电工电子技术3

第三章电路的暂态分析第一节暂态分析的根本概念与换路定律第二节RC电路的暂态过程第三节一阶电路暂态分析的三要素法第四节RL电路的暂态过程前往第一节暂态分析的根本概念与

换路定律暂态过程产生暂态过程的缘由换路定律一、暂态过程前往稳态：电路中的电流，电压稳定不变或者是时间上的周期函数，称为电路处于稳态。当一个稳态电路的构造或元件参数发生改动时，电路原稳态被破坏而转变到另一种稳态所阅历的过程，称为电路中的过渡过程。由于过渡过程阅历的时间很短，所以又称为暂态过程或暂态。假设开关在t=0时接通，电路中的电流逐渐添加，最终到达I=U/R,这是一种稳态。+－t=0SRLULUSURS翻开时，电路中的电流等于零，这是一种稳态。在图示的RL电路中前往二、产生暂态过程的缘由内因：电路中存在储能元件〔C、L〕电容与电感上存储的能量不能跃变，所以，在含有C、L的电路中，从一种稳态到另一种稳态，要有一个过渡过程。前往外因：换路换路是指电路的构造或参数发生变化。如开关的通断、短路、信号忽然接入、电源电路参数的改动等。换路时电路的形状会发生改动。三、换路定律通常我们把换路瞬间作为计时起点。即在t＝0时换路。把换路前的终结时辰记为t＝0-，把换路后的初始时辰记为t＝0+。在电感元件中，储存的磁场能量为WL=1/2LiL2,电感中的能量不能跃变，表现为电感中的电流iL不能跃变。在电容元件中，储存的电场能量为WC=1/2CUC2,电容中的能量不能跃变，表现为电容两端的电压不能跃变。前往iL(0+)＝iL(0－)uC(0+)＝uC(0－)电感中的电流和电容两端的电压不能跃变称为换路定律，表示为：换路定律适用于换路瞬间，用它来确定暂态过程的初始值。前往假设iL(0+)=iL(0－)=0，uC(0+)=uC(0－)=0，换路瞬间，电容相当于短路，电感相当于断路。假设iL(0+)=iL(0－)≠0，uC(0+)=uC(0－)≠0，换路瞬间，电容相当于恒压源，电感相当于恒流源。电路中其它电压电流在换路瞬间，用换路定律、KVL、KCL定律结合求解。元件特征CLiL(t)t=0+t=0－t=∞uC(t)uC(0+)=0uC(0－)=0uC(0－)=U0uC(0+)=U0+-开路短路iL(0+)=I0 iL(0－)=I0iL(0-)=0iL(0+)=0前往例、在图示电路中，知：R=1KΩUS=10V，L=1H,求开封锁合后的初始值。+－SiuLRUS前往解：∵S闭合前，电路已处于稳态。iL(0－)=0在S闭合的瞬间，根据换路定律有：iL(0+)＝iL(0－)=0uR(0+)=i(0+)·R=0uR(0+)+uL(0+)=US∴uL(0+)=10VR1USSCi2iCuC+－R2求:t＝0时，S断开后电压电流的初始值.例、知：US=10V，R1=2KΩ，R2=3KΩi1前往请慎重作出选择：换路瞬间C相当于短路换路瞬间C相当于恒压源换路瞬间i1＝i2换路瞬间i1＝iC他的选择是错误的！！！哼哼，地府又多了一个小鬼…通往天堂的班车已到站，请抓紧时间上车。R1USSCi2iCuC+－R2求:t＝0时，S断开后电压电流的初始值.例、知：US=10V，R1=2KΩ，R2=3KΩi1前往解：∵t＝0－，电路稳态。C相当于开路，i1(0－)=i2(0－)=US/(R1+R2)=2mAuC(0－)=i2(0－)·R2=6V在S断开的瞬间，根据换路定律有：uC(0－)=uC(0+)=6V,而i2(0+)=0i1(0+)=iC(0+)=[US－uC(0+)]/R1=2mAUC+－前往R1USSCiLiCuC+－R2解：∵t=0－，电路稳态C开路，L短路,iL(0－)=US/(R1+R2)uC(0－)=iL(0－)·R2例、t=0时S断开，求uC(0+)、uL(0+)、uR2(0+)、iC(0+)、iL(0+)。LuL在S闭合的瞬间，根据换路定律有：uC(0－)=uC(0+),iL(0－)=iL(0+)所以有等效电路：前往+－R2uC(0+)iL(0+)uR2(0+)iC(0+)iC(0+)=－iL(0+)=－US/(R1+R2)uR2(0+)=iL(0+)·R2＝uC(0+)uL(0+)=uC(0+)－uR2(0+)=0第二节RC电路的暂态过程零输入呼应零形状呼应电路的全呼应前往前往一、零输入呼应假设在换路瞬间储能元件原来就有能量储存，那么即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电压电流。这是由于储能元件要释放能量。因此，将电路中无输入信号作用时，由电路内部在初始时辰的储能所产生的呼应称为零输入呼应。1、换路后电路的微分方程前往S在1位置uC(0)=US(初始条件)S在2位置uR(t)+uC(t)=0∵uR(t)=i(t)Ri(t)=－Cduc(t)/dt∴得到一阶常系数线性齐次微分方程+－SiuCRUS12uR2.解微分方程RCduC(t)／dt+uC(t)=0∴特征方程:RCP+1=0P=－1/RCuC(t)=Ae－t/RC∵uC(0)=US∴有A=Us∴通解为uC(t)=USe－t/RC令它的通解方式为:uC=Aept前往代入方程得:(RCP+1)Aept=0显然uC、i、uR都是按同样的指数规律变化的，且都是按指数规律衰减，最后趋于零。前往i(t)=Cduc(t)/dt=C·d(USe－t/RC)／dt=－(US/R)e－t/RCuR(t)=i(t)·R=－USe－t/RC令τ=RC，称为R、C串联电路的时间常数，单位S。变化曲线为:u.iUsuC(t)Us/Ri(t)－UsuR(t)t前往uC(t)=USe－t/RC2.时间常数从上面的变化规律可知,过渡过程的快慢与RC有关,τ=RC

前往τ值越小,暂态过程进展得越快.τ值越大,暂态过程进展得越慢.当t＝τ时uC(τ)=USe－τ/τ=USe－1=0.368US也就是说，零输入呼应的初始值经过一个τ，衰减为原来的36.8％。普通在t＝(3～5)τ时uC(t)的值已很小,可以为暂态终了。UsuC0.368Usτ1tτ1＜τ2＜τ3τ2τ3前往二.零形状呼应前往与零输入相反，假设在换路前储能元件没有能量储存，这种形状称为零形状。因此，将电路中输入信号作用时，所产生的呼应称为零形状呼应。1.换路后的微分方程S在1位置uR(t)+uc(t)=UsuR(t)=i(t)Ri(t)=－C[duc(t)／dt]得到一阶常系数线性非齐次微分方程前往+－SiuCRUS12uRS在2位置uC(0)=0(初始条件)2.解微分方程RCduC(t)/dt+uC(t)=Usuc(∞)=Us∵uc(0)=0前往uC(t)=US(1－e)－t/RC令τ=RCuC(t)=US(1－e)－t/τi(t)=Cduc(t)/dt=(US/R)e－t/τuR(t)=i(t)·R=USe－t/τ显然i、uR是按指数规律衰减，最后趋于零。uC随t不断添加，最后趋于US。u.iUsUs/RiuRuCtτ反映RC电路充电的速度。普通，经过〔3～5)τ的时间，可以为暂态终了。前往uC(t)=US(1－e)－t/τuUs0.632UsuC(t)tτuC(t)=Us(1－e－1)＝0.632Us当t=τ时前往前往+－uCRUS例、知R=103KΩ，US=100V，C=10μF,求开封锁合后5、10、30秒时的uC值，并画出uC曲线。解：uC(0)=0(初始条件)开封锁合uC(t)=US(1－e)－t/RC=100(1－e－0.1t)t=5uC=39.4Vt=10uC=63.2Vt=30uC=95Vu(V)uC(t)t100换路前,储能元件有储能,即非零形状,这种形状下的电路与电源接通，储能元件的初始储能与外加电源共同引起的呼应称为全呼应。三.电路的全呼应前往对于线性电路，全呼应为零输入呼应和零形状呼应的叠加。全呼应=零输入呼应+零形状呼应1.换路后的微分方程t=0,S闭合uR(t)+uC(t)=Us初始条件为uC(0+)=uC(0－)=U0RC[duC(t)／dt]+uC(t)=Us前往+－UsSi(t=0)uRuCRC得到一阶常系数线性非齐次微分方程2.解微分方程.通解方式为:uC(t)=Us+Ae－t/τ∵uC(0)=Uo∴Uo=Us+A,A=Uo－Us所以RC电路的全呼应为uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τ前往RC[duC(t)／dt]+uC(t)=Us2．对全呼应的讨论(1)此时电容将放电，最后到达稳态值Us。全呼应=稳态解+暂态解。Uo<UsUo>Us此时电容将充电，最后到达稳态值Us。前往uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τUoUoUsUo>UsUo<Us放电充电变化曲线tuC前往全呼应=零输入呼应+零形状呼应前往(2)uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τ=Us－Use－t/τ+Uoe－t/τ=Us(1－e－t/τ)+Uoe－t/τ可分别求零输入呼应〔令电源为零〕；零形状呼应〔令初始值为零〕，然后求叠加。前往+－UsS1iuRuCR1C例、知R1=R2=10Ω，US=80V，C=10μF,t=0开关S1闭合，0.1ms后，再将S2断开，求uC的变化规律.(C上初始能量为零)S2解：(1)0<t<0.1msR2uC(0+)=uC(0－)=0零形状呼应uC(t)=US(1－e)－t/R1C=80(1－e－10000t)t1=0.1msuC(t1)=50.56V(2)t>0.1msuC(t1+)=uC(t1－)=50.56V全呼应uC(t)=Us+(Uo－Us)e－t/τ=80+(50.56－80)e－t/ττ=(R1+R2)C=2×10－4uC(t)=80－29.44e－5000(t－t1)第三节一阶电路暂态分析的

三要素法一阶电路求解一阶电路的三要素法三要素公式阐明例题前往只含有一个〔或者可以化为一个〕储能元件的线性电路，无论是简单的，还是复杂的，它的微分方程都是一阶常系数微分方程,这种电路称为一阶电路。一、一阶电路前往对于一阶电路，它的时域呼应是从初始值开场，按着指数规律变化，最终进入新的稳态值。过渡过程的长短取决于时间常数τ。因此将初始值、稳态值、时间常数τ称为一阶电路的三要素。二、求解一阶电路的三要素法用f(t)表示电路中的某一元件的电压或电流,f(∞)表示稳态值,f(0+)表示初始值，τ为时间常数。全呼应=稳态分量+暂态分量f(t)=f(∞)+Ae－t／τf(t)=f(∞)+[f(0+)－f(∞)]e－t／τ只需求出f(0+),f(∞)和τ值,即可直接写出暂态过程中电压,或电流的表达式。前往f(0+)：uC(0+)和iL(0+)可用换路定律在换路前的电路求，其它电压和电流要在换路后的电路中求得。f(∞)：进入稳态后电容相当于开路,电感相当于短路，可运用电路的分析方法计算电压或电流的稳态值。三、三要素公式阐明.时间常数τ：在换路后的电路中求得τ=R0cR0是换路后的电路中,从C两端看进去的将恒压源短路，恒流源开路后的等效电阻。前往例、图示电路中,IS=6mA,C=0.1μF,R1=6KΩ,R2=1KΩ,R3=2KΩ，在t=0时将S闭合,试求uC(t)，画出曲线。前往SR2R3R1IS解:uC(0+)=uC(0－)Cτ=[(R1+R2)//R3]·C=0.155×10－3Suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ=8+(36－8)e－6430tV=8＋28e－6430tVuC(V)t368例、图示电路中,IS=8mA,C=4μF,R1=2KΩ,R2=3KΩ,R3=1KΩ,R=5KΩ，E=10V，在t=0时将S由1打向2,试求uC(t)，画出曲线。前往SRR2R3R1ISE解:uC(0+)=uC(0－)Cτ=[(R1//R2)+R3]·C=8.8×10－3Suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ=6+(12－6)e－114tV=6+6e－114tV12uC(V)t126前往例、图示电路中,U=30V,C=10μF,R1=R3=10KΩ,R2=20KΩ，在t=0时将S由1打向2,试求uC(t)、i(t)。SiuCR212R3R1UC解:S换路后:uC(0+)=uC(0－)uC(∞)=0i(∞)=0R0=R2∥(R1+R3)=10KΩτ=RC=0.1Suc(t)=uC(0+)e－t/τ=20e－10ti(t)=i(0+)e－t/τ=e－10t前往rUSCiKiCuC+－Rir例、图中电路原已稳定，求开封锁合后的uC和iK。解：iC＝－uC(t)／R＝－(US／R)e－t/RCir=US/ruC(0+)=uC(0－)=USuC(∞)=0uC(t)=USe－t/RCτ=RC例、图示电路中U=20V,R=50KΩ,C=4μF,在t=0时闭合S1,在T=0.1秒时闭合S2,试求S2闭合后的uC(t),并画出曲线,设S1闭合前uC=0.＋－US1S2CUc(t)RR解:S1闭合后:uC(0+)=uC(0-)=0uC(∞)=U=20Vτ1=RC=0.2S前往uC(t)=uc(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ=20(1－e－5t)当t=0.1s时uC(0.1)=20(1－e－5t)≈7.87vτ2=(R//R)C=2.5×104×4×10－6=0.1suC(t)=uC(∞)+[uC(0+)－uC(∞)]e－t/τ=20－12.13e－10(t－0.1)V前往＋－US1S2CUc(t)RRS2闭合后:uc(0+)=7.87VuC(∞)=U=20V变化曲线如图uc(t)207.8700.1stτ1=0.2sτ2=0.1s前往例、知，U=10V,R1=10KΩ,R=15KΩ,C=50μF,在t=0时翻开S1,经过1秒后翻开S2,试求uc(t),并画出曲线。＋－US1S2CUc(t)R1R解:uC(0+)=uC(0-)=U/2=5VuC(∞)=0τ1=RC=0.75S前往uc(t)=uc(∞)+[uc(0+)-uc(∞)]e－t/τ=5e－1.3tR＋－US1S2CUc(t)R1RR当t=1s时uC(1)=5e－1.3≈1.36V前往S2翻开后:uc(0+)=1.36VuC(∞)=0Vτ2=(R+R1)C=2.5×104×50×10－6=1.25suc(t)=uc(∞)+[uc(0+)－uc(∞)]e－t/τ=1.36e－0.8(t－1)V变化曲线如图uc(t)51.3601stτ1=0.75sτ2=1.25s前往前往例、知，U=90V，R=60Ω，r=30Ω,C=10μF,在t=0时闭合S,试求uc(t)经过0.4ms后又翻开S,试求uc(t).＋－USRRrrC解:S闭合前:uC(0+)=uC(0－)=U·R/(R+r)=60V=60－30=30V前往＋－USRRrrCuc(t)=uc(∞)+[uc(0+)-uc(∞)]e－t/τ=30+30e－2500t当t1=0.4ms时uC(t1)=30+30e－2500t1≈41VuC(∞)=U·R/(R+r)=60Vuc(t)=60+(41－60)e－(t－t1)/τ′=60－19e－2000(t－t1)求解RL电路的暂态过程与求解RC电路的暂态过程的步骤一样,所不同的是RL电路的时间常数为τ=L/R.L单位为〔H〕，R单位为〔Ω〕时,τ是秒。用列微分方程，解微分方程来求解暂态过程的方法称为经典法,经过经典法可归纳出求解一阶电路的三要素法。第四节RL电路的暂态过程前往例、在图示电路中,知L=1mH,R=10Ω,电压表内电阻Rv=1.5kΩ,电源电压U=10V,在t=0时开关S断开,S断开前电路已处于稳态,求S断开后电压表两端电压的初始值及变化规律。VRvSabLRiLt=0U解：iL(0-)=U/R=1AiL(0+)=iL(0－)=1AS断开的瞬间uab(0+)=－iL(0+)RV=－1500V前往uab(∞)=0τ=L/(R+Rv)=1×0.001/(10+1500)=0.66×10－8Suab(t)=uab(∞)+[uab(0+)－uab(∞)]e－t/τ=－1500e－1.51×1000000t前往阐明:换路的瞬间,电压表两端出现了1500V的高压,虽然暂态时间很短也能够使电压表击穿。通常在切断电感电路时,在线圈两端反并联一个二极管,以限制断开时的电压，保证电路中电气设备和操作人员的平安,电路如下图。DSLRit=0U前往例3-5-5t=0，断开S，求iL(t)。＋－6V10mH10ΩiL解:iL(0+)=iL(0－)=[6/(10+2.5)]×5/5+5=0.24A前往S5Ω5Ω5Ωτ=10×10－3／[10//(5+5)]+5