专题5.2 一次函数与图形面积（重点题专项讲练）（浙教版）（解析版）

专题5.2一次函数与图形面积【典例1】如图，在平面直角坐标系中，过点B4,0的直线AB与直线OA相交于点A3,1，动点M沿路线(1)求直线AB的解析式．(2)求△OAC的面积．(3)当△OMC的面积是△OAC的面积的13时，求出这时点M【思路点拨】（1）利用待定系数法求解即可得；（2）先根据直线AB的解析式求出点C的坐标，再利用三角形的面积公式即可得；（3）先利用待定系数法求出直线OA的解析式，再分①点M在线段OA上和②点M在线段AC上两种情况，根据△OMC的面积是△OAC的面积的13【解题过程】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，由题意，将点A3,1,B4,0解得k=-1b=4则直线AB的解析式为y=-x+4．（2）对于函数y=-x+4，当x=0时，y=4，即C0,4∵A3,1∴△OAC的OC边上的高为3，则△OAC的面积为12（3）设直线OA的解析式为y=ax，将点A3,1代入得：3a=1，解得a=则直线OA的解析式为y=1由题意，分以下两种情况：①如图，当点M在线段OA上时，设点M的坐标为Mm,∵△OMC的面积是△OAC的面积的13，且△OAC的面积为6∴1解得m=1，则13所以此时点M的坐标为M1,②如图，当点M在线段AC上时，设点M的坐标为Mn,-n+4∵△OMC的面积是△OAC的面积的13，且△OAC的面积为6∴1解得n=1，则-n+4=-1+4=3，所以此时点M的坐标为M1,3综上，点M的坐标为1,13或1．一次函数y=2x+b的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则b的值为（

）A．2 B．-2或12 C．12 D．2【思路点拨】分别令y=0和x=0可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，求解即可求得到答案．【解题过程】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B，在y=2x+b中，令y=0可得x=-b2，令x=0可得y=b∴A（-b2，0），B（0，b∴OA=|-b2|，OB=|b|∵S△AOB=1，∴12OA•OB=1，即12×|b2|×|整理可得|b|2=4，∴b=2或b=-2，故D正确．故选：D．2．已知一次函数y=2x+4与y=-x-2的图象都经过点A，且与y轴分别交于点B，C，若点DmA．3 B．4 C．6 D．8【思路点拨】首先根据题意，分别求出点A、B、C、D的坐标，即可判定△BCD的底为6，高为1，则可求出面积.【解题过程】解：根据题意，联立方程y=2x+4解得x=-2即点A的坐标为（-2,0）又根据题意，可得点B（0,4），点C的坐标为（0，-2），点D的坐标为（-1,2）△BCD中，BC=6，其高为点D的横坐标的长度，即为1，则S故答案为A.3．如图，直线AB:y=12x+1分别与x轴、y轴交于点A，点B，直线CD:y=x+b分别与x轴，y轴交于点C，点D．直线AB与CD相交于点P，已知SΔABD=4A．(3,52) B．(8,5) C．(4,3) D．【思路点拨】由直线AB:y=12x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B，即可求得点A与B的坐标，又由S△ABD=4，即可求得点D的坐标，由待定系数法即可求得直线CD的解析式，然后由直线AB与CD相交于点P【解题过程】解：∵直线AB：y=12x+1分别与x轴、y轴交于点A、点B令x=0，则y=1；令y=0，则x=-2，∴点A的坐标为（-2，0），点B的坐标为（0，1），∴OA=2，OB=1，∵S△ABD=12BD•OA=12×BD∴BD=4，∴OD=BD-OB=4-1=3，∴点D的坐标为（0，-3），∵点D在直线y=x+b上，∴b=-3，∴直线CD的解析式为：y=x-3，∵直线AB与CD相交于点P，联立可得：y=1解得x=8y=5即P的坐标是(8,5)．故选：B．4．已知直线l1：y＝kx＋k＋1与直线l2：y＝(k＋1)x＋k＋2(k为正整数)，记直线l1和l2与x轴围成的三角形面积为Sk，则S1＋S2＋S3＋…＋S10的值为()A．511 B．1011 C．920【思路点拨】变形解析式得到两条直线都经过点（−1，1），即可证出无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（−1，1）；先求出y＝kx＋k＋1与x轴的交点和y＝（k＋1）x＋k＋2与x轴的交点坐标，再根据三角形面积公式求出Sk，求出S1=12×11×2【解题过程】解：∵直线l1：y＝kx＋k＋1＝k（x＋1）＋1，∴直线l1：y＝kx＋k＋1经过点（−1，1）；∵直线l2：y＝（k＋1）x＋k＋2＝k（x＋1）＋（x＋1）＋1＝（k＋1）（x＋1）＋1，∴直线l2：y＝（k＋1）x＋k＋2经过点（−1，1），∴无论k取何值，直线l1与l2的交点均为定点（−1，1），∵直线l1：y＝kx＋k＋1与x轴的交点为-k+1直线l2：y＝（k＋1）x＋k＋2与x轴的交点为-k+2∴Sk∴S1……S====5故选：A．5．如图，在平面直角坐标系中，已知直线l1、l2、l3所对应的函数表达式分别为y1=x+2、y2=x-3、y3=kx-2k+4（k≠0且k≠1），若l1与x轴相交于点A，l3与A．等于8 B．等于10 C．等于12 D．随着k的取值变化而变化【思路点拨】设l3与x轴的交点为B，根据三条直线的解析式，即可求出点P、Q、A、B的坐标，再根据S【解题过程】解：联立y1解得：x=2y=4∴P(2，4)．联立y1解得：x=7-2k∴Q(7-2k1-k，4+k1-k对于y1=x+2，令y1解得：x=-2，∴A(-2，0)．设l3与x轴的交点为B对于y3=kx-2k+4，令y3解得：x=2k-4∴B(2k-4k，0)∴AB=x∴S△APQ当k>1时，S△APQ当0<k<1时，S△APQ当k<0时，S△APQ综上可知△APQ的面积为10．故选B．6．如图，直线l1：y＝﹣2x+b与直线l2：y＝kx﹣2相交于点P（1，-1），直线l1交y轴于点A，直线交y轴于点B，则△【思路点拨】利用一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)可得直线l1，l2与y轴交点，然后可求出【解题过程】解：∵直线l1:y=-2x+b与直线l2∴-1=-2×1+b，解得：b=1，∴A点坐标为(0,1)，∵直线l2:y=kx-2交y轴于∴B(0,-2)，∴AB=3，∴ΔPAB的面积为：故答案为：327．直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)与y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1－b2等于________．【思路点拨】根据解析式求得与坐标轴的交点，从而求得三角形的边长，然后依据三角形的面积公式即可求得．【解题过程】解：如图，直线y=k1x+b1（k1＞0）与y轴交于B点，则OB=b1，直线y=k2x+b2（k2＜0）与y轴交于C，则OC=﹣b2，∵△ABC的面积为4，∴OA×OB+12OA×OC=4∴12解得：b1﹣b2=4．故答案为：48．如图，直线y＝﹣2x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B．若点P为x轴上一点，且△ABP的面积为3，则点P的坐标为___．【思路点拨】先求出A、B坐标，再设x轴上的点P（m，0），根据△ABP的面积为3列方程，即可得到答案．【解题过程】解：如图：在y=-2x+2中，令x=0得y=2，令y=0得-2x+2=0，x=1，∴A（1，0），B（0，2），设x轴上的点P（m，0），则AP=|m-1|，∵△ABP的面积为3，∴12AP•|yB|=3，即12|m∴|m-1|=3，解得m=4或m=-2，∴P（4，0）或（-2，0），故答案为：（4，0）或（-2，0）．9．若一次函数y＝kx+b与y＝2x+1平行，且与坐标轴围成的三角形面积为9，则这个一次函数的解析式为___．【思路点拨】根据两条直线平行k相同，得到k=2，然后求出函数图象与两坐标轴的交点坐标，再根据三角形的面积公式求解即可．【解题过程】解：∵一次函数y=kx+b与y=2x+1平行，∴k=2，当x=0时，y=b，当y=0时，x=-b∴直线y=2x+b与坐标轴的交点为（0，b）、（-b2，∵直线y=2x+b与坐标轴围成的三角形的面积为9，∴12∴b=±6，∴一次函数为y=2x+6或y=2x-6，故答案为：y=2x+6或y=2x-6．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1⊥x轴于点（1，0），直线l2⊥x轴于点（2，0），直线l3⊥x轴于点（3，0）…直线ln⊥x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn．如果△OA1B1的面积记为S1，四边形A1A2B2B1的面积记作S2，四边形A2A3B3B2的面积记作S3，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积记作Sn，那么S2011＝_____．【思路点拨】先求出A1，A2，A3，…An和点B1，B2，B3，…Bn的坐标，利用三角形的面积公式计算△OA1B1的面积；四边形A1A2B2B1的面积，四边形A2A3B3B2的面积，…四边形An﹣1AnBnBn﹣1的面积，则通过两个三角形的面积差计算，这样得到Sn＝n﹣12，然后把n＝2011【解题过程】解：∵函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点A1，A2，A3，…An，∴A1（1，1），A2（2，2），A3（3，3）…An（n，n），又∵函数y＝2x的图象与直线l1，l2，l3，…ln分别交于点B1，B2，B3，…Bn，∴B1（1，2），B2（2，4），B3（3，6），…Bn（n，2n），∴S1＝12×1×（2﹣1S2＝12×2×（4﹣2）﹣12×1×（2﹣S3＝12×3×（6﹣3）﹣12×2×（4﹣…Sn＝1＝12n2﹣12（n﹣1＝n﹣12当n＝2011，S2011＝2011﹣12＝2010.5故答案为：2010.5．11．如图，已知函数y＝2x﹣1和y＝x﹣3的图像交于点P．(1)求出点P的坐标；(2)求两函数图像与y轴围成的图形面积．【思路点拨】（1）联立两函数解析式，解方程组可求两函数图象交点P的坐标；（2）求得两直线与y轴的交点坐标，然后根据三角形面积公式即可求得．【解题过程】解：（1）联立y=2x-1y=x-3解得x=-2y=-5∴P点坐标为（﹣2，﹣5）．（2）当x=0时，y＝2x﹣1=-1，y＝x﹣3=-3，∴两条直线与y轴的交点分别为（0，﹣1），（0，﹣3），∴两函数图象与y轴围成的图形面积为：12×-1-(-3)×212．如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2分别与x轴，y轴交于点A，B，与直线CD交于点E，点C与点B关于原点对称，点D的坐标为（－4(1)求直线CD的解析式；(2)连接BD，求△BDE的面积．【思路点拨】（1）由一次函数图象上点的坐标特征求得B点坐标；根据点的对称性质求得点C的坐标；然后利用待定系数法确定函数解析式；（2）根据S△BDE=S△AOB-S△BOD-S△ADE求解即可．【解题过程】解：（1）把y=0代入y=12x+2中，得y=2∴B（0，2）．∵点C与点B关于原点对称，∴C（0，-2）．设直线CD的解析式为y=kx+b，把C（0，-2），D（-43，0）分别代入y=kx+b得-4解得：k=-3∴直线CD的解析式为y=-32x-2（2）解：根据题意，得y=1解得：x=-2y=1∴E（-2，1）．当y=0时，12x+2=0解得x=-4．∴A（-4，0）．∵D（-43，0），B（0，2∴OD=43，AD=83，OB=2，OA∴S△BDE=S△AOB-S=12×4×2−12×43×2−1=4313．如图，一次函数y=kx+b的图象过P1,4、Q4,1两点，与x轴交于(1)求此一次函数的解析式；(2)求△POQ的面积；【思路点拨】（1）把P（1，4），Q（4，1）代入y=kx+b，利用待定系数法即可求出此一次函数的解析式；（2）根据一次函数解析式求出点A的坐标，再根据S△POQ【解题过程】解：（1）把P（1，4），Q（4，1）代入y=kx+b得k+b=44k+b=1，解得k=-1b=5∴此一次函数的解析式为y=-x+5；（2）解：当y=0时，-x+5=0，解得x=5，则A5,0，∴S14．如图，一次函数y＝x＋2的图象经过点A（2，4），B（n，﹣1）．(1)求n的值；(2)请判断点P（﹣2，4）在不在该直线上．(3)连接OA，OB，求△OAB的面积．【思路点拨】（1）由点B的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出n的值；（2）代入x＝﹣2求出y值，由该值不等于4，即可得出点P（﹣2，4）不在该直线上；（3）设直线AB与y轴交于点C，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，进而可得出OC的长，由点A，B的坐标可得出AM，BN的长，再利用S△OAB＝S△OAC+S△OBC，即可求出△OAB的面积．【解题过程】解：（1）∵点B（n，﹣1）在一次函数y＝x+2的图象上，∴﹣1＝n+2，∴n＝﹣3．（2）当x＝﹣2时，y＝﹣2+2＝0≠4，∴点P（﹣2，4）不在该直线上．（3）设直线AB与y轴交于点C，过点A作AM⊥y轴于点M，过点B作BN⊥y轴于点N，如图所示．当x＝0时，y＝1×0+2＝2，∴点C的坐标为（0，2），∴OC＝2．∵点A的坐标为（2，4），点B的坐标为（﹣3，﹣1），∴AM＝2，BN＝3，∴S△OAB＝12OC·AM+12OC＝12×2×2+1＝2+3＝5．∴△OAB的面积为5．15．如图，直线l1:y=kx+b与x轴、y轴分别交于点A(2,0)和B(0,2)，点P(m,3)为直线AB上一点，另一直线l2(1)求直线l1(2)求点P的坐标和k1(3)点C是直线l2与x轴的交点，点Q是x轴上一点，当△CPQ的面积等于3时，求点Q【思路点拨】（1）根据待定系数法求解即可；（2）把P的坐标代入直线l1的解析式即可求m，然后把P的坐标代入直线l2的解析式即可求（3）求得C的坐标，然后根据三角形面积求得CQ，结合C的坐标即可求得点Q的坐标．【解题过程】解：（1）将A(2,0)和B(0,2)代入y=kx+b中得：2k+b=0b=2解得k=-1b=2∴直线l1的解析式为y=-x+2（2）解：∵P(m,3)在直线AB上，代入得：-m+2=3，解得m=-1，∴P(-1,3)，将点P(-1,3)代入y=k得：3=-k∴k1（3）解：由直线y=x+4知，当y=0时，x+4=0，解得x=-4，∴点C的坐标为(-4,0)，∵P(-1,3)，S△CPQ∴12CQ⋅|∴CQ=2，又C的坐标为(-4,0)，∴点Q的坐标为(-6,0)或(-2,0)．16．如图，一次函数y1=kx+bk≠0的图象分别与x轴和y轴相交于A，B0,5两点，且与正比例函数(1)求一次函数的解析式；(2)求点A的坐标；(3)若点P是y轴上一点，且S△OAP=2S【思路点拨】（1）因一次函数与正比例函数交于点C（﹣1，m），可以将x＝﹣1代入y2＝﹣3x，求出m为3，再利用待定系数法即可求解；（2）令y1＝2x+5中的y1＝0，即可求解；（3）利用若S△OAP＝2S△OBC，根据三角形面积公式即可求出|yP|＝4，得出P的纵坐标，即可求解．【解题过程】解：（1）把C-1,m代入y2=-3x∴C-1,3把B0,5，C-1,3代入得b=5,-k+b=3解得k=2,∴y1（2）令y1=2x+5中的可得方程2x+5=0．解得x=-2.5．∴点A的坐标为-2.5,0．（3）由B0,5，C-1,3，可得则S△OAP由A-2.5,0知，OA=∵S△OAP即12∴yp则yP=4或∴点P的坐标为0,4或0,-4．17．如图，一次函数y=x+2与x轴，y轴分别交于点A，B，点M1,m是直线AB上一点，直线MC交x轴于点C(1)求直线MC的函数解析式；(2)若点P是线段AC上一动点，连接BP，MP，若△ABP的面积是△MPC面积的2倍，求P点坐标．【思路点拨】（1）先求出点M的坐标，再用待定系数法解得，即可求解；（2）先求出OA=OB=2，设点P（a，0），则AP=a+2，PC=a-52，根据△ABP的面积是△MPC面积的2倍，可得到关于a【解题过程】解：（1）把点M1,m代入y=x+2m=1+2=3，∴点M（1，3），设直线MC的解析式为y=kx+bk≠0把点M（1，3），C552k+b=0k+b=3∴直线MC的解析式为y=-2x+5；（2）解：对于y=x+2，当x=0时，y=2；当y=0时，x=-2，∴点A（-2，0），B（0，2），∴OA=OB=2，设点P（a，0），则AP=a+2，PC=52-a∵△ABP的面积是△MPC面积的2倍，∴12解得：a=11∴点P的坐标为11818．如图，在平面直角坐标系中，过点C0,12的直线AC与直线OA相交于点A(1)求直线AC的表达式；(2)求△OAC的面积：(3)动点M在射线OA上运动，是否存在点M，使△OBM的面积与△OAC的面积相等，若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）用待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据三角形的面积公式计算即可；（3）由直线AC：y=-x+12求出与x轴的交点B12,0，再求出直线OA的函数关系式为y=12x，设点M坐标为【解题过程】解：(1)设直线AC解析式为y=kx+b，将C(0,12)，A(8,4)代入得：12=b4=8k+b解得k=-1b=12∴直线AC解析式为y=-x+12；(2)过A作AH⊥OC于H，如图：∵A8,4，AH⊥OC∴AH=8，∵C∴OC=12，∴S△OAC(3)存在，把y=0代入y=-x+12得x=12∴点B∴OB=12设直线OA的函数关系式为y=mx把A8,4代入，得∴m=直线OA的函数关系式为y=设点M坐标为x,11x=16即点M的坐标为16,8．19．如图，直线l1的解析表达式为：y=-3x+3，且直线l1与x轴交于点D，直线l2经过点A（4，0），B3,-32，直线(1)求点D的坐标；(2)求直线l2(3)求△ADC的面积；(4)在直线l2上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P【思路点拨】（1）将D点纵坐标为0代入直线l1（2）利用待定系数法求直线l2（3）通过解方程组y=-3x+3y=32x-6得C点坐标，再利用直线（4）根据△ADP与△ADC的面积相等，底相等，得出AD边上的高也相等，再根据C点的纵坐标为-3，则P点的纵坐标为3，然后把y=3代入y=32x-6【解题过程】解：（1）∵D点在x轴上，