高思奥数导引小学五年级含详解答案第08讲：直线型计算二

第8讲：直线形计算二

内容概述：

进一步学习直线形面积公式的运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转化；初

步学习添加辅助线的分析方法。

典型问题：

兴趣篇

1.如图8-1,四边形AB。。是直角梯形。其中4）=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15

（厘米），且三角形4）£、四边形。EB尸、三角形CCF的面积相等。阴影三角形

的面积是多少平方厘米？

2.一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图8-2所示（单位：平方

米），剩下一块的面积应该是多少平方米？

3.如图8-3,在三角形ABC中，BC是OC的三倍，AC是EC的3倍。三角形DEC的面

积是3平方厘米。请问：三角形A8C的面积是多少平方厘米？

27

4.如图8-4,E是8c上靠近C的三等分点，且ED是AD的2倍。三角形43c的面积为36

平方厘米。三角形5ZJE的面积是多少平方厘米？16

洌8-5

4.如图8-5所示，已知三角形8EC的面积等于20平方厘米，E是4?边上靠近8点的四

等分点。三角形曲的面积是多少平方厘米？平行四边形。EC尸的面积是多少平方厘

米？

【分析】连接AC,由于三角形的面积是20平方厘米，而AE:E3=3:1,所以三角形

AOE的面积是60平方厘米，则三角形。E尸的面积是80平方厘米，则平行四边形OEC尸的

面积是160平方厘米。

6.如图8-6,已知平行四边形A8c。的面积为36,三角形A。。的面积为8。三角形80c的

面积为多少？

7.如图8-7,长方形A8CD的面积是96平方厘米，E是45边上靠近。点的三等分点，产是

C。边上靠近C点的四等分点。阴影部分的面积是多少平方厘米？

8.如图8-8,将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角

形的5倍。三角形相£的边的长是多少？

图8-8

9.如图8-9,把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米,结果面积增加了71平方厘米（阴

影部分）。原正方形的面积为多少平方厘米？49

图8-9图8-1()

10.如图8-10,四边形A8CO内有一点。，。点到四条边的垂线都是4厘米。四边形的周长

是36厘米。四边形的面积是多少平方厘米？

拓展篇

1.如图8-11,有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平

方米。其余4个长方形的面积分别是多少平方米？

2.如图8-12中三角形ABC的面积是180平方厘米，。是BC的中点，的）是AE的3倍。

三角形叱的面积是多少平方厘米？

图8-11图8-12图8-13

3.如图8-13,在四边形ABC/）中，已知C/）=3DF,AE=3ED,而且三角形8FC的面积

为6平方厘米，四边形的罚的面积为7平方厘米。大四边形A8CO的面积是多少？

4.如图8-14,把三角形。瓦'的各边向外延长1倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面

积为1。三角形。砂的面积是多少？

5.如图8-15,E是AB边上靠近A点的三等分点，梯形48C。的面积是三角形AEC面积的

5倍。请问：梯形的下底长是上底长的几倍？

6.如图8-16,一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，

黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形

的面积是多少平方厘米？

7.图8-17中，正方形488的面积为1。把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方

形内部的某一点P相连接，形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形。阴影部分的总

面积是多少？

8.如图8-18,在梯形ABC。中，E是43的中点。己知梯形A3C£＞的面积为35平方厘米,

三角形曲的面积为13平方厘米。三角形BCE的面积为多少平方厘米？

图8-18

9.在图8-19中，正方形和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4。三

角形4CG和三角形比方的面积分别是多少？

图8-19

10.图8-20是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成，有一条与"边平行的

直线所将此图形分成面积相等的两部分，那么8b的长度为多少厘米？

-4B

E----------------------------------------F

8

1012

图8-20

11.(1)如8-21中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面

积增加了50平方厘米（阴影部分）。原正方形的面积为多少平方厘米？

（2）如图8-2中中间图所示，把一个正方形的相邻两边减少3厘米与减少5厘米，结果面

积减少了65平方厘米（阴影部分），则原正方形面积为多少平方厘米？

图8-21图8-22

超越篇

1.如图8-23,三角形ABC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四

个三角形。请求出CE和C尸的长度之和。

图8-23图8-24

2.如图8-24,把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH。如果ABC。的

面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？

3.图8-25中ABC。是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）。过/点的线段将

五边形EFGH1分成面积相等的两部分。线段BM的长度是多少厘米？

5.如图8-26,在钝角三角形ABC中，用为回边的中点，MD、EC都垂直于8C边。若

三角形助区的面积是3平方厘米，则三角形ABC的面积是多少？

6、在图8-27中，大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米。大正方形面积是多少平方

厘米？

20厘米

图8-27图8-28

5、如图8-28,直角三角形A8C的三边长分别为AC=30（分米），AB=18（分米），8c=24

（分米），区＞垂直于AC,且ED=95（厘米）。问正方形8FEG的边长是多少厘米？

6、菜鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位。三百回合大战后，两人不分胜负。

突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖。说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大

虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见"瞠"的一声，飞镖被劈成

了两半。如图8-29,菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5。被大虾劈开的刀口如虚

线所示，那么较小的那部分残片占到整体面积的几分之几？

8.如图8-30,将三个边长为1的正方形组合在一起，中间的正方形的两个顶点恰好是另外

两个正方形的中心。请问：图中阴影部分的面积是多少？

E

D

第8讲：直线形计算二

内容概述：

进一步学习直线形面积公式的运用；学会将线段倍数关系与面积倍数关系进行相互转化；初

步学习添加辅助线的分析方法。

典型问题：

兴趣篇

6.如图8-1,四边形A8CO是直角梯形。其中4）=12（厘米），48=8（厘米），BC=15

（厘米），且三角形45E、四边形皿近、三角形CD尸的面积相等。阴影三角形o所的

面积是多少平方厘米？

3

【分析】令4E的长度为x厘米，则CF的长度为一x厘米，则有:

2

15--1xjx8+（8-x）xl2

x-=6x

2

解之得：x=6。

所以阴影三角形DE尸的面积是：S阴=6x12+2—2x6+2=36-6=30（平方厘米）。

7.一块长方形的土地被分割成4个小长方形，其中三块的面积如图8-2所示（单位：平方

米），剩下一块的面积应该是多少平方米？

【分析】最后剩下的那块面积应为：40x15+30=20（平方米）

A

8.如图8.3,在三角形48c中，8c是DC的三倍，4c是EC的3倍。三角形OEC的面

积是3平方厘米。请问：三角形48c的面积是多少平方厘米？

27

1

【分析】S：加形DEC-CEXCDJ.L

9-

S三角形ABCBCxAB33

所以三角形ABC的面积是27平方厘米。

4.如图8-4,E是BC上靠近C的三等分点，且EQ是AD的2倍。三角形4BC的面积为36

平方厘米。三角形皿花的面积是多少平方厘米？16

【分析】由于三角形ABC的面积是36平方厘米，而BE:BC=2:3,所以三角形8DE的面

积是24平方厘米。同理，三角形8OE的面积是16平方厘米。

9.如图8-5所示，已知三角形BEC的面积等于20平方厘米，£是他边上靠近8点的四

等分点。三角形曲的面积是多少平方厘米？平行四边形OEC尸的面积是多少平方厘

米？

【分析】连接AC,由于三角形BEF的面积是20平方厘米，而AE:EB=3:1,所以三角形

AQE的面积是60平方厘米，则三角形。EF的面积是80平方厘米，则平行四边形。ECF的

面积是160平方厘米。

6.如图8-6,已知平行四边形ABC。的面积为36,三角形A。。的面积为8。三角形BOC的

面积为多少？

AED

【分析、根据题意，阴影部分面积之和为平行四边形面积的一半，由于三角形AD。的面积

是8,则三角形08c的面积为10。

7.如图8-7,长方形A8C£＞的面积是96平方厘米，E是4）边上靠近。点的三等分点，尸是

CD边上靠近C点的四等分点。阴影部分的面积是多少平方厘米？

一211

【分析】由于S三角形ME=§X]XS长方形=§S长方形=32；

1

S2

=XX---

长

S三角形BFC7ZS长方形8方形

所以阴影部分的面积是：96-32-12-12=40（平方厘米）。

8.如图8-8,将一个长为18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角

形的5倍。三角形"E的边BE的长是多少？

图8-8

【分析】由于梯形的面积是三角形面积的5倍。所以长方形面积是三角形面积的6倍。

连接AC,则BE:BC=1:3。所以BE的长度是6厘米。

9.如图8-9,把一个正方形的相邻两边分别增加3和5厘米,结果面积增加了71平方厘米（阴

影部分）。原正方形的面积为多少平方厘米？49

【分析】令原来正方形的边长为。，则新增加的面积为：5a+3（5+a）=71,解之得：a=7

所以原正方形的面积为49平方厘米。

10.如图8-10,四边形ABC。内有一点。，。点到四条边的垂线都是4厘米.四边形的周长

是36厘米。四边形的面积是多少平方厘米？

【分析】根据题意，连接。小OB、OC、OD,则四边形的面积为：36x4+2=72（平方

厘米）。

拓展篇

9.如图8-11,有9个小长方形，其中的5个小长方形的面积分别为4、8、12、16、20平

方米。其余4个长方形的面积分别是多少平方米？

【分析】根据题意，。的面积为：4x16+8=8（平方厘米）；

匕的面积为：12x16+8=24（平方厘米）；

同理可证明，c=10,J=30

4a12

816b

C20d

10.如图8-12中三角形ABC的面积是180平方厘米,。是BC的中点，AQ是AE的3倍。

三角形4俎的面积是多少平方厘米？

图8-11图8-12图8-13

【分析】由于。是中点,所以三角形ABD的面积为90平方厘米。所以三角形ABE的面积

为30平方厘米。

11.如图8-13,在四边形ABCO中，已知C£>=3OF,AE=3ED,而且三角形BFC的面积

为6平方厘米，四边形班班的面积为7平方厘米。大四边形A8C0的面积是多少？

【分析】连接BO，由于C/：Ob=2:l,则有三角形8。F的面积为3,三角形OEB的面

积为4,又由于AE:QE=3:1,所以三角形ABE的面积为12。所以大四边形A8CC的面积为：

6+3+4+12=25（平方厘米）；

12.如图8-14,把三角形QE尸的各边向外延长1倍后得到三角形ABC,三角形ABC的面积

为1。三角形比尸的面积是多少？

S三角形DEF=EFxDF_

S三角形AFCCFxFA2

所以三角形AFC的面积为2份，同理，三角形ABC的面积为2份，三角形的面积为2

份。则三角形ABC的面积为7份，为1,。

所以S三角形0EF=~'

13.如图8-15,E是"边上靠近A点的三等分点，梯形A8CO的面积是三角形4EC面积的

5倍。请问：梯形的下底长是上底长的几倍？

【分析】根据题意，令三角形AEC的面积为1份，则三角形BEC的面积为2份。梯形ABC。

的面积为5份，所以三角形ADC的面积为2份。

3

则梯形的下底面长是上底长的：==1.5倍。

2

14.如图8-16,一个长方形被分成4个不同颜色的三角形，红色三角形的面积是9平方厘米，

黄色三角形的面积是21平方厘米，绿色三角形的面积是10平方厘米，那么蓝色三角形

的面积是多少平方厘米？

图8-16图8-17

【分析】根据题意，由于黄色+绿色=红色+蓝色=长方形面积的一半。

所以蓝色三角形的面积为：21+10-9=22（平方厘米）。

15.图8-17中，正方形A8CD的面积为1。把每条边都3等分，然后将这8个等分点与正方

形内部的某一点P相连接，形成4个阴影的四边形和4个空白的三角形。阴影部分的总

面积是多少？

【分析】根据题意，连接以、PB、PC、PD,每一个小三角形内阴影部分的面积均为其中

22

的］。所以阴影部分的面积是§

8.如图8-18,在梯形A8C3中，E是的中点。已知梯形ABCO的面积为35平方厘米,

三角形的面积为13平方厘米。三角形BCE的面积为多少平方厘米？

图8-18

【分析】根据题意，由于梯形的面积为35平方厘米，而三角形A8Q的面积为13平方厘米，

所以三角形DBC的面积也为22平方厘米。所以三角形ABC的面积也为22平方理米，则三

角形BEC的面积为11平方厘米。

9.在图8-19中，正方形43ES和正方形ECFG底边对齐，两个正方形边长分别为6和4。三

角形ACG和三角形BDF的面积分别是多少？

图8-19

【分析】（1）根据题意，连接E4,则根据蝴蝶模型，由三角形AG。的面积与三角形E。。

的面积相等，所以所要求的阴影部分面积为正方形GFCE的一半，即为：4x4+2=8；

（2）连接FE,则三角形8尸。的面积与三角形。0E的面积相等。

则图中阴影部分发呢面积为正方形面积的一半，为6x6+2=18。

10.图8-20是由边长分别为10厘米、12厘米、8厘米的正方形构成，有一条与A3边平行的

直线即将此图形分成面积相等的两部分，那么8尸的长度为多少厘米？

;____________________B

E----------------------二2ZZF

8

1012

图8-20

【分析】令8尸的长度为羽则有：

20x+10（x-2）=22x（12-x）+8（8-x）,解之得：x=5.8。

所以8F的长度为5.8厘米。

11.（1）如8-21中左图所示，把一个正方形的相邻两边分别增加2厘米和4厘米，结果面

积增加了50平方厘米（阴影部分）。原正方形的面积为多少平方厘米？

（2）如图8-2中中间图所示，把一个正方形的相邻两边减少3厘米与减少5厘米，结果面

积减少了65平方厘米（阴影部分），则原正方形面积为多少平方厘米？

图8-21图8-22

【分析】（1）根据题意，令原正方形的边长为。，则有：4“+2（a+4）=50,解之得；a=7。所以

原正方形的面积为/=49。

（2）根据题意，令原正方形的边长为。，则有：5a+3（a—5）=65,解之得：所以原

正方形面积为100.

12.如图8-22,直角三角形A8C套住了一个正方形CQE尸，E点恰好在AB边上。直角边AC

长20厘米，8c长12厘米。正方形的边长为多少厘米？

【分析】令这正方形边长为。，则有：

a2+(20-a)xaxg+(12-a)xaxg=16a=12x20+2

解之得：a=7.5,则正方形的边长为7.5厘米。

超越篇

1.如图8-23,三角形4BC的每边长都是96厘米，用折线把这个三角形分割成面积相等的四

个三角形。请求出CE和CF的长度之和。

图8-23图8-24

2

【分析】由于S三角形小：S三角切卯=1:2,所以CE=§BC，则CE=64（厘米）：

3

而由于S储.・街招Bnc=l：3,所以DC=-AC=72（厘米），所以CF=36（厘米）。

则两者的长度和为：64+36=100（厘米）。

2.如图8-24,把四边形4BC。的各边都延长1倍，得到一个新四边形。如果ABC。的

面积是5平方厘米，则EFGH的面积是多少平方厘米？

【分析】连接BD,有AEAH,A4BD中ZEAD+ZBAD=180P,又夹成两角的边EA,AH.

£AxAH

AB.A£）的乘积比7，---------=2,所以S—仇w=2s-缶也。

AJOx一角心-.用形E4/J

类似的，还可得

S三角形FCG=2s三角形B8，

有$三角形EAH+5三角形FCG=2（S三角形ABD+$三角形BCD）=1。

同理可证：S三角形EBF+S三角DUG=2（S三角形ABD+$三角形BCD）=1。

所以四边形EFG”的面积是：25立方厘米。

3.图8-25中ABC。是正方形，图中数字是各线段的长度（单位：厘米）。过/点的线段将

五边形EFGHI分成面积相等的两部分。线段BM的长度是多少厘米？

【分析】S五边形=8x8—2x5+2-3x4+2—4x2+2—1x6+2=46

所以五边形面积的一半为23.

而连接尸/,三角形EF/的面积为：”5）x8-5x2+2—6x1+2=24-8=16

2

所以§三角形FM/=；尸加x8=7

所以用W的长度为1.75厘米，所求的长度为2.75厘米。

10.如图8-26,在钝角三角形ABC中，用为回边的中点，MD、EC都垂直于BC边。若

三角形比花的面积是3平方厘米，则三角形4BC的面积是多少？

【分析】连接MC,根据梯形蝴蝶模型，可知：三角形OEM的面积=三角形CDM的面积。

所以三角形BDE的面积与三角形CMB的面积相等,均为3厘米，又由于M为中点，所以三

角形A8C的面积为6.

7、在图8-27中，大正方形面积比小正方形面积大40平方厘米。大正方形面积是多少平

方厘米？

v-

20厘米