守恒定律与微分方程建模

守恒定律与微分方程建模连续性方程：解决问题：流体流动、传热和交通等问题单位体积的物理量分布t时刻流域τ上流体的总物理量为t+Δt时刻的包络线所围体积为（1）

以控制面（C.S.）为边界，第二、三项极限其中S1为C与A+B之公共表面，上式表示单位时间从表面S1移出的物理量第二项：第三项其中s2为A与A+B之公共部分，表示单位时间内从表面S2流入的物理量上式中第一个极限注：A+B所围的区域定义为控制体C.V.是固定的（2）

S1与S2组成控制体（A+B）的全部边界，即控制面（3）联立（1）,（2）和（3）微分形式：一般情况下生成率和消失率无源情况下（连续性方程）

讨论：（连续性方程）数学建模中经常研究的物理量

有密度，车流密度和污染物的浓度等表示密度ρ表示浓度c连续性方程的物理意义表示，控制体中的物理量变化由进出控制面的通量和控制体中生成率决定的，一般有化学反应过程，方程右边不为零。

交通流模型2013年全国大学生数学建模竞赛A题和2014年美国大学生建模竞赛A题都是交通问题假设：公路上行驶的车辆为连续的，可以将车流看作流体定义：车流量q(x,t)：单位时间内通过某点的车辆数交通流密度ρ(x,t):单位距离上的车辆数交通量速度场u(x,t):车辆速度

交通流关系：研究路段有出入口

速度—密度线性模型速度-密度是线性关系，车流量达到最大时的密度和速度分别被称为临界密度ρc,临界速度uc流量-密度关系：流量-速度关系

跟驰模型适用条件：单车道，无超车模型假设：1)汽车单车道形式，无超车2)前后车必须保持安全距离3)前车改变状态，后车也要改变，且有一定滞后时间4)两车距离小于一定阈值时后车制动，加速度与相对速度和距离有关模型：积分得：交通流处于稳定状态，车速为u，车距为d，密度为ρ=1/d

一般

交通流方程的解法（特征线法）初值条件方程唯一解假设存在一条曲线且物理意义：曲线

上密度不变，为常数，该曲线为特征线对任意点，过改点的特征线与坐标轴x交点，可求出密度值

2014年美国大学生数学建模竞赛A—靠右行驶问题题目：在一些汽车靠右行驶的国家（比如美国，中国等等），多车道的高速公路常常遵循以下原则：司机必须在最右侧驾驶，除非他们正在超车，超车时必须先移到左侧车道在超车后再返回。

建立数学模型来分析这条规则在低负荷和高负荷状态下的交通路况的表现。你不妨考察一下流量和安全的权衡问题,车速过高过低的限制，或者这个问题陈述中可能出现的其他因素。这条规则在提升车流量的方面是否有效？如果不是，提出能够提升车流量、安全系数或其他因素的替代品（包括完全没有这种规律）并加以分析。

在一些国家，汽车靠左形式是常态，探讨你的解决方案是否稍作修改即可适用，或者需要一些额外的需要。

最后，以上规则依赖于人的判断，如果相同规则的交通运输完全在智能系统的控制下，无论是部分网络还是嵌入使用的车辆的设计，在何种程度上会修改你前面的结果？

模型假设：假设高速公路上所有汽车均沿车道做匀速直线运动，当汽车遇到车速比自己小的车便进行超车。2.根据交通法规，高速公路上的超车现象是小概率事件。3.超车过程的前后两个阶段的情况相同。4.假设高速公路每个车道的车速限定是相同的。5.超车率在我们考察的整条高速公路上均匀分布。6.在超车过程中，除超车的车外其余汽车的平均瞬时速度保持不变。7.不考虑路况、天气等其它因素存在的交通隐患。

符号：宏观模型：

超车模型：

对上式求导：是指车辆的瞬时速度的变化，是超车现象造成了车辆的瞬时速度的变化。（1）

建立出超车持续时间T模型，即可得到超车时间T：1）A,B车速度差的减函数；2）司机的反应延迟；3）车辆的安全距离有效超车时间，几何关系：

V-t关系式复杂，数据拟合出v-t关系求导：（2）超车密度：（3）将（2）、（3）带入（1）物理意义：超车引起的密度变化，路段化为单位长度，Nρ（4）

连续性方程改写为：积分区间[0,T]超车贡献流量总流量：

因超车增加的车流量，A为超车，B为被超车结论：当交通拥挤时，超车车速和被超车车速均较小，此时超车贡献的车流量比较小；当交通流畅时，超车车速较大，此时超车贡献的车流量较大。安全系数：

超车反应时间，一般为0.84s当安全指数S小于平均反应时间，则两车必然发生碰撞，我们把称为安全超车阈值。定义，如果S值落在区间[0,2]，为一次安全隐患。安全系数统计模拟安全系数：假设1

假设高速公路上车速（除超车外）分布呈均值为90km/h，方差为9km/h的正

态分布假设高速公路上超车车速分布呈均值为v,方差为的正态分布v/10；3不考虑路况、天气等其它因素存在的交通隐患。

规则一：超车返回原车道；规则二：超车不返回原车道由上图可知，超车安全指数随速度差的增加而降低，符合现实情况。而且对于相同的速度差，超车规则二的超车安全指数比规则一的大，说明规则二的超车方式在相同情况下比规则一更加安全。(1)（2）

定义：

为安全超车；不安全超车由图1的曲线可得到，对于规则一，95%的超车安全指数对应的速度差为20km/h，对于规则二则对应的速度差为30km/h,。根据图2由对应的速度差找到最大车流量，则可以得到相应的B车车速的平均值，在两个规则下均为80km/h，则对于规则一，限速标准为：上限：100km/h，下限：60km/h；对于规则二，限速标准为：上限：110km，下限：60km/h。高速路速度设定：

微分方程建模研究领域：一个变量随着另一个变量变化的规律，特点是利用微元分析法，建立瞬时

变化率的表达式。微分建模的步奏：翻译或转化：在实际问题中有许多表示导数的词，如“速率”，“增长”

或“衰变”等2)建立瞬时表达式：即自变量有一微小变化时，因变量有一相应的变

化，根据一定的物理定律或者假设条件，建立他们之间的关系3)关系式中，物理量要求统一（相同的量纲）4)确定初边值条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或者边界上的信

息，独立于微分方程，用来确定有关常数。

物种模型Malthus模型生物种群的总数是整数，当种群数量很大时，可将种群总数看成是连续可微的。表示t时刻种群个体的数量，r表示种群增长率假设：1）种群是孤立的，不考虑迁入和迁出2）个体的繁衍不受环境和其他个体的影响3）

种群的平均增长率在短时间内是常数当（1）（2）

讨论：a)时间跨度小，模型计算结果与实际有较好的吻合。b)当r>0,且t→∞时，x(t)→∞与实际不符。

Logistic模型：Malthus模型缺陷在与增长率为常数，没有考虑种群数量对增长率的影响3）种群的数量受到资源的限制，达到最大值后不在增加。增长率r随着x增加

而线性减少。tx（3）讨论：a)当t→∞时，x(t)→xmb)解得：

Logistic模型修改—Smith模型rx1)种群增长率与该时刻剩余的食物分量成正比，假设：种群的资源消耗率，种群达到饱和时的资源消耗率自身生存所需食物，物种繁衍所需食物当x=xm时，s=sm且dx/dt=0方程改写为

前面模型隐含假设：1)自然增长率r(x)只考虑与种群的瞬时数量有关，而与过去无关2)系统是封闭的，没有迁出与迁入；种群不受系统外的干扰（捕杀）3)不考虑种群的年龄结构4)不考虑偶然因素，种群的数量有初始值和模型决定时滞模型1.定常时滞模型一般形式表示t时刻的种群总数，时滞表示妊娠所需时间，增长率依赖于时刻的种群规模

b)表示t时刻的成虫数，时滞表示幼虫成熟时间

2.分布时滞模型描述情形：t时刻种群个体的增长率不仅与

时刻的种群规模有关，而且依赖于t时刻以前的整个历史时期中种群规模的发展。处理思想：将的变化区间划分为小段，总增长率是各个小段作用的叠加。例子

解得：逐次分段计算下去解得：

年龄结构模型设f(t,x)是时刻t年龄为x的种群个体的分布函数。t时刻年龄为[x,x+dx]的种群个体数量是f(t,x)dx。研究时间段[t,t+dt]内种群年龄结构变化？取dt=dx1）年龄在区间[x,x+dx]的个体成长进入更大的年龄区间或者死亡；2）年龄在区间[x-dx,x]的个体成长进入年龄区间[x,x+dx].时刻t年龄位于[x-dx,x]的个体数量与时刻t+dt年龄位于[x,x+dx]的个体数量差为设h(x)是单位时间内年龄为x的个体死亡率，则在时间段[t,t+dt]内，年龄为[x-dx,x]的个体成长过程中死亡数量：等式：

微分方程形式：确定初边值条件：a)t=0时刻年龄分布函数为定解条件：b)x=0作为边界条件令b(x)表示年龄为x的个体单位时间内平均生育下一代的数量调节种群数量主要手段是调节出生数f(t,0)

种群总数：平均年龄：平均寿命：老龄化指数：两个种群的数学模型：主要研究两个种群之间的相互作用关系（共生和捕食等关系）Lotka-Volterra方程

考虑两个种群X1和X2，在t时刻的种群数为,增长率为由泰勒展开Lotka-Volterra方程：在同一自然环境中，两者存在三种关系：1）捕食与被捕食关系，2）竞争关系，3）互利共存关系，

令X1为食饵，X2为捕食者修正捕食者与食饵关系后

2007年大学生数学建模真题中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。

近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1)还做出了进一步的分析。

关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。

试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。

Logistic模型求解：拟合出

Logistic模型短期预测较好

中长期预测：人口继续增长，但是增长率放缓，最终在2050年稳定于15.4亿

年龄结构模型：h(x)是单位时间内年龄为x的个体死亡率f(t