专题02 相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）（解析版）

专题02相似三角形重要模型-母子型（共边共角模型）相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。在相似三角形中存在众多的相似模型，其中“母子型”相似模型应用较为广泛，深入理解模型内涵，灵活运用相关结论可以显著提高解题效率，本专题重点讲解相似三角形的“母子”模型。母子相似证明题一般思路方法:①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。模型1.“母子”模型(共边角模型)【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．图1图2图31）“母子”模型（斜射影模型）条件：如图1，∠C=∠ABD；结论：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）双垂直模型（射影模型）条件:如图2，∠ACB=90o，CD⊥AB；结论：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（变形）条件:如图3，∠D=∠CAE，AB=AC；结论：△ABD∽△ECA；例1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在中，是边上的点，，，则与的周长比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先证明△ACD∽△ABC，即有，则可得，问题得解．【详解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∵，∴，∴，∴△ADC与△ACB的周长比1:2，故选：B．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，证明△ACD∽△ABC是解答本题的关键．例2．（2023·广东·九年级课时练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知AD＝，那么BC＝_______．【答案】【分析】证明△BCD∽△BAC，根据相似三角形的性质列式计算即可．【详解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案为：．【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质，牢记相关知识点并能结合图形灵活应用是解题关键．例3.（2022.山西九年级期中）如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC•BD．证明：（1）∵△PCD是等边三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等边三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC•BD．例4．（2022·浙江·九年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝．（1）求证△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据相似三角形的判定两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性质得，即可求出CD的长．【详解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定定理与性质是解题的关键．例5．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）图1中共有对相似三角形，写出来分别为（不需证明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，请你求出CD的长：（3）在（2）的情况下，如果以AB为x轴，CD为y轴，点D为坐标原点O，建立直角坐标系（如图2），若点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB运动，点Q出B点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t秒是否存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）3，ABC∽ACD，ABC∽CBD，ACD∽CBD；（2）；（3）存在，(，)，(，)【分析】（1）根据两角对应相等的两三角形相似即可得到3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的长，再根据△ABC的面积不变得到AB•CD＝AC•BC，即可求出CD的长．（3）由于∠B公共，所以以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似时，分两种情况进行讨论：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【详解】解：（1）图1中共有3对相似三角形，分别为：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可证：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案为：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如图2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3．∵△ABC的面积＝AB•CD＝AC•BC，∴CD＝＝．（3）存在点P，使以点B、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝，∴OB＝．分两种情况：①当∠BQP＝90°时，如图2①，此时△PQB∽△ACB，∴＝，∴，解得t＝，即，∴．在△BPQ中，由勾股定理，得，∴点P的坐标为；②当∠BPQ＝90°时，如图2②，此时△QPB∽△ACB，∴，∴，解得t＝，即，过点P作PE⊥x轴于点E．∵△QPB∽△ACB，∴，即，∴PE＝．在△BPE中，，∴，∴点P的坐标为，综上可得，点P的坐标为(，)；(，)．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．例6．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果与互为母子三角形，则的值可能为（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如图1，中，是的角平分线，．求证：与互为母子三角形．（3）如图2，中，是中线，过射线上点作，交射线于点，连结，射线与射线交于点，若与互为母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）见解析；（3）或3．【分析】（1）根据互为母子三角形的定义即可得出结论；（2）根据两角对应相等两三角形相似得出，再根据从而得出结论；（3）根据题意画出图形，分当分别在线段上时和当分别在射线上时两种情况加以讨论；【详解】（1）∵与互为母子三角形，∴或2故选：C（2）是的角平分线，，，．又，与互为母子三角形．

（3）如图，当分别在线段上时，与互为母子三角形，，，是中线，，又，．，，．如图，当分别在射线上时，与互为母子三角形，，，是中线，，又，．，，．综上所述，或3【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、分类讨论的数学思想以及接受与理解新生事物的能力．准确理解题设条件中互为母子三角形的定义是正确解题的先决条件，在分析与解决问题的过程中，要考虑全面，进行分类讨论，避免漏解．课后专项训练1．（2022秋·山西晋中·九年级统考阶段练习）如图，点P在的边上，要判断，添加下列一个条件，不正确的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定方法逐项判断即可．【详解】解：A、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；B、由，满足两组对角相等，可判断，故此选项不符合题意；C、由，但夹角不相等，不能判断，故此选项符合题意；D、由，满足两边对应成比例且夹角相等，可判断，故此选项不符合题意，故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答的关键．2.（2023成都市九年级期中）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为SA．116 B．15 C．14 【解答】解：∵ADAB=12，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC∴a2＝CE•5a，4a2＝AE•5a，∴CE=5a5，AE=∵△CEF∽△AEB，∴S1S2=（CEAE）3.（2023浙江九年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴ACBC=CDBD=4．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，在中，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点，若，，的面积为，则的面积为．【答案】【分析】过点作交的延长线于点，证明，得出，根据，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作交的延长线于点，∴由作图可得是的角平分线，∴∵∴∵∴∴∴，∵的面积为，∴的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，作角平分线，熟练掌握基本作图以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．5．（2023•宜宾）如图，已知直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，AC＝4，BC＝3，则AD＝．【分析】根据勾股定理求出AB，根据射影定理列式计算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，由射影定理得，AC2＝AD•AB，∴AD＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．6．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．【答案】见解析．【分析】根据相似三角形的判定定理证明即可．【详解】解：若选①，证明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又，∴．选择②，不能证明．若选③，证明：∵，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．7．（2022秋·陕西西安·九年级校联考期中）如图，在中，点是边上的一点，，，．求边的长．

【答案】【分析】根据条件证明，即可求出．【详解】解：，为公共角，，，即，，，；【点睛】本题考查几何问题，涉及到相似三角形的判定与性质，熟记知识点是关键．8.（2022•惠山区九年级专项）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD；（3）求证：ABAC=BCAD【解析】（1）三对．分别是：△ABD∽△CBA；△ACD∽△BCA；△ABD∽△CAD（2）∵△ABD∽△CBA，∴．∴AB2=BDBC，∵△ACD∽△BCA∴．∴AC2=CDCB，∵△ABD∽△CAD，∴，∴AD2=BCCD（3），∴ABAC=BCAD9．（2023春·山东东营·八年级统考期末）定义：如图①，若点P在的边上，且满足，则称点P为的“理想点”．(1)如图②，若点D是的边的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由．(2)在中，，，，若点D在边上，且是的“理想点”，求的长．

【答案】(1)是，证明见解析(2)【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”；（2）由是的“理想点”，当在上时，证明是边上的高，根据面积法可求长度．【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下：是中点，，，，，，，，，，，点是的“理想点”；（2）在上时，如图：

是的“理想点”，或，当时，，，，即是边上的高，当时，同理可证，即是边上的高，在中，，，，，，．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．10．（2023春·福建福州·八年级校考期末）如图，点是边上一点，且满足．(1)证明：；(2)若，，求的长．

【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据相似三角形的判断方法，两角分别相等的两个三角形相似，证明即可；（2）根据相似三角形的性质，得，先求出，即可求出．【详解】（1）证明：在与中，，∴；（2）解：∵，∴，即，∴，，∴，又∵，，∴，解得：，∴，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．11．（2023·山西临汾·统考二模）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．规定：在一个三角形中，若一个内角是另一个内角度数的n倍，则称三角形为“n倍角三角形”．当时，称为“1倍角三角形”，显然等腰三角形是“1倍角三角形”；当时，称为“2倍角三角形”，小康通过探索后发现：“2倍角三角形”的三边有如下关系．如图，在中，所对的边分别为，若，则．下面是小康对“2倍角三角形”的结论的两种探索证明过程：证法1：如图1，作的平分线，∴．

设，则．证法2：如图2，延长到点，使得，连接，……

任务：(1)上述材料中的证法1是通过作辅助线，构造出__________三角形来加以证明的（填“全等”或“相似”）．(2)请补全证法2剩余的部分．【答案】(1)相似(2)见解析【分析】（1）由题意知，是通过构造相似三角形，然后作答即可；（2）如图2，延长到点，使得，连接，则，．由，可得．证明，则，即，整理可得．【详解】（1）解：由题意知，构造相似三角形，故答案为：相似；（2）证明：如图2，延长到点，使得，连接，

，．，．，，，，．【点睛】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质，相似三角形的判定与性质．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．12．（2022·湖北武汉·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB上一点．（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB；（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）证出，证明∽，得出，即可得出结论；（2）设，则（），同（1）得，则，在中，，过作于，易证，求出，再由平行线分线段成比例定理即可得出答案；（3）过点作于，设，则（），，证明∽，得出，，求出，证明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函数定义即可得出答案．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴设，则（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，过作于，如图2所示：则，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：过点作于，如图3所示：∵，∴设，则（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案为：．【点睛】本题是相似形综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质、三角函数定义、平行线分线段成比例定理等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质,证明三角形相似是解题的关键。13．（2023·安徽合肥·九年级期中）中，，，点E为的中点，连接并延长交于点F，且有，过F点作于点H．（1）求证：；（2）求证：；（3）若，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）4．【分析】（1）先根据垂直的定义可得，再根据等腰三角形的性质可得，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据相似三角形的性质可得，再根据等腰三角形的三线合一可得，从而可得，然后根据平行线分线段成比例定理即可得证；（3）先根据相似三角形的判定与性质可得，从而可得的长，再根据相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性质可求出的长，最后在中，利用勾股定理即可得．【详解】证明：（1），，，，在和中，，；（2）点为的中点，，由（1）已证：，，设，则，，，（等腰三角形的三线合一），，又，，即；（3）由（2）已证：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，设，则，，解得或（不符题意，舍去），，则在中，．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．14．如图1，在中，在边上取一点，在边上取一点，连、，如果是等腰三角形且与相似，我们称是边上的“等腰邻相似三角形”．（1）如图2，在中，，是边上的“等腰邻相似三角形”，且，，请直接写出的度数；（2）如图3，在中，，在边上至少存在一个“等腰邻相似”，请画出一个边上的“等腰邻相似”，并说明理由；（3）如图4，在中，是边上的“等腰邻相似三角形”，求出长度的所有可能值．【答案】（1）30°；（2）见解析；（3）2或或8-【分析】（1）只要证明∠A=∠PAB即可解决问题．（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，只要证明DP=DA，即可解决问题．（3）分三种情形讨论①如图3′中，当DA=DP时．②如图4中，当PA=PD时．③如图5中，当AP=AD时．分别求解即可解决问题．【详解】解：（1）如图2中，∵AB=AC，DA=DP，∴∠B=∠C，∠DAP=∠DPA，∵∠PAC=∠BPD，∴∠APC=∠BDP=∠DAP+∠DPA，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠B=∠PAB=50°，∵∠BAC=180°-50°-50°=80°，∴∠PAC=30°故答案为30°．（2）如图3中，作∠BAC的平分线AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，∵∠CAB=2∠C，∴∠PAD=∠C，∴DP=DA，∴△APD是等腰三角形且与△APB与△CDP相似．（3）如图3′中，当DA=DP时，设∠APD=∠DAP=x，①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，∴90°-x+2x+x=180°，∴x=45°，∴三角形都是等腰直角三角形，∴AD=2，②若∠PDB=∠CAP时，设∠APD=∠DAP=x，得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，设AD=a，则AP=a，∵△BPD∽△CPA，∴，即，解得：a=，如图4中，当PA=PD时，易知∠PDB是钝角，∠CAP是锐角，∴∠PDB=∠CPA，则△BPD≌△CPA，设AD=a，则BD=4-a，BP=BC-CP=BC-BD=-（2-a）=-4+a，AC=4，∴-4+a=4，解得：a=8-，如图5中，当AP=AD时，设∠APD=∠ADP=x，则∠DAP=180°-2x，易知∠PDB为钝角，∠CAP为锐角，∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，解得x=45°，不可能成立．综上所述．AD的长为2或或8-．【点睛】本题考查相似三角形综合题、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用构建方程的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，∠BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，且DC∥AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．【分析】（1）先证明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行线性质可推出∠ADE＝∠DCE，进而证得△ADE∽△ECD，根据相似三角形性质可证得结论；（2）如图2，过点B作BG⊥AE，运用等腰三角形性质可得G为AE的中点，进而可证得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根据△ABE∽△AED且相似比为3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，进而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，进而求得：CF＝EF，再结合题意得出答案．【解答】（1）证明：如图1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB•AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE•DC；（2）解：如图2，过点B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G为AE的中点，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB•AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比为3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四边形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如图3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB•AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE•DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y关于x的函数解析式为y＝，定义域为3＜x＜9．【点评】本题是相似三角形综合题，考查了角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形面积等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键．16．（2022·安徽·校联考三模）在中，，平分．（1）如图1，若，，求的长．（2）如图2，过分别作交于，于．①求证：；②求的值．【答案】（1）；（2）①见解析；②【分析】（1）由已知易证，利用可求得AD的长；（2）①由（1）和已知易证，进而证得；②过作，与的延长线交于，易证：、和均为等腰三角形，进而得到AC=BG，根据等腰三角形的“三线合一”性质即可得证．【详解】解：（1）∵在中，，平分，∴，又∠A=∠A，∴，∴，∵，，∴；（2）①∵交于，于，∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴，∵，，∴；②过作，与的延长线交于，∵，∴，∴、和均为等腰三角形，∴，∵在等腰中，于，∴，即，∴的值为．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，会借助作平行线，用等腰三角形的“三线合一”性质解决问题是解答的关键．17．（2023·安徽合肥·统考一模）如图1，，，将绕点逆时针旋转得到，使点落在的点处，与相交于点，与相交于点，连接．(1)求证：；(2)求证：；(3)若点，，在同一条直线上，如图2，求的值．（温馨提示：请用简洁的方式表示角）【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据旋转变换的性质得到旋转前后两个三角形全等，从而得到，根据，就能得到，然后利用平行可以得到内错角相等，最后加上，就可以通过边角边证明两个三角形全等．（2）根据旋转和第一小题的结论，可以得到，然后用等角对等边即可得到，又可以从前面的两个全等中得到，从而得到，那么和就是顶角互为对顶角的一组等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么内错角相等，两直线平行即可证结论．（3）根据，，在同一条直线上，可以证明和全等，即可得到，那么就是中位线