高考数学习题及答案 (六)

普通高等学校招生全国统一考试

数学试卷

(满分150分，考试时间120分钟)

一、选择题：(本题共12小题，每小题5分，共60分)

1、化简丽-5+西+豆的结果等于()

A>QPB、丽C>SPD>SQ

2、数列{%}是公比为4的等比数列，若4=机，则4"=()

A、mqk+iB、mqlC、mqD、mq/+l

3、函数y=log().2(x+2)2的递增区间是()

A、(0,+oo)B、(-oo,0)C、(-2,+oo)D、(-00,-2)

4、若等比数列的前三项依次为拒，啦，啦，则第四项为()

A、1B>V2C、啦D>V2

5、设集合P={y/y=x2+i},Q={y/y=x+]),则PCQ=()

A、{1,2}B、{(0,1),(1,2)}C、{0,1}D、{y/y>\}

6、已知全集/={x|xN0},M={x|x>0},则GM等于()

A、{x|x>0}B、{x|x<0}C、{0}D、。

22

7、一个样本M的数据是x,,x2,,xn,它的平均数是5,另一个样本N的数据xt,x2,

,x：它的平均数是34。那么下面的结果一定正确的是()

A、Sj=9B、S'=9C、S,；=3D、S”3

8.已知集合A,B,贝I」是“A=3”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

9..不等式k+Z>3的解集是（

)

A.（Y）,向（-5,1）

C.（—,一1）_（5,向口.（T,5）

io.若奇函数y=〃x）在（°，笆）上的图像如图所示,则该函数在（F⑼上的图像可

能是（）

10图

yy

00

AR

fyy

cn

ii.已知函数y=〃x）是R上的偶函数，且在（-8,°】上是减函数，若/3"/（2）,

则实数a的取值范围是（）

A.aW2B.aW-2或a22

C.a2—2D.—2WaW2

12.如图，E、F分别是三棱锥P-ABC的棱AP、BC的中点，PC=10,AB=6,EF=7,

则异面直线AB与PC所成的角为（）

A.60°B.45°C.0°D.120°

二、填空题（共4小题，每小题5分；共计20分）

1.“面积相等的三角形全等”的否命题是命题（填“真”或者“假”）

2已知tana=V3（l+m）KV3（tan-tan13+tn）+tan（3=0,a,郎9锐角，则a+£的值为

3.某乡镇现有人口1万，经长期贯彻国家计划生育政策，目前每年出生人数与死亡

人数分别为年初人口的0.8%和1.2%,则经过2年后，该镇人口数应为万.（结

果精确到0.01）

4.“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689）.则五位“渐升数”

共有一个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为.

三、大题：（满分70分）

1.如果平面a内的两条相交直线与平面£所成的角相等，那么这两个平面的位置

关系是.

2.试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.

已知：4任平面a,

求证：过A有且只有一个平面广//口.

3.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且必=S3=SC,SG为ASA3上的

高，D、E、R分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面OEE内的位置关

系，并给予证明

4.知实数x,y满足x+y-4=0,求(x-l)?+0-1)?的最小值.

5.直线y=2x是AABC中NC的平分线所在的直线，且A,8的坐标分别为4(T,2),

仇3,1),求顶点。的坐标并判断A48C的形状.

6.两条直线/|：(m+3)x+2y=5-3〃?，l2：4x+(5+m)y-16,求分别满足下列条件的”的

值.

(1)4与4相交；⑵4与4平行；⑶4与4重合；

(4)4与“垂直；(5)4与4夹角为45。.

参考答案：

一、选择题：

1-5题答案:BBDAD

6To题答案：CABAD

11-12题答案:BA

8.已知集合A,B,则=是“A=3”的()

A,充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B［解析］A=8=A=8,又A=B=A08g!U=B,A=B”是

“A=3”的必要不充分条件.

9..不等式k+N>3的解集是()

A.(f-5)。,物)(-5,1)

C(fT)J(5,+°o)p(-1,5)

।,fx+2>3fx>l

x+2>3=>〈=<

【答案】A【解析】匕+2<-3«<-5,即不等式的解集为

(-OO,-5)_(l,+oo)

io.若奇函数y=/(x)在他包)上的图像如图所示,则该函数在(f°⑼上的图像可

能是()

【答案】D【解析】因为已知是奇函数,根据奇函数的性质是关于原点对称，根据

选项只能选D.

二、填空题：

1、真

兀

2、i

3、0.99

4、126,24789

三、大题：

1.如果平面a内的两条相交直线与平面月所成的角相等，那么这两个平面的位置

关系是.

分析：按直线和平面的三种位置关系分类予以研究.

解：设。、匕是平面。内两条相交直线.

(1)若〃、人都在平面。内，a、〃与平面6所成的角都为0。，这时。与£重合，

根据教材中规定，此种情况不予考虑.

(2)若外〃都与平面£相交成等角，且所成角在(0。,90。)内；

•.•〃、人与万有公共点，这时a与£相交.

若“、人都与平面月成90。角，则与已知矛盾.此种情况不可能.

(3)若a、人都与平面£平行，则外人与平面£所成的角都为0。，。内有两条

直线与平面月平行，这时a/R.

综上，平面a、£的位置关系是相交或平行.

2.试证经过平面外一点有且只有一个平面和已知平面平行.

已知：Ae平面a,

求证：过A有且只有一个平面灯/a.

分析：“有且只有”要准确理解，要先证这样的平面是存在的，再证它是惟

一的，缺一不可.

证明：在平面a内任作两条相交直线a和。，则由A史a知，A史a,A^b.

点A和直线。可确定一个平面M,点A和直线人可确定一个平面N.

在平面A/、N内过A分别作直线a//a、b//h,

故。、方是两条相交直线，可确定一个平面

*a,aua,aHa，/.aHa・

同理b〃a.

又ciup,bu(3,a[\b-A,(3IIa.

所以过点A有一个平面///a.

假设过A点还有一个平面ylla,

则在平面a内取一直线c,/Uc,点A、直线c确定一个平面由公理2知:

/.mHc9nilc,

又ARM,Aen,

这与过一点有且只有一条直线与已知直线平行相矛盾，因此假设不成立，

所以平面夕只有一个.

所以过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行.

3.已知点S是正三角形ABC所在平面外的一点，且M=S3=SC,SG为ASAB上的

高，D、E、尸分别是AC、BC、SC的中点，试判断SG与平面OEE内的位置关

系，并给予证明

分析1：如图，观察图形，即可判定SG//平面。要证明结论成立，只需

证明SG与平面DEF内的一条直线平行.

观察图形可以看出：连结CG与OE相交于H,连结小，就是适合题意的

直线.

怎样证明SG〃1H?只需证明”是CG的中点.

证法1:连结CG交DE于点H,

DE是AA6C的中位线，

...DE//AB.

在AACG中，。是AC的中点，^DH//AG,

，“为CG的中点.

FH是A5CG的中位线，FHHSG.

又SG<Z平面FHu平面DEF,

/.SG〃平面DEF.

分析2:要证明SG//平面DEF，只需证明平面SAB//平面DEF,要证明平面DEF

//平面%8,只需证明SA//OF,SB//EF*SAI/DF,SB//E/可由题设直接推出.

证法2：：EF为A56C的中位线，

/.EF//SB.

•.•£尸2平面&48,S8u平面SA8,

/〃平面SAB.

同理：。尸〃平面S48,EFC\DF=F,

，平面S4?//平面DEF,又：SGu平面SAB,

SG〃平面DEF.

4.知实数x,y满足x+y-4=0,求(x-l)?+(y-的最小值.

分析：本题可使用减少变量法和数形结合法两种方法：J(x-iy+g)2可看

成点(x,y)与(1,1)之间的距离.

解：(法1)由x+y-4=0得y=4-x(xeR),

贝"(x_+(y-=(I)?+(4-x-

—%?—2x+1+—6x+9

=2x2-8x4-10

=2(X-2)2+2,

•••(x—l)2+(y—l)2的最小值是2.

(法2)，.,实数x,y满足x+y-4=0,

.•.点P(x,y)在直线尤+y-4=0上.

而J(l)2+(y-l)2可看成点P(x,y)与点A(l,l)之间的距离(如图所示)

显然7(x-l)2+(y-l)2的最小值就是点A(1,1)到直线x+y-4=0的距离:

|1+1-4|

V2,

Vi2+i2

(x-l>+(y—1)2的最小值为2.

说明：利用几何意义，可以使复杂问题简单化.形如而方76F的式子

即可看成是两点间的距离，从而结合图形解决.

5.直线y=2x是A/LBC中NC的平分线所在的直线，且A,8的坐标分别为4(T,2),

仇3,1）,求顶点C的坐标并判断AABC的形状.

分析：“角平分线”就意味着角相等，故可考虑使用直线的“到角”公式将

“角相等”列成一个表达式.

解：（法1）由题意画出草图（如图所示）.

[Till.2。一2.2。-1,

入J^AC~~T，'k,=2.

a+4a-3

由图易知AC到/的角等于/到BC的角，因此这两个角的正切也相等.

,k]--k[

1+kAC,k11+kBCkt

c2。-22a—1个

2-----------------------------2

Q+4=。-3

12a_2.2Q—I

l+--------2l+---------2

。+4a—3

解得。=2.

，。的坐标为(2,4),

,•k,、c=—，^BC=-3,

ACLBC.

AA6C是直角三角形.

（法2）设点A（-4,2）关于直线/：丁=2X的对称点为4’（叫与，则A必在直线3c

上.以卜先求A（〃，/?）.

b-2_1

a+4--2，

由对称性可得

b+2-a-4

------=2-------

I22

解得仁2,-2).

一•直线5c的方程为方T即3x+y—10=0.

=。得""

由＜|W

ACLBC.

，AA6C是直角三角形.

说明：(1)在解法1中设点C坐标时，由于。在直线y=2x上，故可设(a,2a),

而不设(a,0)，这样可减少未知数的个数.(2)注意解法2中求点A(~4,2)关于/的

对称点4(%份的求法：原理是线段AA'被直线/垂直平分.

6.两条直线/j：(/〃+3)x+2y=5-，，2：4x+(5+咽y=16,求分别满足卜列条件的加的

值.

⑴4与4相交；(2)4与6平行；⑶4与4重合；

⑷4与4垂直；⑸4与4夹角为45。.

分析：可先从平行的条件幺=?(