2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县高二（上）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河北省秦皇岛市青龙县高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.空间直角坐标系中，已知A(2,1,3)，B(−2,3,1A.6 B.26 C.22.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，k3，则有

A.k1<k2<k3 B.3.若a=(−1,0,x)，b=A.(−∞,12) B.(4.已知△ABC的三个顶点分别为A(2,8)，B(−A.2x−y+4=0 B.5.棱长均为3三棱锥S−ABC，若空间一点P满足SP=A.6 B.63 C.6.设椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为A.x24+y23=1 7.若圆x2+y2+(λ−A.(0,+∞) B.(18.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，FA.155 B.154 C.二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知空间中三点A(0,1,0)，A.AB与AC是共线向量 B.直线AB的一个方向向量是(2,1,0)

C.AB10.在四面体P−ABCA.若AD=13AC+23AB，则2BD=DC

B.若M、N分别为PA、BC11.发现土星卫星的天文学家乔凡尼卡西尼对把卵形线描绘成轨道有兴趣．像笛卡尔卵形线一样，笛卡尔卵形线的作法也是基于对椭圆的针线作法作修改，从而产生更多的卵形曲线．卡西尼卵形线是由下列条件所定义的：曲线上所有点到两定点(焦点)的距离之积为常数．已知：曲线C是平面内与两个定点F1(−1,0)和A.曲线C过坐标原点

B.曲线C关于坐标原点对称

C.曲线C关于坐标轴对称

D.若点在曲线C上，则△F112.如图所示，正方体ABCD−A1B1C1D1中，A.VP−AA1D=13

B.点P必在线段B三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.已知k∈R，过定点A的动直线kx+y−1=0和过定点B的动直线x14.①若AB//CD，则A，B，C，D四点共线；

②若AB/​/AC，则A，B，C三点共线；

③若e1，e2为不共线的非零向量，a=4e1−25e2，b15.已知正方体ABCD−A1B16.已知平面向量a，b，c满足|a|=1，|b|=2，a，b的夹角等于π3四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)

已知直线l1：2x−(a−1)y−2=0，l2：(a+2)x18.(本小题12分)

已知圆C：x2+(λ−2)x+y2+2λy+1−λ=0，λ∈R．

(1)证明：圆C过定点．

(2)当λ=2时，过P(1,19.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过T(2,1)，斜率为k的直线l与椭圆E交于A、B．

(1)20.(本小题12分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，且椭圆E过T(2,1)，斜率为k的直线l与椭圆E交于A、B．

(1)21.(本小题12分)

如图所示，在正四棱锥P−ABCD中，底面ABCD的中心为O，PD边上的垂线BE交线段PO22.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是正方形，PD=AD=2，AD⊥PC，点E在线段PC上(不与端点重合)，∠PCD=

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：∵A(2,1,3)，B(−2,3,1)，点A关于xOy平面对称的点为C，

∴C(2,12.【答案】D

【解析】【分析】

本题考查了直线的倾斜角与斜率的大小关系、正切函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为：θ1，θ2，θ3.可得0<θ1<π2<θ2<θ3<π，利用正切函数的单调性即可得出斜率大小关系．

【解答】

解：设直线l1，l2，3.【答案】B

【解析】解：因为a=(−1,0,x)，b=(2−x,x+1,3)，

令a与b共线，则b=λa，即(2−x,x+1,3)=λ(−1,0,x)，即2−x=−λx+1=03=λx，解得x=−14.【答案】D

【解析】解：∵A(2,8)，C(6,0)，∴AC边中点为D(2+62,8+02)，即5.【答案】A

【解析】解：∵空间一点P满足SP=xSA+ySB+zSC且x+y+z=1，

∴点P在平面ABC内．

因此当SP⊥平面ABC，P为垂足时，|SP|取得最小值．

∵三棱锥S−ABC的棱长均为3，∴点P为底面ABC的中心．

∴AP=23AD，AD=36.【答案】D

【解析】解：椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点分别为F1，F2，|F1F2|=22，

可得c=2，|PF1|−|PF27.【答案】C

【解析】解：方程x2+y2+(λ−1)x+2λy+λ=0表示圆，则：(λ−1)2+(2λ)2−4λ>0，

8.【答案】C

【解析】解：∵F2(c,0)，F1(−c,0)，上顶点为B(0,b)，

∴tan∠BF1F2=bc=10，又9.【答案】BC【解析】解：因为A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(−1,3,1)，

所以AB=(2,1,0)，AC=(−1,2,1)，AB≠λAC，AB与AC不共线，选项A错误；

由AB=(2,1,0)，所以直线AB的一个方向向量是10.【答案】AC【解析】解：对于A：∵AD=13AC+23AB，∴AD,AC,AB向量共面，

又∵13+23=1，∴D在线段BC上，

又∵AD=AB+BD，若BD=λBC，

则AD=AB+λBC，又∵BC=AC−AB，

∴AD=(1−λ)AB+λAC，

∴λ=13，即BC=3BD，则2BD=DC，故A正确；

对于B：由题意得MN=P11.【答案】BC【解析】【分析】本题考查新定义，考查轨迹方程的求法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用新定义是解题的关键，属于较难题．

设动点坐标为(x,y)，根据题意可得曲线【解答】

解：由题意设动点坐标为(x,y)，

则(x+1)2+y2⋅(x−1)2+y2=a2，

即[(x+1)2+y2]⋅[(x−1)2+y2]=a4，

若曲线C过坐标原点(0,0)，

将点(0,0)代入曲线C的方程中可得a2=1与已知a>1矛盾，

故曲线C不过坐标原点，故12.【答案】BD【解析】解：正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，

点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，

对于A，∵点P在平面BCC1B1，平面BCC1B1/​/平面AA1D，

∴点P到平面AA1D的距离即为点C到到平面AA1D的距离，即为正方体的棱长，

∴VP−AA1D=13S△AA1D⋅CD=13×12×1×1×1=16，故A错误；

对于B，以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，如图，

则A(1,0,0)，P(x,1,z)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，B1(1,1,1)13.【答案】13

【解析】解：由已知可得A(0,1)，B(−3,−1)，

联立方程kx+y−1=0x−ky−k+3=0，解得P(14.【答案】②③【解析】解：①若AB//CD，则A，B，C，D四点共线或AB/​/CD，因此是假命题；

②若AB/​/AC，则A，B，C三点共线，是真命题；

③若e1，e2为不共线的非零向量，a=4e1−25e2，b=−e1+115.【答案】2【解析】解：设正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，

则AD1=AC=D1C=B1D1=22+22=22，

取B1D1中点O，CD1中点E，连接AO，EO，AE，

则AO⊥B1D1，EO⊥B1D1，

∴∠AO16.【答案】[【解析】解：由(a −c)⋅(b −c)=0可得c2=(a +b)⋅c−a⋅b−=|a +b|⋅|c|cosα−1×2cosπ3=|a +b|⋅|c|17.【答案】解：(1)因为l1⊥l2，可得2(a+2)−(a−1)(2a+1)=0，即2a2−3a−5=0，

解得a=−1或a【解析】(1)由直线的垂直可得参数的关系，进而求出a的值；

(2)由直线的平行，可得参数的关系，即求出18.【答案】(1)解：由圆的方程C：x2+(λ−2)x+y2+2λy+1−λ=0，

可得x2−2x+1+y2+λ(x+2y−1)=0，即(x−1)2+y2+λ(x+2y−1)=0，

令x+2y−1=0，可得(x−1)2+y2=0，解得x=1，y=0，

所以圆C过定点，且定点的坐标为(1,0)．

(2)解：当λ=2时，圆C的标准方程为x2+(y+2)2=5，【解析】(1)化简圆的方程为(x−1)2+y2+λ(x+2y−1)=0，令x+2y−1=0，即可求解；

19.【答案】解：(1)由题意得Rt△NPP中，|F1F2|=2c，|ON|=b，且c−b，故a2=b2+c2=2b2，

又椭圆过T(2,1)，所以4a2+1b2=1，解得a2=6，b2=3，

故椭圆方程为E：x26+y23=1．

(2)设直线AB的方程为y=kx+h，

联立x26+y23=1y=kx+h，得(1+2k2)x2+4khx+2h【解析】(1)根据题意得到c=b和4a2+1b2=1，结合a2=b2+c2求出a2=620.【答案】解：(1)由题意，得Rt△NF1F2中，|F1F2|=2c，|ON|=b，且c=b，

所以a2=b2+c2=2b2，又椭圆E过T(2,1)，

所以4a2+1b2=1，解得a2=6，b2=3，

故椭圆方程为E：x26+y23=1．

(2)设直线AB的方程为y=kx+h，

联立y=kx+h与E：x26+y23=1，得(1+2k2)【解析】(1)根据题意，得到c=b和4a2+1b2=1，结合a2=b2+c2，求出a2=621.【答案】证明：如图，延长FO至点M，使FO=OM，连接MD，

∵底面ABCD的中心为O，

∴PO⊥平面ABCD，BO=OD，

∵BD⊂平面ABCD，

∴PO⊥BD，

∵BO=OD，∠FOB=∠DOM，BO【解析】作出辅助线，由线面垂直得到线线垂直，证明出两三角形全等，得到EF/​2