专题04 勾股定理逆定理（解析版）

专题04勾股定理逆定理知识点框架知识点讲解勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边【注意】1）勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，，为三边的三角形是锐角三角形；2)定理中，，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，，满足，那么以，，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边3)勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形直角三角形的性质与判定：性质：1）直角三角形的两个锐角互余。2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。3）直角三角形中30°角所对的边是斜边的一半。判定：1）有一个角是直角的三角形是直角三角形。2）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有关系，那么这个三角形是直角三角形。典型题型考查题型一判断三边能否构成直角三角形1．（2022·江苏南京·八年级期中）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】C【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形进行分析即可．【详解】解：．，不能组成直角三角形，故此选项错误；B．，不能组成直角三角形，故此选项错误；C．，能组成直角三角形，故此选项正确；D．，不能组成直角三角形，故此选项错误；故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形，否则不是．2．（2022·江苏南京·八年级期中）下列各组线段能构成直角三角形的一组是（

）A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．，，【答案】B【分析】根据勾股定理逆定理直接判断即可．【详解】解：A．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意；B．，故此选项能构成直角三角形，符合题意；C．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意；D．，故此选项不能构成直角三角形，不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理逆定理，熟知直角三角形三边的关系是解本题的关键．3．（2022·江苏·苏州市胥江实验中学校八年级期中）下列各组数中，不能组成直角三角形的是（

）A．7，24，25 B．9，12，15 C．1，，3 D．5，12，13【答案】C【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【详解】解：A、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；C、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；D、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；故选C．【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形．4．（2022·江苏南京·八年级期末）A、B、C表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，为拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（

）A．AB中点 B．BC中点 C．AC中点 D．∠C的平分线与AB的交点【答案】A【分析】根据A、B、C这三个村庄到活动中心P的距离相等，可得点P是三边垂直平分线的交点，再由勾股定理逆定理，即可求解．【详解】解：A、B、C这三个村庄到活动中心P的距离相等，所以点P是三边垂直平分线的交点，因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以，所以是以AB为斜边的直角三角形，则活动中心P的位置应在斜边AB的中点，故答案为：A【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的逆定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握线段垂直平分线的逆定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．考查题型二直角三角形的判定5．（2022·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（）A．，， B．C． D．，【答案】C【分析】根据三角形内角和公式和勾股定理的逆定理判定是否为直角三角形．【详解】解：A、符合勾股定理的逆定理，故A选项是直角三角形，不符合题意；B、32+42=52，符合勾股定理的逆定理，故B选项是直角三角形，不符合题意；C、根据三角形内角和定理，求得各角分别为45°，60°，75°，故C选项不是直角三角形，符合题意；D、根据三角形内角和定理，求得各角分别为90°，40°，50°，故D选项是直角三角形，不符合题意．故选：C．【点睛】.本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．6．（2022·江苏常州·八年级期末）已知△ABC的三边长分别是a、b、c，则下列条件中，能判断△ABC是直角三角形的是（

）A．a2＝（b＋c）（b﹣c） B．a：b：c＝12：15：18C．∠A：∠B：∠C＝2：3：4 D．∠A＝2∠B＝3∠C【答案】A【分析】根据勾股定理的逆定理判定选项A和选项B即可；根据三角形的内角和定理求出三角形中最大角的度数即可判断选项C和选项D．【详解】解：A、∵，∴，即，∴是直角三角形，故本选项符合题意；B．∵，∴设，，，∴，，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；C．∵，，∴，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；D．∵，，∴，∴，，∴不是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形内角和定理，熟练掌握运用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解此题的关键．7．（2022·江苏·镇江市第三中学八年级期中）已知ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，下列条件不能判断ABC是直角三角形的是（

）A．∠A-∠B＝∠C B．∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5C．（b＋c）（b-c）＝a2 D．a＝7，b＝24，c＝25【答案】B【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．【详解】解：A、∵∠A﹣∠B＝∠C，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，故ABC为直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∴∠C＝×180°＝75°，故ABC是锐角三角形，不是直角三角形；C、∵（b+c）（b﹣c）＝a2，∴b2﹣c2＝a2，即b2＝c2＋a2，故ABC为直角三角形；D、∵72+242＝252，∴ABC为直角三角形；故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用以及三角形内角和定理．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．8．（2022·江苏盐城·八年级期末）满足下列条件的△ABC不是直角三角形的是（

）A．a＝1，b＝2， B．C．∠A＋∠B＝∠C D．【答案】D【分析】根据勾股定理逆定理、有一个角是90°的三角形是直角三角形进行判断即可得解．【详解】解：A．∵a＝1，b＝2，，∴，即，∴△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；B．∵，∴，即，∴△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；C．∵∠A+∠B=∠C，∴，即∠C=90°，∴△ABC是直角三角形，此选项不符合题意；；D．∵，∴，，，∴△ABC不是直角三角形，此选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法，借助勾股定理逆定理和有一个角是90°的三角形是直角三角形两种判定方法是解决问题的关键．考查题型三网格中判断直角三角形9．（2022·江苏淮安·八年级期中）如图，在四个均由十六个小正方形组成的正方形网格中，各有一个三角形，那么这四个三角形中，不是直角三角形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别求四个选项中各边长，根据勾股定理的逆定理可以判定直角三角形，即可解题．【详解】解：A、三角形各边长为、、，，故该三角形为钝角三角形，符合题意；B、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意；C、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意；D、各边长、、，，故该三角形为直角三角形，不符合题意．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理判定直角三角形，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键．10．（2020·江苏·南京外国语学校八年级期中）如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”(格线的交点)，以这5个格点中的3点为顶点画三角形，可以画等腰三角形和直角三角形的个数分别是(

)A．2和3 B．3和3 C．2和4 D．3和4【答案】A【分析】结合格点图形及勾股定理，等腰三角形的性质即可得解．【详解】解：（1）如图，为等腰三角形有两种由勾股定理易知：ED=DC=,符合题意，由勾股定理易知：AE=EC=,符合题意，（2）如图，为直角三角形有三种由勾股定理及格点图知：AB=2，BE=4，AE=,满足，由勾股定理逆定理知∆ABE为直角三角形，由勾股定理及格点图知：BC=2，BE=4，CE=,满足，由勾股定理逆定理知∆CBE为直角三角形，由勾股定理及格点图知：DC=，DE=，CE=,满足，由勾股定理逆定理知∆CDE为直角三角形，故选：A【点睛】本题主要考查了在格点中画等腰三角形及勾股定理在格点图形中的应用，结合格点图形，利用勾股定理，合理构造是解决本题的关键．11．（2019·江苏·泰州市姜堰区张甸初级中学八年级期中）如图：在一个边长为1的小正方形组成的方格稿纸上，有A、B、C、D、E、F、G七个点，则在下列任选三个点的方案中可以构成直角三角形的是()A．点A、点B、点C B．点A、点D、点GC．点B、点E、点F D．点B、点G、点E【答案】C【分析】先利用勾股定理求出各边的长，再利用勾股定理的逆定理：如果三边满足，则可组成直角三角形进行判断即可．【详解】A．AB2=1+36=37，AC2=16+25=41，BC2=1+9=10，37+10≠41，不可以构成直角三角形；B．AD2=16+16=32，AG2=9+36=45，DG2=1+4=5，32+5≠45，不可以构成直角三角形；C．BE2=36+16=52，BF2=25+25=50，EF2=1+1=2，50+2=52，可以构成直角三角形D．BG2=25+9=34，BE2=36+16=52，GE2=9+1=10，34+10≠52，不可以构成直角三角形．故选：C．【点睛】本题主要考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．12．（2022·江苏扬州·八年级期末）在中，若，则（

）A． B． C． D．不能确定【答案】B【分析】根据勾股定理的逆定理可以判断为直角三角形，再根据大边对大角的性质可以判断．【详解】解：，，为直角三角形，，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是：根据三角形的三边满足勾股定理，得出三角形是直角三角形．考查题型四利用勾股定理逆定理求解13．（2022·江苏江苏·八年级期中）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是(

)A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】依据作图即可得到AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，进而得到AC2+BC2＝AB2，即可得出△ABC是直角三角形．【详解】如图所示，AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，故选B．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．14．（2022·江苏·八年级课时练习）如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，则∠BCD的度数是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】连接AC，由于，利用勾股定理可求AC，并可求，而，易得，可证是直角三角形，于是有，从而易求∠BCD．【详解】解：如图所示，连接AC，∵，∴，又，∴，∴，∴是直角三角形，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，解题的关键是连接AC，并证明是直角三角形．15．（2022·山东·莒南六中八年级期中）如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】连接AC，在Rt△ADC中，已知AB，BC的长，运用勾股定理可求出AC的长，在△ADC中，已知三边长，运用勾股定理逆定理，可得此三角形为直角三角形，故四边形ABCD的面积为Rt△ACD与Rt△ABC的面积之差．【详解】解：连接AC，∵∴AC=5cm，∵CD=12cm，DA=13cm，∴△ADC为直角三角形，∴故四边形ABCD的面积为24cm2．故选：C．【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，判断出△ACD的形状是解答此题的关键．16．（2022·广东·高州市第一中学附属实验中学八年级期中）如果的三边分别为，且满足，则的面积为（

）A．6 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】将原式整理得出，计算出，判断出为直角三角形，即可求出．【详解】解：，，，，又，，为直角三角形，，故选：A．【点睛】本题考查了完全平方公式的非负性，勾股定理的逆运用，解题的关键是求出的值．17．（2022·河南信阳·八年级期中）一个三角形的三边长为15，20，25，则此三角形最大边上的高为(

)A．10 B．12 C．24 D．48【答案】B【详解】解：已知三角形的三边分别是BC=15，AB=20，AC=25，BD是AC上的高，∵BC=15，AB=20，AC=25，∴AC2=625，AB2+BC2=225+400=625，∴AC2=AB2+BC2，∴三角形ABC为直角三角形，∠ABC=90°，∵BD是AC上的高，∴BD•AC=AB•BC，∴BD=12．故选B．18．（2022·福建泉州·八年级期末）如图，在四边形中，，，，，