全国各地中考数学压轴题专集答案解析反比例函数

./20XX全国各地中考数学压轴题专集答案三、反比例函数1．〔北京模拟如图,直线AB经过第一象限,分别与x轴、y轴交于A、B两点,P为线段AB上任意一点〔不与A、B重合,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足分别为C、D．设OC＝x,四边形OCPD的面积为S．〔1若已知A〔4,0,B〔0,6,求S与x之间的函数关系式；〔2若已知A〔a,0,B〔0,b,且当x＝EQ\F<3,4>时,S有最大值EQ\F<9,8>,求a、b的值；PBOCAxyD〔3在〔2的条件下,在直线AB上有一点M,且点M到x轴、y轴的距离相等,点N在过M点的反比例函数图象上,且△PBOCAxyD1．解：〔1设直线AB的解析式为y＝kx＋b由A〔4,0,B〔0,6,得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<4k＋b＝0,b＝6>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<k＝－EQ\F<3,2>,b＝6>>∴直线AB的解析式为y＝－EQ\F<3,2>x＋6∵OC＝x,∴P〔x,－EQ\F<3,2>x＋6∴S＝x<－EQ\F<3,2>x＋6>即S＝－EQ\F<3,2>x2＋6x〔0＜x＜4〔2设直线AB的解析式为y＝mx＋n∵OC＝x,∴P〔x,mx＋n∴S＝mx2＋nx∵当x＝EQ\F<3,4>时,S有最大值EQ\F<9,8>∴eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<－EQ\F<n,2m>＝EQ\F<3,4>,EQ\F<9,16>m＋EQ\F<3,4>n＝EQ\F<9,8>>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<m＝－2,n＝3>>∴直线AB的解析式为为y＝－2x＋3∴A〔EQ\F<3,2>,0,B〔0,3即a＝EQ\F<3,2>,b＝3〔3设点M的坐标为〔xM,yM,∵点M在〔2中的直线AB上,∴yM＝－2xM＋3∵点M到x轴、y轴的距离相等,∴xM＝yM或xM＝－yM当xM＝yM时,易得M点的坐标为〔1,1∴过M点的反比例函数的解析式为y＝EQ\F<1,x>∵点N在y＝EQ\F<1,x>的图象上,OA在x轴上,且△OAN是直角三角形∴点N的坐标为〔EQ\F<3,2>,EQ\F<2,3>当xM＝－yM时,M点的坐标为〔3,－3过M点的反比例函数的解析式为y＝－EQ\F<9,x>∵点N在y＝－EQ\F<9,x>的图象上,OA在x轴上,且△OAN是直角三角形∴点N的坐标为〔EQ\F<3,2>,－6综上,点N的坐标为〔EQ\F<3,2>,EQ\F<2,3>或〔EQ\F<3,2>,－62．〔北京模拟已知点A是双曲线y＝EQ\F<k1,x>〔k1＞0上一点,点A的横坐标为1,过点A作平行于y轴的直线,与x轴交于点B,与双曲线y＝EQ\F<k2,x>〔k2＜0交于点C．点D〔m,0是x轴上一点,且位于直线AC右侧,E是AD的中点．〔1如图1,当m＝4时,求△ACD的面积〔用含k1、k2的代数式表示；〔2如图2,若点E恰好在双曲线y＝EQ\F<k1,x>〔k1＞0上,求m的值；〔3如图3,设线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F,当m＝2时,若△BDF的面积为1,且CF∥AD,求k1的值,并直接写出线段CF的长．图2E图2EBOCAxyD图3EBOCAxyDF图1EBOCAxyD解：〔1由题意得A,C两点的坐标分别为A〔1,k1,C〔1,k2∵k1＞0,k2＜0,∴点A在第一象限,点C在第四象限,AC＝k1－k2当m＝4时,S△ACD＝EQ\F<1,2>AC·BD＝EQ\F<3,2><k1－k2>EBOCAxyDG〔2作EGEBOCAxyDG∵E是AD的中点,∴G是BD的中点∵A〔1,k1,B〔1,0,D〔m,0∴EG＝EQ\F<1,2>AB＝EQ\F<k1,2>,BG＝EQ\F<1,2>BD＝EQ\F<m－1,2>,OG＝OB＋BG＝EQ\F<m＋1,2>∴点E的坐标为E〔EQ\F<m＋1,2>,EQ\F<k1,2>∵点E恰好在双曲线y＝EQ\F<k1,x>〔k1＞0上∴EQ\F<m＋1,2>·EQ\F<k1,2>＝k1①∵k1＞0,∴方程①可化为EQ\F<m＋1,4>＝1,解得m＝3〔3当m＝2时,点D的坐标为D〔2,0,由〔2可知点E的坐标为E〔EQ\F<3,2>,EQ\F<k1,2>EBOCAxyDF∵S△BDF＝1,∴EQ\F<1,2>BD·OF＝1,∴OF＝EBOCAxyDF设直线BE的解析式为y＝ax＋b〔a≠0∵B〔1,0,E〔EQ\F<3,2>,EQ\F<k1,2>∴eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<a＋b＝0,EQ\F<3,2>a＋b＝EQ\F<k1,2>>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<k＝k1,b＝－k1>>∴直线BE的解析式为y＝k1x－k1∵线段EB的延长线与y轴的负半轴交于点F,k1＞0∴点F的坐标为F〔0,－k1,∴OF＝k1∴k1＝2线段CF的长为eq\r<,5>3．〔上海模拟Rt△ABC在直角坐标系中的位置如图所示,tan∠BAC＝EQ\F<1,2>,反比例函数y＝EQ\F<k,x>〔k≠0在第一象限内的图象与BC边交于点D〔4,m,与AB边交于点E〔2,n,△BDE的面积为2．〔1求反比例函数和直线AB的解析式；BOCAxyDEF〔2设直线AB与y轴交于点F,点P是射线FD上一动点,是否存在点P使以E、FBOCAxyDEF解：〔1∵点D〔4,m、E〔2,n在反比例函数y＝EQ\F<k,x>〔k≠0的图象上BOCAxyDEHF∴eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<4m＝k,2n＝k>>得nBOCAxyDEHF过点E作EH⊥BC于H,连接DE在Rt△BEH中,tan∠BEH＝tan∠BAC＝EQ\F<1,2>,EH＝2,∴BH＝1∴D〔4,m,E〔2,2m,B〔4,2m＋1∵S△BDE＝EQ\F<1,2>BD·EH＝EQ\F<1,2><m＋1>×2＝2,m＝1∴D〔4,1,E〔2,2,B〔4,3∵点D〔4,1在反比例函数y＝EQ\F<k,x>〔k≠0的图象上,∴k＝4∴反比例函数的解析式为y＝EQ\F<4,x>设直线AB的解析式为y＝k′x＋b,把B〔4,3,E〔2,2代入得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<3＝4k′＋b,2＝2k′＋b>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<k′＝EQ\F<1,2>,b＝1>>∴直线AB的解析式为y＝EQ\F<1,2>x＋1BOCAxyDEFP〔2∵直线y＝EQ\F<1,2>x＋1与BOCAxyDEFP∴FD∥x轴,∠EFP＝∠EAO因此以E、F、P为顶点的三角形与△AEO相似有两种情况：①若EQ\F<EF,FP>＝EQ\F<EA,AO>,则△FEP∽△AEO∵E〔2,2,F〔0,1,∴EF＝eq\r<,5>∵直线y＝EQ\F<1,2>x＋1与x轴交于点A,∴A〔0,－2BOCAxyDEFP∴EQ\F<eq\r<,5>,FP>＝EQ\F<2eq\r<,5>,2>,∴FP＝1BOCAxyDEFP∴P〔1,1②若EQ\F<FP,EF>＝EQ\F<AE,OA>,则△FPE∽△AEO∴EQ\F<FP,eq\r<,5>>＝EQ\F<2eq\r<,5>,2>,∴FP＝5∴P〔5,14．〔XX某校自主招生如图,直角梯形OABC的腰OC在y轴的正半轴上,点A〔5n,0在x轴的负半轴上,OA:AB:OC＝5:5:3．点D是线段OC上一点,且OD＝BD．〔1若直线y＝kx＋m〔k≠0过B、D两点,求k的值；〔2在〔1的条件下,反比例函数y＝EQ\F<m,x>的图象经过点B．①求证：反比例函数y＝EQ\F<m,x>的图象与直线AB必有两个不同的交点；xyOCABEF②设反比例函数y＝EQ\F<m,x>的图象与直线AB的另一个交点为E,已知点P〔p,－n－1,Q〔q,－n－2在线段AB上,当点E落在线段PQxyOCABEF解：〔1∵A〔5n,0,OA:OC＝5:3,点C在y轴的正半轴上∴C〔0,－3n∵BC∥OA,∴点B的纵坐标为－3n过点B作BG⊥OA于G,则BG＝－3nxyOCABEFGD设OG＝x,在Rt△ABG中,<－5n－x>2＋<－3nxyOCABEFGD解得x＝－n或x＝－9n〔舍去∴B〔n,－3n设OD＝t,∵点D是线段OC上一点,且OD＝BD∴t2＝<－3n－t>2＋<－n>2,∴t＝－EQ\F<5,3>n∴D〔0,－EQ\F<5,3>n把B、D的坐标代入y＝kx＋m,得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<nk＋b＝－3n,b＝－EQ\F<5,3>n>>解得k＝－EQ\F<4,3>〔2①∵比例函数y＝EQ\F<m,x>的图象经过点B,∴m＝n<－3n>＝－3n2∴y＝－EQ\F<3n2,x>由A〔5n,0,B〔n,－3n可得直线AB的解析式为y＝EQ\F<3,4>x－EQ\F<15,4>n由y＝－EQ\F<3n2,x>和y＝EQ\F<3,4>x－EQ\F<15,4>n消去y并整理得：3x2－15nx＋12n2＝0∵△＝<－15n>2－4×3×12n2＝9n2＞0∴反比例函数y＝－EQ\F<3n2,x>的图象与直线AB必有两个不同的交点联立eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<y＝－EQ\F<3n2,x>,y＝EQ\F<3,4>x－EQ\F<15,4>n>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<x1＝n,y1＝－3n>>eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<x2＝4n,y2＝－EQ\F<3,4>n>>∴E〔4n,－EQ\F<3,4>n当点E过点P时,有－n－1＝－EQ\F<3,4>n,∴n＝－4当点E过点Q时,有－n－2＝－EQ\F<3,4>n,∴n＝－8∴当点E落在线段PQ上时,n的取值范围是：－8≤n≤－45．〔XXXX在平面直角坐标系中,反比例函数与二次函数y＝k<x2＋x－1>的图象交于点A〔1,k和点B〔－1,－k．〔1当k＝－2时,求反比例函数的解析式；〔2要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大,求k应满足的条件以及x的取值范围；〔3设二次函数的图象的顶点为Q,当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时,求k的值．解：〔1当k＝－2时,A〔1,－2设反比例函数为y＝EQ\F<k′,x>,则k′＝1×<－2>＝－2∴反比例函数的解析式为y＝－EQ\F<2,x>〔2要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大则反比例函数只能在二、四象限,k′＝k＜0此时二次函数开口向下,故x≤－EQ\F<b,2a>＝－EQ\F<1,2>才满足要求综上所述,k＜0且x≤－EQ\F<1,2>〔3∵y＝k<x2＋x－1>＝k<x＋EQ\F<1,2>>2－EQ\F<5,4>k,∴Q〔－EQ\F<1,2>,－EQ\F<5,4>k∵A〔1,k,B〔－1,－k,∴A、B两点关于原点O对称,即O是AB的中点又∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形,∴OQ＝OA∴<－EQ\F<1,2>>2＋<－EQ\F<5,4>k>2＝12＋k2,解得k＝±EQ\F<2eq\r<,3>,3>6．〔XX义乌如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点D为对角线OB的中点,点E〔4,n在边AB上,反比例函数y＝EQ\F<k,x>在第一象限内的图象经过点D、E,且tan∠BOA＝EQ\F<1,2>．〔1求反比例函数的解析式；GBFCxOyAHDE〔2若反比例函数的图象与矩形的边BC交于点F,将矩形折叠,使点O与点F重合,折痕分别与x、GBFCxOyAHDE解：〔1在Rt△BOA中,∵OA＝4,tan∠BOA＝EQ\F<1,2>∴AB＝OA·tan∠BOA＝2,∴B〔4,2∵点D为对角线OB的中点,∴D〔2,1GBFCxOyAHDE∵点D在反比例函数y＝EQ\F<k,x>的图象上,∴1＝EQ\F<k,2>,GBFCxOyAHDE∴反比例函数的解析式为y＝EQ\F<2,x>〔2设点F〔a,2,则2a＝2,∴CF＝a＝1连接FG,设OG＝t,则OG＝FG＝t,CG＝2－t在Rt△CGF中,FG2＝CF2＋CG2∴t2＝12＋<2－t>2,解得t＝EQ\F<5,4>∴OG＝t＝EQ\F<5,4>7．〔XX某校自主招生已知点P的坐标为〔m,0,在x轴上存在点Q〔不与P重合,以PQ为边,∠PQM＝60°作菱形PQMN,使点M落在反比例函数y＝－EQ\F<2eq\r<,3>,x>的图象上．〔1如图所示,若点P的坐标为〔1,0,图中已经画出一个符合条件的菱形PQMN,若另一个菱形为PQ1M1N1,求点M1的坐标；〔2探究发现,当符合上述条件的菱形只有两个时,一个菱形的顶点M在第四象限,另一个菱形的顶点M1在第二象限．通过改变P点坐标,对直线MM1的解析式y＝kx＋b进行探究可得k＝__________,若点P的坐标为〔m,0,则b＝__________〔用含m的代数式表示；〔3继续探究：①若点P的坐标为〔m,0,则m在什么范围时,符合上述条件的菱形分别有两个、三个、四个？xyO备用图②求出符合上述条件的菱形刚好有三个时,点xyO备用图xxyPOQMNxxyPOQMNQ1M1N1H解：〔1过M1作M1H⊥PQ1于H,设Q1〔x,0,显然点Q1在x轴的负半轴上,点M1在第二象限∵P〔1,0,∴M1Q1＝PQ1＝1－x∵∠PQM1＝60°,∴Q1H＝EQ\F<1,2><1－x>,M1H＝EQ\F<eq\r<,3>,2><1－x>∴OH＝－x－EQ\F<1,2><1－x>＝－EQ\F<1,2><1＋x>∴M1〔EQ\F<1,2><1＋x>,EQ\F<eq\r<,3>,2><1－x>xyPOQ3M3N3<Q1>M1N1Q6M6NxyPOQ3M3N3<Q1>M1N1Q6M6N6∴EQ\F<1,2><1＋x>·EQ\F<eq\r<,3>,2><1－x>＝－2eq\r<,3>,解得：x＝3〔舍去或x＝－3∴M1〔－1,2eq\r<,3>〔2k＝－eq\r<,3>,b＝eq\r<,3>m提示：连接PM1、PM,则∠M1PQ1＝∠OPN＝∠MPN＝60°∴∠M1PM＝180°,即M1、P、M三点共线且∠M1MN＝60°可得直线MM1的解析式为y＝－eq\r<,3>x＋b,∴k＝－eq\r<,3>若点P的坐标为〔m,0,则直线MM1的解析式为y＝－eq\r<,3>x＋eq\r<,3>m∴b＝eq\r<,3>m〔3①若符合条件的菱形有三个,则其中必有一个菱形的一条边PN或对角线PM所在直线与双曲线只有一个交点由∠QPM＝60°或∠PNM＝60°,P〔m,0,得直线PM或直线PN的解析式为y＝eq\r<,3>x－eq\r<,3>mxyPOQ5M5N5<Q4>N2Q2M2M4N4令y＝eq\r<,3>x－eq\r<,3>m＝－EQ\F<2eq\r<,3>,xxyPOQ5M5N5<Q4>N2Q2M2M4N4△＝m2－8＝0,得m＝±2eq\r<,2>∴当－2eq\r<,2>＜m＜2eq\r<,2>时,△＜0,满足条件的菱形有两个当m＝±2eq\r<,2>时,△＝0,满足条件的菱形有三个当m＞2eq\r<,2>或m＜－2eq\r<,2>时,△＞0,满足条件的菱形有四个②由①知,当符合条件的菱形刚好有三个时,m＝±2eq\r<,2>当m＝2eq\r<,2>时,点P的坐标为〔2eq\r<,2>,0把m＝2eq\r<,2>代入x2－mx＋2＝0,得x2－2eq\r<,2>x＋2＝0解得x＝eq\r<,2>,∴M1〔eq\r<,2>,－eq\r<,6>设Q〔x,0,由〔1知,EQ\F<1,2><2eq\r<,2>＋x>·EQ\F<eq\r<,3>,2><2eq\r<,2>－x>＝－2eq\r<,3>解得：x＝4或x＝－4∴M2〔2－eq\r<,2>,－2eq\r<,3>－eq\r<,6>,M3〔－2＋eq\r<,2>,2eq\r<,3>＋eq\r<,6>当m＝－2eq\r<,2>时,由对称性可得：M4〔－eq\r<,2>,eq\r<,6>,M5〔－2－eq\r<,2>,2eq\r<,3>－eq\r<,6>,M6〔2＋eq\r<,2>,－2eq\r<,3>＋eq\r<,6>8．〔XX模拟如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点O是坐标原点,点A坐标为〔1,3,A、B两点关于直线y＝x对称,反比例函数y＝EQ\F<k,x>〔x＞0图象经过点A,点P是直线y＝x上一动点．〔1填空：B点的坐标为〔______,______；〔2若点C是反比例函数图象上一点,是否存在这样的点C,使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在,求出点C坐标；若不存在,请说明理由；〔3若点Q是线段OP上一点〔Q不与O、P重合,当四边形AOBP为菱形时,过点Q分别作直线OA和直线AP的垂线,垂足分别为E、F,当QE＋QF＋QB的值最小时,求出Q点坐标．BxBxOyABxOyA备用图BxOyAPCBxOyAPC图1〔2∵反比例函数y＝EQ\F<k,x>〔x＞0图象经过点A〔1,3∴k＝1×3＝3∴反比例函数的解析式为y＝EQ\F<3,x>∵点P在直线y＝x上,∴设P〔m,m①若PC为平行四边形的边∵点A的横坐标比点B的横坐标小2,点A的纵坐标比点B的纵坐标大2∴若点C在点P下方,则点C的坐标为〔m＋2,m－2,如图1若点C在点P上方,则点C的坐标为〔m－2,m＋2,如图2BxOyAPC图2把C〔m＋BxOyAPC图2m－2＝EQ\F<3,m＋2>,解得m＝±eq\r<,7>∵m＞0,∴m＝eq\r<,7>∴C1〔eq\r<,7>＋2,eq\r<,7>－2同理可得另一点C2〔eq\r<,7>－2,eq\r<,7>＋2②若PC为平行四边形的对角线,如图3∵A、B关于直线y＝x对称,∴OP⊥AB此时点C在直线y＝x上,且为直线y＝x与双曲线y＝EQ\F<3,x>的交点BxOyAPC图3由eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<y＝x,y＝EQ\F<3,x>>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<x1＝eq\r<,3>,y1＝eq\r<,3>>>eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<x2＝－eq\r<,3>,y2＝－eq\r<,3>>>〔舍去BxOyAPC图3∴C3〔eq\r<,3>,eq\r<,3>综上所述,满足条件的点C有三个,坐标分别为：C1〔eq\r<,7>＋2,eq\r<,7>－2,C2〔eq\r<,7>－2,eq\r<,7>＋2,C3〔eq\r<,3>,eq\r<,3>〔3连接AQ,设AB与OP的交点为D,如图4∵四边形AOBP是菱形,∴AO＝AP∵S△AOP＝S△AOQ＋S△APQBxOyAP图4QDEF∴EQ\F<1,2>OP·AD＝EQ\F<1,2>AO·QE＋EQ\F<1,2>APBxOyAP图4QDEF∴QE＋QF＝EQ\F<OP·AD,AO>为定值∴要使QE＋QF＋QB的值最小,只需QB的值当QB⊥OP时,QB最小,所以D点即为所求的点∵A〔1,3,B〔3,1,∴D〔2,2∴当QE＋QF＋QB的值最小时,Q点坐标为〔2,29．〔XX模拟已知点P〔m,n是反比例函数y＝EQ\F<6,x>〔x＞0图象上的动点,PA∥x轴,PB∥y轴,分别交反比例函数y＝EQ\F<3,x>〔x＞0的图象于点A、B,点C是直线y＝2x上的一点．〔1请用含m的代数式分别表示P、A、B三点的坐标；〔2在点P运动过程中,连接AB,△PAB的面积是否变化,若不变,请求出△PAB的面积；若改变,请说明理由；BxOyAPCy＝EQ\F<6,x>yBxOyAPCy＝EQ\F<6,x>y＝EQ\F<3,x>y＝2xABPOxQy图1解：〔1P〔m,EQ\F<6,m>,A〔EQ\F<m,2>,EQ\F<6,m>,B〔m,EQ\F<3,m>ABPOxQy图1〔2∵PA＝m－EQ\F<m,2>＝EQ\F<m,2>,PB＝EQ\F<6,m>－EQ\F<3,m>＝EQ\F<3,m>∴S△PAB＝EQ\F<1,2>PA·PB＝EQ\F<1,2>×EQ\F<m,2>×EQ\F<3,m>＝EQ\F<3,4>∴△PAB的面积不变〔3①若AP是平行四边形的边,如图1、图2则AP∥BQ且AP＝BQ得Q〔EQ\F<m,2>,EQ\F<3,m>或Q〔EQ\F<3m,2>,EQ\F<3,m>∵点Q在直线y＝2x上ABPOxQy图3ABPOxQy图2∴EQ\F<3,m>＝2×EQ\F<m,2>或EQ\F<3,m>＝2ABPOxQy图3ABPOxQy图2解得m＝eq\r<,3>或m＝1〔舍去负值∴P〔eq\r<,3>,2eq\r<,3>或P〔1,6②若AP是平行四边形的对角线,如图3则QA∥PB且QA＝PB得Q〔EQ\F<m,2>,EQ\F<6,m>＋EQ\F<3,m>∵点Q在直线y＝2x上∴EQ\F<6,m>＋EQ\F<3,m>＝2×EQ\F<m,2>,解得m＝3〔舍去负值∴P〔3,210．〔XXXX如图,直线y＝x＋b〔b＞4与x轴、y轴分别相交于点A、B,与反比例函数y＝－EQ\F<4,x>的图象相交于点C、D〔点C在点D的左侧,⊙O是以CD长为半径的圆．CE∥x轴,DE∥y轴,CE、DE相交于点E．〔1△CDE是______________三角形；点C的坐标为______________,点D的坐标为_____________〔用含有b的代数式表示；〔2b为何值时,点E在⊙O上？〔3随着b取值逐渐增大,直线y＝x＋b与⊙O有哪些位置关系？求出相应b的取值范围．－5－55－4－224xOy备用图－55－4－224BxOyADCEy＝－EQ\F<4,x>y＝x＋b解：〔1等腰直角C〔EQ\F<－b－eq\r<,b2－16>,2>,EQ\F<b－eq\r<,b2－16>,2>,D〔EQ\F<－b＋eq\r<,b2－16>,2>,EQ\F<b＋eq\r<,b2－16>,2>〔2当点E在⊙O上时,如图1,连接OE,则OE＝CD∵直线y＝x＋b与x轴、y轴相交于点A〔－b,0,B〔0,b,CE∥x轴,DE∥y轴－55－4－224－55－4－224BxOyADCEy＝－EQ\F<4,x>y＝x＋bF图1∵整个图形是轴对称图形,∴OE平分∠AOB,∠AOE＝∠BOE＝45°∵CE∥x轴,DE∥y轴,∴四边形CAOE、OEDB为等腰梯形∴OE＝AC＝BD∵OE＝CD,∴OE＝AC＝BD＝CD过点C作CF⊥x轴于F,则△AFC∽△AOB∴EQ\F<CF,BO>＝EQ\F<AC,AB>＝EQ\F<1,3>,∴yC＝CF＝EQ\F<1,3>BO＝EQ\F<1,3>b∴EQ\F<b－eq\r<,b2－16>,2>＝EQ\F<1,3>b,解得b＝±3eq\r<,2>∵b＞4,∴b＝3eq\r<,2>∴当b＝3eq\r<,2>时,点E在⊙O上〔3当⊙O与直线y＝x＋b相切于点G时,如图2,连接OG∵整个图形是轴对称图形,∴点O、E、G在对称轴上－55－4－224BxOyADCEy＝－EQ\F<－55－4－224BxOyADCEy＝－EQ\F<4,x>y＝x＋bHG图2∴AC＝CG＝GD＝DB,∴AC＝EQ\F<1,4>AB过点C作CH⊥x轴于H,则△AHC∽△AOB∴EQ\F<CH,BO>＝EQ\F<AC,AB>＝EQ\F<1,4>,∴yC＝CH＝EQ\F<1,4>BO＝EQ\F<1,4>b∴EQ\F<b－eq\r<,b2－16>,2>＝EQ\F<1,4>b,解得b＝±EQ\F<8eq\r<,3>,3>∵b＞4,∴b＝EQ\F<8eq\r<,3>,3>∴当b＝EQ\F<8eq\r<,3>,3>时,直线y＝x＋b与⊙O相切当4＜b＜EQ\F<8eq\r<,3>,3>时,直线y＝x＋b与⊙O相离当b＞EQ\F<8eq\r<,3>,3>时,直线y＝x＋b与⊙O相交11．〔XXXX如图,已知一次函数y1＝kx＋b的图象与x轴相交于点A,与反比例函数y2＝EQ\F<c,x>的图象相交于B〔－1,5、C〔EQ\F<5,2>,d两点．点P〔m、n是一次函数y1＝kx＋b的图象上的动点．〔1求k、b的值；〔2设－1＜m＜EQ\F<3,2>,过点P作x轴的平行线与函数y2＝EQ\F<c,x>的图象相交于点D．试问△PAD的面积是否存在最大值？若存在,请求出面积的最大值及此时点P的坐标；若不存在,请说明理由；BxOyADCP〔3设m＝1－a,如果在两个实数m与n之间〔不包括BxOyADCP解：〔1将点B〔－1,5代入y2＝EQ\F<c,x>,得5＝EQ\F<c,－1>,∴c＝－5∴y2＝－EQ\F<5,x>将点C〔EQ\F<5,2>,d代入y2＝－EQ\F<5,x>,得d＝－EQ\F<5,EQ\F<5,2>>＝－2∴C〔EQ\F<5,2>,－将B〔－1,5,C〔EQ\F<5,2>,－y1＝kx＋b,得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<5＝－k＋b,－2＝EQ\F<5,2>k＋b>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<k＝－2,b＝3>>〔2存在由〔1知,y1＝－x＋3,令y1＝0,即－x＋3＝0,得x＝EQ\F<3,2>∴A〔EQ\F<3,2>,∵－1＜m＜EQ\F<3,2>,∴点P在线段AB上运动〔不含A、B设P〔EQ\F<3－n,2>,n∵DP∥x轴,且点D在y2＝－EQ\F<5,x>的图象上,∴D〔－EQ\F<5,n>,n∴S△PAD＝EQ\F<1,2>DP·yP＝EQ\F<1,2><EQ\F<3－n,2>＋EQ\F<5,n>>·n＝－EQ\F<1,4><n－EQ\F<3,2>>2＋EQ\F<49,16>∵－EQ\F<1,4>＜0,∴S△PAD有最大值∵n＝－m＋3,－1＜m＜EQ\F<3,2>,∴0＜n＜5∴当n＝EQ\F<3,2>时,△PAD的面积最大,最大值为EQ\F<49,16>,此时点P的坐标为〔EQ\F<3,4>,EQ\F<3,2>〔3∵m＝1－a,∴n＝1＋2a∵在m与n之间〔不包括m和n有且只有一个整数,∴m≠n即1－a≠1＋2a,∴a≠0①当a＞0时,则1－a＜1＜1＋2a∵在m与n之间〔不包括m和n有且只有一个整数∴eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<1－a＞0,1＋2a≤2>>解得0＜a≤EQ\F<1,2>②当a＜0时,则1＋2a＜1＜1－a∵在m与n之间〔不包括m和n有且只有一个整数∴eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<1＋2a≥0,1－a＜2>>解得－EQ\F<1,2>≤a＜0综上所述,实数a的取值范围是－EQ\F<1,2>≤a＜0或0＜a≤EQ\F<1,2>12．〔XX模拟如图,双曲线y＝EQ\F<3,16x>〔x＞0与过A〔1,0、B〔0,1的直线交于P、Q两点,连接OP、OQ．点C是线段OA上一点〔不与O、A重合,CD⊥AB于D,DE⊥OB于E．设CA＝a．〔1求证：△OAQ≌△OBP；〔2当a为何值时,CE＝AC？xyCABEPQDOF〔3是否存在这样的点xyCABEPQDOF〔1证明：设直线AB的解析式为y＝kx＋b∴eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<k＋b＝0,b＝1>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<k＝－1,b＝1>>∴y＝－x＋1xyCABEPQDOGMNF联立eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<y＝－x＋1,y＝EQ\F<3,16x>>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<x1＝EQ\F<1,4>,y1＝EQ\F<3,4>>>eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<x2＝EQ\F<3,4>,y2＝EQ\F<1,4>>>xyCABEPQDOGMNF∴P〔EQ\F<1,4>,EQ\F<3,4>,Q〔EQ\F<3,4>,EQ\F<1,4>过P作PM⊥y轴于M,过Q作QN⊥x轴于N则PM＝QN＝EQ\F<3,4>∵OA＝OB＝1,∴∠OAB＝∠OBA＝45°∴AQ＝eq\r<,2>QN,BP＝eq\r<,2>PM,∴AQ＝BP在△△OAQ和△OBP中eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<OA＝OB,∠OAQ＝∠OBP,AQ＝BP>>∴△△OAQ≌△OBP〔2解：过D作DG⊥OA于G∵∠OAB＝45°,CD⊥AB,∴△CDA是等腰直角三角形∴DG＝EQ\F<1,2>CA＝EQ\F<1,2>a∵DE⊥OB,∴四边形OEDG是矩形,∴OE＝DG＝EQ\F<1,2>a∵CE＝AC,∴<1－a>2＋<EQ\F<1,2>a2＝a2解得：a＝4＋2eq\r<,3>〔舍去或a＝4－2eq\r<,3>∴当a＝4－2eq\r<,3>时,CE＝AC〔3存在由〔2知,C〔1－a,0,E〔0,EQ\F<a,2>可得直线EC的解析式为y＝EQ\F<a,2a－2>x＋EQ\F<a,2>xyCABEPQOFNHD由Q〔EQ\F<3,4>,EQ\F<1,4>,得直线OQ的解析式为yxyCABEPQOFNHD解方程组eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<y＝EQ\F<a,2a－2>x＋EQ\F<a,2>,y＝EQ\F<1,3>x>>得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<x＝EQ\F<3a－3a2,a＋2>,y＝EQ\F<a－a2,a＋2>>>∴F〔EQ\F<3a－3a2,a＋2>,EQ\F<a－a2,a＋2>①若EF＝OF过F作FH⊥OE于H,则OH＝EQ\F<1,2>OE,∴EQ\F<a－a2,a＋2>＝EQ\F<1,4>a∵a≠0,∴EQ\F<1－a,a＋2>＝EQ\F<1,4>,解得a＝EQ\F<2,5>∴C1〔EQ\F<3,5>,0xyCABEPQDOFH②若xyCABEPQDOFH过F作FH⊥OC于H∵F〔EQ\F<3a－3a2,a＋2>,EQ\F<a－a2,a＋2>,∴FH＝EQ\F<1,3>OH∴FH＝EQ\F<1,eq\r<,10>>OF＝EQ\F<1,2eq\r<,10>>a,∴EQ\F<a－a2,a＋2>＝EQ\F<1,2eq\r<,10>>a∵a≠0,∴EQ\F<1,2eq\r<,10>>＝EQ\F<1－a,a＋2>,解得a＝EQ\F<14－2eq\r<,10>,13>∴C2〔EQ\F<2eq\r<,10>－1,13>,0xyCABExyCABEPQDOFHK过E作EK⊥OF于K,则OK＝EQ\F<1,2>OF＝EQ\F<eq\r<,10>,2>FH易证△EOK∽△OFH,得OE＝eq\r<,10>OK＝5FH即FH＝EQ\F<1,5>OE,∴EQ\F<a－a2,a＋2>＝EQ\F<1,10>a∵a≠0,∴EQ\F<1－a,a＋2>＝EQ\F<1,10>,解得a＝EQ\F<8,11>∴C3〔EQ\F<3,11>,0综上所述,存在点C1〔EQ\F<3,5>,0,C2〔EQ\F<2eq\r<,10>－1,13>,0,C3〔EQ\F<3,11>,0,使得△OEF为等腰三角形13．〔XX如图,四边形ABCD是平行四边形,点A〔1,0,B〔3,1,C〔3,3．反比例函数y＝EQ\F<m,x>〔x＞0的图象经过点D,点P是一次函数y＝kx＋3－3k〔k≠0的图象与该反比例函数图象的一个公共点．〔1求反比例函数的解析式；〔2通过计算,说明一次函数y＝kx＋3－3k〔k≠0的图象一定过点C；〔3对于一次函数y＝kx＋3－3k〔k≠0,当y随x的增大而增大时,确定点P横坐标的取值范围〔不必写出过程．BBxOyADCP解：〔1由题意,AD＝BC＝2,故点D的坐标为〔1,2∵反比例函数y＝EQ\F<m,x>〔x＞0的图象经过点D〔1,2∴2＝EQ\F<m,1>,∴m＝2反比例函数的解析式为y＝EQ\F<2,x>〔2当x＝3时,y＝3k＋3－3k＝3∴一次函数y＝kx＋3－3k〔k≠0的图象一定过点C〔3设点P的横坐标为a,EQ\F<2,3>＜a＜3BxOyADC14．〔XXXX如图,已知双曲线y＝EQ\F<k,x>经过点D〔6,1,点C是双曲线第三象限分支上的动点,过C作CA⊥x轴,过D作DB⊥y轴,垂足分别为A,B,连接ABBxOyADC〔1求k的值；〔2若△BCD的面积为12,求直线CD的解析式；〔3判断AB与CD的位置关系,并说明理由．解：〔1∵双曲线y＝EQ\F<k,x>经过点D〔6,1∴1＝EQ\F<k,6>,∴k＝6〔2设点C到BD的距离为h∵点D的坐标为〔6,1,DB⊥y轴,∴BD＝6∴S△BCD＝EQ\F<1,2>×6×h＝12,∴h＝4BxOyADCBxOyADCEF∴点C的纵坐标为－3∴－3＝EQ\F<6,x>,∴x＝－2∴点C的坐标为〔－2,－3设直线CD的解析式为y＝kx＋b则eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<－2k＋b＝－3,6k＋b＝1>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<k＝EQ\F<1,2>,b＝－2>>∴直线CD的解析式为y＝EQ\F<1,2>x－2〔3AB∥CD理由如下：设直线CD与x轴,y轴分别交于点E,F,则E〔4,0,F〔0,－2∴OE＝4,OF＝2,∴tan∠EFO＝EQ\F<OE,OF>＝2∵CA⊥x轴,DB⊥y轴,C〔－2,－3,D〔6,1∴A〔－2,0,B〔0,1,∴OA＝2,OB＝1,∴tan∠ABO＝EQ\F<OA,OB>＝2∴∠ABO＝∠EFO,∴AB∥CD15．〔XXXX如图,正方形AOCB的边长为4,反比例函数的图象过点E〔3,4．〔1求反比例函数的解析式；〔2反比例函数的图象与线段BC交于点D,直线y＝－EQ\F<1,2>x＋b过点D,与线段AB相交于点F,求点F的坐标；〔3连接OF,OE,探究∠AOF与∠EOC的数量关系,并证明．ABDOCEFyx〔4若点P是x轴上的动点,点Q是〔1中的反比例在第一象限图象上的动点,且使得△PABDOCEFyx解：〔1设反比例函数的解析式为y＝EQ\F<k,x>∵反比例函数的图象过点E〔3,4,∴4＝EQ\F<k,3>∴k＝12,∴y＝EQ\F<12,x>〔2由题意,点D的横坐标为4把x＝4代入y＝EQ\F<12,x>,得y＝3,∴D〔4,3把D〔4,3代入y＝－EQ\F<1,2>x＋b,得3＝－EQ\F<1,2>×4＋bABDOCEFyxG∴b＝5,∴yABDOCEFyxG把y＝4代入y＝－EQ\F<1,2>x＋5,得4＝－EQ\F<1,2>x＋5∴x＝2,∴F〔2,4〔3∠AOF＝EQ\F<1,2>∠EOC证明：在AO上取点G,使GC＝GF,连接GF则∠GOF＝∠GFO,∴∠AGF＝2∠AOF设GC＝GF＝x,则AG＝4－x在Rt△AGF中,22＋<4－x>2＝x2解得x＝EQ\F<5,2>,∴AG＝4－EQ\F<5,2>＝EQ\F<3,2>∴tan∠AGF＝EQ\F<AF,AG>＝EQ\F<2,EQ\F<3,2>>＝EQ\F<4,3>∵tan∠AEO＝EQ\F<AO,AE>＝EQ\F<4,3>,∴∠AGF＝∠AEO∴∠AEO＝2∠AOF又AB∥OC,∴∠AEO＝∠EOC∴∠EOC＝2∠AOF,即∠AOF＝EQ\F<1,2>∠EOC〔4P1〔EQ\F<19,7>,0,P2〔5,0,P3〔EQ\F<1＋eq\r<,97>,2>,016．〔XX某校自主招生在直角坐标系中,O为坐标原点,A是双曲线y＝EQ\F<k,x>〔k＞0在第一象限图象上的一点,直线OA交双曲线于另一点C．〔1如图1,当OA在第一象限的角平分线上时,将OA向上平移EQ\F<3,2>个单位后与双曲线在第一象限的图象交于点M,交y轴于点N,若EQ\F<MN,OA>＝EQ\F<1,2>,求k的值；OCABxy图2D〔2如图2,若k＝1,点B在双曲线的第一象限的图象上运动,点D在双曲线的第三象限的图象上运动,且使得四边形ABCD是凸四边形时,OCABxy图2DOOCANxyM图1解：〔1依题意,可得直线MN的解析式为y＝x,MN的解析式为y＝x＋EQ\F<3,2>解方程组eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<y＝x,y＝EQ\F<k,x>>>得点A的坐标为〔eq\r<,k>,eq\r<,k>设点M的坐标为〔x1,y1,则EQ\F<eq\r<,k>,x1>＝EQ\F<OA,MN>＝2∴x1＝EQ\F<1,2>eq\r<,k>,y1＝2eq\r<,k>,代入y＝x＋EQ\F<3,2>中,解得k＝1〔2作BE⊥x轴交AD于E,作DH⊥x轴交BC于HOCABxyDEHF设A〔a,EQ\F<1,a>,B〔b,EQ\F<1,b>,D〔d,EQ\F<1,d>,则C〔－a,－EQ\F<1,a>OCABxyDEHF得直线AC的解析式为y＝EQ\F<1,a2>x设BE交直线AC于点F,则F〔b,EQ\F<b,a2>∴EQ\F<AB2,AF2>＝EQ\F<<a－b>2＋<EQ\F<1,a>－EQ\F<1,b>>2,<a－b>2＋<EQ\F<1,a>－EQ\F<b,a2>>2>＝EQ\F<a2<a2b2＋1>,b2<a4＋1>>EQ\F<BC2,CF2>＝EQ\F<<a＋b>2＋<EQ\F<1,a>＋EQ\F<1,b>>2,<a＋b>2＋<EQ\F<1,a>＋EQ\F<b,a2>>2>＝EQ\F<a2<a2b2＋1>,b2<a4＋1>>∴EQ\F<AB,AF>＝EQ\F<BC,CF>,∴BF平分∠ABC同理,DH平分∠ADC∴在△ABE和△CDH中∠ABE＝∠EBC＝∠DHC,∠AEB＝∠ADH＝∠CDH∴∠BCD＝∠BAD17．〔XX模拟如图,反比例函数y＝EQ\F<k,x>的图象经过点A〔a,b且|a＋2eq\r<,3>|＋<b－2eq\r<,3>>2＝0,直线y＝2x－2与x轴交于点B,与y轴交于点C．〔1求反比例函数的解析式；〔2将线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180°后B、C两点恰好都落在反比例函数的图象上,求点M的坐标；CByxy＝2x－2AOCByxy＝2x－2CByxy＝2x－2AOCByxy＝2x－2备用图AO解：〔1∵|a＋2eq\r<,3>|＋<b－2eq\r<,3>>2＝0,∴a＝－2eq\r<,3>,b＝2eq\r<,3>∴k＝ab＝－2eq\r<,3>×2eq\r<,3>＝－12∴反比例函数的解析式为y＝－EQ\F<12,x>〔2∵直线y＝2x－2与x轴交于点B,与y轴交于点C∴B〔1,0,C〔0,－2设线段BC绕坐标平面内的某点M旋转180°后B、C两点的对应点分别为D、E,并设D〔m,n,则E〔m＋1,n＋2,代入y＝－EQ\F<12,x>eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<mn＝－12,<m＋1><n＋2>＝－12>>解得：eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<m＝2,n＝－6>>或eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<m＝－3,n＝4>>∴D〔2,－6或D〔－3,4易知M为BD的中点由B〔1,0,D〔2,－6,得M〔EQ\F<3,2>,－3由B〔1,0,D〔－3,4,得M〔－1,2CByxy＝2x－2ADEMOCByxyCByxy＝2x－2ADEMOCByxy＝2x－2ADEMOCByxy＝2x－CByxy＝2x－2APPOH则∠PCB＝90°设P〔x,－EQ\F<12,x>,过P作PH⊥y轴于H,易证△CHP∽△BOC得EQ\F<x,2>＝EQ\F<EQ\F<12,x>－2,1>〔或EQ\F<－x,2>＝EQ\F<－EQ\F<12,x>＋2,1>解得x1＝－2＋2eq\r<,7>,x2＝－2－2eq\r<,7>∴P1〔－2＋2eq\r<,7>,－1－eq\r<,7>,P2〔－2－2eq\r<,7>,－1＋eq\r<,7>18．〔广西XX如图,在平面直角坐标系中有Rt△ABC,∠A＝90°,AB＝AC,A〔－2,0、B〔0,1、C〔d,2．〔1求d的值；〔2将△ABC沿x轴的正方向平移,在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式；〔3在〔2的条件下,设直线B′C′交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P,使得四边形PGMC′是平行四边形．如果存在,请求出点M和点P的坐标；如果不存在,请说明理由．OOBCAGA′B′C′xy解：〔1作CN⊥x轴于N在Rt△CNA和Rt△AOB中,∵NC＝OA＝2,AC＝AB∴Rt△CNA≌Rt△AOBOBCAGA′B′C′xyKQPOBCAGA′B′C′xyKQP′EHFM′N∴d＝－3〔2设反比例函数为y＝EQ\F<k,x>,点C′和B′在该比例函数图像上设C′〔m,2,则B′〔m＋3,1把C′、B′的坐标分别代入y＝EQ\F<k,x>,得k＝2m,k＝m＋3∴2m＝m＋3,m＝3,则k＝6∴反比例函数解析式为y＝EQ\F<6,x>得点C′〔3,2,B′〔6,1设直线B′C′的解析式为y＝ax＋b,把C′、B′的坐标分别代入,得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<3a＋b＝2,6a＋b＝1>>解得：eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<a＝－EQ\F<1,3>,b＝3>>∴直线B′C′的解析式为y＝－EQ\F<1,3>x＋3〔3设Q是GC′的中点,易知G〔0,3由G〔0,3,C′〔3,2,得Q〔EQ\F<3,2>,EQ\F<5,2>过点Q作直线l与x轴交于M′点,与y＝EQ\F<6,x>的图象交于P′点若四边形P′GM′C′的是平行四边形,则有P′Q＝QM′易知点M′的横坐标大于EQ\F<3,2>,点P′的横坐标小于EQ\F<3,2>作P′H⊥x轴于H,QK⊥y轴于K,P′H与QK交于点E作QF⊥x轴于F,则△P′EQ≌△QFM′设EQ＝FM′＝t,则点P′的横坐标为EQ\F<3,2>－t,点P′的纵坐标为EQ\F<6,EQ\F<3,2>－t>＝EQ\F<12,3－2t>∴P′〔EQ\F<3,2>－t,EQ\F<12,3－2t>,M′〔EQ\F<3,2>＋t,0,∴P′E＝EQ\F<12,3－2t>－EQ\F<5,2>由P′E＝QF,得EQ\F<12,3－2t>－EQ\F<5,2>＝EQ\F<5,2>解得t＝EQ\F<3,10>〔经检验,它是分式方程的解∴EQ\F<3,2>－t＝EQ\F<6,5>,EQ\F<12,3－2t>＝5,EQ\F<3,2>＋t＝EQ\F<9,5>∴P′〔EQ\F<6,5>,5,M′〔EQ\F<9,5>,0则点P′为所求的点P,点M′为所求的点M19．〔广西XX、XX如图,在平面直角坐标系xOy中,梯形AOBC的边OB在x轴的正半轴上,AC∥OB,BC⊥OB,过点A的双曲线y＝EQ\F<k,x>的一支在第一象限交梯形对角线OC于点D,交边BC于点E．〔1填空：双曲线的另一支在第_________象限,k的取值范围是_______________；〔2若点C的坐标为〔2,2,当点E在什么位置时,阴影部分面积S最小？BxOyADCE〔3若EQ\F<OD,OC>＝EQ\F<1,2>,S△OAC＝BxOyADCE解：〔1三,k＞0〔2由C〔2,2,则A〔EQ\F<k,2>,2,E〔2,EQ\F<k,2>∴S＝S△AEC＋S△OBE＝EQ\F<1,2><2－EQ\F<k,2>><2－EQ\F<k,2>>＋EQ\F<1,2>×2×EQ\F<k,2>＝EQ\F<1,8><k－2>2＋EQ\F<3,2>当k＝2时,即E〔2,1为BC中点时,S最小〔3方法一：令C〔a,b,则A〔EQ\F<k,b>,b,由EQ\F<OD,OC>＝EQ\F<1,2>,则D〔EQ\F<1,2>a,EQ\F<1,2>b又S△OAC＝EQ\F<1,2><a－EQ\F<k,b>>·b＝EQ\F<1,2><ab－k>＝2∴ab＝4＋k∵D〔EQ\F<1,2>a,EQ\F<1,2>b在双曲线y＝EQ\F<k,x>上∴k＝EQ\F<1,4>ab＝EQ\F<1,4><4＋k>,∴k＝EQ\F<4,3>∴双曲线解析式为y＝EQ\F<4,3x>方法二：令D〔a,b,由EQ\F<OD,OC>＝EQ\F<1,2>,则C〔2a,2b,A〔EQ\F<k,2b>,2b又S△OAC＝EQ\F<1,2><2a－EQ\F<k,2b>>·2b＝EQ\F<1,2><4ab－k>＝2∴ab＝EQ\F<1,4><4＋k>∵D〔a,b在双曲线y＝EQ\F<k,x>上∴k＝ab＝EQ\F<1,4><4＋k>,∴k＝EQ\F<4,3>∴双曲线解析式为y＝EQ\F<4,3x>20．〔XXXX已知点A〔1,c和点B〔3,d是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝EQ\F<k2,x>〔k2＞0的交点．〔1过点A作AM⊥x轴,垂足为M,连接BM．若AM＝BM,求点B的坐标；〔2设点P在线段AB上,过点P作PE⊥x轴,垂足为E,并交双曲线y＝EQ\F<k2,x>〔k2＞0于点N．当EQ\F<PN,NE>取最大值时,有PN＝EQ\F<1,2>,求此时双曲线的解析式．解：〔1∵A〔1,c和点B〔3,d在双曲线y＝EQ\F<k2,x>〔k2＞0上∴c＝k2＝3d∵k2＞0,∴c＞0,d＞0,∴点A和点B都在第一象限OTxyBOTxyBAM过点B作BT⊥AM,垂足为T,则BT＝d,MT＝2∵AM＝BM,∴BM＝3d在Rt△BMT中,MT2＋BT2＝BM2∴4＋d2＝9d2,∴d＝EQ\F<eq\r<,2>,2>〔舍去负值∴点B的坐标为〔3,eq\f<eq\r<2>,2>〔2方法一：∵点A〔1,c和点B〔3,d是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝EQ\F<k2,x>〔k2＞0的交点∴c＝k2,,3d＝k2,c＝k1＋b,d＝3k1＋b∴k1＝－EQ\F<1,3>k2,b＝EQ\F<4,3>k2∵点A〔1,c和点B〔3,d都在第一象限,∴点P在第一象限BOCExyAPN∴EQ\F<PE,NE>＝EQ\F<k1x＋b,EQ\F<k2,x>>＝EQ\F<k1,k2>x2＋EQ\F<b,k2>x＝－EQ\F<1,3>x2＋EQ\F<4,3>x＝－EQ\F<1,3><x－2>2＋EQ\F<4,3>BOCExyAPN∵当x＝1或x＝3时,EQ\F<PE,NE>＝1又∵当x＝2时,EQ\F<PE,NE>的最大值是EQ\F<4,3>∴1≤EQ\F<PE,NE>≤EQ\F<4,3>,∴PE≥NE∴EQ\F<PN,NE>＝EQ\F<PE－NE,NE>＝EQ\F<PE,NE>－1＝－EQ\F<1,3>x2＋EQ\F<4,3>x－1∴当x＝2时,EQ\F<PN,NE>的最大值是EQ\F<1,3>∵此时PN＝EQ\F<1,2>,∴NE＝EQ\F<3,2>∴N〔2,EQ\F<3,2>,∴k2＝3∴此时双曲线的解析式为y＝EQ\F<3,x>方法二：∵点A〔1,c和点B〔3,d都在第一象限,∴点P在第一象限∴EQ\F<PE,NE>＝EQ\F<k1x＋b,EQ\F<k2,x>>＝EQ\F<k1,k2>x2＋EQ\F<b,k2>x当点P与点A、B重合时,EQ\F<PE,NE>＝1即当x＝1或x＝3时,EQ\F<PE,NE>＝1∴eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<EQ\F<k1,k2>＋EQ\F<b,k2>＝1,EQ\F<9k1,k2>＋EQ\F<3b,k2>＝1>>解得：eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<k1＝－EQ\F<1,3>k2,b＝EQ\F<4,3>k2>>∴EQ\F<PE,NE>＝－EQ\F<1,3>x2＋EQ\F<4,3>x∵k2＝－3k1,k2＞0,∴k1＜0∵PE－NE＝k1x＋b－EQ\F<k2,x>＝k1x－4k1＋EQ\F<3k1,x>＝k1<EQ\F<x2－4x＋3,x>>＝EQ\F<k1<x－1><x－3>,x>∵当1≤x≤3时,<x－1><x－3>≤0,∴EQ\F<k1<x－1><x－3>,x>≥0∴PE－NE≥0∴EQ\F<PN,NE>＝EQ\F<PE－NE,NE>＝EQ\F<PE,NE>－1＝－EQ\F<1,3>x2＋EQ\F<4,3>x－1＝－EQ\F<1,3><x－2>2＋EQ\F<1,3>∴当x＝2时,EQ\F<PN,NE>的最大值是EQ\F<1,3>∵此时PN＝EQ\F<1,2>,∴NE＝EQ\F<3,2>∴N〔2,EQ\F<3,2>,∴k2＝3∴此时双曲线的解析式为y＝EQ\F<3,x>方法三：∵点A〔1,c和点B〔3,d是直线y＝k1x＋b与双曲线y＝EQ\F<k2,x>〔k2＞0的交点∴c＝k2,,3d＝k2,c＝k1＋b,d＝3k1＋bk2＝3d,k1＝－d,b＝4d∴直线y＝－dx＋4d,双曲线y＝EQ\F<3d,x>∵点A〔1,c和点B〔3,d都在第一象限,∴点P在第一象限∴PN＝PE－NE＝－dx＋4d－EQ\F<3d,x>＝－d<EQ\F<x2－4x＋3,x>>＝－EQ\F<d<x－1><x－3>,x>∵当1≤x≤3时,<x－1><x－3>≤0,∴－EQ\F<d<x－1><x－3>,x>≥0∴PN＝PE－NE≥0∴EQ\F<PN,NE>＝EQ\F<－dx＋4d－EQ\F<3d,x>,EQ\F<3d,x>>＝－EQ\F<1,3>x2＋EQ\F<4,3>x－1＝－EQ\F<1,3><x－2>2＋EQ\F<1,3>∴当x＝2时,EQ\F<PN,NE>的最大值是EQ\F<1,3>∵此时PN＝EQ\F<1,2>,∴NE＝EQ\F<3,2>∴N〔2,EQ\F<3,2>,∴k2＝3∴此时双曲线的解析式为y＝EQ\F<3,x>xOyBCA21．〔XXXX如图,一次函数y＝k1x＋b的图象过点A〔0,3,且与反比例函数y＝EQ\F<k2,x>〔x＞0的图象相交于B、xOyBCA〔1若B〔1,2,求k1·k2的值；〔2若AB＝BC,则k1·k2的值是否为定值？若是,请求出该定值；若不是,请说明理由．解：〔1把B〔1,2代入y＝EQ\F<k2,x>,得k2＝2把A〔0,3,B〔1,2代入y＝k1x＋b,得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<b＝3,k1＋b＝2>>解得eq\b\lc\{<eq\a\al\co1\vs4<b＝3,k1＝－1>>∴k1·k2＝－2〔2k1·k2＝－2xOyBCAGH过点B作BG⊥y轴于点G,过点xOyBCAGH∴BG∥CH∵AB＝BC,∴AG＝GH,∴CH＝2BG设B〔m,EQ\F<k2,m>,则C〔2m,EQ\F<k2,2m>∴AG＝3－EQ\F<k2,m>,GH＝EQ\F<k2,m>－EQ\F<k2,2m>∴3－EQ\F<k2,m>＝EQ\F<k2,m>－EQ\F<k2,2m>,∴m＝EQ\F<k2,2>,∴B〔EQ\F<k2,2>,2把B〔EQ\F<k2,2>,2代入y＝k1x＋3,得2＝k1·EQ\F<k2,2>＋3∴k1·k2＝－222．〔XX某校自主招生如图1,已知直线y＝－EQ\F<1,2>x＋m与反比例函数y＝EQ\F<k,x>的图象在第一象限内交于A、B两点〔点A在点B的左侧,分别与x、y轴交于点C、D,AE⊥x轴于E．〔1若OE·CE＝12,求k的值；〔2如图2,作BF⊥y轴于F,求证：EF∥CD；〔3在〔1〔2的条件下,EF＝eq\r<,5>,AB＝2eq\r<,5>,P是x轴正半轴上一点,且△PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形,求P点的坐标．图1AB图1ABDCExOyABDCExOy图2FABDCExOy备用图FABDCExOyFMN解：〔1设OE＝a,则A〔ABDCExOyFMN∵点A在反比例函数图象上,∴a<－EQ\F<1,2>a＋m＝k即k＝－EQ\F<1,2>a2＋am由直线y＝－EQ\F<1,2>x＋m可得C〔2m,0,∴CE＝2m－a∴OE·CE＝a<2m－a>＝－a2＋2am＝12∴k＝－EQ\F<1,2>a2＋am＝EQ\F<1,2><－a2＋2am>＝EQ\F<1,2>×12＝6〔2连接AF、BE,过E、F分别作FM⊥AB,EN⊥AB,则FM∥EN∵AE⊥x轴,BF⊥y轴,∴AE⊥BFABDCExOyFMNPS△AEF＝EQ\F<1,2>AE·OE＝EQ\F<k,2>,S△BEF＝EQ\F<1,2>BF·OF＝EQ\F<k,2>ABDCExOyFMNP∴S△AEF＝S△BEF,∴FM＝EN,∴四边形EFMN是矩形∴EF∥CD〔3由〔2可知,EF＝AD＝BC＝eq\r<,5>又AB＝2eq\r<,5>,∴CD＝4eq\r<,5>由直线y＝－EQ\F<1,2>x＋m可得OD＝m,OC＝2m,∴OD＝4又EF∥CD,∴OE＝2OF,∴OF＝1,OE＝2∴DF＝3,∴AE＝DF＝3∵AB＝2eq\r<,5>,∴AP＝eq\r<,10>,∴EP＝1∴P〔3,023．〔上海模拟已知点P是函数y＝EQ\F<1,2>x〔x＞0图象上一点,PA⊥x轴于点A,交函数y＝EQ\F<k,x>〔x＞0图象于点E,PB⊥y轴于点B,交函数y＝EQ\F<k,x>〔x＞0图象于点F．〔点E、F不重合AOyxBEFPAOyxBEFP〔2若k＝1,试问：△OEF能否为直角三角形？若能,请求出此时点P的坐标；若不能,请说明理由．解：〔1设P〔2a,a〔a＞0,则A〔2a,0,B〔0,a,E〔2a,EQ\F<k,2a>,F〔EQ\F<k,a>,a∴EQ\F<PA,PB>＝EQ\F<a,2a>＝EQ\F<1,2>,EQ\F<PE,PF>＝EQ\F<a－EQ\F<k,2a>,2a－EQ\F<k,a>>＝EQ\F<1,2>∴EQ\F<PE,PF>＝EQ\F<PA,PB>,∴EF∥AB〔2设P〔2a,a,∵k＝1,∴A〔2a,0,B〔0,a,E〔2a,EQ\F<1,2a>,F〔EQ\F<1,a>,a∴OE2＝4a2＋EQ\F<1,4a2>,OF2＝a2＋EQ\F<1,a2>,EF2＝<2a－EQ\F<1,a>2＋<EQ\F<1,2a>－a2＝5a2＋EQ\F<5,4a2>－5易知∠EOF＜90°当∠OEF＝90°时,有OE2＋EF2＝OF2∴4a2＋EQ\F<1,4a2>＋5a2＋EQ\F<5,4a2>－5＝a2＋EQ\F<1,a2>,解得a1＝EQ\F<eq\r<,2>,4>,a2＝EQ\F<eq\r<,2>,2>当a＝EQ\F<eq\r<,2>,2>时,E〔eq\r<,2>,EQ\F<eq\r<,2>,2>,F〔eq\r<,2>,EQ\F<eq\r<,2>,2>,此时点E、F重合,不合题意,舍去∴a＝EQ\F<eq\r<,2>,4>,∴P〔EQ\F<eq\r<,2>,2>,EQ\F<eq\r<,2>,4>同理当∠OFE＝90°时,可得a＝eq\r<,2>,∴P〔2eq\r<,2>,eq\r<,2>综上所述,当点P为〔EQ\F<eq\r<,2>,2>,EQ\F<eq\r<,2>,4>或〔2eq\r<,2>,eq\r<,2>时,能使△OEF为直角三角形24．〔XX模拟"三等分角"是数学史上一个著名的问题,但仅用尺规不可能"三等分角"．下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种"三等分锐角"的方法〔如图：将给定的锐角∠AOB置于直角坐标系中,边OB在x轴上、边OA与函数y＝EQ\F<1,x>的图象交于点P,以P为圆心、以2OP为半径作弧交图象于点R．分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两直线相交于点M,连接OM得到∠MOB,则∠MOB＝EQ\F<1,3>∠AOB．要明白帕普斯的方法,请研究以下问题：〔1设P〔a,EQ\F<1,a>、R〔b,EQ\F<1,b>,求直线OM对应的函数关系式〔用含a、b的代数式表示；〔2分别过点P和R作y轴和x轴的平行线,两直线相交于点Q．请说明Q点在直线OM上,并据此证明∠MOB＝EQ\F<1,3>∠AOB；〔3应用上述方法得到的结论,你如何三等分一个钝角〔用文字简要说明．BBSAOxQRPHMy解：〔1设直线OM的函数关系式为y＝kx∵P〔a,EQ\F<1,a>、R〔b,EQ\F<1,b>,∴M〔b,EQ\F<1,a>∴k＝EQ\F<1,a>÷b＝EQ\F<1,ab>∴直线OM的函数关系式为y＝EQ\F<1,ab>x〔2由题意知点Q的坐标为〔a,EQ\F<1,b>,满足y＝EQ\F<1,ab>x∴点Q在直线OM上易知四边形PQRM是矩形,∴SP＝SQ＝SR＝SM＝E