）．图1如图2，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．图2如图3，与相似，是中的角平分线，是中的角平分线，则有（为相似比）．图34．相似三角形周长的比等于相似比．如图4，与相似，则有（为相似比）．应用比例的等比性质有．图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，与相似，是中边上的高线，是中边上的高线，则有（为相似比）．进而可得．图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”．1．横向定型法欲证，横向观察，比例式中的分子的两条线段是和，三个字母恰为的顶点；分母的两条线段是和，三个字母恰为的三个顶点．因此只需证．2．纵向定型法欲证，纵向观察，比例式左边的比和中的三个字母恰为的顶点；右边的比两条线段是和中的三个字母恰为的三个顶点．因此只需证．3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。这类问题的典型模型是射影定理模型，模型的特征和结论要熟练掌握和透彻理解．倒数式的证明，往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值和的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之．复合式的证明比较复杂．通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换），等比代换，等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明．六、相似证明中常见辅助线的作法在相似的证明中，常见的辅助线的作法是做平行线构造成比例线段或相似三角形，同时再结合等量代换得到要证明的结论．常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等．如图：平分交于，求证：．证法一：过作，交的延长线于．∴，．∵，∴．∴．∵，∴．点评：做平行线构造成比例线段，利用了“A”型图的基本模型．证法二；过作的平行线，交的延长线于．∴，∴．∵，∴．点评：做平行线构造成比例线段，利用了“X”型图的基本模型．七、相似证明中的面积法面积法主要是将面积的比，和线段的比进行相互转化来解决问题．常用的面积法基本模型如下：如图：．如图：．如图：．八、相似证明中的基本模型例题精讲例题精讲一、与三角形有关的相似问题如图，在中，，点在边上，若在增加一个条件就能使，则这个条件可以是．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】2星【题型】填空【关键词】昆明市，中考题【解析】略【答案】或或．如图，、是的边、上的点，且，求证：.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】2星【题型】解答【关键词】2007年，北师大附中，期末试题【解析】略【答案】∵∴∵∴∽∴如图，在中，于，于，的面积是面积的4倍，，求的长.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3【题型】解答【关键词】3星【解析】略【答案】∵，，∴∽∴∵∴∽∴直线与的边相交于点，与边相交于点，下列条件：①；②；③；④中，能使与相似的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】相似三角形的性质与判定【难度】2星【题型】选择【关键词】2006年，哈尔滨市中考题【解析】略【答案】C如图，中，，点是内一点，使得，，则．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】填空【关键词】【解析】，，故，．【答案】如图，已知三个边长相等的正方形相邻并排，求．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3星【题型】解答【关键词】山东省，竞赛题【解析】连接、，则，若，则可求，问题的关键是证明．【答案】如图，已知中，，，与相交于，则的值为（）A.B.1C.D.2【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】选择【关键词】【解析】这类题的解法：找适当的点，作适当的平行线，构造基本图形解题，或者直接运用梅氏定理来解题.【答案】C在中，，的延长线交的延长线于，求证：.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过作交于，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴如图，在的边上取一点，在取一点，使，直线和的延长线相交于，求证：【考点】相似三角形的性质和判定【难度】4星【题型】【关键词】【解析】略【答案】过作交于，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴∴如图，、为边上的两点，且满足，一条平行于的直线分别交、和的延长线于点、和.求证：.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过，分别作的平行线交于，两点，交于，∵，∴，易知，，∴，即，又∵，∴，即.如图，已知，若，，，求证：.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】∵∴∵∴两式相加并变形可得，，即.如上图，，，垂足分别为、，和相交于点，，垂足为.证明：.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】黄冈市，中考题【解析】略【答案】由，，，则必有．进而可知，，两式相加并变形可得，如图，已知，找出、、之间的关系，并证明你的结论.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】，过点、、分别作的垂线，垂足为、、.由变式1可知，，故即点评：此题的证明过程体现了“集中”这一思想，将、集中到同一条线段上，从而发现它们的和是一个常数.如图，在四边形中，与相交于点，直线平行于，且与、、、及的延长线分别相交于点、、、和.求证：【考点】相似三角形的性质与判定【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】∵∴∵∴∴点评：本题通过证明原结论的变形式——两个分式（比例）等于一个相同（或相等）的分式（比例）来证明他们已知，如图，四边形，两组对边延长后交于、，对角线，的延长线交于．求证：．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】证法一：过作交、于，则有，∴，又∵，∴，∴．证法二：由塞瓦定理的充分性可得：．又因为，代入上式得，即．所以．已知：为的中位线上任意一点，、的延长线分别交对边、于、，求证：【考点】相似三角形的性质与判定【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】延长、分别交过的平行的直线于、两点，∵，且，∴， 又∵∴，可得，又∵，，∴如图所示，是一个凸六边形，、、分别是直线与、与、与的交点，、、分别是与、与、与的交点，如果，求证：．【考点】相似三角形的性质和判定【难度】5星【题型】解答【关键词】1997年，罗马尼亚，数学奥林匹克竞赛试题【解析】略【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、、构成一个与相似的三角形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、、集中到一起构成一个与相似的三角形．如图所示，将平移至位置，则，且，所以，且，因此，从而，且．这说明，且，进而，且．又因为，于是，所以，注意到，，故．设、分别是凸四边形的边、上的点，且，求证：直线与之间的夹角等于直线与之间的夹角．【考点】相似三角形的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】第二届，拉丁美洲，数学奥林匹克竞赛试题【解析】法1：要求证夹角相等，而题目中的线段太分散，我们尝试将线段进行集中．如图所示，将平移至的位置，则，且．过点作的平行线交于点，则，因而由三角形的角平分线的判定定理可知平分．另一方面，由及可知，而，且，故，且，于是．而，注意到平分，即得．这就是说，直线与之间的夹角等于直线与之间的夹角．法2连接，过点作，交于点．连接，由可知．注意到，，只要再证明、即即可．注意到①，②，①÷②可得，而，故．如图，中，，若分别是的中点，则；若分别是的中点，则；若分别是的中点，则；…………若分别是的中点，则_________.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3星【题型】填空【关键词】安徽省中考题【解析】，以下是证明过程：；；；………..【答案】如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边形．若三个三角形的面积分别为，则的面积是．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】5星【题型】填空【关键词】四川省，竞赛题【解析】设的面积为，则，故．【答案】如图，梯形的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为，则梯形的面积是（）A． B．C． D．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】5星【题型】填空【关键词】2006年，广东省，竞赛题【解析】略【答案】B如图，梯形中，，两条对角线、相交于，若，那么．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】5星【题型】填空【关键词】河南省竞赛题【解析】略【答案】已知：的高所在直线与高所在直线相交于点．（1）如图l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点，求证：；（2）如图2，若，过点作，交直线于点，则之间满足的数量关系是；（3）在（2）的条件下，若，，将一个角的顶点与点重合并绕点旋转，这个角的两边分别交线段于两点（如图3），连接，线段分别与线段、线段相交于两点，若，求线段的长．【考点】相似三角形的性质和判定，旋转类全等问题【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】(1)证明：∵∴，∴∵，∴∵，∴∵，∴∴∵∴，∴∴，∴(2)(3)如图，∵，∴∵，∴，∴∵，∴，∴∵∴∵，由（2）知，∴∴，∴为等腰直角三角形∴分别过，作于点于点∴四边形为矩形∴∴，∴∵∴∴∵∴∵∴∴∴∴∵∴∵∴∴∵∴∴，∴∴∴如图所示，在中，，，为的中点，，是边上的点，，求的面积与的面积的两倍的和．【考点】相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】将补成一个等边三角形，并作的对称三角形，可以发现等边三角形的面积等于．作，其中点在的延长线上，则为等边三角形.作于点，并取点关于点的对称点，则有．而，，故，且相似比为．则．而()，故．【答案】二、与平行四边形有关的相似问题如图，已知平行四边形中，过点的直线顺次与、及的延长线相交于点、、，若，，则的长是．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】略【答案】10.5如图，已知，，求证：.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】∵，∴，，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】山东省，竞赛题【解析】延长，交于点．【答案】如图：矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，，且与的交点为点，求的面积。【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【答案】【解析】延长交的延长线于点，连接。由知，而，故。∵∴。又因为，所以。从而可知。所以。又，故如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设是否存在这样的值，使得∽，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】重庆市，中考题【解析】略【答案】（1）延长、，交于点.易证≌，故.又，故，≌在中，，这个基本图形中，∽，故∽（2）由∽可知，又，，故∽从而可知，故，故.三、与梯形有关的相似问题如图，在梯形中，，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】山东省，初中数学，竞赛题【解析】过点做交于点．设,则∵∴由梯形与梯形周长相等，可得由（1）（2）知∵∴∵∴∴【答案】已知：如图，在梯形中，，是的中点，分别连接、、、，且与交于点，与交于.（1）求证：（2）若,，求的长.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】（1）∵∴，∵∴（中间过渡量）∴（2）∵∴ 如图，在梯形中，，分别是的中点，交于，交于，求的长．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【关键词】上海市，数学竞赛题【解析】方法一：由可知，方法二：观察此题与上题颇为相似，于是猜想，但是本题中没有可以直接使用基本图形结论的条件，可通过连接来实现，设、交于点.∵∴，∵，∴∴（∵，其中为中间过渡量）∵∴∴如果双向延长分别与、交于点、，则有.【答案】如图，已知梯形中，，，,,(),,交于点，连接.（1）判断与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】延长、交于点.∵，∴，∵∴≌在基本图形中，，故∽从而可知，∽与不一定相似，如果相似，则它们必然全等，分析如下：若，由，，共用可知，两三角形必然全等；若，则由∽可知，，故，这是显然不可能的.当时，由题意可知，，故.四、与内接矩形有关的相似问题中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】厦门市,中考题【解析】略【答案】设正方形的边长为，、的交点为，则有，即解之得，故本题有一个相似形中的典型的基本图形：如图，，，则（相似三角形高线之比等于相似比）如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】方法1由勾股定理可求得，由可得．由可得，设正方形的边长为，则，解得．方法2：设，则，∴，∴，即，解得，∴如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过作，垂足为，连接．设，则，则有，即，解得，∴设正方形的边长为，则有，即．解得．所以正方形的边长为．如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，求的面积．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】设正方形边长为，则．由，得，∴，解得，∴，∴如图，在中，，，，动点(与点，不重合)在边上，∥交于点．⑴当的面积与四边形的面积相等时，求的长．⑵当的周长与四边形的周长相等时，求的长．⑶试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出的长．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】2007年，内江，分类讨论思想【解析】略【答案】⑴∵∴∽当时，则∴，∴⑵当与四边形周长相等时，则：设与的相似比为则，，，∴解得：，∴⑶①如图过(或)，分别作垂线，垂足为(或)，当(或)时，(或)为等腰直角三角形．过作于，交于，则，设，由，得∵∽∴，即∴，∴②作的中垂线，交于，当时为等腰直角三角形．设，则．∵∽∴，即解得，即．五、与角平分线有关的相似问题如图，是的角平分线，求证：【考点】与角平分线有关的相似问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过作交直线于.∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴，由可得：，∴已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：【考点】与角平分线有关的相似问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过作交直线于.∵，∴，又∵平分，∴，∴，∴，由可得：，∴已知中，的外角平分线交对边的延长线于，求证：【考点】与角平分线有关的相似问题【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】在外作交的延长线于点，∵，，∴，又∵，∴∴，即，①由可得：，又∵，∴，∴，②得：∴，即已知：、分别为的内、外角平分线，为的中点，求证：【考点】与角平分线有关的相似问题【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】连接，由已知条件可知，，又∵∴，∴，∴.已知：、分别为的内、外角平分线，求证：.【考点】与角平分线有关的相似问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】由三角形内、外角平分线性质定理得：，，∴，故，整理得：，两边同除以得在中，，平分交于点，求证：【考点】与角平分线有关的相似问题【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】过点作的平行线，交于点.∵，，∴∵，∴∴∵，∴等式两边同除以，则有：本题即为诺模图定理，本题也可以分别以，分别向外作等边三角形，，如右图：由基本模型：，等量代换即可证得.已知四边形，、分别为一组对边、的两点，若求证：、与成等角.【考点】与角平分线有关的相似问题【难度】5星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】作、，、相交于，作、，、相交于，连接，，可证得四边形、均为平行四边形，∴，，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴、、在同一条直线上.由∴，∴∵，，∴.由角平分线逆定理可知，∵，，∴、与成等角.如图，已知是的平分线上的定点，过点任作一条直线分别交、于、.证明：是定值；⑵求的最小值【考点】与角平分线有关的相似问题【难度】6星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】⑴方法一：过点作的垂线，分别交、于点、，过点作的平行线交的延长线于点.∵，，∴，∵∴∵，∴∴因为点为定点，故、均为定点，为定值，所以是定值.方法二：过作，交于，易证得：设，∵∴，即，整理得：，∵已知是的平分线上的定点，∴为定值.∴为定值.⑵因为，其中为定值，要使的值最小，则必须使的值最小.而又，∴当且仅当，即点处于点处时有最小值.此时有最小值本题的⑴小问归根结底用到的也是拆分，不过它里面结合了“角平分线定理”和复杂的比例变换.六、与公共边有关的相似问题如图，直角中，，，证明：，，.【考点】与公共边有关的相似问题【难度】3星【题型】解答【关键词】2002年，宁夏，中考试题【解析】略【答案】∵，∴∽∽∵∽∴同理可得，，点评：上述的结论就叫做射影定理，这个结论及相关基本图形非常重要.如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于，连接，若，则下列四对三角形：①与；②与；③与；④与，其中相似的为（）A．①④ B．①② C．②③④ D．①②③【考点】与公共边有关的相似问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2006年，武汉市，中考题【解析】略【答案】D如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（）A． B． C． D．【考点】与公共边有关的相似问题【难度】3星【题型】选择【关键词】2006年，南充市，中考题【解析】略【答案】A如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：.【考点】与公共边有关的相似问题【难度】4星【题型】解答【关键词】2007年,北师大附中试题【答案】【解析】熟悉了上例的基本图形和相关结论后，例12就迎刃而解了.直接证明有些困难，可通过射影定理转化成证明即证明，这个结论比较明显，证明∽即可.如图，，点在上，，是的中点，于，点是的中点，连接。求证：。【考点】与公共边有关的相似问题【难度】【题型】【关键词】河南省，初三数学竞赛题【答案】【解析】连接。∵∴，∴（射影定理）∵∴∵∴∴∴已知，如图正方形内接于，在斜边上，于。求证：（1）；（2）。【考点】与公共边有关的相似问题【难度】3星【题型】解答【关键词】2001年，青岛市中考题【解析】略【答案】（1）（2）如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过的直线交于．⑴，⑵．【考点】与公共边有关的相似问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】【答案】⑴∵，∴∴，又∵，∴，⑵，，∴，∴∴如图，中，，于为的中点，的延长线交于．求证：．【考点】与公共边有关的相似问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】∵，为中点，∴，∴，又∵，∴，又∵，，∴，又∵，∴，∴，∴．如图，等腰中，，于，，延长交于，交于，求证：．【考点】与公共边有关的相似问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】连接，由，∴，再证明可得（也可以由，于是，等量减等量便可得）又∵，∴，∴，又∵，∴．如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：．【考点】与公共边有关的相似问题【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】连接∵垂直平分，∴，∴，即，又∵，∴，∵平分，∴，∴，又∵，∴，∴．又∵，∴如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：平分．【考点】与公共边有关的相似问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】连接，∵垂直平分，∴，∵，∴∴，又∵∴，∴，∵，，∴，∴，即平分．已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求证：．【考点】与公共边有关的相似问题【难度】3星【题型】解答【关键词】2006年，淄博市中考题改编【答案】【解析】∵，∴．又∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，即，∵，∴．已知，如图，为等腰三角形，，在不添加辅助线的条件下：⑴当与满足什么关系时，(括号里填图中已有线段)．⑵证明你的结论．【考点】与公共边有关的相似问题【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】略【答案】⑴当时，(或)⑵∵，即，∴，∵，∴，又∵，∴，同理，∴，∴，即，又∵，∴．点评：本题中，如果两个三角形有两角相等，如图，，且，则两三角形相似，若两三角形中有两边相等，且这两边不是对应边，则这个相等的边一定他们各自对应边的比例中项．七、与旋转有关的相似问题如图，直角梯形中，，，，为梯形内一点，且，将绕点旋转使与重合，得到，连交于．已知，则的值为（）A．B．C．D．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3星【题型】选择【关键词】2008年，湖北省荆州市【解析】略【答案】∵，∴，又∵，∴，由题意可知：，∴，在中，，∴．故选C．如图，四边形和均为正方形，求_________.【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】填空【关键词】全国，初中数学联赛武汉选拔赛试题【解析】略【答案】连接。∵∴∴∵∴∵∴∴∴∴∴（1）如图1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接，求证：．（2）如图2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似于，请问：是否有？证明你的结论．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】3星【题型】解答【关键词】2005年，苏州市中考题【解析】略【答案】（1）由，得，故．（2）由，得，故．把两块全等的直角三角板和叠放在一起，是三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时，．（2）将三角板由图1的所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为，其中，问的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠的部分面积为，求于的函数关系式．【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】2006年，常德市，中考题【解析】（1）8（2）由，，得，故，值不会改变．（3）当时，，即，此时两三角板重叠部分的面积为四边形，（）；当时，即，此时两三角板重叠部分为，，，由，得．，．【答案】（1）8；（2）由，，得，故，值不会改变．（3）（），（）；八、与相似有关的动点问题如图，中，，点从出发，沿方向以的速度移动，点从出发，沿方向也以的速度移动，若分别从出发，经过多少时间与相似？【考点】相似三角形的性质与判定【难度】4星【题型】解答【关键词】分类讨论思想【解析】略【答案】∵，设，∴，即，解得（负值已舍去）∴设经过后与相似．此时本题需分两种情