与对数函数的图像与性质相关的应用技巧（解析版）

与对数函数的图像与性质相关的应用技巧对数函数作为基本初等函数之一，在高考命题中经常涉及到，因为这部分和初中的学生知识不衔接，初中完全没有涉及到这部分内容，而后面的学习内容和这部分关系不大，因而容易被遗忘，所以一些规律性知识，需要要求学生积累和背诵，同时需要加强重点题型、常规题型、热点题型的强化训练，本部分从对数式的运算、对数函数的图象与性质、对数函数的性质与运用这几个方面进行探讨。题型一对数式的运算例1（1）（2023上·天津蓟州第一中学校考）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用换底公式及对数的运算性质计算可得.【解析】，故选C。（2）（2023四川宜宾统考一模）设函数，则（

）A．8 B．9 C．22 D．26【答案】C【分析】根据对数的运算性质分别计算出，即可求解.【解析】,因为，所以,所以.故选.（3）（2023上云南大理下关第一中学校考期中）①计算：；②已知，求的值．【解析】①．②因为，所以，所以，所以．【规律总结】解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．【跟踪训练】1.（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）设函数，则（

）A．3 B．4 C．5 D．【答案】C【解析】由题意得，故选C。2.（多选题）（2023上·辽宁大连·高三育明高中校考期中）已知，则、满足的关系是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】利用指数式与对数式的互化可得出，，利用换底公式结合对数的运算性质可判断A选项；利用基本不等式可判断BCD选项.【解析】因为，则，，对于A选项，，A对；对于B选项，由A选项可知，，则，即，B对；对于C选项，，，所以，，C对；对于D选项，，D错；故选ABC.3.（2023上·安徽合肥第十中学校联考期中）计算.【答案】50【解析】.4.计算.【解析】原式题型二对数函数的图象及应用例2（1）（2023上山东潍坊统考）已知函数图象如图所示，则二次函数的图象顶点的横坐标的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，则，则得到顶点横坐标范围.【解析】令，其中，则，由图知，则的顶点横坐标为，故选B.（2）（2024山东济南高一开学考试）当时，在同一平面直角坐标系中，函数与的图象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由可知，根据指数函数和对数函数图象的单调性即可判断得结果.【解析】依题意可将指数函数化为，由可知；由指数函数图象性质可得为单调递减，且过定点，即可排除BC，由对数函数图象性质可得为单调递增，且过定点，排除D，故选A。（3）（2023下·山东烟台统考期末）函数的部分图象大致为（

）A．

B．C．

D．

【答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，可排除CD选项；进而取特殊值和排除B选项，求解.【解析】由，得，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为奇函数，图象关于原点对称，故排除CD选项；当时，函数，当时，函数，故排除B选项.故选A.【规律总结】对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【跟踪训练】5.（2024陕西安康校联考）函数的大致图象是（

）A．B．C．D．【答案】D【解析】方法一：因为，即，所以，所以函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；当时，，即，因此，故排除A.故选:D.方法二：由方法一，知函数是奇函数，其图象关于原点对称，故排除；又，所以排除A.故选D.6．（2024四川成都石室中学校考）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】首先判断函数为非奇非偶函数，再利用特殊值，即可利用排除法判断.【解析】函数定义域为，，所以是非奇非偶函数，排除A、B，函数的零点是，当时，，排除D．故选C．7.（多选题）（2023·河南信阳·统考模拟预测）函数的大致图象不可能为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【分析】易得函数为偶函数，再结合对数函数的性质即可得解.【解析】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，当时，为减函数，且过定点，故函数的大致图象不可能为BCD选项.故选BCD.8．（多选题）（2023上·辽宁·高三校联考开学考试）已知，函数与的图像可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】AB【分析】首先由得出，再分类讨论和的取值范围，根据指数函数和幂函数的图像得答案．【解析】因为，即，所以，当时，则，指数函数在上单调递减，且过点；对数函数在单调递增且过点，将的图像关于轴对称得到的图像，则在上单调递减且过点，故A符合题意；当时，，同理可得，指数函数在上单调递增，且过点，在上单调递增且过点，故B符合题意；故选AB．题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数式的大小例3（1）（2023上·陕西榆林·高三校考阶段练习）设，则的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数性质利用1比较，再由正弦函数的性质比较与0比较.【解析】因为，，而，故，所以，故选C（2）（2023上北京顺义校考）已知，，，比较a，b，c的大小为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函数和的单调性，分别比较a、b与c的大小关系即可.【解析】因为函数在上单调递增，所以，又，所以；又因为函数在上单调递增，所以，所以.综上.故选C（3）（2023上·陕西西安·高三长安一中校考期中）已知奇函数在R上是增函数，．若，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知得在上单调递增，判断的大小关系得的大小关系.【解析】由为奇函数知在上单调递增且，所以当时，，所以在上单调递增，且.又，，，因为，所以，因为，所以，所以，所以【跟踪训练】9.（2023上·湖南长沙·高一雅礼中学校考期中）若，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据指数函数、对数函数的性质比较大小.【解析】因为，所以，因为，所以，因，且，所以，所以，故选C.10.（2023上·湖南长沙·高三雅礼中学校考）已知，，．则a，b，c的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数函数的性质及对数的运算性质判断即可.【解析】∵，∴，又，∴，∴．故选B．11．（2023上·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指数与对数的单调性即可与中间值比较作答.【解析】由可得，得，故，故选D12.（2023上·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考）若，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】等价变形给定的不等式，构造函数并探讨其单调性，由此可得，再判断选项即得.【解析】由，得，令，显然函数在上单调递增，且，因此，即，则，于是，A正确，B错误；由，显然当时，，CD错误.故选A。命题点2解对数方程、不等式例4（1）（2019上·黑龙江大庆·高一大庆实验中学校考）已知恒为正数，则取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解.【解析】当时，是减函数，，则，解得；当时，是增函数，，则，解得，又，所以；综上取值范围是.故选A（2）（2023上·安徽·高三固镇县第一中学校联考期中）已知，且是偶函数．(1)求的值；(2)若关于的不等式在上有解，求实数的最大整数值．【分析】（1）函数为偶函数，利用求的值；（2）设，依题意有，求函数最小值，可得实数的最大整数值．【解析】（1）函数定义域为R，由函数为偶函数，有，即，则有，即，得，所以.（2）由（1）可知，，则，设，依题意有，由基本不等式，，当且仅当，即时等号成立，令，则，有，由二次函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，，则有，得，所以实数的最大整数值为5.【跟踪训练】13.（2023上·辽宁本溪·高一校考期末）若不等式（，且）在内恒成立，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析出时，不成立，当时，画出，的图象，数形结合得到实数a的取值范围.【解析】若，此时，，而，故无解；若，此时，，而，令，，画出两函数图象，如下：故要想在内恒成立，则要，解得：.故选B.14.已知函数(a>0，且a≠1)，若在区间[1，2]上恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=；当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4．由此能求出实数a的取值范围．【解析】当a＞1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＞a在[1，2]上恒成立，即a＜（）min=，∴1＜a＜；当0＜a＜1时，f（x）＞1等价于8﹣ax＜a在[1，2]上恒成立，即a＞（）max=4（舍去），综上，a的取值范围是（1，）．15.（2023上·浙江台州·高一台州市书生中学校考）设（1）求使的x的取值范围；（2）若对于区间上的每一个x的值，不等式恒成立，求实数m的取值范围.【分析】（1）利用对数函数的单调性求解对数不等式；（2）由题可转化为恒成立，令，判断其单调性求解最小值.【解析】（1），可化为，，，的x的取值范围为；（2）不等式恒成立等价于恒成立，也即恒成立，令，即可，因为函数递减，函数递减，由复合函数的单调性知函数单调递增，又因为函数单调递增，单调递增，在区间上的最小值，.命题点3对数函数的性质及应用例5（1）（2023上·陕西榆林·高三校考）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求具体函数的定义域，须使函数有意义，即使分式的分母不为零，偶次根式的被开方式为非负数，对数的真数为正数，再把对应的自变量范围求交集即得.【解析】要使函数有意义，须使，解得：,故函数的定义域为.故选B.（2）（2023·广东韶关·统考一模）函数在上单调递减，则实数取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函数的定义域，结合复合函数单调性得到答案.【解析】的定义域是，令，其在定义域上单调递增，，在上单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性可知，.故选A.（3）（多选题）（2023上·江苏淮安·高三校联考期中）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．函数的图象关于轴对称 B．函数的图象关于原点对称C．函数在上是增函数 D．函数的值域为【答案】ACD【分析】利用对数的运算性质将函数解析式化简为，利用函数奇偶性的定义可判断AB选项；利用函数单调性的定义以及复合函数的单调性可判断C选项；利用函数的单调性求出函数的值域，可判断D选项.【解析】因为，对于A选项，对任意的，，则函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，A对B错；对于C选项，任取、且，即，则，，则，所以，即，所以，，故函数在上是增函数，C对；对于D选项，因为函数为上的偶函数，且在上为增函数，故函数在上为减函数，所以，，故函数的值域为，D对.故选ACD.【跟踪训练】16.（2023上·浙江杭州·高一校联考期中）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】，设，，计算得到答案.【解析】，设，则，故函数的值域为.故选C17.（2023上·山东日照·高三山东省日照实验高级中学校考阶段练习）已知函数，则不等式成立的x的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判断的对称性，然后利用导数讨论其单调性，结合对称性即可求解，注意最后的范围要考虑定义域..【解析】由得的定义域为，因为，，所以，所以的图象关于对称.记，当时，由复合函数单调性易知单调递增，记，则，记，则，所以在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递增，所以在上单调递增，综上，在上单调递增，图象关于对称，由此可知，要使，必有，两边平方整理得，解得，又，得或，所以的解集为.故选B.18.（2023上·新疆·高三校联考期中）已知函数.(1)求的定义域及值域；(2)若，求的取值范围.【分析】（1）令真数大于0解不等式即可得到的定义域，将函数表达式变形结合不等式性质得到的值域.（2）将不等式转换为，发现在单调递减，故只需.【解析】（1）令，即，解得.故的定义域为.，因为，所以，所以，故的值域为.（2）因为函数在上单调递增，且，所以函数在上单调递减，因为为增函数，所以在上单调递减.，即.令函数，因为函数在上单调递减，所以在上单调减.，则.故的取值范围是.【规律总结】求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．【针对性训练】1．（2023·全国·模拟预测）已知，设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】作商结合基本不等式可判断，由条件，可得，取对数可判断，得解.【解析】因为，又因为，所．因为，即，所以．综上，．故选：A.2．（2023上湖南长沙长郡中学校考）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用1作为中间量，判断b、c的大小，利用换底公式判断a、b的大小.【解析】因为，即．故选B．3．（2023上江苏常州高一校联考期中）我们知道，任何一个正实数可以表示成，此时．当时，是位数．已知，则的位数是（）A．46 B．47 C．48 D．49【答案】C【分析】依题意可得即可判断.【解析】因为，所以，所以是位数．故选C．4.（2023上·重庆永川·高三重庆市永川萱花中学校校考期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍．那么当“进步”的值是“退步”的值的3倍，大约经过（

）天．（参考数据：）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】D【分析】根据已知列方程，然后取对数求解．【解析】设经过天“进步”的值是“退步”的值的3倍，则，两边取对数得，∴，，故选：D．5．（2023上·吉林长春·高一长春市第二中学校考期中）设，且，则（

）A． B．10 C．100 D．1000【答案】C【分析】利用指数与对数运算法则可得，再由换底公式即可得，计算可得.【解析】根据题意由可得，所以，即可得，即.故选：C6．（2023·全国·模拟预测）已知函数，记，，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数解析式可得函数图像关于直线对称，在上单调递减，再根据对数函数的性质比较自变量大小，可得解.【解析】由题可知，的图象关于直线对称，且在上单调递减，又，且，即；且，即，由函数的对称性知，又，故，即，故选D.7．（2023上·甘肃天水·高三校联考）数学中符号众多，十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远，现有实数和，满足，则下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数单调性举出反例，可判断各选项.【解析】A选项，当，时，满足，此时，A选项错误；B选项：当，时，，，，B选项错误；C选项：当时，，又在上单调递增，所以，C选项正确；D选项：当，时，满足，此时，又函数在上单调递增，所以，D选项错误；故选C.8．（2023上·新疆克孜勒苏统考期中）函数，若，，，则a，b，c的大小关系（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】变换，确定函数为偶函数，根据复合函数单调性确定在上单调递增，得到大小关系.【解析】，函数定义域为，，函数为偶函数，当时，，且在上单调递增，在上单调递增，故在上单调递增，，，，故.故选D.9．（多选题）（2023下·山东滨州校考）对数函数（且）与二次函数在同一坐标系内的图象不可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BCD【分析】AB选项，从对数函数出发，推出，再判断二次函数，从开口方向和其中一根与1的比较，得到A可能，B不可能；CD选项，从对数函数出发，得到，再判断二次函数，也是从开口方向和其中一根与1的比较，得到CD均不可能.【解析】选项A，B中，由对数函数图象得，则二次函数中二次项系数，其对应方程的两个根为0，，选项A中，由图象得，从而，选项A可能；选项B中，由图象得，与相矛盾，选项B不可能．选项C，D中，由对数函数的图象得，则，二次函数图象开口向下，D不可能；选项C中，由图象与x轴的交点的位置得，与相矛盾，选项C不可能．故选BCD．10．（2023上·山东青岛·高三统考期中）若，，，则的最小值为．【答案】8【分析】由对数运算法则变形，然后利用基本不等式得最小值．【解析】由已知，∴，，当且仅当时取等号，所以，从而，即的最小值是8.故答案为：8.11．（2023上·北京海淀校考）设函数的定义域为，如果对任意，都存在唯一的，使得（为常数）成立，那么称函数在上具有性质．现有函数：①；②；③；④．其中，在其定义域上具有性质的函数的是．（请填写序号）【答案】①③【分析】根据性质的函数定义，列出方程可以解出关于表达式且情况唯一的选项是①和③，而②和④通过解方程发现不符合这个定义，从而可以判断正确答案.【解析】①的定义域为R，取任意，则，解得，可以得到唯一的，所以函数在R上具有性质；②的定义域为R，值域为，且在R上单调递增，若，，，要使成立，则，所以不存在满足条件的，故②错；③的定义域为，值域为R，且在上单调递增，对于任意，显然必存在唯一的使得成立，所以函数在上具有性质；④为周期函数，定义域为，值域为R，对任意，存在无穷多个使得成立，故不满足条件，故④错.故答案为①③.12．（2023上·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）设常数且，若函数在区间上的最大值为1，最小值为0，则实数.【答案】2【分析】通过对与分别判断函数的单调性，求出函数的最大值与最小值，进而求解.【解析】当时，函数在区间上单调递增，所以，解得当时，函数在区间上单调递减，所以，无解，故答案为2。13.（2023上·山西太原·高三统考期中）已知集合，．(1)求；(2)若是奇函数，当时，求的值域．【分析】（1）解集合中的不等式，得到这两个集合后求交集即可；（2）由函数为奇函数求出的值，利用函数单调性结合定义域求值域.【解析】（1）不等式解得，得，函数，当时，值域为，得，所以；（2）由在处有定义，且是奇函数，则有，解得，此时，函数定义域为R，，即，满足.在上单调递增，且，∴当时，的值域为．14.（2021上·山西吕梁·高一校联考）已知函数.(1)当时，解关于的不等式；(2)设，若对任意的，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求实数的取值范围.【分析】（1）结合对数函数的定义域，解对数不等式求得不等式的解集.（2）根据函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1列不等式，结合分离常数法来求得的取值范围.【解析】（1）当时，不等式可化为，有，有，解得，故不等式，的解集为.（2）当，，时，，函数单调递减，有，有，有有，整理为，由对任意的恒成立，必有解得，又由，可得，由上知实数的取值范围为.15．（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，．(1)求的解析式；(2)若关于的方程在上有解，求实数的取值范围．【分析】（1）根据函数奇偶性求解析式；（2）求函数的值域，即可求的取值范围.【解析】（1）当时，，则，因为函数是定义在上的奇函数，所以，故，当时，，符合上式，综上，所以的解析式为.（2）当时，，因为，所以，所以，所以，由对称性可知，当时，，当时，，综上，，所以实数的取值范围是．【拓展提升练】16.（2023下·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）函数的图象大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用函数的奇偶性以及特殊值判断即可.【解析】由已知得函数的定义域为，因为

，所以为奇函数，令，则，其中

，故，排除,令，，其中，故，排除,故选.17.（2017下·江西·高三统考阶段练习）已知函数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出函数的最大值，结合已知条件可得出，进而可求得实数的取值范围.【解析】，当时，；当时，，所以，.若对任意的，不等式恒成立，则，所以，，解得.故实数的取值范围是.故选B.【规律总结】利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据下原则进行求解：（1），；（2），；（3），；（4），.18.（2021上·云南玉溪·高一统考期末）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，先求得，把不等式在上恒成立，转化为在上恒成立，结合指数幂的运算性质求解.【解析】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，当时，函数显然不存在最大值；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，此时函数无最大值，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，令，可得函数在上单调递增，所以