固体物理第七章 金属的电导理论

第七章金属的电导理论

现在我们研究金属的电导。在经典理论中，金属的传导电子在外电场作用下获得加速度,

如果没有别的力存在，电子将持续加速。然而，在金属体内部还有阻力的存在，阻力的大小

同电子的速度成正比，这样，电子被加速到某个终速度，此时阻力正好同电场力平衡。由于

阻力正比于速度，因而电力同电场成正比，这就解释了欧姆定律。从量子力学出发处理这个

问题，必须搞清楚在外场作用下电子的运动规律以及阻力相当的微观结构。

在第五章中我们已经知道，如果电子的运动用波包中心的运动代表，那么在外电场£和

磁场B中电子的运动规律是

*dk

方——=F=-e（£+VXB）,

dt

式中k代表波包中心的波矢。这样描述电子是有条件的，因为按照测不准关系AxhAkx〜力.

组成波包所需的波矢范围是4般，它必须比布里渊区的线度'小得多，因此在实际空间波

a

包的尺度4必定比晶格常数a大几倍。这个条件对金属的传导电子并不苛刻，因为电子的

自由度原比波包的尺度大得多。

现在讨论阻力的微观机构，在完整的晶体中，电子是周期性势场中运动，电子的稳定状

态是布洛赫波描写的状态，这时不存在产生阻力的微观机构。可是对于不完整的晶体，例如

晶体中的杂质，缺陷，晶粒间界面等结构上的不完整性，以及由于晶体原子的热振动而离开平

衡位置等原因都会导致偏离周期性势场。这种偏离使电子波遭受散射，电子就会改变运动方

向，这就是经典理论中阻力的来源。显然，可以预料金属的电阻依赖于它含有的杂质原子数

目，事实上也确如此。这个电阻就是所谓“剩余”电阻，因为在甚底温度的条件下，原子热

振动引起的电阻应趋于零。

晶格热振动是产生偏离周期场的另一个主要原因。在常温条件，原子振动的均方振幅同

绝对温度成正比，导致单位体积内散射的次数同温度成正比，因而电阻同温度成正比。在同

时有杂质和原子热振动时，金属电阻是两方面电阻相加，这是一个实验结果，称为妈德森定

那么。在很底的温度下，晶格热振动的均方振幅比按线性关系变小更快，因而电阻随温度的

变化关系不再是线性的，实验和理论分析都得到在低温下热振动产生的电阻按T5规律变化。

此外，不同金属的能带结构是不同的，这也是影响电阻率的大小，特别具有不满d壳层

的过渡金属就更为显著。

不同状态的电子有不同的坐标和速度(用波包描述)，它们对电导的贡献是不同的，所

以必须考虑电子的分布函数。在外场下，这将是非平衡的分布函数。只有建立能够确定非平

衡分布函数的方程一一玻耳兹曼方程之后，才有可能处理以上列举的问题。由于玻耳兹曼方

程比较复杂，我们只限于讨论电子的等能面是球面。且在各想同性的弹性散射以及弱条件下

的情况。

§7.1玻耳兹曼方程

我们已经知道电子的速度

V/

n

它同波矢k是一一对应的。我们将以实现坐标r和波矢k为变量组成相空间。在相空间中，

电子是以分布函数f(r,k,t)来描写的，它代表t时刻在(r,k)点附近单位体积中一种自旋的电

子数。所以t时刻在相空间单位体积元drdk中一种自旋的电子数是

(2乃y8f(r,k,t)drdk.(7-l)

现在来研究f(r,k,t)如何随时间变化，在粒子数守恒条件下，它的总变化率有两部分：

也巨+箜,(7-2)

如抗漂移加碰撞

这衅漂移代表外场引起的分布逑的变化，景

代表电子因受散射引起的分布函

碰撞

数的变化，炭代表分布函数因外场和散射引起的变化。如果电子的分布不随时间变化而处

dt

于稳定状态，那么红=0。此时外场和散射的作用相副抵消。因此有

dt

更+更=0.(7-3)

比漂移比碰撞

漂移项是外场作用力所引起的电子波矢的漂移以及速度导致位置漂移的结果。在相空间

中，t时刻在(r,k)附近单位体积中的电子是有t-dt时刻在(r-vdt,k/dt)附近单位体积中

的电子漂移而来，即

f(r,k,t)=f(r-vdt,k-kdt,t-dt).

所以

f(r-vdt,k—kdt,t-dt)—/(r,k,t—dt)

(7-4)

3漂移limdt

代人(7-3)式得

VJkNJ=去.(7-5)

a碰撞

再看碰撞项，它可写成

df,

—=b-a,(7-6)

况碰撞

式中b代表单位时间内因碰撞进入(r,k)处相空间单位体积中的电子数。若®("«)代表单

位时间内从态碰撞而进入态的几率，计人泡利不相容原理

b=Z9(/，川1一/(左，川=(2万尸J6>(〃,%)/(〃,r)[l一f(k,r)]dk,(7-7)

k

a那么为单位时间中由于碰撞离开(r,k)处单位体积的电子数

a=Z伙人次‘)_/(左，力[1一///)]=(24[「出左»(无/疝—何(7-8)

k

所以确定分布函数f的方程式是

V•Vf+-h-a,(7-9)

这个方程式称为玻耳兹曼输运方程，它是一个微分方程。图7-1示意地画出了玻耳兹曼方程

中漂移和碰撞对分布函数的贡献。图中的点子表示相空间有关区域中所含有的一种自旋的电

子。还假定在相空间出发点(r-rdt,k-Z:dt)电子遭遇到碰撞，有此出发作漂移，在漂移的

时间dt内电子没有到达目的地(r,k)的瞬时又发生了碰撞。按照图中所示的情况，在t-dt

1,

时刻，在(r,k)处单位体积中有n(r,k,t-dt)=--------f(r,k,t-dt)x1=7个电子；同时，在(r-vdt,k-kdt)

(2万V

•1•

处单位体积中有n(r-vdt,k-kdt,t-dt)=-------7f(r・vdt,k・Zdt,t-dtx)1=8个电子。在t-dtft的

3)3

时间内，由于外场的漂移作用，在(r,k)处单位体积内的电子数为

*

n(r,k,t)=n(r-vdt,k-kdt,t-dt)=8个

所以漂移使(r,k)处单位体积的电子数在dl时刻内增加n(r,k,t)-n(r,k,t-dt)=8-7=l个。在时刻

t的瞬间(r,k)处单位体积因碰撞进入该区的电子数bdt=l个因碰撞离开此区域的电子十adt=2

个。所以在该区域内因碰撞而净增加的电子数为

(b-a)dt=-l个。

外场的漂移和碰撞两个因素，使(r,k)处的单位体积中在t-dt至h的时间内增加的电子数

为n(r,k,t)-n(r,k.t-dt)+(b-a)dt=O,

正好平衡。

玻尔兹曼方程比较复杂，主要在于碰撞项，为了求解的方便，我们作了一些简化，假定

没有外场，也没有温度梯度，如果电子的分布函数离了平衡值，系统就必须依赖碰撞机构使

分布恢复到平衡状态时的分布工)。通常认为可以用弛豫时间7描述这个恢复过程，我们写

成

的_/-To

常碰撞=一-1

系统一旦偏离平衡，又没有外场和温度梯度的情况下，系统就不会处在稳定态，它的分布函

数f就有弛豫过程决定，所以

dtT

(7-10)式的解可写成

/=4+(f-3"，(7-11)

力是系统t=0时的分布函数。这表明由于碰撞作用系统以时间常数7弛豫回到平衡分布。在

后面我们再来讨论在什么情况下可以导出弛豫时间r。

总之，没有外场或温度梯度，系统不会离开平衡分布；没有碰撞，系统不会从非平衡分

布恢复到平衡分布。有了外场和温度梯度，系统的分布才会偏离平衡，无休止地漂移；有了

碰撞机构，就使漂移受到遏制，被限制在一定的程度而达到稳定的分布，利用

守=父"

dT

和k=-—(£,+vxB),

h

以及用弛豫时间来描述碰撞项的贡献，玻尔兹曼方程就可写成

库，(£+vxB).V"=-(7-12)

hSThT

§7.2金属的电导率

设想均匀的金属晶体处于恒定的温度下，在外电场£的作用下形成稳定电流密度j。此

时玻尔兹曼方程写成:

n

外电场e一般总是比原子内部的电场小得多，可认为f偏离平衡分布/不大，上式右边就代

表这样的偏离，其中的f可近似用人代替。所以

PT

f=于0+〒£7kfo,(7-14)

n

按照泰勒定理，f又可写成

=也+殍£)=八也一手£).(7-15)

nn

说明在有外场£时，分布函数f(k)相当于平衡分布4沿电场相反方向刚性移动-竺£。图

方

7-2a为等能面是球面的情况下，费密球在电场作用下所发生的刚性移动。由于4是能量E

(k)的函数，

%一=袭述=噜吸).

dEoE

这样，(7-14)式可改写成

/=%+|^(v-£)eT

或f(E)=f0[E-(-eTV-£)].(7-15')

表明采用能量坐标来绘制的分布函数f,相当于电子获得能量=d(y的平衡分布f0。

如果v的方向同电场方向相反，电子获得加速，能量增大；反之那么能量减小。图7-2b中

的右边表明了电子获得能量的情形，左边是失去能量的情形。在图7-2a、b中，电场£都是

自右向左的。

知道f的表示式后，就容易计算电流密度：

鉴于玲是k的偶函数，v是k的奇函数，

J啖成=0,

图7-3是k空间的两个等能面E和E+dE,它们之间的距离是1册，取等能面上面积

元dS,那么图中所示的体积元dk=dSdk-

由于

而dk又可写成

JJdSdE.、

dk=-.----.(7-17)

口国r

.e2cdf..dEdS

电流密度J=----rr—nV(V-6-)-;--7,

4/JQE▽国

其中平衡分布/就是费密一狄喇克分布

f=________!________

，

°e^p{(E-EF/kBT}+l

而一送。6（E-£「）.这样，上述积分简化为费密曲面S-上的面积分

oE

j———rI*TP(V*£),SF(7-18)

如果外电场沿Ox方向，而金属又是立方晶体，此时电流也沿Ox方向。上式写成

2JS

工二£4「：（》）喃39）

所以立方晶体的金属电导率

cr=-^—TfTV：(7-20)

4/JSF国

由此可见，对金属电导有贡献的只是费密面附近的电子，它们可以在电场作用下进入能量较

高的能级。能量比费密能级E-低得多的电子，由于附近的状态已被电子占据，没有可接受

它的空状态，且不可能从电场中获取能量改变状态，故这种电子并不参与电导。所以电导率

同弛豫时间和费密面处能级密度有密切关系。

如果金属电子的等能面是球面

ll*/222\1*2

E=-m(vv+vv+v2)=—mv,

又计及1Ht£|=力丫，再利用电子浓度n同费密波矢程的关系

2

kF=（3〃乃）叱

可得

ne~v（E）

”----；—F・

m

若△是电子的平均自由程，那么△="?，电导率可写成

式中昨是金属电子的费密速度。实验指出，在常温条件下，＜T=℃i;而在很低温度下，

b=oc5,因此或人必须有同样的温度依赖关系。这只能用量子力学对散射机构进

行具体分析和计算才能获得了解。

§7.3弛豫时间的统计理论

本节讨论在什么条件下能用弛豫时间来描写玻尔兹曼方程的碰撞项。在§7.1中已经知

道，碰撞项是

（7-22）

它代表在晶体的单位体积中，由于碰撞进入状态k的电子数b减去碰撞离开k的电子数a。

设系统在不加电场，磁场和温度梯度时，处于热平衡状态，此时由k'态到k态的跃迁应当

同相反的跃迁过程正好平衡，就是说在热平衡条件下应当达到细致平衡，即

®（Z㈤加£）［1-八（£）卜®（%4）/。（£）［1-加£力

利用费密-狄喇克平衡分布的表达式，可得

@（3㈤”（石〃疗）=®（匕右）

所以，在弹性散射的情况E=E',有

这时

用e登⑶](7,3)

（7-23）式表明，在弹性散射条件下，碰撞项好象同不考虑泡利不相容原理得到的结果一样。

仿照前两节的作法，讨论系统偏离平衡态不远的情况，那么有

/（左）=/。（石）一鱼牙（女）

/（左'）=.八（石）一妥干（右）(7-24)

代入（7-23）式，得到

鲁卜撞=-案（七七）｛%（右）—力（左）｝

/7、

而afo力（2。（七A

方万兀（k）

同碰揄=

77

比较，得到弛豫时间的统计表示式

：=»(女)

上（R）＞(7-25)

此式只适用于弹性散射的情况。一般说7（k）是各向异性的，费密面上不同状态的电子其

弛豫时间是不一样的。迪.哈斯-范.阿耳芬效应表明铜的费密面不是球面，严格的说铜晶体中

电子的弛豫时间应该是各向异性的，若把它当作各向同性的散射，只是一种简化的近似。

如果电子的等能面是球面,对于弹性散射，0（k,k'）只依赖于k或k'的模

以及k和k'的夹角。，即

®（K,K）=®（zve）=®（瓦e）b（E—£）,式中。是

散射角，E是电子能量。取电场沿Oz轴，x（k）可写成

久（K）=kC（E）;

%（K）=3C（E）,

其中C（E）是特定的依赖能量的函数。这样，（7-25）式简化为

Lk'_AzZ_

由图7-4可知，一个波失1<=1«的电子，经历弹性散射到达k'=kz的状态，此时沿电场方向

电子散射前后的动量比是

kJ

—cos6

kz

—=1-cos0

。是散射角因子1匕）代表电子沿电场方向因散射而损失的动量用原来

动量之比。散射角小的贡献小，这个情况就由因子（1—COS。）描述。所以（7-26a）式重

写成

!=化父网（l—cose）=（2;r-J®化-例（i—cos。）*

工k'

（7-26b）

下面将对作进一步的简化，令W（E,。）代表单位时间内，能量为E的电子被散射到立

体角元

"G=sinOdO

的几率，即W（2（2）尸「@（£女',8）〃2成，g

/*

也就是说w（£，e）=®（£，e）*同

这样,改写成

T

—=2^JW(E,^)(l-cos^)sinOdO(79ftc)

如果散射是各向同性的，w(E,e)同e无关，记w(E),那么

工=W(石)「2〃(1—cose)sin3d0=4/rW(E)(727)

此式表明，就是能量为E的电子在单位时间内的总散射几率P=4IBV(E)。容易证明，就

是电子的平均自由时间。总之，在弹性散射，等能面是球面以及散射是各向同性的条件下，

我们得到弛豫时间就是平均自由时间的结论。

§7.4电子-晶格相互作用

在理想的完整的金属晶体中，离子处在严格周期排列的位置

B+12a2+13a3。晶体中共有化运动的电子是在离子产生的周期场中运动，

电子的状态是由确定能量和确定波失的布洛赫波所描述的稳定态，这种稳定态不会发生变

化。如果离子偏离平衡位置R1,周期场就会被破坏，附加的偏离周期性的势场可看作为微

扰，它促使电子从一个稳定态跃迁到另一个稳定态，即出现散射。离子偏离格点的运动组成

晶体中的格波，格波的能量是量子化的，格波的量子称为声子。所以，电子-晶格相互作用,

又称电子-格波或电子-声子相互作用。其本质仍然是金属中电子和离子之间的电磁作用。

为了简便起见，讨论每个原胞只含一个原子的情况。没除第j个离子外其他离子都守在

格点上，第j离子的坐标

Xj=Rj+u-

Uj是它离开格点的位移。位失为r的电子，势能改变

(7-28)

这里V"是离子中电子的势场。这样描述势场的改变量，实际上是认为离子产生的势场跟随

离子作刚性移动，所以称为刚性离子模型，如图7-5所示。而离子位移可写成各种格波的迭

加

Uj=汇1°/内+°(7-29)

这里是波失为q的格波的振幅矢量，求和只限于q的范围之半。为了使位移是实数，

实际上所有离子都可能偏离各自的格点，因此整个晶体由于晶格振动产生的电子微扰势：

俨飙小+。小*Tf)

jjq\qq-J

为了简便，传导电子态用平面波描述。按微扰理论跃迁矩阵元

N叫—人二上也叫盘4〃+”叫〃)

式中屋必，”一勺)▽^“卜_0)力"此积分基本上限制在原胞范围。如

记，把展开成

Vaf(^)=^Vaf(x)ei^

X

at

那么/-0""(0」[/叱的”=i(K'-K)V(K'-K)

zW

再利用上*呵…,,,

J

可得Mk,k=•伏W"(k-k)%一SK,广U*q.(k-k)V：(k'-k^,_Wi]

q

(7-31)

式中K,“是倒格矢.

现在分两种情形：

1.K„=0,此时不为零的条件

k，=k+q(或hk=hk+hq),

以及k'=k-q(或hk'=hk-hq).

实际上，晶格振动的振幅U“中应含有时间的因子

exp(-iwqt),

在振幅U；中含有因子

exp(+iwqt),

电子的波函数初态有因子exp|-iE(k)t/h|,末态的复共规函数含因子exp[iE(K，)t/h],所以，当

hk'=hk+hq时

有积分JexpH[E(A)+〃%-£(2'»/〃｝力

由此得E(k')=E(k)+hWq

这说明电子在初态k吸收一个波矢为q的声子跃迁到末态

K，,此过程能量守恒，准动量守恒,

另一种过程是hk,=hk-hq,

相应有E(k')=E(k)-h%.

电子从k态因发射一个波矢为-q的声子跃迁到末态k：此过程能量，准动量守恒.这两个过程

称为正常过程或N过程.它们可用7-6来表示.

2.K,产0,此时Mk.k不等零的条件是

k'=k+q+Km

或hk,=hk+hq+hKm-

以及k'=k-q+Km

或hk'=hk-hq+hK,n-

这类散射过程称为倒逆过程或U过程.

图7-7为正常过程和倒逆过程，实际上就是电子受晶格散射的选择规那么.可以看出，

在正常过程，波矢R,k以及q都在第一个布里渊区内，这些波矢本身小，散射角也小，倒

逆过程必须本身大，散射角也大，依照图所示的情况，若大小相等，那么

2k|singe=|g+K“J

对于单价原子的金属，可得稼=(3//。"，。为晶体原包体积，晶体振动按照德拜

y

I1,03

模型"max=(6万2/。户，可估计e达到比sin^%=4=二所规定的角度，(为"79)大

22kF2

时，就会有倒逆过程。

§7.5纯金属的电阻率

大量实验指出，许多纯金属的电阻率在很宽的温度范围内，可用经验公式

AT5rOD/Tx5dx

「(丁)=M式,J。e—Da—H”)(7-32)

描述，式中A为金属的特性常数，M是金属原子的质量，。“是金属的德拜温度.此经

验公式称为布洛赫-格林爱森公式。

当T〉0.5。。时，上式简化为

XT

4MG)D

这就是熟知的金属在高温下的电阻率同温度成正比的关系

在很低温度时，即T<0.1那么(7-32)式的积分上限可认为。8,这样所得的积

分值为124.4,此时金属电阻率2(T)。124.4—

M0p

它同温度的五次方成正比。

现在我们从电子受格波(或声子)散射的机构来解释上述经验规律。我们知道，参与导电

过程的是费密面附近的电子，他们的能量为几个电子伏，这些电子吸收或发射电子后

跃迁到末态，

E(k)=E(k)±ha>q.

由于/啊<痴0=%。0~10-2电子伏，可认为E(k')#E(k),故可近似看作是弹性散射。

单位体积的晶体中单位时间内的跃迁几率。

=(7-33)

这样按(7-31)和(7-33)式，有

a

0(k,k)=^-N-N\q.U(l^'(q^-E)(7-34)

下面计算,1/丁的数值.q是格波波矢，Ug是该格波的振幅矢量，显然只有纵声学格波

才有贡献。大家知道每个简谐振

子，它的能量就等于动能或势能的最大值。晶体N个离子的振动能量等于N个模式的

格波的振动能量之和。利用（7-39）式，得

142

£=ZM%=£2NMUq=Z%

f乙qqq

这里％=2NM段=（%+5〃%

是波矢q的振动模的能量。所以在热平衡时，

(%+/%

2训町=

M%

对于纵向声学格波,

qY%+fhQ

N也『=*|町

2Mo；

利用声速s=%/q

以及在热平衡时波矢为q的振动模的声子数

1

%

exp(/7^/A:fir)-l

就可得到

kT1

2N,•小B(7-35)

exp(h2%T)_l

这里已略去了零点能。

我们已经知道，对于等能面是球面，各向同性的弹性散射的情况来说，金属电导率

0~*

m

,即电阻率随温度的变化关系取决于,随温度T的变化关系，而按（7-26b）

电阻率夕=—

T

和(7・34)式

-=(2万尸J©(^>)(1-cose)dk

念WWM⑷(b(E—Ej(l-cos。)成(7-36)

而电子等能面是球面,

dk=2成2成'sin0d0=2乃（书-）%VFdEsmddd,

所以

J=笔）%NtJN,・U/2M（q）「

•S（E-E）4^（1-cos。）sin0d3dE

=?（茶"）％犷在JMg・UJM"（浦

•（1-cos。）sin。/。.（7—37）

现在就高温T〉〉。。和低温T〈〈。。两种极端情况来加以讨论。

1.高温情况

“—〃FkT

2_kfiT

故N|q・4|

J"J2

Ms

此时

这里c是有关常数，费密速度以由J丘得到的，而

惶"『=—cose)sin/e

由此得出电阻率随温度T线性变化的关系。物理上，这是晶格声学波形成势场涨落，此涨

落以离子位移的平均值"2描述。按能量均分定理，/与⑥丁成正比。因而单位时间的散

射次数，即L同温度T成正比。或者，在高温条件，格波相应的声子数目与温度T成正比。

T

声子数目越多，电子受到散射的次数也增多，因而金属电阻率同温度成正比。

2.低温情况

此时有

2Ms2exp(h4/%M)T

(2)散射角。小

由7—8图可知，对于费密面上的电子，散射角。有如下关系

sin—(7—39)

22kF

在低温条件下，只能激发能量较小的声子，其能量

h%=hsp<kBT<kBQD.

./kBTT

hs0D

代入(7—39)式，得

就是说在低温条件，散射角e不能超过一定限度。

现在分析%随T的变化关系，此时

h①q/k/

(1-cos。)sin用仇(7—40)

exp(h%/kBt)-1

被积函数中的角度部分

(l-cos6>)sinOd0=8sin3(-6>)Jsin(-^)=8(旦-火旦),

2kF2kF

h%二*"q

《BTk/外海T

q="ax

于是,(7—40)式可以写成

Axidx

-1

这里C'是另一个常数，由于T〈〈€)0,因而积分上限可视为无限大，积分是一个确定的

数值。

由此便得到,~75.

T

简单的说，一个波矢为K的电子，跃迁到波矢K'的状态，其沿场的方向的动量的改变

h^（l-cos。）phk——,

2

此改变量为原来动量的J倍。电子必须经过声子散射(2)T次，才能使沿电场方向的

22

动量完全消失，由于。“%,所以电子必须散射力次，其动量方有显著改变，才能算

作一次经典意义上的碰撞，由于qOCT,故%8%2。在低温下，声子浓度同尸成正

1声子浓度、，

比。所以没秒碰撞次数，即一OC陪8・72,

T每次碰撞需要的散射次数

由此同温度5次方成正比的结论，最后还得指出，积分0％”也，和积分

「％一但虫_在T〈〈。。时，两者的行为是相同的。

J。(e“-1)(1-e-*)D

巴丁⑶改进了布洛赫的电导理论，也得到0~尸的规律，而且他分析了若干金属的

电阻率~温度关系，同理论结果的比较如图7—9所示。显然对于图中列举的金属实验数据同

理论是相符的。可以说布洛赫以及巴丁的电导理论是相当成功的。然而，对某些金属的电阻

率~温度关系来说，在低温范围不符合〃规律的读者可以参阅威尔逊所写的书

§7.6电离杂质的散射

实验指出，金属在含有电离杂质时其电阻率总是比纯金属的大，这是由于电离杂质破坏

了势场的周期性，使电子受到它的散射。这对玻耳兹曼方程的碰撞项有贡献，从而限制了电

子的平均自由程。这种散射机构相当普遍，也很重要。带正电荷Z_的粒子在真空中的势场

Z,

为

4您（/

Z

这里％是真空的电容率。在介电常数为£的金属中，他的势小£倍，即。二——

4板/

然而金属中有许多自由电子正离子吧电子吸引到周围，减弱了达对远处电子的作用。就

7

是说，金属中自由电子对杂质离子势场有屏蔽的作用，实际的势是夕（「）=—

4板or

常数2量度金属中自由电子对杂质离子势的屏蔽程度，它同自由电子的浓度有关，起倒数-

称为屏蔽长度，设金属中电子的有效质量为根",等能面是球面，而且在金属中只有一个电

离杂质。我们来研究由于电子气的屏蔽作用，电离杂质具有什么形式。势夕（广）必须满足泊

松方程\72夕=士〃。是没有杂质时金属中自由电子的平均浓度。依照

宓0

5.2〃。=白（普）％辱％

3万n

在有杂质时电子的浓度各处不同，可写成

〃3)=+怦＞瓦+约)％

当时上式按泰勒级数展开，并只保留＜p的一次项,

山）=〃。++坪屋」约（「）。-43）

代入泊松方程，得

或

V2(p(r)=X2(p(r),(7-44)

式中

X上！2爪%=5牛(7-45)

882兀2

0880EA

(7-44)式的边界条件是：

Z/

在〃一0时，＜p=---:—;

4兀880r

在尸T8时，(pf0。

把(7-44)式的▽算符用球极坐标写出来，可以满足得到上面条件

的解：

7(1

(p(r)=---:-£.(7-46)

4TI££Or

还应指出，这里的Z是有效的正电荷数。

荷所产生的屏蔽势。

电子在电离杂质场中的势能

7伊_标

V(r)=-^(p(r)=一一——£(7-47)

47TS£0r

电子在屏蔽的库仑场中的散射，就是卢瑟福散射，如图7—10所示。

根据量子力学原理，这种散射的微分截面

0(0)=6—蹙:八F«2+1V2)22

其中K=2%Fsin」。，而9是散射角。

2

根据微分散射截面的定义，在1秒内被一个电离杂质散射到方向上立体角

dQ=27rsinOM)的电子数是

N

—vo(0)c/Q

式中v是入射电子的速度，匕是晶体的体积。另一方面，这个数目等于

MV(£,0)dQ

两式相比较，得

W(E,0)=32

(7-48)

匕

如果晶体中有N,个电离杂质，它们彼此相隔较远，各个电离杂质独立起散射中心的作

用的话，那么这时杂质散射的驰豫时间的倒数等于

—=N,^(0)(1-cos0)2KSin0J0

=nt2nvF§(0)(1-cosO)sin&/0(7-49)

这里叫=,是晶体中电离杂质的浓度,将o（0）代入此式，并令

sin；』

,那么得

2

£=〃/2兀（，箸入2）-VF上窗音(7-50)

其中积分给出的结果依赖于2勺■//［量

p/2mZ(-x

2m'Z/2

具有长度的量纲（因为的量纲是能量量纲的倒数,的量纲是能量一长度）,

4兀£%

由此可以粗略认为每个电离杂质中心相当与一个半径为R的球形障碍物。详细计算得到:

~=«|n(l+Z?)-白］

(7-51)

)2制，

式中a=11,(b=

477g))2m»Ej.,m•

应当指出，磁性的电离杂质可能使传导电子在散射过程中改变自旋方向。这是复杂的多

体问题，本节所述的简单理论不适用。

§7.7不含过渡元素的金属固溶体的电导

合金是固态溶体，即其中主要的一种元素可认为是溶剂，其他较少量的元素是溶解在溶

剂中的溶质.组成合金的元素称为组元。合金的组分一般用原子百分比表示，它对合金的物

理性质有密切的关系。溶质在合金中的分布一般是无序的，在一定条件下会发生有序化的现

象，此时往往很灵敏地反映在合金电阻数值有改变。所以，多年来对各种合金的电阻作了大

量的研究。根据这些研究结果，对于不含过渡族元素的金属固体，总结出下面几条经验规律。

1.马得森定那么

马得森和佛特早期根据对金属固溶体电阻的研窕结果认为，如果在固溶体原子的浓度

较小，以致可以略去他们之间的相互影响，那么固溶体的电阻率。可以写成两部分：

P=P,+Pm(T}(7-52)

0为同溶质含量有关的部分：那么是同温度T有关的部分。显然代表

溶剂金属（即纯金属）的电阻；电阻值同温度的关系决定与晶格散射。图7—11代表

铜以及某些铜合金电阻温度的关系。可以看出，4°%丁和杂质浓度无关。

根据7.5和7.6的理论，在杂质浓度小时，可以认为晶格振动和电离杂质的散射作

用是独立起作用的，电子从k态跃迁到A'态

的几率是两种散射机构的散射几率之和，即

。（左,&'）=A"）+€）/（2,&'）

其中脚标L代表晶格振动，I指电离杂质。因

此驰豫时间的倒数也可以写成和工

TLT,

相加：

111

—=--1--

T屋7-/

由此得到马得森定那么。

当然，以上的论述是有条件的近似结果。这些

条件是

（1）温度较高，晶格散射是弹性的，这也是确定人的条件；

（2）晶格振动不影响溶质所引起的微扰势；

（3）溶质原子的存在不影响晶格振动，因而也不影响晶格散射随温度变化的规律；

（4）溶质原子的存在不影响晶体中导电电子的数目。总之，这几个条件在溶质小时

容易实现；溶质浓度大，合金的晶格振动谱声速电子能谱电子浓度都会改变，

溶质本身也不能各自独立起散射中心的作用。

2.诺伯里定那么

诺伯里发现，在固溶体中电阻率的变化同溶剂和溶质的原子价有关。令Z,0和Z,

分别代表溶剂和溶质原子的原子价。由于溶质存在，电阻率的变化可写成

%=4+A(Z,“-Z,)2(7-58)

式中Ai和A2是随元素而异的常数。

图7—12是林德।⑵对金属固溶体得到

的结果。对于一定的溶剂以及位于周期表中同

一周期的溶质元素所组成的固溶体，具有共同

的Ai和A2.

这个定那么可用卢瑟福散射模型描述。依

照§7S,附加的电阻是由于有效电荷(ZiHm)

e产生的屏蔽库仑势引起的散射，而散射强度

是同散射中心的有效电荷的平方成正比。因此

羽i同(Z,“-Z)2成正比。

3.高浓度固溶体电阻率与成分的关系[4]

如果二元系合金形成连续固溶体，那么称二种组分可任意的无序合金，或称完全无序的成

分连续可变的固溶体。例如金一银或伯一钳合金就是这种固溶体，它们的电阻率随组分的变

化，如图7—13所示。电阻率可写成

P=Po+P(T)

(7—54)

Po0cx(l-X)

根威金的原子百分比

图7—13银T及粕T合金电租同组分的关系

N

式中x某一元素的组分，x=———；N八和Np分别代表元素A和B的原子浓度。

心+3

令匕(尸)和乙(不分别代表电子接近A和B元素的原子时所受到的势场。真实的合金

中，电子的势场为

V=^V/r-RA)+XVB(r-RB),

RARB

式中£和Z分别代表对所领和§原子所在的原子求和对于完全无序的合金真实的势不是

RARB

周期性的。作为零级近似，每个格点附近的近似势场都取平均场：

年二N八匕：)+,为")-匕⑺+(17必⑺,