事件的运算与关系解读

事件间的关系及事件的运算事件是一个集合，因而事件间的关系和运算,自然按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理。一次随机试验,有多个不同的事件发生。这些事件有些简单，有些复杂。我们对其进行分析寻求它们之间的关系。下面给出这些关系和运算在概率论中的提法，并根据“事件发生”的含义给出它们在概率论中的含义。值得注意的是概率论中的和、差、积等运算与代数中的和、差、积的概念不同，在学习中要把握住运算的含义，掌握其运算的规律。第一页第二页，共22页。一、事件的包含与相等记为.若事件A发生必导致事件定义：B发生，则称B包含了A。（A的每一个样本点都是B的样本点）或即定义：若且则称A与B

相等记为A=B.文氏图(Venn图)例1:产品有长度、直径、外观三个指标,A=“长度不合格”,例2:掷骰子,A=“出现偶数点”,则A=BB=“产品不合格”,则B=“点数能被2整除”第二页第三页，共22页。抛两个分币A={正好一个上},B={上，上},C={至少一个上},D={无下}.例如如例1中设有二、事件的运算与关系第三页第四页，共22页。1、事件的和、并(加法)

（和运算）若由“事件A与事件B至少有一个发生”或定义所构成的事件称为A与B的和，记为或即若A与B有公共元素，此元素在中只出现一次。例如类似，由“事件”中至少有一个发生所构成的事件，称为的和，记为或第四页第五页，共22页。注：包含了A事件，也包含了B事件。例如A1={开关K1合上}A2={开关K2合上}A3={开关K3合上}B={灯亮}三个开关至少有一个合上。例如：A1={甲生病没来}A2={乙生病没来}B={甲和乙至少有一个没来}例如：工地上A1={缺水泥}A2={缺黄沙}={缺水泥或黄沙}第五页第六页，共22页。2、事件的积、交(乘法)（积运算）由“事件A与事件B同时发生”且或定义即所构成的事件，记为例如例如电路图A1={开关K1合上}A2={开关K2合上}称为事件A与B的积。第六页第七页，共22页。例如：设以表示毕业班一位学生的每门及格的学习成绩。以B表示该学生可以拿到毕业证书。则(表示门门课程都合格了)。类似，由“事件”中同时发生所构成的事件，称为的积，记为或第七页第八页，共22页。3、事件的差、(减法)（差事件）由“事件A发生且事件B不发生”且定义构成的事件为事件A与事件B的差。记为同时例如体检例如：A1={身高合格}A2={体重不合格}B={身高合格且体重合格}第八页第九页，共22页。事件C

={t|t

1500}“一等品”

010001500次品一等品S6:{t|t0}中事件A

={t|t

1000}“次品”事件B

={t|t

1000}“合格品”第九页第十页，共22页。4、互不相容事件事件A与事件B不能同时发生事件A与事件B定义的事件，称为记为若则称A与B

相容.（可同时发生）注：基本事件是两两互不相容的(互斥)。如：产品检验是一等品、二等品、次品是互不相容的。互不相容(互斥).第十页第十一页，共22页。5、对立事件则称A与B为对立事件(互逆)

且即：事件A、B必有且仅有一个发生。定义事件A、B满足记为可见：若E只有两个互不相容的结果，那么这两个结果构成对立事件。例如：地震后一建筑物倒塌了为A,则没有倒塌为考试成绩及格了为A,则不及格为第十一页第十二页，共22页。表示毕业班一位学生的以C表示该学生拿不到毕业证书。则(表示门门课程都合格了)。例如：设以表示该学生至少有一门课程不及格。以B表示该学生可以拿到毕业证书。每门及格的学习成绩。第十二页第十三页，共22页。6、完备事件组若事件运算满足则称为完备事件组。如:中华人民共和国地图由31个省、市的版图（完备事件组）组成。学生的考试成绩由0－100分（101个完备事件组）组成。第十三页第十四页，共22页。主讲教师:王升瑞概率论与数理统计第二讲第十四页第十五页，共22页。三、事件的运算规律1.交换律2.结合律3.分配律4.德摩根律即A、B中不是至少有一个发生，就是两个都不发生。

A、B不是两个都发生，就是两个至少有一个不发生。推广：;第十五页第十六页，共22页。5、包含运算：，，则，设6、7、8、第十六页第十七页，共22页。例1.设A,B,C表示三个事件,试表示下列事件(1)A发生,B与C不发生(2)A与B发生,C不发生(3)A,B与C都发生(4)A,B与C至少有一个发生(5)A,B与C全都不发生(6)A,B与C至少有两个发生思考:判断(1)若且则(2)若则第十七页第十八页，共22页。例2

某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部分管道1，2，3组成。每个水源都可以供应城市的用水。设事件Ak表示第k号管道正常工作，k=1，2，3。B表示“城市能正常供水”，B表示“城市断水”。城市甲乙123解试用表示第十八页第十九页，共22页。例3

从一批100件的产品中每次取出一个（取后不放回），假设100件产品中有5件是次品，用事件AK表示

第k次取到次品（k=1,2,3),试用表示下列事件。1、三次全取到次品。2、只有第一次取到次品3、三次中至少有一次取到次品4、三次中恰有两次取到次品5、三次中至多有一次取到次品或第十九页第二十页，共22页。例4以A表示“甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则为：