数学探究阿波罗尼斯圆及其应用教学设计 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册_第1页
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文档简介

数学探究阿波罗尼斯圆及其应用（教学设计）教学目标理解并掌握阿波罗尼斯圆的定义，并能推导出阿波罗尼斯圆的方程,确定其圆心和半径，在此过程中发展学生直观想象、数学抽象和数学逻辑推理的学科素养.2.通过对阿波罗尼斯圆方程的推导，进一步发展学生利用坐标法解决问题的能力，加深对数形结合思想的理解.3.通过对阿波罗尼斯圆几何模型的简单应用,发展学生数学建模和数学运算的学科素养.教学重点、难点1.教学重点：阿波罗尼斯圆的定义及其方程的推导过程；2.教学难点：阿波罗尼斯圆方程的推导，及其圆心和半径的确定.教学过程设计环节一复习回顾1.圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合.圆的基本要素是圆心和半径.圆的标准方程：圆心为A(a,b)，半径为r的圆的标准方程是环节二观察分析，探究新知问题1：已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是什么？（动图演示）【设计意图】通过让学生思考，观察动点P的轨迹的形成过程，由此得出动点P的轨迹是一个圆的结论，并由此引出课题“阿波罗尼斯圆”．让学生自主归纳阿波罗尼斯圆的定义.在此过程中培养学生直观想象及数学抽象的核心素养.阿波罗尼斯圆定义：阿波罗尼斯圆又称阿氏圆，已知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆。基本要素:两个定点、一个动点、一个定值问题2：如何确定阿氏圆的轨迹方程？[解析]如图，A,B为两定点，动点P满足,设P(x,y)，|AB|=2m(m>0)，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(−m,0)，B(m,0)．由|PA|=λ|PB|，两边平方并化简整理得，当λ=1时，x=0，点P的轨迹为线段AB的垂直平分线；当λ>1时，，点P的轨迹为以点为圆心，以为半径的圆.【设计意图】问题2是基于逻辑推理的抽象，通过类比圆的标准方程的推导过程，利用坐标法推导阿波罗尼斯圆的方程，并确定其圆心和半径，从而培养学生由理性具体上升为理性一般的思维过程，同时也是学生完成直观想象的过程．环节三辨析理解深化概念例1若两定点A，B的距离为3，动点M满足|MA|＝2|MB|，则M点的轨迹围成区域的面积为(D) A.π B.2π C.3π D.4π方法小结环节四概念应用，巩固内化222[解析]（法一：利用余弦定理和函数的最值问题处理）设AC=2BC=2所以S△ABC=1故当x2=12时，S练习在△ABC中，若AB=2，AC=2（法二：利用阿波罗尼斯圆求解）（法二：利用阿波罗尼斯圆求解）显然这是一例阿波罗尼斯圆，建立如图所示的平面直角坐标系，则A−1,0，B因为ACBC=2，得点Cx−32设圆心为M，显然当CM⊥x轴时，△ABC的面积最大，此时CM=2所以S△ABC环节五课堂小结1.阿波罗尼斯圆的定义.2.阿波罗尼斯圆的方程的推导，如何利用两定点间的距离和比值来确定圆心和半径.3.利用阿波罗尼斯圆的几何特征解决相关问题.【师生活动】教师引导学生

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