人教A版（新）选择性必修二第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用

5.4生活中的优化问题举例学习目标1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学(1)生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为

.(2)利用导数解决优化问题的实质是

.(3)解决优化问题的基本思路：知识点生活中的优化问题上述解决优化问题的过程是一个典型的

过程.优化问题求函数最值数学建模1.生活中常见到的收益最高，用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问题.(

)2.解决应用问题的关键是建立数学模型.(

)[思考辨析判断正误]√√题型探究类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，解答B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE＝FB＝x(cm).某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值.解答引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？∵EF＝60－2x，＝8x(30－x)＝－8x2＋240x＝－8(x－15)2＋8×152.∴当x＝15时，S侧最大为1800cm2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验.跟踪训练1

(1)已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为______.解析答案解析设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝2πr2，S圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积S＝2πr2＋2πrh.令V′(r)＝0，得S＝6πr2，∴h＝2r，∵V′(r)只有一个极值点，∴当h＝2r时圆柱的容积最大.解析答案(2)将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为_______cm.解析设弯成圆的一段铁丝长为x(0<x<100)，则另一段长为100－x.设正方形与圆形的面积之和为S，类型二实际生活中的最值问题解答(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答所以商场每日销售该商品所获得的利润为从而f′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)]＝30(x－4)(x－6)，令f′(x)＝0，得x＝4或x＝6.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f′(x)＋0－f(x)↗极大值↘由上表可得，x＝4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x＝4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答

当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有(1)利润＝收入－成本.(2)利润＝每件产品的利润×销售件数.解答解

当0<x≤10时，解答(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值.解

当0<x≤10时，当x∈(0,9)时，W′>0，当x∈(9,10)时，W′<0，所以当x＝9时，W取得最大值，综上可得，当x＝9时，W取得最大值38.6.故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元.解答命题角度2用料、费用最少问题例3某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋

)x万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式；解

设需新建n个桥墩，解答(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？令f′(x)＝0，得

＝512，所以x＝64.当0<x<64时，f′(x)<0，f(x)在区间(0,64)上为减函数；当64<x<640时，f′(x)>0，f(x)在区间(64,640)上为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值.反思与感悟

(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f′(x)＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.解答跟踪训练3为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝

(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.(1)求k的值及f(x)的表达式；解

设隔热层厚度为xcm，而建造费用为C1(x)＝6x.因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为解答(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值.当0<x<5时，f′(x)<0；当5<x<10时，f′(x)>0，答

当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元.达标检测12345解析答案解析

原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.C.－1 D.－8√12345解析答案2.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则高应为√12345解析

设圆锥的高为hcm,0<h<20，3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且销量Q与零售价P有如下关系：Q＝8300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A.30元 B.60元C.28000元 D.23000元√12345解析答案12345解析

毛利润为(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30).令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去).又P∈[20，＋∞)，故f(P)max＝f(P)极大值，故当P＝30时，毛利润最大，所以f(P)max＝f(30)＝23000(元).4.要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_____元.160∴当x＝2时，ymin＝160(元).答案解析123455.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比.已知商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；解

设商品降价x元，则多卖出的商品件数为kx2.若记商品一个星期的获利为f(x)，则有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2).由已知条件，得24＝k×22，于是有k＝6.所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21].解答12345解答12345(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？解

由(1)得，f′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：12345x[0,2)2(2,12)12(12,21]f′(x)－0＋0－f(x)↘极小值↗极大值↘故当x＝12时，f(x)取得极大值.因为f(0)＝9072，f(12)＝11664.所以定价为30－12＝18(元)，才能使一个星期的商品销售利润最大.1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系