参考论文实函数和复函数异同论文

实函数和复函数异同论文【摘要】在定义复函数导数的时候，考虑的范围应该多与实函数的导数情形。如果要求复函数存在导数，那么由实部增量获得的复函数导数应该与由虚部增量获得的复函数导数相一致。这也就是柯西黎曼条件。注意这不是判断复函数导数存在的充分条件，只是必要条件。1.函数的定义和分类函数的本质是一种对应关系，描述着应变量随自变量的变化的形式。现代函数的定义是由集合描述的，即从一个集合到另一个集合的对应。函数的分类方式是多种多样的，不同的分类方式描述了函数的不同性质。根据函数映射方式的不同，可以分为单射函数，满射函数和双射函数；根据函数的周期性，可以分为周期函数和非周期函数；根据函数的增减性，可以分为单调递增函数，单调递减函数，凹函数，凸函数和复杂函数；根据函数解析式的形式，可以分为二次函数，三次函数，指数函数，对数函数等；函数的性质非常之多，导致其分类形式也有很多。但是，其中最重要的一种分类方式是将函数分为实函数和复函数。2.实函数的定义实函数是指定义域和值域都是实数的函数。可以看出，实函数的研究对象是实数，其本质是实数与实数之间的对应关系，是实数随着实数的变化关系。从集合的定义角度来看，实函数的本质是实数集到实数集的对应。实函数的一个重要特征就是，函数关系可以反映在坐标系中。研究实函数的分支叫作实变函数论，是研究以实数作为函数自变量的理论，是数学领域的一个重要分支。实变函数论以集合论为根基，是微积分理论的进一步扩展和延伸。实变函数论的主要研究内容是实函数的连续性质，极限性质，微分积分性质，测度论等。3.复函数的定义复函数是指自变量为复数的函数。与实数不同，复数有实部和虚部，相比之下复函数的情形就更为复杂。复函数研究的不仅是复数和复数之间的函数关系，而且包括复数和实数之间的函数关系。从集合理论的角度来看，复数集合是实数集合和虚数集合的并集，而复函数则是从复数集合到复数集合的对应关系。研究复函数的理论就做复变函数论，是研究以复数作为函数自变量的函数理论。其主要研究内容包括级数，留数，解析函数，复函数的微分和积分等。由以上论述可以看出，从函数性质的角度研究实函数和复函数，它们的性质既有相同之处，也有不同之处。对于实函数和复函数之间异同的把握，对于掌握它们各自的性质，理解函数的本质，熟练函数的应用是有重要意义的。4.实函数和复函数的极限性质极限对于微积分乃至现代数学和物理来说是一个极为重要的概念，它反映的是变量在变化过程中的趋向性质。很多数学物理方法都是以极限概念为基础而延伸出来的，甚至很多的基本概念也是以极限为基础的。极限的研究分为数列极限和函数极限，数列极限反映的是分离变量的趋向性质，函数极限反映的是连续变量的趋向性质。极限的研究中，包括极限的性质，如唯一性，有界性，收敛性等；也包括极限的计算方法，运算法则，并要熟练掌握常见的极限性质。实函数的极限。实函数极限的定义可以用文字描述：一个实函数在其定义域的某一点的空心领域内有定义，如果存在某个正数，当自变量的值与x的差小于这个正数时，其对应的函数值和A的差可以小于某个给定的正数，那么则说这个实函数存在极限。从实函数极限的定义可以看出，其反映的是实数自变量在实函数的变化过程中趋势的性质，当实数自变量趋于某一个值时，对应的实数函数值也趋于某一个值，这就是实函数极限的简单含义。复函数的极限。复函数极限的定义可以用文字描述：一个复函数在其复数定义域内的某一点是聚点，如果存在大于0的数，使得当复函数自变量值与z的差小于整个数时，其对应的复函数值与A小于任意一个给定的正数，那么这个复函数存在极限。复函数极限的定义如果用严格的数学语言描述，是：设函数w=f（z），z∈E（集合），zo为E的聚点，对于复数A，若对任意给定的？着大于0，总存在r大于0，只要0<|z-zo|<？着，则称f（z）当z在e中趋向于zo时，以a为极限，记作：f（z）->A（z->zo）。从复函数极限的定义可以看出，其描述的是复数自变量在复函数的变化过程中趋向的性质，当复数自变量趋于某一个值时，对应的复数函数值也趋于某一个值，这就是复函数极限的简单含义。由上述定义可以看出，实函数和复函数在极限的定义上是相类似的，都是描述当自变量趋向某一值时，函数值的趋向性质。但是，形式上的相似性并不说明含义上的相同性。事实上，复函数极限的定义比实函数极限的定义内容更加丰富。因为复数包括实部和虚部，当自变量趋向某一个复数时，要求实部和虚部必须同时趋向相应的实部和虚部，具有更大的任意性。如果将实数的极限形象的理解为数轴上一维的趋向，那么，复函数的极限则描述的是平面上到一点的趋向。显然，由于比实函数的极限多了一个维度，复函数的极限的趋向方式的任意性更大，可以类比为一个二元实函数的问题。与复函数极限趋向方式的任意性不同，实函数的极限趋向方式更为苛刻和严格，因为趋向的方式只能一种，即单方向的，因此要求实函数一点的左极限和右极限必须相等，这样才能保证实函数极限的存在。可以通过求一个复函数极限的例子来说明复函数极限的特点：可见，该复函数在原点极限不存在。5.实函数和复函数的连续性函数的连续性描述的是函数整体变化的性质，判断一个函数是否具有连续性是更深入研究函数其它性质的前提。函数的连续性问题在对函数的研究中是具有承上启下作用的，一方面紧密联系了函数的极限，另一方面为后续更复杂的函数性质做好铺垫和准备。函数的连续性首先是针对定义域内一点的定义，要求当自变量趋向某一个值时，其极限值与函数值相等。而通常情况下，函数的连续性指的是函数在定义区间中的所有点都连续，即整体具有连续性。值得注意的是，这里并没有说函数在定义域内的所有点具有连续性，因为在定义域内有可能包含一些离散的点，而函数在这些离散的点上不连续，导致整体不具有连续性。但是，如果把定义域上的这些点剔除掉，不包含在定义区间内，这样可以使函数又恢复连续性。对于实函数和复函数来说，它们连续性的定义是类似的，都由前面的描述给出。但不同的是，实函数的连续是一元的连续，在实数轴上其形式是一维的。相比之下，复函数连续的要求就更为严格，因为复函数的实部和虚部必须同时满足连续的要求。如果把复函数虚部看做一个单独的变量，那么复函数连续相当于一个二元函数的连续，复杂性增加。6.实函数和复函数的导数在函数的研究中，导数是一个极为重要的概念。导数可以反映着一个函数的变化快慢，具体来说是在定义域内某一点上变化的快慢。当函数自变量有一个增量的时候，相应的函数因变量也会有一个增量，函数值的变化与自变量的变化有一个比值，这个比值可以反映函数变化的快慢，比值大说明自变量变化量相同时，函数值增量的变化大；比值小，说明自变量变化量相同时，函数值增量的变化小。当函数自变量变化的值趋向于0时，有时候函数值的变化和自变量变化的比值仍然存在，且不是无穷大，那么这个情况下的比值就叫做函数在这一点上的导数；如果这个比值不存在，那么说明函数在这一点的导数不存在。由此可见，导数反映的是函数在定义域内某一点的变化快慢，导数越大说明函数在这一点上的变化越快，导数越小说明函数在这一点上的变化越小。导数的计算是函数导数理论，乃至微积分理论中很重要的一部分内容。基本的计算方法包括根据定义计算函数导数，导数的四则运算法则，复合函数导数的计算法则，反函数导数的计算法则等。函数的导数具有线性，即对于线性组合函数的导数，就是各自导数相应的线性组合；对于两个函数乘积的导数，是一个函数与另一个函数导数的乘积，加上另一个函数的导数和这个函数的乘积；对于两个函数商的导数，是以后一个函数的平方做分母，前一个函数的导数与后一个函数的乘积减去后一个函数的导数与前一个函数的乘积做分子的结果。实函数和复函数在导数的计算中有很大的相同点，即所有的导数计算法则都可以应用到实函数和复函数的导数计算中去。包括非常有用的洛比达法则。洛比达法则可以简化导数的求法，因而洛比达法则在函数中的适用性对于导数的计算具有重大意义。以下为实函数和复函数中的洛比达法则。（1）实函数中的洛比达法则：从以上定理可以看出，当函数满足定理条件时，洛必达法则对于复函数也适用。除了这些相同点，实函数和复函数在导数的定义上同样也具有形式上的相同点。但是，实函数和复函数在定义上的不同点，并不能被形式上的一致性所掩盖。正如前面所分析过的，由于复函数包括实部和虚部，因此复函数的增量也由两个部分组成，即实部的增量和虚部的增量。因此，在定义复函数导数的时候，考虑的范围应该多与实函数的导数情形。如果要求复函数存在导数，那么由实部增量获得的复函数导数应该与由虚部增量获得的复函数导数相一致。这也就是柯西黎曼条件。注意这不是判断复函数导数存在的充分条件，只是必要条件。由此可见，复函数的导数内涵比实函数的导数内涵更为广泛。在函数导数存在与否的判定中，复函数的情形也更为复杂。可以通过一个具体的例子来说明复函数求导是的特点和性质：因为两种趋近方式的导数不相等，因此可以判断，该函数在z0处导数不存在，也就是说该复函数处处不可导。由此可以看出，与实函数