北师大版九年级下第三章 圆3 垂径定理 全国公开课一等奖

3.3垂径定理第三章圆情景导入基础回顾等腰三角形是轴对称图形吗？如果将一等腰三角形沿底边上的高对折，可以发现什么结论？如果以这个等腰三角形的顶角顶点为圆心，腰长为半径画圆，得到的图形是否是轴对称图形呢？情景导入③AM=BM,●OABCDM└①CD是直径②CD⊥AB可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.条件结论如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。

（1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）你能图中有哪些等量关系？说一说你的理由。连接OA,OB,则OA=OB.●OABCDM└在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB，OM=OM，∴Rt△OAM≌Rt△OBM.∴AM=BM.∴点A和点B关于CD对称.∵⊙O关于直径CD对称,∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒

AD=BD.情景导入讲授新课●OABCDM└CD⊥AB,∵CD是直径,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言垂径定理讲授新课用心想一想判断下列图形，能否使用垂径定理？OCDBA注意：定理中的两个条件缺一不可——直径（半径），垂直于弦.××√BOCDAOCDE垂径定理的逆定理如图，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M.（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由.讲授新课例1③CD⊥AB,●OCD

由①CD是直径②AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●M

AB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.讲授新课解:讲授新课用心想一想

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.

如果该定理少了“不是直径”，是否也能成立？OCDBA讲授新课EODCF

如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中CD,点0是CD所在圆的圆心），其中CD=600m，E为CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m.求这段弯路的半径。⌒⌒⌒例2讲授新课解这个方程，得R=545.EODCF

连接OC，设弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m。∵OE⊥CD根据勾股定理，得

OC²=CF²+OF²即R²=300²+(R-90)².所以，这段弯路的半径为545m.解:随堂练习1、1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，求桥拱所在圆的半径。（结果精确到0.1米）。2、如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？随堂练习OCDBAOCDBAOCDBA有三种情况：1、圆心在平行弦外；2、圆心在其中一条弦上；3、圆心在平行弦内.3.若⊙O中弦AB∥CD。那么AC＝BD吗？为什么？⌒⌒解：AC＝BD，理由是：作直径MN⊥AB。∵AB∥CD，∴MN⊥CD。则AM＝BM，CM＝DM（垂直于弦的直径平分弦所对的弧）∵AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON随堂练习1、利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理.2、解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件..CDABOMNE.ACDBO.