初中平面几何一题多变

wordword/word初中平面几何一题多变♥在完成一个数学题的解答时，有必要对该题的容、形式、条件、结论，做进一步的探讨，以真正掌握该题所反映的问题的实质。如果能对一个普通的数学题进展一题多变，从变中总结解题方法；从变中发现解题规律，从变中发现“不变〞，必将使人受益匪浅。♥“一题多变〞的常用方法有：

1、变换命题的条件与结论；

2、保存条件，深化结论；

3、减弱条件，加强结论；

4、探讨命题的推广；

5、考查命题的特例；

6、生根伸枝，图形变换；

7、接力赛，一变再变；

8、解法的多变等。19、〔增加题1的条件〕AE平分∠BAC交BC于E，求证：CE：EB=CD：CB20、〔增加题1的条件〕CE平分∠BCD，AF平分∠BAC交BC于F求证：〔1〕BF·CE=BE·DF

〔2〕AE⊥CF

〔3〕设AE与CD交于Q，如此FQ‖BC

21、，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以CD为直径的圆交AC、BC于E、F，求证：CE：BC=CF：AC〔注意此题和16题有无联系〕22、，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，以AD为直径的圆交AC于E，以BD为直径的圆交BC于F，求证：EF是⊙O1和⊙O2的一条外公切线23、，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以CD为弦的圆O2，求证：点A到圆O2的切线长和AC相等〔AT=AC〕24、，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为ACD的中点，连ED并延长交CB的延长线于F，求证：DF：CF=BC：AC25、如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，

公切线DO交外公切线EF于点O，

求证：OD是两圆半径的比例中项。题14解答：

因为CD^2=AD·DB

AC^2=AD·AB

BC^2=BD·AB

所以1/AC^2+1/BC^2

=1/〔AD·AB〕+1/〔BD·AB〕

=〔AD+DB〕/〔AD·BD·AB〕

=AB/AD·BD·AB

=1/AD·BD

=1/CD^215题解答：

因为M为AB的中点，所以AM=MB，AD-DB=AM+DM-(MB-DM)=2DM

AC^2-BC^2=AD*AB-DB*AB

=(AD-DB)AB

=2DM*AB26、〔在19题根底上增加一条平行线〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖AB交BC于点G，求证：CE=BG27、〔在19题根底上增加一条平行线〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，FG‖BC交AB于点G，连结EG，求证：四边形CEGF是菱形28、〔对19题增加一个结论〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E、交CD于F，求证：CE=CF29、〔在23题中去掉一个圆〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，求证：过点D的圆O1的切线平分BC30、〔在19题中增加一个圆〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BAC交BC于E，交CD于F，求证：⊙CED平分线段AF31、〔在题1中增加一个条件〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠A=30度，求证：BD=AB/4〔沪科版八年级数学第117页第3题〕32、〔在18题根底上增加一条直线〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作∠BCE=∠BCDP为AC上任意一点，直线PQ交CD于Q，交CB于M，交CE于N求证：PQ/PN=QM/MN32题证明：

作NS‖CD交直线AC与点S，

如此PQ/PN=CQ/SN

又∠BCE=∠BCD

∴QM/MN=CQ/〔三角形角平分线性质定理〕

∠BCE+∠NCS=∠BCD+∠ACD

NS‖CD，∴∠NSC=∠ACD

∴∠NSC=∠NCS

∴SN=

∴PQ/PN=QM/MN题33在“题一中〞，延长CB到E，使EB=CB，连结AE、DE，求证：DE·AB=AE·BE题33证明

CB^2=BD·AB

因EB=CB

∴EB^2=BD·AB

∴EB：BD=AB：BE

又∠EBD=∠ABE

∴△EBD∽△ABE

∴EB：AB=DE：AE

∴DE·AB=AE·BE题34〔在19题根底上增加一条垂线〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分CD于F，EG⊥AB交AB于点G，求证：EG^2=BE·EC证明：延长AC、GE，设交点为H，

∴△EBG∽△EHC

∴EB：EH=EG：EC

∴EH·EG=BE·EC

又HG‖CD，CF=FD

∴EH=EG

∴EG^2=BE·EC题35〔在题19中增加点F〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠BCA交BC于点E，交CD于F，求证：2CF·FD=AF·EF题36、〔在题16中，减弱条件，删除∠ACB=90度这个条件〕，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，DE⊥AC于E，DF⊥BC于F，求证：CE/BC=CF/AC题37〔在题17中，删除∠ACB=90度和CD⊥AB，D为垂足这两个条件，增加D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC〕，△ABC中，D是AB上一点，满足∠ACD=∠ABC，又CE平分∠BCD求证：AE^2=AD·AB题38，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线求证：PA/AD=PB/BD题39〔在题19中点E“该为E为BC上任意一点〞〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为BC上任意一点，连结AE，CF⊥AE，F为垂足，连结DF，求证：△ADF∽△AEB题40：，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足求证：S⊙ADC：S⊙BDC=AD：DB题41，如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，

求∠ACB的度数。题42

，CD是△ABC的AB边上的高，D为垂足，且AD/CD=CD/BD，

如此∠ACB一定是90度吗？为什么？题43：，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的切圆⊙O1，△BDC的切圆⊙O2，求证：S⊙O1：S⊙O2=AD：DB题44：，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，△ADC的切圆⊙O1的半径R1，△BDC的切圆⊙O2的半径R2，△ABC的切圆⊙O的半径R，求证：R1+R2+R=CD题45、，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，作以AC为直径的圆O1，和以BD为直径的圆O2，设O1和O2在△ABC交于P求证：△PAD的面积和△PBC的面积相等题45解：

∠CAP=∠CDP=∠DBP〔圆周角、弦切角〕

∴Rt△APC∽Rt△BPD

∴AP·PD=BP·PC

又∠APD和∠CPB互补〔∠APC+∠BPD=180度〕

S△PAD=1/2·AP·PD·sin∠APD

S△PBD=1/2·BP·PC·sin∠CPB

∴S△PAD=S△PBD题46〔在题38的根底上变一下〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，PC为⊙ABC的切线，又CE平分∠ACB交⊙ABC与E，交AB与D，

假如PA=5，PC=10，

求

CD·CE的值题47在题46中，求sin∠PCA题48〔由题19而变〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，AE平分∠ACB交BC于E，EG⊥AB交AB于点G，求证：〔1〕AC=AG〔2〕、AG^2=AD·AB〔3〕、G在∠DCB的平分线上〔4〕、FG‖BC〔5〕、四边形CEFG是菱形题49题49解答：题目50〔题33再变〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，如果此时AC=EC，求证：AF=2FE题50解：

过点E作EM⊥CF，M为垂足，如此AD：DB=AC^2：CB^2=4：1

又DB：EM=1：2

所以，AD：EM=2：1

△ADF∽△EMF

∴AF：EF=AD：EM=2：1

∴AF=2EF题目51〔题50中连一线〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，延长CB到E，使EB=CB，连结AE交CD的延长线于F，连结FB，如果此时AC=EC，求证：∠ABC=∠EBF〔题51的几种解法〕

解法1、

作∠ACB的平分线交AB于点G，易证△ACG≌△CEF

∴CG=EF

∴证△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF题51解法2

作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，

如此点G为△ACE的垂心，∴GF‖CE

又∠AEC=∠GCE，

∴四边形CGFE为等腰梯形

∴CG=EF

∴再证△CBG≌△EBF

∴∠ABC=∠EBF题51解法3

作∠ACB的平分线交AB于点G，交AE于点P，

如此点G为△ACE的垂心，

易证△APG≌△CPF〔AAS〕

∴PG=PF

又∠GPB=∠FPB，

PB=PB

∴△PBG≌△FBP〔SAS〕

∴∠PBG=∠FBP

∴∠ABC=∠EBF题51解法4〔原题图〕

由题50得，AF=2EF

∴AF：EF=AC：BE=2

又∠CAF=∠BEF=45度

∴△ACF∽△EBF

∴∠ACF=∠EBF

又∠ACF=∠CBA

∴∠ABC=∠EBF题51解法5

作ME⊥CE交CD的延长线于M，

证△ABC≌△CME〔ASA〕

∴∠ABC=∠M

再证△MEF≌△BEF〔SAS〕

∴∠EBM=∠M

∴∠ABC=∠EBF题51解法6

作点B关于点C的对称点N，连结AN，

如此NB=2BE，又由题50，AF=2EF，

∴BF‖AN

∴∠EBM=∠N

又∠ABC=∠N〔对称点〕

∴∠ABC=∠EBF题51解法7

过点C作CH‖BF交AB于M，

∵B为CE的中点，

∴F为HE的中点

又由题50，AF=2EF，

∴H为AF的中点

又CH‖BF

∴M为AB的中点

∴∠MCB=∠MBC

又∠EBM=∠MCB

∴∠ABC=∠EBF题目52〔题50、51结论的引伸〕，△ABE中，AC=EC，∠ACE=90度，CD⊥AB交斜边AB于F，D为垂足，B为CE的中点，连结FB，求证：〔1〕、AF=2EF〔2〕、∠ABC=∠EBF〔3〕、∠EBF=∠E+∠BAE〔4〕、∠ABF=2∠DAC〔5〕、AB：BF=AE：EF〔6〕、CD：DF=AE：AF〔7〕、AD：DB=2AF：EF〔8〕、CD/DF·FA/AE·EB/BC=1题目53〔题52的一局部〕

如图，①、AC=CE②、AC⊥CE③、CB=BE④、CF⊥AB求证：⑤、AF=2EF⑥、∠ABC=∠EBF〔题53的14个逆命题中，是真命题的请给出证明〕题目54〔题53的逆命题1〕如图，⑤、AF=2EF②、AC⊥CE③、CB=BE④、CF⊥AB求证：①、AC=CE⑥、∠ABC=∠EBF平面几何一题多变题目55〔题53的逆命题2〕如图，①、AC=CE⑤、AF=2EF③、CB=BE④、CF⊥AB求证：②、AC⊥CE⑥、∠ABC=∠EBF题目56〔题53的逆命题3〕如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑤、AF=2EF④、CF⊥AB求证：③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF题目57〔题53的逆命题4〕如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑤、AF=2EF③、CB=BE求证：④、CF⊥AB⑥、∠ABC=∠EBF题目58〔题53的逆命题5〕如图，③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF②、AC⊥CE④、CF⊥AB求证：⑤、AF=2EF①、AC=CE题目59〔题53的逆命题6〕如图，①、AC=CE④、CF⊥AB③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：⑤、AF=2EF②、AC⊥CE题目60〔题53的逆命题7〕如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑥、∠ABC=∠EBF④、CF⊥AB求证：⑤、AF=2EF③、CB=BE题目61〔题53的逆命题8〕如图，①、AC=CE②、AC⊥CE③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：⑤、AF=2EF④、CF⊥AB题目62〔题53的逆命题9〕如图，⑤、AF=2EF④、CF⊥AB③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：①、AC=CE②、AC⊥CE题目63〔题53的逆命题10〕如图，②、AC⊥CE⑤、AF=2EF④、CF⊥AB⑥、∠ABC=∠EBF求证：①、AC=CE③、CB=BE题目64〔题53的逆命题11〕如图，③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF②、AC⊥CE⑤、AF=2EF求证：①、AC=CE④、CF⊥AB题目65〔题53的逆命题12〕如图，①、AC=CE⑤、AF=2EF④、CF⊥AB⑥、∠ABC=∠EBF求证：②、AC⊥CE③、CB=BE题目66〔题53的逆命题13〕如图，①、AC=CE⑤、AF=2EF③、CB=BE⑥、∠ABC=∠EBF求证：②、AC⊥CE④、CF⊥AB题目67〔题53的逆命题14〕如图，①、AC=CE②、AC⊥CE⑤、AF=2EF⑥、∠ABC=∠EBF求证：③、CB=BE④、CF⊥AB题目68如图，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB，如果S△ACM=30，S△DCM=6，求S△BCD=？〔题68解答〕

解：

设S△BCD=x,如此S△ACM/S△CMB=30/〔6+x〕=AM/MB

S△ACD/S△CDB=36/x=AD/DB

又AC^2=AD·AB

BC^2=BD·AB

∴AC^2/BC^2=AD/BD

∵CM平分∠ACB

∴〔AM/BM〕^2=AD/BD

∴[30/(6+x)]^2=36/x

解方程得x=4或x=9

∴S△BCD=4或S△BCD=9题目69如图，△ABC中，∠ACB=90度，D为斜边AB上一点，满足AC^2=AD·AB求证：CD⊥AB题目70如图，△ABC中，AC>BC,∠ACB=90度，CM平分∠ACB，且CM+CB=AC，求证：1/AC-1/BC=√2题70证明：

过点M作MD⊥BC，D为垂足，作MD⊥AC，E为垂足，

设ME=x,AC=b,BC=a,如此CM=√2x，AE=b-x,

由AE/AC=ME/BC，得(b-x)/b=x/a,

∴x=ab/(a+b)

又CM+CB=AC

∴√2x+a=b,

∴ab/(a+b)=(b-a)/√2

整理得：b^2-a^2=√2ab

两边都除以ab,

∴1/AC-1/BC=√2题目71(依题68变)如图，△ABC中〔AC>BC〕，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB,且BC、AC是方程x^2-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长。题目71解：

显然，方程x^2-14x+48=0的两根为6和8，

又AC>BC

∴AC=8，BC=6

由勾股定理AB=10

△ACD∽△ABC，得AC^2=AD·AB

∴∵CM平分∠ACB

∴AM/MB=AC/CB

解得，AM=40/7

∴MD=AD-AM=24/35题目72如图，△ABC中，∠ACB=90度，AB=2AC，现在将它折成如右图的形状，这时顶点A正好落在BC上，而且△A'MN是正三角形，求△A'MN与△ABC的面积之比。题72解：

∵∠ACB=90度，AB=2AC

∴∠B=30度

由题意，四边形AMA'N是菱形，

∴△A'BM∽△ABC

∴A'M/AC=BM/AB

设AM=x,AB=2AC=2a

∴x/a=(2a-x)/2a

∴x=2a/3

由三角形面积公式，得

S△A'MN：S△ABC=2：9题目73，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足求证：AB+CD>AC+BC题73的证明：

由三角形面积公式，得AB·CD=AC·BC

2AB·CD=2AC·BC

又勾股定理，得AB^2=AC^2+BC^2

∴AB^2+2AB·CD=AC^2+BC^2+2AC·BC(等式性质)

∴AB^2+2AB·CD=〔AC+BC〕^2

∴AB^2+2AB·CD+CD^2>〔AC+BC〕^2

∴(AB+CD)^2>〔AC+BC〕^2

又AB、CD、AC、BC均大于零

∴AB+CD>AC+BC题目74

，△ABC中，∠ACB>90度，CD⊥AB，D为垂足

求证：AB+CD>AC+BC题74证明：如图，作CB’⊥AC交AB于B’,

于是有

AB’·CD=AC·B’C

2AB’·CD=2AC·B’C

又勾股定理，得AB’^2=AC^2+B’C^2

∴AB’^2+2AB’·CD=AC^2+B’C^2+2AC·B’C(等式性质)

∴AB’^2+2AB’·CD=〔AC+B’C〕^2

∴AB’^2+2AB’·CD+CD^2>〔AC+B’C〕^2

∴(AB’+CD)^2>〔AC+B’C〕^2

又AB’、CD、AC、B’C均大于零

∴AB’+CD>AC+B’C……①

在△ABB’中,BB’>CB-CB’……②①+②得AB’BB’+CD>AC+B’CCB-CB’

∴AB+CD>AC+BC题目75如图，△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，CT平分∠ACB，CM为AB边上的中线，且∠ACD=∠DCT=∠TCM=∠MCB求证：∠ACB=90度题目75的证明：

延长CT交三角形ABC的外接圆于N，连结MN，

如此N为弧AB的中点，所以MN⊥AB，

又CD⊥AB，

∴MN‖CD

∴∠DCT=∠TNM

又∠DCT=∠TCM

∴∠TCM=∠TNM

∴CM=NM

∴的垂直平分线必过点M，

又CM为AB边上的中线，MN⊥AB

∴AB的垂直平分线必过点M，

即M为两条弦的垂直平分线的交点，

∴M为三角形ABC的外接圆的圆心，

因此AB为△ABC的外接圆的直径。

∴∠ACB=90度题目76，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠ACB的平分线CG交AB边上的中垂线于点G，求证：MC=MG题目77，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM为AB边上的中线，CD是∠ACB的平分线，AC=75cm,BD=80cm,求CD、CM、CE的长题目78

，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又AE交CD于M，求证：AM=CM题目79〔题78再变〕，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又BC交AE于G，连结BE求证：BG^2=AB·BE-AG·GE题目80，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，求证：CD^2=DM·DP题目81，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且直线DC于直线BE交于P，如果CD平分AE，求证：2DM·DP=BE·EP题目82，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，E为⊙ABC上一点，且弧AC=弧CE，又直线AC与直线BE交于H，求证：AB=BH题目83(由题44变)求证：直角三角形两条直角边的和等于斜边与切圆直径的和。题目84，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点求证：BC平分∠D题目85，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，MN切⊙ABC与C点，AF⊥MN，F为垂足，AE⊥MN，E为垂足，求证：CD=CE=CF题目86，△ABC中，∠ACB=90度，以BC为直径的圆交AB于点D，以AC为半径的圆交AB于点E，求证：∠BCE=∠DCE题目87〔由题38图而变〕求证：和两定点距离之比等于定比〔不为1〕的点的轨迹是一个圆周。〔提示：从〔1〕完备性、〔2〕纯粹性两方面来证明。〕题目88作图题：两线段之和与积，求作这两条线段。：两线段m和n求作：两线段x与y,使x+y=m，xy=n^2补个图〔题88作法参考〕

AD、BD即为求作线段x、y

题目89〔由题88变〕梯形ABCD如图，求作一直线平行于梯形的底边，且平分面积。题目90利用如下图，证明：两个正数之和为定值，如此这两个数相等时乘积最大。题目89作法：

如图，作两腰的延长线交于点O，作PB⊥AB使PB=OA，连结OP，

以OP为直径作半圆M，由圆心M作MN⊥OP，交半圆于点N，再以O为圆心ON为半径画弧交AB于点E，作EF‖BC交CD于F，如此EF即为所求线段。题91(题73变)设a、b、c、d都是正数，满足a/b=c/d,且a最大，求证：a+d>b+c题92〔人教版数学八年级下114页〕

在Rt△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，∠ACD=3∠BCD，E是斜边AB的中点，∠ECB是多少度？题93〔题49变〕，17cosA+13cosB=17,17sinA=13sinB,且∠A、∠B都是锐角，

求∠A/2+∠B的值。题目93解：〔构造法〕

分别以17、13为边作△ABC，使AC=17，BC=13，CD为AB边上的高，

在Rt△ADC中，AD=17cosA，在Rt△BDC中，BD=13cosB，

CD=17sinA=13sinB

而AB=AD+DB=17cosA+13cosB=17，

∴AC=AB,∠B=∠ACB,

∴∠A+2∠B=180度

∴∠A/2+∠B=90度。题94如图，△ABC的∠C的平分线交AB于D，交△ABC的外接圆于E，假如CD·CE等于△ABC面积的2倍求证：∠ACB=90度题目95，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB交AB于M，假如AC>BC求证：∠DCM=1/2·〔∠B-∠A〕题目96，△ABC中，∠ACB=90度，CD⊥AB，D为垂足，CE为AB边上的中线，且DE=DC，求△ABC中较小的锐角的度数。题