《数学分析第二章》课件

数学分析第二章目录CONTENCT引言极限理论连续函数导数与微分导数的应用不定积分01引言数学分析是数学专业的一门基础课程，主要研究函数的极限、连续性、可微性、积分等基本概念和性质。通过学习数学分析，可以培养学生对数学思维的严谨性和逻辑性的认识，提高学生的数学素养和解决问题的能力。课程简介理解函数极限的概念和性质，掌握极限的运算法则和计算方法。理解函数的连续性、可微性和可积性的概念和性质，掌握判断连续性、可微性和可积性的方法。掌握定积分和不定积分的概念和计算方法，理解微积分的基本定理。了解级数和幂级数的概念和性质，理解函数展开成幂级数的条件和方法。学习目标02极限理论极限的描述性定义极限的精确定义单侧极限定义极限是当自变量趋近某一值时，函数值的变化趋势。对于任意给定的正数$varepsilon$，存在另一个正数$delta$，当$|x-x_0|<delta$时，有$|f(x)-L|<varepsilon$。函数在某点的左极限和右极限，分别表示函数在该点的左邻域和右邻域的极限。极限的定义01020304唯一性有界性局部有界性保号性极限的性质若函数在某点的极限存在，则该点附近的函数值也是有限的。若函数在某点的极限存在，则该点的函数值是有界的。若函数在某点的极限存在，则该极限值是唯一的。若函数在某点的极限存在且为正（负），则该点附近的函数值也为正（负）。在自变量趋近某一值时，函数值趋近于零的量。无穷小量在自变量趋近某一值时，函数值无穷大的量。无穷大量无穷小量与有限小量之比为无穷小量；两个无穷小量之商可能为有限量、无穷大量或不存在。无穷小量的性质无穷大量与有限大量之比为无穷大量；两个无穷大量之商可能为有限量、无穷大量或不存在。无穷大量的性质无穷小量与无穷大量03连续函数

连续函数的定义连续函数的定义如果函数在某点的极限值等于函数在该点的函数值，则称函数在该点连续。左极限和右极限对于函数在某点的连续性，需要分别考虑该点的左极限和右极限，并确保它们相等。闭区间上连续函数的性质如果一个函数在闭区间上连续，则该函数在该区间上具有一致性、可积性和可微性等性质。80%80%100%连续函数的性质如果函数在区间两端取值为异号，则该区间内必存在至少一个零点。如果函数在闭区间上连续，则该区间内必存在至少一个点，使得函数值等于区间两端点函数值的平均值。如果函数在闭区间上连续且取值在两个常数之间，则该区间内必存在至少一个点，使得函数值等于这两个常数的平均值。零点定理中值定理介值定理010203可微性的定义导数的几何意义可微函数的性质函数的可微性如果函数在某点的导数存在，则称该函数在该点可微。函数在某点的导数表示该点处的切线斜率。可微函数具有连续性、可积性和可导性等性质。04导数与微分导数是描述函数在某一点附近的变化率的重要工具。导数是通过极限来定义的，表示函数在某一点处的切线的斜率。对于可导函数，其在某一点的导数值反映了函数在该点附近的变化趋势和速度。导数的定义详细描述总结词总结词详细描述导数的性质导数具有一些重要的性质，这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的几何形态等方面具有重要作用。导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、商的导数法则、链式法则等。这些性质使得我们可以利用导数来研究函数的单调性、极值和曲线的几何形态等。总结词微分是导数的几何解释，它表示函数在某一点附近的小变化量。详细描述微分是通过函数的增量与自变量增量的比值的极限来定义的，它可以看作是函数在某一点附近的小变化量。微分具有线性性质，即函数的微分可以看作是一个线性函数，这使得微分在近似计算和误差估计等方面具有广泛应用。微分的概念05导数的应用如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，且$f(a)=f(b)$，则存在$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。罗尔定理如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，在开区间$(a,b)$上可导，则存在$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理中值定理如果函数$f(x)$和$g(x)$在某点$x_0$的附近可导，且$g'(x_0)neq0$，则$lim_{xtox_0}frac{f'(x)}{g'(x)}=frac{f'(x_0)}{g'(x_0)}$。洛必达法则洛必达法则常用于求解极限问题，特别是当分母的极限为0时，通过求导简化计算。应用洛必达法则导数与函数图像的变化趋势导数大于0时，函数图像在该点处单调递增；导数小于0时，函数图像在该点处单调递减。导数与极值函数的极值点处的一阶导数为0，通过求二阶导数可以判断该点处是否为极值点。导数与切线斜率函数在某点的导数即为该点处的切线斜率。导数在几何上的应用06不定积分积分符号表示意义不定积分的定义不定积分通常用∫f(x)dx表示，其中∫是积分符号，f(x)是被积函数，dx是微分符号。不定积分在数学分析中具有重要的意义，它为研究函数的性质和计算提供了基础。不定积分也称为原函数，是微分的逆运算。不定积分定义为函数f(x)的一个可导的线性组合，其导数为f(x)。线性性质积分常数性质比较性质区间可加性不定积分的性质01020304∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx∫[f(x)+c]dx=∫f(x)dx+c∫dx=∫f(x)dx+c如果f(x)≤g(x)，那么∫f(x)dx≤∫g(x)dx如果a<b<c，那么∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫f(x)dx+∫f(x)dx0102030405基本公式幂函数的积分三角函数的积分对数函数的积分反三角函数的积分对于任何常数c，有∫cdx=cx+c∫x^ndx=1/(n+1)*x^