单位冲击函数-卷积

§0-2单位冲击函数d-Function

一、定义fn(x)可以是Nrect(Nx),Nsinc(Nx),NGaus(Nx),二维圆域函数等等.物理系统已无法分辨更窄的函数定义1.定义2.基于函数系列的极限:练习:画出rect(x),10rect(10x),sinc(x),10sinc(10x)的示意图.可描述:单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等.编辑课件§0-2单位冲击函数d-Function

一、定义(续)0xd(x)110xd(x,y)yd-函数的图示:定义3:设任意函数f(x)在x=0点连续,则 f(x)称为检验函数.编辑课件§0-2d-函数

二、性质1.筛选性质sifting(由定义3直接可证)设f(x)在x0点连续,那么证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习)推论:d(x)是偶函数2.缩放性质scaling与普通函数缩放性质的区别:普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.编辑课件§0-2d-函数

二、性质(续)3.乘积性质

设f(x)在x0点连续,那么:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0)任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数练习：计算sinc(x)d(x) 2.sinc(x)d(x-0.5) 3.sinc(x)d(x-1) 4.(3x+5)d(x+3)编辑课件§0-2d-函数

三、d-函数的阵列--梳状函数comb(x)表示沿x轴分布、间隔为1的无穷多脉冲的系列.例如：不考虑缝宽度和总尺寸的线光栅.间隔为t的脉冲系列:定义:

n为整数编辑课件§0-2d-函数

三、d-函数的阵列--梳状函数comb(x)梳状函数与普通函数的乘积:f(x)0x=x0xcomb(x).0利用comb(x)可以对函数f(x)进行等间距抽样.xy二维梳状函数:comb(x,y)=comb(x)comb(y)编辑课件练习0-4：连续函数f(x)，假设x0>b>0,利用d函数可筛选出函数在x=x0+b的值，试写出运算式。0-5:f(x)为任意连续函数，a>0,求函数 g(x)=f(x)[d(x+a)-d(x-a)]并作出示意图。0-6：连续函数f(x)，a>0和b>0。求出以下函数： (1)h(x)=f(x)d(ax-x0) (2)g(x)=f(x)comb[(x-x0)/b]编辑课件§0-2d-函数练习0-4:0-5:0-6:g(x)=f(x)[d(x+a)-d(x-a)]=f(x)d(x+a)-f(x)d(x-a)=f(-a)d(x+a)-f(a)d(x-a)h(x)=f(x)d(ax-x0)作图编辑课件§0-2梳状函数

练习

0-6(2)编辑课件练习0-7画函数图形(1)(2)编辑课件§0-3卷积convolution

一、概念的引入

例题 用宽度为a的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pf0x) 扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。编辑课件卷积 概念的引入探测器输出的光功率分布axf(x)1/f0x卷积运算编辑课件§0-3卷积convolution

一、概念的引入(II)设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)物体分布成像系统像平面分布像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述f(x)成像xx0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)编辑课件§0-3卷积convolution

一、概念的引入物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x)像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果.需用卷积运算来描述f(x)成像xx0x1f(x1)h(x-x1)x2f(x2)h(x-x2)f(0)h(x)x编辑课件§0-3卷积convolution

二、定义假设f(x)与h(x)有界且可积,定义*:卷积符号g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的奉献是f(x),那么第二个函数的奉献是h(x-x).需要对任何可能的x求和.g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.二维函数的卷积:编辑课件§0-3卷积convolution

三、计算方法--借助几何作图th(t)1/5590f(t)1/346t0f(t)1/346t0th(-t)1/5-9-50xh(x-t)

x-9x-5t460练习:计算rect(x)*rect(x)9111315

g(x)

x02/151.用哑元t画出函数f(t)和h(t);2.将h(t)折叠成h(-t);3.将h(-t)移位至给定的x,

h[-(t-x)]=h(x-t);4.二者相乘;5.乘积函数曲线下面积的值即为g(x).步骤:编辑课件§0-3卷积convolution

三、计算方法--几何作图法练习:计算rect(x)*rect(x)-101

g(x)

x11.用哑元t画出二个rect(t)2.将rect(t)折叠后不变;3.将一个rect(-t)移位至给定的x0,

rect[-(t-x0)]=rect(x0-t);4.二者相乘;乘积曲线下面积的值即为g(x0).rect(t)1t-1/201/2|x|>1;g(x)=0-1<x<0;g(x)=1[x+1/2-(-1/2)]=1+x0

<x<1;g(x)=1[1/2-(x-1/2)]=1-xrect(t)1t-1/201/2

x0-1/2x0

x0+1/2rect(t)1t-1/201/2rect(x)*rect(x)=tri(x)编辑课件卷积 概念的引入：

回到前面的例题探测器输出的光功率分布:af(x)1/f0xx编辑课件计算这个卷积:讨论这个结果f(x)=2+cos(2pf0x)编辑课件练习假设证明：令x-x=x’证:编辑课件作业0-8假设证明：编辑课件§0-3卷积convolution

四、性质1.卷积满足交换律CommutativeProperty

f(x)*h(x)=h(x)*

f(x)

推论:卷积是线性运算Linearity

[av(x)+bw(x)]*h(x)=a[v(x)*

h(x)]+b[w(x)*

f(x)]2.卷积满足分配律DistributiveProperty [v(x)+w(x)]*

h(x)=v(x)*

h(x)+w(x)*

f(x)3.卷积满足结合律AssociativeProperty

[v(x)*

w(x)]*h(x)=[v(x)*h(x)]*w(x)=v(x)*[w(x)*

h(x)]编辑课件§0-3卷积convolution

四、性质(续)4.卷积的位移不变性Shiftinvariance假设f(x)*h(x)=g(x),那么 f(x-x0)*h(x)=g(x-x0) 或 f(x)*h(x-x0)=g(x-x0)5.卷积的缩放性质Scaling假设f(x)*h(x)=g(x),那么 编辑课件§0-3卷积convolution

五、包含脉冲函数的卷积即任意函数与d(x)卷积后不变根据1.d-函数是偶函数,2.d-函数的筛选性质,有:任意函数与脉冲函数卷积的结果,是将该函数平移到脉冲所在的位置.

f(x)*d(x-x0)=f(x-x0)

f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重复性的结构.=*bbaaa利用卷积的位移不变性可得:编辑课件作业0-9.利用梳函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d，缝数为N.0-10.利用包含脉冲函数的卷积表示以下图所示双圆孔屏的透过率。假设在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？ldxy(透过率=输出/输入)编辑课件利用卷积性质求卷积的例子

作业0-11：用图解法求图示两个函数的卷积

f(x)*h(x)假设要求写出解析运算式:f(x)=?+?写成tri(x)的平移式h(x)=?+?写成d(x)的平移式利用卷积的线性性质利用d函数的卷积性质利用卷积的平移性质*=f(x)xAa-a0h(