光学信息技术原理及应用课后重点习题答案

光学信息技术原理与应用

第一章习题解答

1.1已知不变线性系统的输入为g(x)=comb(x),系统的传递函数若b取(1)6=0.5⑵b=1.5,

求系统的输出g'(x)o并画出输出函数及其频谱的图形。

答(1)g(x)=F{5(x)H图形从略，

一叫19+1)b1+|,

(2)g(x)=F■cos(2nx)图形从略。

3

1.2若限带函数/(x,y)的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零,

(1)如果同＜、，问＜A，试证明

向sine俳噬卜的)=心)

,-F{/(x,y)}=F{f(x,y^rect

K伞＞「{f(x,y)}rect(afx心

证明：

{F{/(3)}rect(flfx0丫)＞嬴

⑵如果|a|＞Lw＞」-,还能得出以上结论吗?

答：不能。因为这时F{/(x,y)}recf

1.3对一个空间不变线性系统，脉冲响应为

h(x,y)=7sinc(7xM(y)

试用频域方法对下面每一个输入力(x,y),求其输出&(x,y)。(必要时，可取合理近似)

(1)/](x,y)=cos4办

g](x，)')=F{F{/,(x,y)}F%(“)}卜Ft{F{COS4JIX}F{7si〃(7x»(y)}}

答:

=FtrF{COS4JIx}rec《宁)卜Ft{F{COS4JIX}}^COS4)

F7TX

y

(2)/2(x,y)=cav(47ix)recty-^\rect\

75

答:

g2(3)=F।{F{/；(x,y)}F{Mx,y昨F，F<COS(4TIx)n?cf\rect\F{7si〃(7x»(y)}>

3)

(((y

=F-<F{COS4Rx}*75-75sinc75fx)sinc75fy^jrect=COS(4Rx)recv^-^\rect\

75

&(x，y)=[l+cos(&x)卜

g3(x,y)=F，F“+cos(&x)]rec7^j|-F{7si〃(7x»(y)}■

=Ft<(F{l+cos(8;tx)}*75sinc(7»；W(fv))rea(3]]

答：I)

=FT的(x)+k9-4收(A+4“*75用c(7肌位)卜c恰)

1X

+475.加(7凯)8亿).佶>=F{75sinc(75fx)B(fy)}=recz|

75

(4)于4(x,y)=comb(x)*(rect(2x)rect(2y))

答：

,

g2(x,y)=F'{F{comh(x)*(recZ(2x)recZ(2>))}F{7s%(7x)5(y)}}

=F[曲(f"v卜0.637业「1J》0.637泣+l,/)0.212加-3,/)…)卜c佶11.4

=F-'{0.258(fx,fyXO.1595(/A-1,/v卜0.15免(/,+l,/)0.05384-3J)0.05354+39,)}

=0.25+0.318C6?5(2^X)-0.106COS(6TTX)

给定一个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波

g,.(X)=；CO〃力(；卜£7位)*A(X)

对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出。

⑴H(/)=rectUI

(2)”(/)=rec(q)-rect(4)

答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形

G(f)=F{gj(x)}=<F*Fjre-c?(^)j{A(x)}>

=[comb(3f)*50sinc(50/)]sinc2f

方括号内函数频谱图形为：

图1.4(1)

sin02/图形为:

图1.4(2)

因为sine?/的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个分量以外的其他分

量，因为此时sine?/的最大值小于0.04%。故图解G(f)频谱结果为:

G(f)

50

50*0.685

50*0.171

2

~33

图1.4(3)

传递函数(1)形为:

图1.4(4)

因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为：

,)+网吟切叱/5。血.)+0.呻("**)］｝

其反变换，即输出函数为：

X2x

1+1.37COS2TT—+0.342cos2^r—jrrect(—)

L33J50

该函数为限制在［-25,25］区间内，平均值为1,周期为3,振幅为1.37的一个余弦函数与周期为1.5,振幅为

0.342的另•个余弦函数的叠加。

传递函数(2)形为：

八1

A

图1.4(5)

此时，输出函数仅剩下在［-2,-1］及「2］两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的频谱很小，相对于

传递函数(2)在［-1,1］的零值也是不能忽略的，由于

sinc2(1)=0.043sinc2(|)=0.027

可以解得，通过传递函数(2)得到的输出函数为：

'45~\x

0.043cos171-X+0.027cos2万一xrecti.—)

L33J50

该函数依然限制在［-25,25］区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043,周期为0.75,的一个余弦函数与振幅

为0.027,周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5若对二维函数

/?(x,y)=asine2(ax)

抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

答：:F{6(x,y)}=F(6f.wnc2(ax))=A

：.x<-=—；y<oo

2BX2a

也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于l/2a,在y方向抽样间隔无限制。

1.6若只能用axb表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即

g,（X，y）=g（x，y）comb修卜）mb（］rl]rect（3rect（f）

试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复g(尤

答：因为axb表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复g(x,y)也有贡献，不可省略。

第二章习题解答

2.1一列波长为；I的单位振幅平面光波，波矢量％与x轴的夹角为45°,与y轴夹角为60°,试写出其空间频

率及z=平面上的复振幅表达式。

答：A-><=:|，U（x,y,zJ=exp（jkz*xpj2兀：巴+阳

U（0,0,0）

ZKZ/t12入2X)

2.2尺寸为aXb的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面上的透射光场的角

谱。

答：心介可沙心），A（贽?卜加比C0笺卜

2.3波长为4的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有一个足够大的模板，其振幅透过率

为t（xQ）=0.5（1+cos及"%）,求紧靠孔径透射场的角谱。

答::

/cosacos'B).(cosacos。、„Jcosa

Al,-y2-1=0.5bIl+0-25l——"+次bj

2.4参看图2.13,边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为。的正方形掩模，其中心落在位,77）点。采用单

位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的光场分布。画出

4=7=0时，孔径频谱在x方向上的截面图。

图2.4题

答：鱼卜ec(卓卜《答:

22

F1(4,y0^4asinc(2afx)sinc(2afy)-asinc(afx)sinc(afy上空(■必ra(fx+fv))

^(x,y)=--exp(jkz)exp2+V|X

22x

4asmc\I2a—2a-asinc\a\sinc\a—\exp\-J2兀a\.力看

4a2sinc-a^sinc\a—\sinc\a\exp\-J2TIa

人zIXJI：

2.5图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为。，长度为6,中心相距为d。采用单位振幅

的单色平面波垂直照明，求与它相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的强度分布。假定。=4。及

d=L5a,画出沿x和y方向上强度分布的截面图。如果对其中一个矩形引入位相差乃，上述结果有何

变化?

图题2.5(1)

答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在（0,4）及（0,-4）的矩形孔径振幅透射率之和:

22

dd

yX0-^y5+万

A

t(x,y0)=rect(—)rect(-—-')+rect(^-)rect(—产)(1)

nabab

由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

00（%0，、0）=1，

透射光场

dd

x%一不x%+不

u(X。，%)=U()(/，y。)，%)=rect(-^-)rect(―-^-)+rect(-^-)rect(——^)(2)

abab

由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样U（x,y）,它正比于

孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标力=—,f=—），即

Az-vAz

exp（az）expj^（x2+y2）

U（x，y）=------------------------xF{U（Xo,%）}(3)

利用傅立叶变换的相移定理，得到

dcl

xyo+弓

F{U(xQ,y0)}=F\rect(^)rect(——)>+F<rect(-)rect(----—)>

abab

=absinc(afx)sinc(bfy)x[exp(-j^fyd)+exp(j7cfyd)]

.,ax.by7rdy

=o2absinc(---)sinc(--)xcos(——)

Az

把它带入(3)式，则有

exp(/Xz)exp/

〃/、2zc,•,ax、.力}'、/兀dy、

U(x,y)=-------------------------x2absinc(——)sinc(——)xcos(—)

j^z2zAz

强度分

不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。

双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：

心。，）,。）=%以（十卜以偿）**0，%-9++0,%+'）（4）

它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出与上述同样的结果。

代入所给条件b=4a,d=1.5a

沿x轴，此时力=0

22

Kfx,fy)=Sasinc(afx)

中心光强：I(0,0)=8a2

n

极小值位置为：f=-(”=±1,±2,…)

xa

x方向上强度分布的截面图示意如下：

沿y轴：

此时，=0,故

22

1(£/,)=8a2sinc(4afy)cos(1.5通)

中心光强：I(0,0)=8a2

n]+2〃

极小值位置：<=一及—(〃=±1,±2,…)

4a3a

y方向上强度分布的截面图示意如下：

__

1O£

语

图题2.5(3)

t(x,y)=rect光（）rectA*卜xp[—/乃]+

a0b4J]

工0*《Xo，yo-1^exp[—"]+3(Xo，%J

rectrectA+

、b

d}d、

、y'-2y'+2

rectrectexp[-"]+reef土rect

a7bb

/7

由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

UoCWi)=l，

透射光场,b=4a,d=l.5a时

U(XI，X)=UO(X|，M)f(X1,y)

d}d}

y

'-2xy+—

rectrectexp[-j7r]+rectirect।2(2)

abab

77

rect(工卜cf[%:，exp[-/4]+rect五])1+；75a)

由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样U（x,y）,它正比于

孔径上场分布的傅立叶变换式(频率坐标<=二，0=上)，即

A，zZz

exp(左)exp咛(Y+y2)

U(x,y)=-----------------------^xF{U(Xo，%)}⑶

J^Z

利用傅立叶变换的相移定理，得到

F[U(x,y。)}=F«rect—rect―—”留]exp[-"]>+F<

0如㈤如3耳

I\a)\4a)I«Jl4a)

22

=[8asinc(afjsinc(4afy)exp(-1.5j兀exp(-))]+8asinc(afx)sinc(4蛆)exp(l.5)万4)

2

=8asinc(afx)sinc(4afy)x(exp(-1.5j7tfy-j^)+exp(1.5j^/v))

把它带入（3）式，则有

exp(人)exp邑(八丁)

2

U(x,y)—x8asinc(o/v)sinc(4ofv)

j^z

x(exp(—1.5"f，一")+exp(l.5力rfj)

exp(欣)exp/工，+/)

x8a2sine(竺-)sine

加

-1.5jnyj兀、.1-5/乃)'1j兀

xexpexp(-彳)+exp(

Az2

exp(咫)exp卷，+)/)

x8a2sinc(-^-)sinc(

1.5〃y+)

xexpj兀cos

22z2

强度分布

2.6试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N个形状和方位都相同的全等形开孔，在每一个开孔内取一个

相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是下列两个因子的乘积:

(1)置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射(该衍射屏的原点处不一定有开孔)；(2)N个处于代表孔位

置的点上的点光源在观察面上的干涉。

证明：假设置于原点的一个孔径表示为，N个处于代表孔位置的点上的点光源表示为

》(x-x.j-y.),则衍射屏的透过率可表示为

N

也,打R(/’为行(frx)-

N

其傅里叶变换可表示为

F依。，人)W[(x0,y0)}-F10(XT,，广分)]•

IMJ

该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N个处于代表孔位置的点上的点光

源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因子的乘积。

2

2.7一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数为r(r)=^1+lcosarJcircf-J

(1)这个屏的作用在什么方面像一个透镜？

(2)给出此屏的焦距表达式。

(3)什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置(特别是对于彩色物体)？

答：(1)解

衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式：

t(x,y)={g+gcos[aC?+y2)]卜

fl1「.，2-22I(1)

=<—+—exn|-/a(x'+y"')]^--exp[ja(x+y)]\xcirc\"十)

[244J11\

(1)式大括号中第•项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因子

exp—(x2+/)比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时,这两项的作用是分别产生会聚球面波和发

「2/」

散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似与透镜,因子circ〉"表明该屏

11\

具有半径为/的圆形孔径。

(2)解

得到相应的焦距，对于』exp[—"z(x2+y2)]

把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较,

4

项，令a=工,则有

2工

r_k_乃

12a2a

1cc-k

焦距力为正，其作用相当于会聚透镜,对于一exp[ja(x+y)]项，令。=——,则有

42fz

k7T

fl=------=-------

2aXa

对于“_L”这一项来说，平行光波直接透过，仅振幅衰减，可看作是

焦距力为负，其作用相当于发散透镜,

2

力=8

(3)由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷远的点光源,

分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另•个像在无穷远(直接透射光)(参看图4.12)。当观察者观察其中

一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像

形成的背景干扰。除此以外，对于多色物体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长九成反

比。例如取4d=6900A,^,lue=4000A,则有

f_4000f〜

Jred_6900‘〜/Jblue

这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现象。

这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。

2.8用波长为2=6328A的平面光波垂直照明半径为2机机的衍射孔，若观察范围是与衍射孔共轴，半径为

30/nzn的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。

答：由式⑵55)丁〉〉弓J4+片)2及式(2-57)Z〉〉g%(x；+/)有菲涅耳衍射和夫琅和费衍射分别要求

一空牛幻2即z〉〉Lo.6嬴0-4+15»=398.7.

出火+*片感而^=4964.6〃〃〃

2.9单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为”的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在轴上的强度分布。

答：圆形孔径的透过率可表示为

而产）

1)

根据式(2.53)有

〃;+巾、

"""'P［，2ZQ2+厂力

a7

・exp小寸斤卜卬一底(xx°+»。）dxodyo

轴上的振幅分布为

u(o,o☆誓词与*P仁

-（S2+V）丸也

17

=迦匈1%中「，幺，2>d〃o=exp(jkz^l-exp/卷

及z篇L2zJ

轴上的强度分布为

、2

i化2

U(0,0,z)=exp(jkzy-expj-a1=2

/

=4si”|一a~

(4z

2.10余弦型振幅光栅的复振幅透过率为

/(x0)=a+bcos2n寸

2d2

式中，d为光栅周期，a>b>0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数值：（1）z=z7-

⑵z告小⑶zd2

z=^-=_（式中z7称作泰伯距离）时，确定单色平面波垂直照明光栅，在观察

平面上产生的强度分布。

答：根据式⑵31）单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为

U（%,y0）=a+bcos2it}

强度分布为

，（XOG"C°S吟）

角谱为

熊(fx,fy)=\\[a+bcos2tyjexp(-j27t(xQfx+yofy^xodyQ

=而伍£磔,[，/，卜GY))

传播距离Z后，根据式(2.40)得到角谱

A&,，人，J为伍J,强小21-(")2—"月

=曲(九“(5(/,f卜(，+%加加前—(入小"J]

=疝(/,,/v]exp[jkz]+^>■小卜(/1•+:/，))exp\jkzjl一e)

利用二项式近似有

exp及zjO卜e印jkz1+(')j="p("z)exp(-j^~)

故

4fx,fy,z)=exp［咫,3(fx,fy卜生(/1—［J、卜(<+［'4)卜P—,展］)

,、2d2

(1)z=z=---时

T2

A(fx,fy,z)=expj竽(而("„VfJWfJ)

与4)(/；，/J仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直照明下刚刚透过余

弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。

(2)z=—=--时

22

，，一将

4fxfyz)=exp(“3(A，/v.)-^8(/*］，fJ('+：/,)))

对应复振幅分布为

xx-di2

U(x,y)=a-hcosln—=a+bcos2n---------

dd

因而观察平面上产生的强度分布为平移半个周期的单色平面波垂直照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度

分布。

z_cl2

(3)T

T=22

\exP-Jy

4fx,fy,z)虎(/”,用3(工一/卜］/,+%

7

对应复振幅分布为

t/(x,y)=exp(jkz),X

a-jbcos2n-^

强度分布为

/Q卜/+/72cos2及亍

第三章习题解答

3.1参看图3.5,在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子

「氏Ifk（x2+v2W

expJ—+«exPJTT,----rn-

12doJ2doiM）\

试问

（1）物平面上半径多大时，相位因子

exp+城)

2do

相对于它在原点之值正好改变“弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是多少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a,入和d.之间存在什么关系时可以弃去相位因子

ex力合如.

2

解（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为万的条件是」L（xk：+y；）="-k=r乃，石=，河i-----

2do2do

（2）根据（3.1.5）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图样，其中心位于理

想像点（吊，丸）

।g27r

h,%；示P】-/石[(X,一&)2+(K-%力>dxdy

(x0Xi,yi)=7J[P(x，y)ex

0i—co

-^—B\circ1aJ^nap)

a~4)4p

式中r=J%2+y2,而

苔一/）2।（»一%）2(1)

必必

在点扩散函数的第一个零点处，”（2万年）=0,此时应有230=3.83,即

0.61

Po=-----(2)

a

将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点（七=%=0）,于是得

钎如也⑶

a

（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点扩散函数对于原点的

贡献〃。0，%；0,0）。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点

的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点附近为W0.61/14）/。范围内的小区域。当这个小区域内各点

的相位因子exp[p^/24,]变化不大，就可认为（3.1.3）式的近似成立，而将它弃去，假设小区域内相

位变化不大于几分之一弧度（例如万/16）就满足以上要求，则依*2do42，44241/16,也即

16

a22.44“^（4）

例如a=600〃机，4）=600〃机，则光瞳半径a21.46机机，显然这一条件是极易满足的。

3.2-个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为

心。,凡）=g+gcos2或

放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x°z平面内，与z轴夹角

为9。透镜焦距为f,孔径为D。

（1）求物体透射光场的频谱；

（2）使像平面出现条纹的最大9角等于多少？求此时像面强度分布；

（3）若。采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与。=0时的截止频率比较，结论

如何？

解（1）斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp（欣才。sin夕），为确定起见设。〉0,则物平面

上的透射光场为

为）=Aexp（，kx（,sin0）t（xo,y0）

A（_sin。）1「//sin。、]1「八”sin。

-iexpj2^-x——+-expj27rx（f+--）+-exp-j27rx（f———

Z[\0A/Z|_00/tJZ|_00A

其频谱为

A(^,r])=F{U0(x0,y0)}

=A-b(4-sin6+占邛。++京人+sin6

2r22

由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿J轴整体平移了sin。/%距离。

（2）欲使像面有强度变化,至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率4=。/4/1/,于是要求

D

4-九+

Z42/42/242/

由此得“方鹏日

(1)

D\

0角的最大值为4x=arcsin(2)

raVJ

此时像面上的复振幅分布和强度分布为

AD1U+；exp(—J2g/))]

U,(%，X)=*yexpj27rxi

A2D5

4(七,丫)=彳—+cos27rf0x

4

（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得

D,D

九人一——"一<——”

DD

即人或/omax«

22/

6=0时，系统的截止频率为2,=0/42/,因此光栅的最大频率

D

•^Omax-Pc—(4)

42/

比较（3）和（4）式可知，当采用9=绘；吹倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了一倍，也就提高了

系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。

3.3光学传递函数在f*=f,=0处都等于1,这是为什么？光学传递函数的值可能大于1吗？如果光学系统

真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样?

(1)在(3.4.5)式中，令3,y)=s似如)”——

j\ht(xi,yi)dxidyi

-co

为归一化强度点扩散函数，因此(3.4.5)式可写成

8

H《,〃)=JJ//(x,.，M)exp[-，2乃(“+〃M)Mx/X

—00

而//(0,0)=1=|yJdXjdyj

-00

即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上，这便是归一化点扩

散函数的意义(2)不能大于1。

(3)对于理想成像，归一化点扩散函数是b函数，其频谱为常数1,即系统对任何频率的传递都是无损的。

3.4当非相干成像系统的点扩散函数hi(Xi,yi)成点对称时，则其光学传递函数是实函数。

解：由于％(看,凹)是实函数并且是中心对称的，即有也(七,》)=/2；(毛,%)，力=%(-4一%)，应用

光学传递函数的定义式(3.4.5)易于证明“(,〃)=//,(4,〃)，即为实函数。

3.5非相干成像系统的出瞳是由大量随机分布的小圆孔组成。小圆孔的直径都为2a,出瞳到像面的距离

为由,光波长为入，这种系统可用来实现非相干低通滤波。系统的截止频率近似为多大？

解：用公式(3.4.15)来分析。首先，由于出瞳上的小圆孔是随机排列的，因此无论沿哪个方向移动出瞳

计算重叠面积，其结果都一样，即系统的截止频率在任何方向上均相同。其次，作为近似估计，只考虑每个小

孔自身的重置情况，而不计及和其它小孔的重叠，这时N个小孔的重叠面积除以N个小孔的总面积，其结果与

单个小孔的重叠情况是一样的，即截止频率约为2。/九4，由于2a很小，所以系统实现了低通滤波。

第五章习题解答

5.1两束夹角为G=45°的平面波在记录平面上产生干涉，已知光波波长为632.8nm,求对称情况下(两

平面波的入射角相等)该平面上记录的全息光栅的空间频率。

答：已知：。=45°,X=632.8nm,根据平面波相干原理，干涉条纹的空间分布满足关系式2dsin(。/2)=

X,其中d是干涉条纹间隔。由于两平面波相对于全息干板是对称入射的，故记录在干板上的全息光栅空间频

率为

fx=(.l/d)=(1/X)-2sin(0/2)=1209.5//mm

故全息光栅的空间频率为1209.5〃mm。

5.2如图5.33所示，点光源A(0,-40,-150)和B(0,30,-100)发出的球面波在记录平面上产生干

涉:

X

y

图5.33(5.2题图)

(1)写出两个球面波在记录平面上复振幅分布的表达式;

答：设：点源A、B发出的球面波在记录平面上的复振幅分布分别为UA和UB，

22

则有UA=^-exp(jkzA)exp{(jk/2zA)\{x-xA)+(y-yA)]}

4=£expO%)exp{(火/2zMxf)2+(y-%)2]}

其中：XA=XB=0,>A=-40,zA=-150,>B=30,zB=-100;

aA、OB分别是球面波的振幅；k为波数。

(2)写出干涉条纹强度分布的表达式；

/=IUA+UB?=UA-UA*+UB-UB*+以*•5+UA•UB*

="A-:血一+%；"且bxp(-/"zA+j%)exp{-(1k/乂(x-)2+(y-)2]

22

+(jk/2ZB)[(%-)+(y-yB)]}}

jkz2z力>]

+{exp(/S-B)exp{("/A)[(x-->+(y-(3)设全息干

22

-(jk/2zB)\{x-xB)+(y-yB)]}}

板的尺寸为100x100mn?,九=632.8nm,求全息图上最高和最低空间频率；说明这对记录介质的分辨

率有何要求？

解答：设全息干板对于坐标轴是对称的，设点源A与点源B到达干板的光线的最大和最小夹角分别为

。咿和。.而，A、B发出的到达干板两个边缘的光线与干板的夹角分别为。八隆、。「和如

'。J

°miny

,

oA=tg'[zA/（-JA-50）],eB=tg-[zB/（-yB-50）]

©A'=tg'[zA/（JA-50）]，OB'=tg'[ZB/（＞'B-5O）]

，

91rax=9A-°B，6min=OB*-6A

根据全息光栅记录原理，全息图上所记录的

最高空间频率筛x=（2/1）Sin（0max。）-cosai

最低空间频率/min=（2/X）sin（omin/2）-cosa2

其中a角表示全息干板相对于对称记录情况的偏离角，由几何关系可知

cosa।=sin（9A+0B）/2,cosa2=sin（9A'+0B'）/2

将数据代入公式得工nax=882〃mm,/min=503l/mm

故全息图的空间频率最高为882l/mm,最低为503l/mm,要求记录介质的分辨率不得低于900〃mm。

5.3请依据全息照相原理说明一个漫反射物体的菲涅