高考复习之概率与统计考点解析及例题辅导

概率与统计

高考要求：

概率是高考的重点内容之一，尤其是新增的随机变量这部分内容.要充分注意一些重

要概念的实际意义，理解概率处理问题的基本思想方法.

重难点归纳己

本章内容分为概率初步和随机变量两部分.第一部分包括等可能事件的概率、互斥事

件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率和独立重复实验.第二部分包括随机

变量、离散型随机变量的期望与方差.

涉及的思维方忠观察与试验、分析与综合、一般化与特殊化

主要思维形式有8逻辑思维、聚合思维、形象思维和创造性思维.

典型题例示范讲解3

例1有一容量为50的样本，数据的分组及各组的频率数如下：

[10,15]4[30,35)9[15,20)5[35,40)8

[20,25)10[40,45)3[25,30)11

(1)列出样本的频率分布表(含累积频率)；

(2)画出频率分布直方图和累积频率的分布图.

命题意图：本题主要考查频率分布表，频率分布直方图和累积频率的分布图的画法.

知识依托；频率、累积频率的概念以及频率分布表、直方图和累积频率分布图的画法.

错解分析a解答本题时，计算容易出现失误，且要注意频率分布与累积频率分布的区

技巧与方法本题关键在于掌握三种表格的区别与联系.

解：(D由所给数据，计算得如下频率分布表；

数据段频数频率累积频率

[10,15)40.080.08

E15,20)50.100.18

[20,25)100.200.38

[25,30)110.220.60

[30,35)90.180.78

[35,40)80.160.94

[40,45)30.061

总计501

(2)频率分布直方图与累积频率分布图如下a

例2袋子｛和8中装有若干个均匀的红球和白球，从4中摸出一个红球的概率是,，从占

3

中摸出一个红球的概率为p.

(I)从4中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止.

(力求恰好摸5次停止的概率；

(门)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为J,求随机变量J的分布率及数学期望E4.

(II)若A、B两个袋子中的球数之比为12,将48中的球装在一起后，从中摸出一个

2

红球的概率是求p的值.

命题意图：本题考查利用概率知识和期望的计算方法.

知识依托：概率的计算及期望的概念的有关知识

错解分析；在本题中，随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误.

技巧与方法；可借助n次独立重复试验概率公式计算概率.

解：(I)⑴C：x扑停"=5

(ii)随机变量彳的取值为0,1,2,3,；

由n次独立重复试验概率公式P„(k)=C：p*(1-p)"Y,得

P^=0)=C；'x(l-1।噎

4

1I80

%=i)=Gxixi-i

33243

P楮=2)=C；X

P(J=3)=C；x

(或「(八3)=1-号詈号,

随机变量J的分布列是

0123

32808017

P

243243243243

J的数学期望是:

拶=三。+$+㈣x2+jU

24324324324381

(H)设袋子A中有m个球，则袋子B中有2m个琥

1c

>+2呻2…13

由----------=—,得p=—•

3m530

例3如图，用A、B、C三类不同的元件连接成两个系统N1、N2,当元件A、B、C都正

常工作时，系统M正常工作；当元件4正常工作且元件8、C至少有一个正常工作时，系

统N2正常工作.已知元件A、8、C正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90,分别求系统

N1，%2正常工作的概率尸I、Py

解：记元件A、B、C正常工作的事件分别为4、B、C,

由已知条件P(A)=0.80,尸(8)=0.90,尸(C)=0.9a

(1)因为事件4、B、C是相互独立的，所以，系统M正常工作的概率

)

Pt=P(A-B•。=尸(4)/(8)尸(0=0.648,故系统从正常工作的概率为0.64&

(2)系统M正常工作的概率P2=P(A)•[l-P(B-C)]

=P(A).[1-P(B)P(C)J

=0.80X[l-(l-0.90)(1-d90)]=0.792

故系统从正常工作的概率为0.792.

巩固练习a

1.甲射击命中目标的概率是g,乙命中目标的概率是:，丙命中目标的概率是:.现

在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为()

2.已知随机变量0的分布列为：P(4=k)=L&=l,2,3,则P(34+5)等于

3

A.6B.9C3D.4

3.1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品前

已取出的废品数4的期望E4=,

4某班有52人，男女各半，男女各自平均分成两组，从这个班中选出4人参加某项

活动，这4人恰好来自不同组别的概率是f

5.甲、乙两人各进行•次射击，如果两人击中目标的概率都是0.6,计算

(1)两人都击中目标的概率；

(2)其中恰有•人击中目标的概率；

(3)至少有一人击中目标的概率.

0x<i

6,已知连续型随机变量4的概率密度函数式x)=，l<x<2

0x>2

(1)求常数a的值，并画出4的概率密度曲线；

3

⑵求P(l<C<-\

2

7.设P在[0,5]上随机地取值，求方程f+px+/+g=0有实根的概率.

8.设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作.若

一周5个工作日里均无故障，可获利润10万元：发生诙故障可获利润5万元，只发生两

次故障可获利润0万元，发生三次或三次以上故障就要亏损2万元。求一周内期望利润是多

少？

参考答案：

1.解析：设甲命中目标为事件A,乙命中目标为事件8,丙命中目标为事件C,则目

标被击中的事件可以表示为A+8+C,即击中目标表示事件A、B、C中至少有一个发生.

P(ABC)=P(A)-P(B)-P(C)

=[1-P(A)]-[1-P(B)][1-P(C)]

———i3

故目标被击中的概率为1-P(A•B•C)=l----

44

答案：A

2.解标Ef=(1+2+3)•-=2,E^2=(l2+22+32)•-=—

333

°o14o2

：.Df=Ef2-(£f)2=—-22=-.

33

AD(3f+5)=9Ef=&

答案：A

r13

3.解析s由条件知，S的取值为0,1,2,3,并且有P(S=0)=—=-,

1

Jr2-4

尸©=1)==2,产化=2)=£12^1=_2_,p(g=3)==1

2C；244,2C；22202C1220答案：0.3

3991

.-.E£=0x-+lx—+2x——+3x——=0.3

444220220

4解析：因为每组人数为13,因此，每组选1人有Ch种方法，所以所求概率为

4

p(C：3)

1--------O

5.解a(1)我们把“甲射击一次击中目标”叫做事件A,“乙射击一次击中目标”叫做

事件B.显然事件A、B相互独立，所以两人各射击一次都击中目标的概率是P(A・B)

=P(A)•P(B)=0.6X0.6=0.36

答：两人都击中目标的概率是0.36

(2)同理，两人各射击一次，甲击中、乙未击中的概率是

P(A•8)=P(A)•P(B)=O.6X(l-0.6)=0.6X0.4=0.24

甲未击中、乙击中的概率是P(A•B)=P(A)P(B)=0.24,显然，“甲击中、乙未击中”

和“甲未击中、乙击中”是不可能同时发生，即事件A•万与N互斥，所以恰有一人击

中目标的概率是

P(A•B)+P(A•8)=0.24+0.24=0.48

答8其中恰有一人击中目标的概率是0.4&

⑵两人各射击一次，至少有一人击中目标的概率尸=尸(4+[尸(A•B)+P(A)•B]

=0.36+0.48=0.84

答8至少有一人击中目标的概率是0.84

6.解a(1)因为f所在区间上的概率总和为1,

所以,(1-a+2-a),1=1,

2

.1

••ci=一

2

概率密度曲线如图：

31133

(2)P(1<f<-)=--(-+1)--=-

22229

7.