七章不等式及其解法

第七章不等式高考文数

(课标Ⅲ专用)§7.1不等式及其解法考点一不等式的概念及性质五年高考

自主命题·省(区、市)卷题组1.(2016北京,5,5分)已知x,y∈R,且x>y>0,则

()A.

-

>0

B.sinx-siny>0C.

-

<0

D.lnx+lny>0答案

C函数y=

在(0,+∞)上为减函数,∴当x>y>0时,

<

,即

-

<0,故C正确;函数y=

在(0,+∞)上为减函数,∴由x>y>0⇒

<

⇒

-

<0,故A错误;函数y=sinx在(0,+∞)上不单调,当x>y>0时,不能比较sinx与siny的大小,故B错误;x>y>0⇒/xy>1⇒/ln(xy)>0⇒/lnx+

lny>0,故D错误.2.(2015浙江,3,5分)设a,b是实数,则“a+b>0”是“ab>0”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件答案

D当a=2,b=-1时,a+b=1>0,但ab=-2<0,所以充分性不成立;当a=-1,b=-2时,ab=2>0,但a+

b=-3<0,所以必要性不成立,故选D.3.(2015浙江,6,5分)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜

色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x<y<z,三种颜色涂料的粉刷费

用(单位:元/m2)分别为a,b,c,且a<b<c.在不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是

()A.ax+by+cz

B.az+by+cx

C.ay+bz+cx

D.ay+bx+cz答案

B用粉刷费用最低的涂料粉刷面积最大的房间,且用粉刷费用最高的涂料粉刷面积

最小的房间,这样所需总费用最低,最低总费用为(az+by+cx)元,故选B.1.(2018北京,8,5分)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则

()A.对任意实数a,(2,1)∈A

B.对任意实数a,(2,1)∉AC.当且仅当a<0时,(2,1)∉A

D.当且仅当a≤

时,(2,1)∉A考点二不等式的解法答案

D本题主要考查不等式的性质和解法,元素与集合的关系.若(2,1)∈A,则

解得a>

.故当a>

时,(2,1)∈A;当a≤

时,(2,1)∉A.故选D.易错警示注意集合中的条件是“或”还是“且”.本题容易把三个不等式的中间联结词认

为是“或”,而错选A.2.(2019天津,10,5分)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为

.答案

解析3x2+x-2<0⇔(x+1)(3x-2)<0,所以-1<x<

.方法总结求解一元二次不等式,常借助二次函数图象,首先确定图象与x轴的交点,然后由图

象位于x轴上方或下方的部分确定不等式的解集.3.(2015江苏,7,5分)不等式

<4的解集为

.答案{x|-1<x<2}解析不等式

<4可转化为

<22,利用指数函数y=2x的性质可得,x2-x<2,解得-1<x<2,故所求解集为{x|-1<x<2}.4.(2015广东,11,5分)不等式-x2-3x+4>0的解集为

.(用区间表示)答案(-4,1)解析

不等式-x2-3x+4>0等价于x2+3x-4<0,解得-4<x<1.考点三不等式恒成立问题(2018天津,14,5分)已知a∈R,函数f(x)=

若对任意x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立,则a的取值范围是

.答案

解析本题主要考查不等式恒成立问题.①当x∈[-3,0]时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以x2+2x+a-2≤-x,参变量分离得a≤-x2-3x+2,令y=-x2-3x+

2=-

+

,所以当x=0或x=-3时,y取得最小值,最小值为2,所以a≤2.②当x∈(0,+∞)时,因为f(x)≤|x|恒成立,所以-x2+2x-2a≤x,参变量分离得a≥-

x2+

x,令y=-

x2+

x=-

+

,所以当x=

时,y取得最大值,最大值为

,所以a≥

.由①②可得

≤a≤2.考点一不等式的概念及性质教师专用题组1.(2014四川,5,5分)若a>b>0,c<d<0,则一定有

()A.

>

B.

<

C.

>

D.

<

答案

B∵c<d<0,∴0>

>

,两边同乘-1,得-

>-

>0,又a>b>0,故由不等式的性质可知-

>-

>0,两边同乘-1,得

<

.故选B.2.(2014山东,5,5分)已知实数x,y满足ax<ay(0<a<1),则下列关系式恒成立的是

()A.x3>y3

B.sinx>sinyC.ln(x2+1)>ln(y2+1)

D.

>

答案

A∵ax<ay且0<a<1,∴x>y,∴x3>y3.3.(2014浙江,7,5分)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,则

()A.c≤3

B.3<c≤6C.6<c≤9

D.c>9答案

C由0<f(-1)=f(-2)=f(-3)≤3,得0<-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c≤3,由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,由-1+a-b+c=-27+9a-3b+c,得4a-b-13=0②,由①②,解得a=6,b=11,∴0<c-6≤3,即6<c≤9,故选C.1.(2013江西,6,5分)下列选项中,使不等式x<

<x2成立的x的取值范围是

()A.(-∞,-1)

B.(-1,0)C.(0,1)

D.(1,+∞)考点二不等式的解法答案

A当x>0时,原不等式可化为x2<1<x3,解得x∈⌀,当x<0时,原不等式可化为

解得x<-1,选A.2.(2014浙江,15,5分)设函数f(x)=

若f(f(a))≤2,则实数a的取值范围是

.答案(-∞,

]解析当a≥0时,f(a)=-a2≤0,又f(0)=0,故由f(f(a))=f(-a2)=a4-a2≤2,得a2≤2,∴0≤a≤

.当-1<a<0时,f(a)=a2+a=a(a+1)<0,则由f(f(a))=f(a2+a)=(a2+a)2+(a2+a)≤2,得a2+a-1≤0,得-

≤a≤

,则有-1<a<0.当a≤-1时,f(a)=a2+a=a(a+1)≥0,则由f(f(a))=f(a2+a)=-(a2+a)2≤2,得a∈R,故a≤-1.综上,a的取值范围为(-∞,

].考点三不等式恒成立问题(2014江苏,10,5分)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取

值范围是

.答案

解析要满足f(x)=x2+mx-1<0对于任意x∈[m,m+1]恒成立,只需

即

解得-

<m<0.考点一不等式的概念及性质三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2019四川成都外国语学校高三下月考,3)设b>a>0,c∈R,则下列不等式中不一定成立的是

()A.

<

B.

-c>

-cC.

>

D.ac2<bc2

答案

D由不等式的性质可知,当b>a>0时,A,B,C中不等式均成立;当c=0时,ac2=bc2,故D不一

定成立,故选D.2.(2019云南师范大学附属中学高三月考,7)已知a=5ln2,b=log32,c=log43,则a,b,c的大小关系为

()A.a>c>b

B.c>b>aC.a>b>c

D.c>a>b答案

A因为0<ln2<1,所以50<5ln2,即a>1.因为32<24<33,所以

<2<

,所以

<log32<

,即

<b<

.c=log43=

log23,因为23<32<42,所以

<3<4,所以

<log23<2,即

<c<1.所以a>c>b,故选A.3.(2019贵州遵义航天高级中学高三四模,3)已知命题p:∃x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a2<b2,则a<b.

下列命题中为真命题的是

()A.p∧q

B.p∧(¬q)

C.(¬p)∧q

D.(¬p)∧(¬q)答案

B命题p,x2-x+1=

+

≥0,∴命题p是真命题,则¬p是假命题.命题q,若a=2,b=-3,满足22<(-3)2,但a>b,∴命题q是假命题,则¬q是真命题.选项A,p∧q是假命题;选项B,p∧¬q是真命题;选项C,¬p∧q是假命题;选项D,¬p∧¬q是假命题.4.(2019四川成都七中高三三模,4)已知a,b,c为实数,则“

<

”是“ac2>bc2”的

(

)A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B因为y=

是单调递减函数,所以“

<

”的充要条件是“a>b”.而“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件,所以“

<

”是“ac2>bc2”的必要不充分条件.故选B.5.(2017广西桂林、崇左、百色联考,6)设a=log32,b=ln2,c=

,则

()A.c>b>a

B.a>b>c

C.a>c>b

D.b>a>c答案

D由于a=log32=

,b=ln2=

,而log23>log2e,所以b>a.又a=log32>log3

=

,c=

=

<

,所以a>c,故b>a>c,故选D.1.(2019四川成都七中高三一诊,2)设集合A=

,B=

,则A∩B=

()A.(-1,2)

B.[-1,2)

C.(-1,2]

D.[-1,2]考点二不等式的解法答案

A∵集合A=

={x|x>-1},B=

={x|(x+1)(x-2)≤0且x≠2}={x|-1≤x<2},∴A∩B={x|-1<x<2},故选A.评析本题考查了集合的运算,考查解指数不等式及分式不等式问题,是一道基础题.2.(2019贵州部分重点中学高三联考,11)已知函数f(x)=

则满足f(x)+f(x+1)>1的x的取值范围是

()A.(-1,+∞)

B.

C.(0,+∞)

D.(1,+∞)答案

B由题意,根据函数的解析式可知,当

⇒x≤0时,f(x)+f(x+1)=2x+1+2x+3>1,解得-

<x≤0,当

⇒x>1时,lnx+1>1,所以当x>1时,f(x)+f(x+1)>1恒成立,当0<x≤1时,1<x+1≤2,故f(x)+f(x+1)=2x+1+ln(x+1)+1>1恒成立.综上,x>-

.故选B.3.(2018四川成都二诊,8)若x为实数,则“

≤x≤2

”是“2

≤

≤3”的

()A.充分不必要条件

B.必要不充分条件C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案

B充分性:∵

≤x≤2

,∴取x=2

,此时

=

>3,即充分性不成立.必要性:由2

≤

≤3得

解得1≤x≤2,因为[1,2]⊆

,所以必要性成立.所以“

≤x≤2

”是“2

≤

≤3”的必要不充分条件.4.(2017云南昆明高考仿真,11)已知函数f(x)=

则|f(x)|≤2的解集为

(

)A.[0,1]

B.(-2,1]C.

D.

答案

D当0≤x<2时,f(x)=2-log2(-x+2),由

解得0≤x≤1;当-2<x<0时,f(x)=2-f(-x)=log2(x+2),由

解得-

≤x<0.综上所述,|f(x)|≤2的解集为

,故选D.5.(2019四川成都七中高三考试,13)已知函数f(x)=

在区间[-1,2]上任取一个实数m,则f(m)>0的概率为

.答案

解析当-1≤m≤0时,由3m+1>0得-

<m≤0;当0<m≤2时,由

>0得1<m≤2.故所求概率为

=

.1.(2019云南玉溪一中高三下调研,5)已知a>0,b>0,若不等式

+

≥

恒成立,则m的最大值为

()A.9

B.12

C.18

D.24考点三不等式恒成立问题答案

B因为a>0,b>0,所以由不等式

+

≥

恒成立得m≤

(a+3b)=6+

+

恒成立.因为

+

≥2

=6,当且仅当a=3b时等号成立,所以6+

+

≥12,所以m≤12,即m的最大值为12.故选B.2.(2019四川成都七中高三阶段性测试,11)对任意x≥0,不等式sinxcosx≤2ax恒成立,则实数a

的最小值是

()A.

B.1

C.2

D.

答案

D

sinxcosx=

≤2ax在[0,+∞)上恒成立,设f(x)=

,g(x)=2ax,即f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,则由f(x),g(x)的图象,可知g(x)与f(x)在原点处相切,f'(x)=cos2x,f'(0)=1,g'(x)=2a,令2a=1,得a=

,易知a≥

时,f(x)≤g(x)在[0,+∞)上恒成立,即sinxcosx≤2ax恒成立.故实数a的最小值是

.3.(2018四川成都一诊,6)若关于x的不等式x2+2ax+1≥0在[0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围

为

()A.(0,+∞)

B.[0,+∞)C.[-1,1]

D.[-1,+∞)答案

D当x=0时,1≥0,恒成立;当x∈(0,+∞)时,a≥

,令f(x)=

,x∈(0,+∞),则f'(x)=

=-

+

,令f'(x)=0,得x=1(x=-1舍去),当x∈(0,1)时,f'(x)>0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,故f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,

所以f(x)在x=1处取得极大值,也是最大值,故f(x)max=f(1)=-1,所以a≥f(x)max=-1.故选D.4.(2017贵州贵阳适应性考试,14)若命题p:∀x∈R,x2+2ax+1≥0恒成立是真命题,则实数a的取值

范围是

.答案[-1,1]解析由题意可知,命题p是真命题⇔Δ=4a2-4≤0,解得-1≤a≤1,即实数a的取值范围是[-1,1].知识总结一元二次不等式问题通常需要考虑该不等式对应的一元二次方程的根的情况以

及对应的二次函数的图象.对于恒成立问题,直接利用Δ来求解即可.B组

2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:15分钟分值:25分选择题(每小题5分,共25分)1.(2019云南师范大学附属中学高三上月考四,1)已知集合A={x|x2+x-2≤0},B=

,则A∩(∁RB)=

()A.(-1,2)

B.(-1,1)

C.(-1,2]

D.(-1,1]答案

D由题意得A={x|x2+x-2≤0}={x|(x-1)(x+2)≤0}={x|-2≤x≤1},B=

={x|x≤-1或x>2},所以∁RB={x|-1<x≤2},则A∩(∁RB)=(-1,1],故选D.2.(2019广西柳州高中、南宁二中两校联考,3)设a,b∈R,若a-|b|>0,则下列不等式中正确的是

()A.b-a>0

B.a3+b3<0C.a2-b2<0

D.b+a>0答案

D利用赋值法,令a=1,b=0,A项,b-a=-1<0,故A项错误,B项,a3+b3=1>0,故B项错误,C项,a2

-b2=1>0