高中数学必修四综合训练（含答案）

高一下学期必修四综合训练

一、单选题（共12题；共24分）

1.设向量(cos25。，sin25°),而(cos25°,sinl55°),则建.系的值为()

A.&飞B.1c.至

2.已知60。角的终边上有一点P（4,a）,则a的值为（）

A.B.+C.4D.±4

.已知则的值为（

3tana=*,sinacosa)

A.4

B-fD--1

4.若P为△ABC所在平面内的一点，满足或+箴+菽;=.懿，则点P的位置为（）

A.P在AABC的内部B.P在AABC的外部C.P在AB边所在的直线上D.P在AC边所在的直线上

■1^^

5.在△ABC中，sinB=:*,cosA=则sinC为()

嚏B-WD.普或f

6.函数f(x)=sin(缴-x)sinx的最大值是()

.1

A.号B.1

一口I

7.E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三等分点，贝tanNECF=（

A送B.eD-f

8.为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=再cos3x的图象（）

A.向右平移各个单位B.向左平移各个单位C.向右平移备个单位D.向左平移备个单位

IIII品/W—£.>

9.已知(-钠等)且sinB+cos。=a,其中(0,1),则tan。的可能取值是()

-1.

A.-3B.3或卷C.D.-3或一金

10.设a=^cos6°-：f：sin6。,b=2sinl3°cosl3°,c=,空史,则有()

A.a>b>cB.a<b<cC.b<c<aD.a<c<b

I巾|<豹的图象如图所示，则f(0)=()

12.已知函数f(x)=sinu)x+cosu)x(u)>0),如果存在实数XI,使得对任意的实数x,都有f(X1)<f(x)<f

(Xj+2015)成立，则3的最小值为()

A・福B-2.015C争讴口.q砥6

二、填空题(共4题；共4分)

13•若I焉=1避1=3,NAOB=60。，则|焉+&1=---------

14.(l+tanl70)(l+tan28°)=

15.如图，在平行四边形ABCD中，AP±BD,垂足为P,且AP=3,则姿/索=

16.若函数f(x)=2sin(3x-争)，有下列结论：①函数f(x)的图象关于点(：普，0)对称;

②函数f(x)的图象关于直线*=:含m对称;

③在xW［争>：意n］为单调增函数.

则上述结论题正确的是.(填相应结论对应的序号)

三、解答题(共6题；共60分)

向<两+a：卜晟2ka扁喊一戢

17.已知f(a)

(1)化简f(a)；

(2)若a是第三象限的角，且sin(a-n)=求f(a)的值;

(3)若a=-零，求f(a)的值.

18.已知函数乳£1=标(满等土薪忒螳赧-嵬*癖®，在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高

点，B,C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形.

(I)求3的值及函数f(x)的值域；

(H)若x£[0,1],求函数f(x)的值域；

一近且沏W-期闻，求f(xo+l)的值.

皿若如

19.已知向量京，石满足|前=1,|||=2,建与石的夹角为120。.

(1)求苏・不及I建+的;

(2)设向量建+石与g-1的夹角为。，求cos。的值.

20.已知函数f(x)=asin(23X+薄)+号+b(x£R,a>0,u)>0)的最小正周期为n,函数f(x)的最大

值是?.最小值是1.

鹏舞

(1)求U)、a^b的值；

(2)求f(x)的单调递增区间.

21.平面内有向量磁=(1,7),项嘉(5,1),短薜(2,1),点X为直线0P上的一个动点.

(1)当京娄♦元京取最小值时，求◎爱的坐标;

(2)当点X满足(1)的条件和结论时，求cosNAXB的值.

22.在平面直角坐标系中，。为坐标原点，A、B、C三点满足温?=者而+或南.

,S忑

(1)求证：A、B、C三点共线；

(2)已知A(1,cosx)>B(1+sinx,cosx),xG[0,等],f(x)=(2m+$)|的

二，，高

最小值为5,求实数m的值.

答案解析部分

一、单选题

1.【答案】B

【考点】平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦函数

【解析】【解答】解：g=cos2250+sin250sinl550

=cos225°+sin25°sin（180°-25°）

=cos2250+sin225°=l.

故选B

【分析】根据平面向量的数量积的运算法则，由向量京=（cos25。，sin25°）,赤（cos25。，sinl550）表

示出送1“W，然后利用诱导公式及同角三角函数间的基本关系化简后，即可求出或的值.

2.【答案】C

【考点】任意角的三角函数的定义

【解析】【解答】解：由题意可得，tan6（T=学，

即亨=本，得a=4后

故选：C.

【分析】直接由60。角的正切的定义列式求得a值.

3.【答案】B

【考点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】解：=tana=:*,则sinacosa=:,=电

故选：B.

【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得sinacosa的值.

4.【答案】D

【考点】向量的加法及其几何意义

【解析】【解答】解：或+麻+降懿，蒿+芨|+菽？翦-或，

^=-2璃=2砺

，P是AC边的一个三等分点.

故选：D.

【分析】用向量的运算法则将等式变形，得到降-2.或，据三点共线的充要条件得出结论：P在AC

边所在的直线上.

5.【答案】D

【考点】两角和与差的余弦函数

【解析】【解答】解：:在△ABC中,AG(0,n),

.爱〈AV宣，

sinA二也一资图烝i=£，

,e4*

/.sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=我K；胃+笠

K哥».>u.>

或sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=-

故选：D.

【分析】先判断A,B的范围，利用同角的三角函数的关系和两角和的正弦即可求得答案

6.【答案】C

【考点】三角函数的最值

【解析】【解答】解：函数f(x)=sin(弹-x)sinx=(sin新osx-cos:^!sinx)sinx=：,sin2x-零」"

=(sin(2x+等)-昱,

)£w

故函数的最大值为I-昱,

斗！

故选：c.

【分析】利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的最值，求得函数的最值.

7.【答案】D

【考点】余弦定理

【解析】【解答】解：约定AB=6,AC=BC=由余弦定理可知8$45。=止土地卷；

解得CE=CF=如，

再由余弦定理得cosNECF=旦贮理2二_女土昌，

2CE-CF

榜双溪龙宵本=皆

c

【分析】约定AB=6,AC=BC=垄，先在△AEC中用余弦定理求得EC,进而在△ECF中利用余弦定理求得

cosECF,进而用同角三角函数基本关系求得答案.

8.【答案】C

【考点】函数y=Asin（3X+。）的图象变换

【解析】【解答】解：函数y=sin3x+cos3x=赤舄曲氯-卓卜故只需将函数y=&xos3x的图象向右平移

登个单位,得到y=否%或蒐一畲1=g■渝J0氮一册的图象.

故选：C.

【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式，然后利用平移原则判

断选项即可.

9.【答案】C

【考点】三角函数中的恒等变换应用

【解析X解答】解：由sine+cos9=a,两边平方可得ZsiBcosg?-1,由aW（0,1）及度日_章号］,

有sin9«cos9<0,且|sin81Vleos。|,

0G（-净总），从而tanQG（-1,0）.

故选：C.

【分析】把已知等式两边平方，可得2sin6・cos。=a?-1,由a的范围及窗—堂号/得sinVcosSVO,

且|sinei〈|cosei，由此得到ew（-泉总），答案可求.

io.【答案】D

【考点】两角和与差的正弦函数

【解析】【解答】解：化简可得a=*cos6。-^,sin6o=sin（30°-6°）=sin24°；b=2sinl3°cosl30=sin26°；

2.

c=售略成：jlr（:卜:储35^二325°,

由三角函数的单调性可知a<c<b

故选：D

【分析】化简可得a=sin24。，b=sin26°,c=sin25°,由三角函数的单调性可得.

11.【答案】D

【考点】由丫=人$而（3X+6）的部分图象确定其解析式

【解析】【解答】解：由图象知A=l,T=4x(

则3=学=2,

止匕时f(x)=sin(2x+cf>),

将(轻，-1)代入解析式得sin(>+4>)=-1,

又|巾|V等，则又拿

所以f(x)=sin(2x+管)，

所以f(0)=sin堂=£.

故选D.

【分析】先由图象确定A、T,然后由T确定3,再由特殊点确定小，则求得函数解析式，最后求f(0)即

可.

12.【答案】B

【考点】两角和与差的正弦函数，正弦函数的图象

【解析】【解答】解：显然要使结论成立，只需保证区间必，Xi+2015］能够包含函数的至少一个完整的

单调区间即可，又；f(x)=sin3X+cos3X=演;sin(u)x+书)，则2015“%空工

-Ti士侬

...瓦【

上.％，必4〉

则3的最小值为：

故选：B.

【分析】由题意可得区间区，xi+2015］能够包含函数的至少一个完整的单调区间，利用两角和的正弦公

式求得f(x)=/sin(3X+手),由20152日•暮求得3的最小值.

二、填空题

13.【答案】3叔

【考点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解：由已知得到赢•丽=|演||瓦|cos/A0B=32x4音,|焉+加

2

|OA|+|OB|2+2亚•丽=32+32+9=27,

所以I斑+m11=&7=3嘉

故答案为：3后1.

【分析】由已知求出菰;扁的数量积，然后将所求平方展开，求值.

14.【答案】2

【考点】两角和与差的正切函数

【解析】【解答】解：原式=l+tanl7°+tan28°+tanl7°・tan28°,又tan(17°+28°)=:普”聿噂产tan45°=l,

tanl7°+tan28°=l-tanl7°«tan28°,

故(l+tanl7°)(l+tan280)=2,

故答案为2.

【分析】由于原式=l+tanl7°+tan28°+tan：L7°・tan28°,再由tan(17°+28°)=包型学空驾=tan45°=l,可

得tanl7°+tan28°=l-tanl7°»tan28°,代入原式可得结果.

15.【答案】18

【考点】平面向量数量积的运算

【解析】【解答】解：设AC与BD交于点。，则AC=2A0

AP±BD,AP=3,

在RtAAPO中，AOcosZOAP=AP=3

'I武|cosNOAP=2|^|xcosNOAP=2|盛|=6，

由向量的数量积的定义可知，・盛出=17/II3差IcosNPAO=3x6=18

故答案为：18

【分析】设AC与BD交于。，则AC=2AO,在RtAPO中，由三角函数可得A0与AP的关系，代入向量的数

量积藁左=1.盛।।武IcosNPAO可求

16.【答案】①②③

【考点】正弦函数的图象

普一帮《,则函数图象关于点(叠，。)对称,

【解析】【解答】解：①f(=2sin(3x

故①正确,②"加=2sin(3x各-等)=2sin免2,则图象关于直线心心叭对称，故②

正确，

③当x日金,翕m，3x-粤口一京停］，此时函数单调递增，故③正确,

故答案为：①②③.

【分析】根据三角函数的图象和性质分别进行判断即可得到结论.

三、解答题

17.【答案】(1)解:f(a)=:—:-------；-------3：—5=：-----；--------------------»

ta成F-以核同：.一.旗一冠：f-tags承血磔

(2)解：由sin(a-n)=X得一偏施魏sin就=

■•A..2t&V

又a是第三象限的角，f(a)=-cosa=-

当)=-

(3)解：:a=-/.f(a)=-cos(-cos

【考点】三角函数的化简求值，运用诱导公式化简求值

【解析】【分析】(1)直接利用诱导公式化简；(2)由已知求出sina的值，然后利用平方关系求得f(a)

的值；(3)把a=-隼代入f(a)=-cosa化简得答案.

18.【答案】解：(］)由已知可得：f(x)=6jew邈上+^sinu)x-3(u)>0)

=3cosa)x+^^sinajx

■

=2#sin(3X+篙),

又由于正△ABC的高为2#，则BC=4,

・・・函数f(x)的周期T=4x2=8,即—=8,

a)=

函数的值域为［-2随，2

(II),/0<x<l,

叙M浮.

—<—x+_<+

磬44¥

&in(£+

—)<1,

342&sin(—+—)<2

函数f(x)的值域为［3,2

即sin(2+

(川)因为f(xo)(I)有f(xo)=2

4

泉=2岳贝(等+

鼠

)sin

34

【考点】两角和与差的正弦函数，二倍角的余弦，y=Asin（3X+4））中参数的物理意义

【解析】【分析】（I）将f（x）化简为f（x）=2'sin（3X+套），由正三角形△ABC的高为2蠢

可求得BC,从而可求得其周期，继而可得3及函数f（x）的值域；（II）由04x41,可求得率x+

f£［易，翦］,利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的值域;（田）由近（-蜀|）可求得

（粤+f）e（-fs争），从而可求得cos（警+普），最后利用两角和的正弦即可求得f（xo+l）

的值.

19.【答案】⑴解：嬴篇J高阍霞/IW=㈱酶;.；二T：

|工藤『=眄四"=春嗫圈帚=野导㈣—加蝠=■

*t-I蟠署副二道；

（2）解：同理可求得「»|=";

『蓝普神.|俣-询=渭-蕾=f-譬=-3；

为我'Aa

•••糜誓窗=%-#之Y=-r^=_停，

【考点】平面向量数量积的运算

【解析】【分析】⑴根据数量积的计算公式即可求出宓.苫，而由质4#=猛4苫?即可求出读4国；

（2）同理可以求出废■一国的值，而可求出偿+£河#-&=术一#=7,从而根据向量夹角余弦

的计算公式即可求出cose.

20.【答案】（1）解：由函数f（x）=asin（2u）x+-）+竺+b的最小正周期为n,

获%

田飘.

f、于—-JT9••（1）—1,

碗

/黎

又f（X）的最大值是最小值是。

44

阈#芝#=二

则.d翦篝

上书冢曲q

刎=一

解得­?鬟：

5，

工较普

(2)解：由(1)知，f(x)=二sin(2x+—)+二，

转转的

当2kn-—<2x+—<2kn+二(k£Z),

兽麻兽

S7S7

即kn--<x<kn+—(kGZ)时，f(x)单调递增，

整踞

K7«7

.-.f(x)的单调递增区间为[kn-kn+-](kWZ)

【考点】正弦函数的图象，由丫=人$访(3X+。)的部分图象确定其解析式

【解析】【分析】(1)由函数f(x)的最小正周期求出3的值，再由f(x)的最值求出a、b的值；(2)

根据正弦函数的图象与性质，令2kn-f=<2x+f<2kn+f(kGZ),即可求出f(x)的单调增区间.

21.【答案】(1)解：设磁，=(x,y),

•・,点X在直线OP上，J.向量敏,与国共线.

又(2，1)，，x-2y=0,即x=2y.

S=(2y,y).又旗.=瀛.-朝，■=(1,7),

旗.=(1-2y,7-y).

同样麴'=福-(5-2y,1-y).

于是覆，露=(1-2y)(5-2y)+(7-y)(1-y)=5y2-20y+12=5(y-2)2-8.

.•.当y=2时，旗・：蕊有最