等比数列经典例题

一、等比数列选择题1．已知等比数列的前5项积为32，，则的取值范围为（）A． B． C． D．2．已知等比数列的前项和为且，则的值为（）A． B．2 C． D．43．已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为（）A．12 B．18 C．24 D．324．已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9＝（）A．4 B．5 C．8 D．155．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或66．已知正项等比数列满足，，又为数列的前项和，则（）A．或 B．C． D．7．设{an}是等比数列，若a1+a2+a3=1，a2+a3+a4=2，则a6+a7+a8=（）A．6 B．16 C．32 D．648．设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且满足条件，，则下列结论正确的是（）A． B．C．的最大值为 D．的最大值为9．已知正项等比数列的公比不为1，为其前项积，若，则（）A． B． C． D．10．在数列中，，，则（）A．32 B．16 C．8 D．411．已知等比数列中，，，，则（）A．2 B．3 C．4 D．512．已知等比数列的前项和的乘积记为，若，则的最大值为（）A． B． C． D．13．正项等比数列满足，则（）A．1 B．2 C．4 D．814．已知q为等比数列的公比，且，，则（）A． B．4C． D．15．已知数列的首项，前项的和为，且满足，则满足的的最大值为（）.A．7 B．8 C．9 D．1016．等比数列中，，，则等于（）A．16 B．32 C．64 D．12817．十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中间的区间段，记为第一次操作；再将剩下的两个区间，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为（）（参考数据：，）A．4 B．5 C．6 D．718．正项等比数列的公比是，且，则其前3项的和（）A．14 B．13 C．12 D．1119．已知为等比数列.下面结论中正确的是（）A． B．若，则C． D．若，则20．等比数列的前项和为，，，则公比为（）A． B．或1 C．1 D．2二、多选题21．题目文件丢失！22．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（）A．等差数列一定是等差比数列B．等差比数列的公差比一定不为0C．若，则数列是等差比数列D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比23．已知等差数列，其前n项的和为，则下列结论正确的是（）A．数列|为等差数列 B．数列为等比数列C．若，则 D．若，则24．已知数列是公比为q的等比数列，，若数列有连续4项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中，则公比q的值可以是（）A． B． C． D．25．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．数列是等比数列B．若则C．若则数列是递增数列D．若数列的前n和则r=-126．关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A． B． C． D．当时，27．关于递增等比数列，下列说法不正确的是（）A．当 B． C． D．28．记单调递增的等比数列{an}的前n项和为Sn，若，，则（）A． B．C． D．29．已知数列的前项和为且满足，下列命题中正确的是（）A．是等差数列 B．C． D．是等比数列30．已知等比数列中，满足，，是的前项和，则下列说法正确的是（）A．数列是等比数列 B．数列是递增数列C．数列是等差数列 D．数列中，，，仍成等比数列31．已知数列{an}，，，在平面四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，且，当n≥2时，恒有，则（）A．数列{an}为等差数列 B．C．数列{an}为等比数列 D．32．设数列，若存在常数，对任意正数，总存在正整数，当，有，则数列为收敛数列.下列关于收敛数列正确的有（）A．等差数列不可能是收敛数列B．若等比数列是收敛数列，则公比C．若数列满足，则是收敛数列D．设公差不为0的等差数列的前项和为，则数列一定是收敛数列33．已知数列为等差数列，，且，，是一个等比数列中的相邻三项，记，则的前项和可以是（）A． B．C． D．34．已知等比数列{an}的公比，等差数列{bn}的首项b1＝12，若a9＞b9且a10＞b10，则以下结论正确的有（）A．a9•a10＜0 B．a9＞a10 C．b10＞0 D．b9＞b1035．将n2个数排成n行n列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n个数从上到下构成以m为公差的等差数列，每一行的n个数从左到右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.已知a11＝2，a13＝a61+1，记这n2个数的和为S.下列结论正确的有（）A．m＝3 B．C． D．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题1．C【分析】由等比数列性质求得，把表示为的函数，由函数单调性得取值范围．【详解】因为等比数列的前5项积为32，所以，解得，则，，易知函数在上单调递增，所以，故选：C．【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列的性质，解题关键是选定一个参数作为变量，把待求值的表示为变量的函数，然后由函数的性质求解．本题蝇利用等比数列性质求得，选为参数．2．D【分析】设等比数列的公比为，由题得，进而得，故.【详解】解：设等比数列的公比为，因为，所以，所以，即，由于，所以，故，所以.故选：D.3．C【分析】将已知条件整理为，可得，进而可得，分子分母同时除以，利用二次函数的性质即可求出最值.【详解】因为是等比数列，，所以，，即，所以，，令，则，所以，即时最大为1，此时最小为，所以的最小值为，故选：C【点睛】易错点睛：本题主要考查函数与数列的综合问题，属于难题.解决该问题应该注意的事项：(1)数列是一类特殊的函数，它的图象是一群孤立的点；(2)转化以函数为背景的条件时，应该注意题中的限制条件，如函数的定义域，这往往是很容易被忽视的问题；(3)利用函数的方法研究数列中的相关问题时，应准确构造相应的函数，注意数列中相关限制条件的转化.4．C【分析】由等比中项，根据a3a11＝4a7求得a7，进而求得b7，再利用等差中项求解.【详解】∵a3a11＝4a7，∴＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∴b5＋b9＝2b7＝8．故选：C5．C【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差，再由等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】设等差数列的公差为，成等比数列，即，则，，所以当或时，取得最大值.故选：C.6．B【分析】由等比中项的性质可求出，即可求出公比，代入等比数列求和公式即可求解.【详解】正项等比数列中，，，解得或（舍去）又，，解得，，故选：B7．C【分析】根据等比数列的通项公式求出公比，再根据等比数列的通项公式可求得结果.【详解】设等比数列的公比为，则，又，所以，所以.故选：C．8．B【分析】根据，，分，，讨论确定q的范围，然后再逐项判断.【详解】若，因为，所以，则与矛盾，若，因为，所以，则，与矛盾，所以，故B正确；因为，则，所以，故A错误；因为，，所以单调递增，故C错误；因为时，，时，，所以的最大值为，故D错误；故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键是通过穷举法确定.9．A【分析】由得，由等比数列性质得，这样可把和用表示出来后，可求得．【详解】是正项等比数列，，，，所以由，得，所以，设公比为，，，，即，，所以．故选：A．【点睛】本题考查等比数列的性质，解题关键是利用等比数列性质化简已知条件，然后用公比表示出相应的项后可得结论．10．C【分析】根据，得到数列是公比为2的等比数列求解.【详解】因为，所以，所以数列是公比为2的等比数列．因为，所以．故选：C11．B【分析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.12．A【分析】根据得到，再由，求得即可.【详解】设等比数列的公比为，由得：，故，即.又，所以，故，所以,所以的最大值为.故选：A.13．C【分析】利用等比数列的性质运算求解即可.【详解】根据题意，等比数列满足，则有，即，又由数列为正项等比数列，故．故选：C．14．C【分析】利用等比通项公式直接代入计算，即可得答案；【详解】，故选：C.15．C【分析】根据可求出的通项公式，然后利用求和公式求出，结合不等式可求的最大值.【详解】相减得，，；则是首项为1，公比为的等比数列，，，则的最大值为9.故选：C16．A【分析】由，求得，再由求解.【详解】，.∴，∴.故选：A17．C【分析】依次求出第次去掉的区间长度之和，这个和构成一个等比数列，再求其前项和，列出不等式解之可得．【详解】第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；…第次操作去掉个长度为的区间，长度和为，于是进行了次操作后，所有去掉的区间长度之和为，由题意，，即，即，解得：，又为整数，所以的最小值为.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查等比数列通项、前项和等知识及估算能力，属于中档题.18．B【分析】根据等比中项的性质求出，从而求出，最后根据公式求出；【详解】解：因为正项等比数列满足，由于，所以.所以，，因为，所以.因此.故选：B19．C【分析】取特殊值可排除A，根据等比数列性质与基本不等式即可得C正确，B，D错误.【详解】解：设等比数列的公比为，对于A选项，设，不满足，故错误；对于B选项，若，则，则，所以或，故错误；对于C选项，由均值不等式可得，故正确；对于D选项，若，则，所以，其正负由的符号确定，故D不确定.故选：C.20．A【分析】由，列出关于首项与公比的方程组，进而可得答案.【详解】因为，所以，所以，解得，故选：A.二、多选题21．无22．BCD【分析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确.【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；若等比数列是等差比数列，则，，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.23．ABC【分析】设等差数列的首项为，公差为,，其前n项和为，结合等差数列的定义和前n项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为,其前n项和为选项A.，则（常数）所以数列|为等差数列，故A正确.选项B.,则（常数），所以数列为等比数列，故B正确.选项C.由，得，解得所以，故C正确.选项D.由，则，将以上两式相减可得：，又所以，即，所以D不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出，从中解出，从而判断选项C，由前n项和公式得到，，然后得出，在代入中可判断D，属于中档题.24．BD【分析】先分析得到数列有连续四项在集合，，18，36，中，再求等比数列的公比.【详解】数列有连续四项在集合｛-50，-20，22，40，85｝中数列有连续四项在集合，，18，36，中又数列是公比为的等比数列，在集合，，18，36，中，数列的连续四项只能是：，36，，81或81，，36，.或.故选：BD25．AC【分析】根据等比数列定义判断A;根据等比数列通项公式判断B,C;根据等比数列求和公式求项判断D.【详解】设等比数列公比为则，即数列是等比数列；即A正确；因为等比数列中同号，而所以，即B错误；若则或，即数列是递增数列，C正确；若数列的前n和则所以，即D错误故选：AC【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若为非零常数)，则是等比数列；(2)等比中项法：在数列中，且，则数列是等比数列；(3)通项公式法：若数列通项公式可写成均是不为0的常数)，则是等比数列；(4)前项和公式法：若数列的前项和为非零常数)，则是等比数列.26．ABC【分析】由题意，设数列的公比为，利用等比数列单调递增，则，分两种情况讨论首项和公比，即可判断选项.【详解】由题意，设数列的公比为，因为，可得，当时，，此时，当时，，故不正确的是ABC.故选：ABC.【点睛】本题主要考查了等比数列的单调性.属于较易题.27．BCD【分析】利用等比数列单调性的定义，通过对首项，公比不同情况的讨论即可求得答案．【详解】，当时，从第二项起，数列的每一项都大于前一项，所以数列递增，正确；，当，时，为摆动数列，故错误；，当，时，数列为递减数列，故错误；，若，且取负数时，则为摆动数列，故错误，故选：BCD．【点睛】本题考查等比数列的单调性的判断，意在考查对基础知识的掌握情况，属基础题．28．BC【分析】根据数列的增减性由所给等式求出，写出数列的通项公式及前n项和公式，即可进行判断.【详解】数列{an}为单调递增的等比数列，且，，，解得，，即，解得或，又数列{an}为单调递增的等比数列，取，，，，.故选：BC【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的求解、等比数列的增减性、等比数列求和公式，属于基础题.29．ABD【分析】由代入已知式，可得的递推式，变形后可证是等差数列，从而可求得，利用求出，并确定的表达式，判断D．【详解】因为，，所以，所以是等差数列，A正确；公差为3，又，所以，．B正确；时，由求得，但不适合此表达式，因此C错；由得，∴是等比数列，D正确．故选：ABD．【点睛】本题考查等差数列的证明与通项公式，考查等比数列的判断，解题关键由，化已知等式为的递推关系，变形后根据定义证明等差数列．30．AC【分析】由已知得可得以，可判断A；又，可判断B；由，可判断C；求得，，，可判断D.【详解】等比数列中，满足，，所以，所以，所以数列是等比数列，故A正确；又，所以数列是递减数列，故B不正确；因为，所以是等差数列，故C正确；数列中，，，，，，不成等比数列，故D不正确；故选：AC.【点睛】本题综合考查等差、等比数列的定义、通项公式、前n项和公式，以及数列的单调性的判定，属于中档题.31．BD【分析】证明，所以选项B正确；设（），易得，显然不是同一常数，所以选项A错误；数列{}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以，所以选项D正确，易得，选项C不正确.【详解】因为，所以，所以,所以，所以选项B正确；设（），则当n≥2时，由，所以，所以，，所以，易得，显然不是同一常数，所以选项A错误；因为-=4，，所以数列{}是以4为首项，4为公比的等比数列，所以，所以选项D正确，易得，显然选项C不正确.故选：BD【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，考查等比数列等差数列的判定，考查等比数列通项的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.32．BCD【分析】根据等差数列前和公式以及收敛数列的定义可判断A；根据等比数列的通项公式以及收敛的定义可判断B；根据收敛的定义可判断C；根据等差数列前和公式以及收敛数列的定义可判断D.【详解】当时，取，为使得，所以只需要.对于A，令，则存在，使，故A错；对于B，，若，则对任意正数，当时，，所以不存在正整数使得定义式成立，若，显然符合；若为摆动数列，只有两个值，不会收敛于一个值，所以舍去；若，取，，当时，，故B正确；对于C，，符合；对于D，，，当时，单调递增并且可以取到比更大的正数，当时，，同理，所以D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：解题的关键是理解收敛数列的定义，借助等差数列前和公式以及等比数列的通项公式求解，属于中档题.33．BD【分析】设等差数列的公差为,根据,,是一个等比数列中的相邻三项求得或1,再分情况求解的前项和即可.【详解】设等差数列的公差为,又,且,,是一个等比数列中的相邻三项,即,化简得：,所以或1,故或,所以或,设的前项和为,①当时,；②当时,