高中数学《数学归纳法》课堂同步练习与检测试卷

选择性必修二《4.4数学归纳法》课堂同步练习

基础练

一、单选题

1.如果f(n)=l+1+1+"•+」一(ndN),那么f(n+l)-f(n)等于()

233«-1

A.」±1

H-----------

3n+2民3〃+1

3n

±11

C.H-------------1------------

3〃+l3n+23〃+13几+2

31151Dl.3±n

2.观察下列式子：1+]<1+7

一

++一+

一

<+一

2-3-1〈一，…，则可归纳出

232232424

11

小于()

(〃+1产

n2n-l八2〃+l02n

A.B.----C,-----D.----

n+1〃+1〃+ln+\

3.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足“当f(k)NY成立时总可推出

何1<+1)与(1<+1)2成立.”则下列命题总成立的是()

A.若f(3)29成立,则当k》l时,均有f(k)成立

B.若f(5)>25成立,则当kW5时,均有f(k)2k2成立

C.若f(7)<49成立,则当kN8时,均有f(k)<k?成立

D.若f(4)=25成立,则当k>4时，均有f(k)2k?成立

4.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-1+---+-+—=2|—^+——

234nA[〃+2〃+42/2

时，若已假设n=k(k22,k为偶数)时命题成立，则还需要用归纳假设证()

A.n=k+1时等式成立B.n=k+2时等式成立

C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立

5.在数歹!J{a#中,a[二』，且Sn=n(2n—l)an,通过求a2,a3,a1,猜想an的表达式为()

3

111

A.----------B.---------C.-------------

(〃-1)(〃+1)2〃(2〃+1)(2n-l)(2n+l)

D.―1

(2〃+1)(2〃+2)

6.己矢口f+'+———I——-—+…+',则()

n-1nn+l〃+2n~

A.f(n)中共有n项，当n=2时,f(2)=』+L

23

B.f(n)中共有(n+1)项,当n=2时,f(2)=1+4+,+，

234

C.f(n)中共有(r?-n+2)项，当n=2时,f(2)=1+—+—+—

234

D.f(n)中共有(n'-n+l)项,当n=2时,f(2)=1+—+—+—

234

二、填空题

7.用数学归纳法证明命题"1+!+!+…组工(n《N.,且n,2)”时,第一步要证明

232"2

的结论是.

8.用数学归纳法证明关于n的恒等式,当n=k时,表达式为

1X4+2X7+…+k(3k+l)=k(k+1)2,1则当n=k+l时,表达式为.

9.用数学归纳法证明关于n的不等式」一+—!—+…+」->上(n£N),由n=k递推到

n+1n+2In24

n=k+l时,不等式的左边的变化为.

三、解答题

10.用数学归纳法证明J+22+32+…+/=幽上IX也里2(nGN.).

参考答案

1.【答案】D

【解析】Vf(n+l)=l+—+-+•••+

233/?-13/13(〃+1)-23(〃+1)-1

111

fn/(nx)=l+—!>一+・・・+----

233〃-l

+」

/.f(n+1)-f(n)=—H---------

3n3(〃+1)・23(〃+1)-1

111

------1-------------1------------

3n3n+l3〃+2

故选D

2.【答案】C

【解析】所猜测的分式的分母为n+1,而分子3,5,7,…,恰好是第(n+1)个正奇数,即2n+l.

故选C

3.【答案】D

【解析】由数学归纳法原理可得，

若f(3)29成立,则当心3时,均有f(k)2k2成立,即A不正确.

若f(5)225成立,则当k25时,均有f(k)2k2成立,即B不正确.

若f(7)<49成立,则当kW6时,均有f(k)。?成立,即C不正确.

若f(4)=25>4?成立,则当心4时,均有f(k)2k?成立.

故选D

4.【答案】B

【解析】根据数学归纳法的步骤,若已假设n=k(k22,k为偶数)时命题成立,则还需要用归

纳假设证下一个偶数,即n=k+2时等式成立.

故选B

5.【答案】C

【解析】:,由ai=—,S„=n(2n-l)a„,得S2=2(2X2-l)a2,

3

BPa.i+a2=6a2,o,2=—=---.

153x5

S3=3(2X3-1)as,即'+'+a产15a”

315

—

355x7

同理可得出=—!-.

7x9

]

据此可猜想a„=

(2〃-1)(2〃+1)

故选C

6.【答案】C

【解析】f(n)中共有n'-(n-O+^n'-n+S项，当n=2时,f(n)=l+—+—+—.

234

故选C

__1112+2

7.【答案】1+—+-+—>---

2342

【解析】因为n》2,所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+：+；+；>竽.

2342

1112+2

故填1+—+—+—>-------

2342

8.【答案】lX4+2X7+-+k(3k+l)+(k+l)(3k+4)=(k+l)(k+2)2

【解析】lX4+2X7+-+k(3k+l)+(k+l)(3k+4)=(k+l)(k+2)2

故填lX4+2X7+-+k(3k+l)+(k+l)(3k+4)=(k+l)(k+2)2

9.【答案】增加，一1

2k+\2k+2

【解析】假设n=k时,不等式成立，即…+-L>11,

k+\k+22k24

则当n=k+l时,不等式左边=一一~\-------------------+•••+-------1---------------1---------------

(z+1)+1(&+1)+22k2k+12(k+1)

11111

-----------1----------+•・・+-------1---------------1-------------

k+2k+32k2k+i2k+2

iiiCiii

----------1-----------+•••+--------F------------1------------------------

攵+1k+22k(2火+12k+2k+1

-----+------+…+—+-------1

A+lk+22k2k+l2k+2

故填增加，一

2k+12&+2

10.【答案】证明略

【解析】证明：⑴当n=l时，左边=代1,右边=1x0+m2x1+1)=],等式成立

6

⑵假设当n=k(k'l,kwN)时等式成立，即l2+22+-+k^fe(fe+1)(2A：+1),

6

则当n=k+l时,

(表+1)(2/+7表+6)/+1)(%+2)(2%+3)

-6一丁

(A+1)[(A+1)+1][2(4+1)+1]

6，

即当n=k+l时等式也成立.

由(1)和(2),可知等式对任何nGN.都成立.

《4.4数学归纳法》课堂同步练习

提高练

一、单选题

1.用数学归纳法证明"5"-2"能被3整除”的第二步中,n=k+l时,为了使用假设,应将5k

2皿变形为()

A.(5"-2k)+4X5k-2kB.5(5k-2k)+3X2kC.(5-2)(5k-2k)

D.2(5k-2")-3X5.

2.已知1+213+3*32+4><33+“5><3鹏=3"(碉-1))+(:对一切门3+都成立,则小1),<:的值为

()

A.a=—,b=c=—B.a=b=c=—

244

C.a=0,b=c=—D.不存在这样的a,b,c

4

3.用数学归纳法证明不等式;+g+；+…+击>]-1(〃6'*,〃22)时，以下说法正

确的是()

A.第一步应该验证当〃=1时不等式成立

B.从“〃=%到〃=k+1”左边需要增加的代数式是二

C.从“〃=%到〃=%+1”左边需要增加2*项

D.从到九=%+1”左边需要增加的代数式是"一+Y—+••・+】

2»】+i2^4-22人

4.已知数列｛%｝满足0<4<1,a｝(Ze/?),若对于任意〃eN"都有

n+an+,

o<«„<an+l<3,则f的取值范围是()

A.(-1,3]B.[0,3]C.(3,8)

D.(8,+00)

二、填空题

5.用数学归纳法证明“当n£N,时，1+2+22+2%…+2丽'是31的倍数"，当n=l时，原式

为，从k到k+1时需增添的项是.

6.已知函数/(x)=土，对于〃eN*，定义(尤)=工［力(力］，则力39(力的解析

式为—

三、解答题

7.1•22+2•32+3•44…+n•(n+l)'幽土2•(ad+bn+c)对于一切正整数n都成立?并说

12

明你的结论.

答案解析

1.【答案】B

【解析】假设当n=k时,A2k能被3整除，当n=k+l时，作如下变形:小引飞襦*-

2X2=5X5-5X2k+3X2k=5(5k-2k)+3X2k,就可以应用假设.故选B.

故选B

2.【答案】A

【解析】•••等式对一切neN.都成立，当n=l,2,3时等式成立,将其分别代入等式,得

1=3(a-b)+c,

<1+2x3=32(2a-b)+c,解得a=,，b=c=L.

1+2X3+3X32=33(3>a-b)+c,

故选A

3.【答案】D

【解析】第一步应该验证当〃=2时不等式成立，所以A不正确;

11111111、111

因为1-----1-----F,■•H---;(1-----1-----1-…H;~~-)=-;~~:------1;~~:-------F-------，

2342*2342t-1+12k-'+22k

所以从“〃=%到〃=Z+1”左边需要增加的代数式是L++…+

7r,所以

2k~'+12"'2

3不正确;

所以从“〃=攵到〃=左+1”左边需要增加21项，所以C不正确。

故选D

4.【答案】B

4a+3

【解析】用排除法：当1=3时，。〃+】=明显有为>°，

4+2

下面用数学归纳法证明4<3,

当〃=1时，0<q<1<3,成立;

假设当〃=%时，为<3成立，

4劣+35.5、

则当“=%+1时，％+i=——=4------<4-——=3,

ak+2ak+23+2

所以当〃=Z+I时，%+i<3成立，

综上：对任意〃wN*，都有〃〃<3；

44+3_4a„+3-c^n-2a„_(-«„+3)(«„+1)

另外％一。〃K"一

所以4<《用，

所以当，=3时，。<%<4,+i<3恒成立，排除CD；

1

当一加心4a--44a—

"2,若〃=1,则’2,因为0<q<l,此时生<0

Ct9—

q+2~q+2

是有可能的，故排除A,

故选B.

5.［答案］1+2+22+23+2',25k+25ktl+25kt2+25k*3+25l<M

【解析】；当n=l时,原式应加到25X1=2",

原式为1+2+22+23+24.

从k到k+1时需添上25k+25k，1+-+25(ktl)-1.

2345k5k+15kt25M5kt4

故填1+2+2+2+2,2+2+2+2+2

x

6.【答案】

2019x4-1

【解析】•.・函数对于〃eN*，定义口仆）=九/.（功,

X

771二%

x+]2x+1

X+1

X

X

力（力=加&（幻］=工2x+l=1

2x4-1，+1飞+1

2x+l

.¥

x3x+l二尢

力（幻=）［力（X）］=J

3x+l上+J4x+1

3x+l

由此可以猜想/,（%）=x

nx+\

x

以下用数学归纳法证明：当〃=1时，/（尤）=彳，显然成立;

Y

假设〃=%时成立，即入（x）=^一

依+1

X

X,4—

则〃=攵+1时，加（力=川启切=息+1西诃也成“

kx+\

x

故工(x)=

nx+l

x

•二人019(%)=

2019x+l

X

故填一--.

2019X+1

7.【答案】存在a=3,b=ll,c=10使等式对一切正整数n都成立，证明略

【解析】假设存在常数a,b,c,使等式对于一切正整数n成立,

4=，(〃+/7+c),

令n=l,2,3得《22=—(4a+2b+c),

2

70=9。+3人+c,

a+b+c=24,4=3,

整理得《4。+2。+c=44,解得<b=ll,

9。+3〃+c=70,c=10.

令S„=l•2?+2•32+3•42+-+n•(n+1)2.

?(+

于是对于n=l,2,3,等式Sn=--(3n2+lln+10)成立.

12

用数学归纳法证明等式对于一切nGN,都成立,过程如下：

①当n=l时，已得等式成立.

②假设n=k(k2l,keN)时,等式成立，

即Sk=」"+D(3k2+llk+10),

12

2

则n=k+l时,Sk+i=Sk+(k+l)(k+2)

=k**0(3k2+llk+10)+(k+l)(k+2)2

12

='*+1)(k+2)(3k+5)+(k+l)(k+2)2

12

=(A+l)("+2)[k(3k+5)+12(k+2)]

12

=(左+l)(Z+2)=(k+i)2+ii(k+i)+io]

12

/.当n=k+l时,等式也成立.

根据①②可以断定,对于一切n^N,等式都成立,即存在a=3,b=U,c=10使等式对一切正整数

n都成立.

《4.4数学归纳法》课堂同步检测试卷

一、单选题

1.用数学归纳法证明—1+3—5+…+(—1)"(2〃-1)=(—1)”“，成立.那么，“当

“=1时，命题成立”是“对时，命题成立”的()

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

2.用数学归纳法证明“i+a+/+3+M+i=L_^(awL〃£N*)"，在验证〃=1是

1一。'7

否成立时，左边应该是()

A.1B.1+。C.1+。+。2D.\+a+a2+CT1

3.某个命题与自然数〃有关，若〃=k(ZeN")时命题成立，那么可推得当〃=%+1时该

命题也成立，现已知〃=5时，该命题不成立，那么可以推得()

A.〃=6时该命题不成立B.〃=6时该命题成立

C.〃=4时该命题不成立D.〃=4时该命题成立

4.用数学归纳法证明不等式工+,+,+…+二>"—1（〃61<,〃..2）时，以下说法正

2342"-12'7

确的是（）

A.第一步应该验证当〃=1时不等式成立

B.从“〃=%到〃=攵+1”左边需要增加的代数式是］

C.从“〃=%到〃=Z+1”左边需要增加力项

D.以上说法都不对

42

5.用数学归纳法证明1+2+3+…+〃2=L±ZL,则当〃=左+1时，左端应在〃=人的

2

基础上加上（）

A.左2+1B.（左+1）

C,伊+1）+（女2+2）+…+（2+1）2口.（"+1）+（"+1

6.用数学归纳法证明等式，1+2+3+…+2〃=〃（2"+1）时，由“=%到〃=k+l时，等

式左边应添加的项是（）

A.2k+\B.2k+2

C.（2攵+1）+（2攵+2）D.（左+1）+（攵+2）+…+2左

7.用数学归纳法证：1+^+1+…+，一<

:〃（〃wN*时〃>1）第二步证明中从“k

2320-1

到k+1”左边增加的项数是（）

A.2"+1项B.2*—1项C.项I）.2*项

8.已知n为正偶数，用数学归纳法证明

,1111（11…+二］时，若已假设〃=女色22为偶数）

1一一+-----+...+----=2----+----+

23471+1［〃+2〃+42n）

时命题为真，则还需要用归纳假设再证〃=（）时等式成立

A.〃=攵+1B.n=k+2C.n=2k+2D.〃=2伙+2）

11,N。时，从〃=攵到〃=攵+1,不等式左边

9.用数学归纳法证明---------1------+---...+

几+1n+23〃6

需添加的项是（）

1111

A.-----1-------------1-------B.+」

3女+13后+23k+33Z+13k+23k+3k+1

11

C.-----D.

3&+13A+3

nr1+1）

10.用数学归纳法证明1+2+3+…+〃，则当〃=Z+1时，左端应在

~2

〃=人的基础上加上（）

A.k2+1B.（女+1）2

D.（公+贴+2）

C.（左2+1）+（左2+2）+…+（左+1）2

2

11.用数学归纳法证明"5"-2"”能被3整除”的第二步中〃=左+1时，为了使用假设,

应将5』一2=变形为（）

A.（5*-2i'）+4x5i-2*B.5（5A'_2i'）+3x2*

C.（5-2）（5x-2A）D.5（5*-2A）-3X5"

12.已知数列｛q｝的前〃项和S”=/,数列也｝满足d=k）g,4卢（0<“<1）,（是

数列也,｝的前“项和，若M“=glog“a”+1,则工,与M”的大小关系是（）

A.Tn>MnB.Tn>MnC.Tn<M„D.T„<M„

二、填空题

13.用数学归纳法证明“1+；+；+・一+5匕<〃（〃€7^*,〃>1）”时，由〃=k（%>l）不

等式成立，推证〃=左+1时，则不等式左边增加的项数共项

14.用数学归纳法证明等式，1+2+3+…+2〃=〃（2"+1）时，由〃=左至!]〃=k+l时，

等式左边应添加的项是

（2攵+1）+（24+2）（24+1）+（2Z+2）15.凸n边形的对角线的条数为/（〃），则凸〃+1

边形有对角线条数/'（〃+1）为

16.用数学归纳法证明」一+—1—+……时，从〃=攵到〃=%+1,不等式左

n+1〃+23力6

边需添加的项是.

17.已知正项数列｛。“｝满足4=1,前〃项和5.满足45“=（47+3）2（〃22,〃€叱），

则数列｛4｝的通项公式为.

18.已知正项数列｛%｝的前〃项和为S,,,数列⑸｝的前"项积为7；,若S,+27；=l,

则数列|\中最接近2019的是第项•

三、解答题

19.求证：（〃+1）（〃+2）…（2〃）=2"…・（2〃—1）.

20.用数学归纳法证明：l+2+1+，+...+I—

2342”-1

八1、

21.已知数列4用=（1+—）«„,〃eN*，且q=1.

2

（1）若也｝的前"项和为g,求｛〃,,｝和也｝的通项公式

,o9

（2）若仇=〃",求证：an<—

22.设数列｛%｝为前〃项和为S“，4=2,数列｛S.+2｝是以2为公比的等比数列.

（1）求;

（2）抽去数列。”中的第1项，第4项，第7项，…，第3”—2项，余下的项顺序不变,

组成一个新数列｛5｝,若｛j｝的前〃项和为北，求证：

答案解析

一、单选题

1.用数学归纳法证明一1+3-5+…+（-1）"（2〃-1）=（一1）”〃，成立.那么，“当

〃=1时，命题成立”是“对〃eN*时，命题成立”的（）

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

【答案】B

【解析】“当〃=1时，命题成立”不能推出“对〃wN*时，命题成立”，

“对〃eN*时，命题成立”可以推出“当〃=1时，命题成立”，

所以“当〃=1时，命题成立"是“对“wN*时，命题成立”的必要不充分/

故选B

1_〃〃+2

2.用数学归纳法证明"1+4+42+.••+征用=，在验证〃=1是

1-（2V'

否成立时，左边应该是（）

A.1B.1+aC.l+a+a~D.1+

【答案】C

【解析】用数学归纳法证明“1+4+〃2+...+尸=1丁（awl,〃eN*）”,在验证

”=1时，把”=1代入，左边=1+。+/.

故选C.

3.某个命题与自然数〃有关，若〃=女伙eN*）时命题成立，那么可推得当〃=%+1时该

命题也成立，现已知〃=5时，该命题不成立，那么可以推得（）

A.〃=6时该命题不成立B.〃=6时该命题成立

C.〃=4时该命题不成立D.〃=4时该命题成立

【答案】C

【解析】假设“=4时该命题成立，由题意可得〃=5时，该命题成立，而〃=5时，该命

题不成立，所以〃=4时，该命题不成立.而〃=5时，该命题不成立，不能推得〃=6该命

题是否成立.

故选C.

4.用数学归纳法证明不等式4+，+，+…+人>〃—时，以下说法正

确的是()

A.第一步应该验证当〃=1时不等式成立

B.从“〃=々到〃=%+1”左边需要增加的代数式是]

C.从“〃=%到〃=攵+1”左边需要增加2*项

D.以上说法都不对

【答案】D

【解析】第一步应该验证当n=2时不等式成立,所以A不正确；

…1111/111、111

因为1---1--1-…H(1----1--1-…d-)=——----1-----F••■―-,

2342*2342k-'2k-'+12*-|+22*

所以从“〃=%到〃=后+1”左边需要增加的代数式是7+^/一^+…+所以

2^+121+22人

B不正确；

所以从“〃=%到”=后+1”左边需要增加21项，所以C不正确。

故选D

42

5.用数学归纳法证明1+2+3+...+〃2=土上匕，则当“=%+1时，左端应在“=女的

2

基础上加上()

A.k2+\B.(左+1)?

C.(公+1)+(左2+2)+…+(左+])2D.(>+1)+("+1)

【答案】C

【解析】当n=k时,等式左端=1+2+…+k)

当n=k+l时等式左端=1+2+…+?+1^+1+1^+2+…+(k+1)?增加了项(k2+l)+(kz+2)+

(k2+3)+•••+(k+1)2.

故选c.

6.用数学归纳法证明等式，1+2+3+...+2〃=〃（2〃+1）时，由〃=%到〃=%+1时，等

式左边应添加的项是（）

A.2k+\B.2k+2

C.（2攵+1）+（2攵+2）D.（左+1）+（左+2）+...+2左

【答案】C

【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由〃=%到〃=左+1时，等式左边

增加了

[1+2+3+.••+2&+（2左+1）+2（左+1）]—（1+2+3+.—+2左）=（2k+1）+（2&+2）,

故选C.

7.用数学归纳法证：1+2+1+・"+，一<〃（〃€N*时〃>1）第二步证明中从“上

232"-1

到Z+1”左边增加的项数是（）

A.2"+1项B.2衣-1项C.21项D.2人项

【答案】D

【解析】当〃=%时，左边=l+；+g+…+手匕，易知分母为连续正整数，所以，共有

2k-1项；

当〃=%+1时，左边=1+^+^+"'+王七，共有2印一1项：

所以从“出到k+1”左边增加的项数是2"1—1—（2*-1）=2"项.

故选D

8.已知n为正偶数，用数学归纳法证明

1—q+彳—…H------2|-----+•••+-若已假设〃—k（k>2为偶数）

234n+1<〃+2〃+4In）

时命题为真，则还需要用归纳假设再证〃=（）时等式成立

A.n=k+\B.n=k+2C.〃=2左+2I）.〃=2（左+2）

【答案】B

【解析】若己假设n=k（k22,k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数,

所以还需要证明好1<+2成立.、

故选B.

9.用数学归纳法证明」一+」一+

+—>-Bt,从〃=%到〃=%+1,不等式左边

n+\n+23n6

需添加的项是（）

111

A.-----1-------1------

3左+13k+23k+33k+13k+23k+3Zc+1

、11

“3k+]3A+3

【答案】B

【解析】当〃=攵时，所假设的不等式为:二+丁=+……+

k+lk+23k6

当〃=Z+1时，要证明的不等式为

，+，+…+L

k+2k+23k3左+13女+23k+36

故需添加的项为:--------1----------1-----------------

3&+13k+23k+3&+1

故选B.

〃2储2+。

10.用数学归纳法证明1+2+3+…+"=」____L,则当“=2+1时，左端应在

2

〃=人的基础上加上（）

A.k2+lB.（左+1）?

C.（公+1）+俨+2）+…+（左+炉口.（*+]）（*+2）

【答案】C

【解析】当"=%时，等式左端=1+2+...+/,

当〃=攵+1时，等式左端=1+2+...+%2+左2+1+&2+2+3+（左+［）2,

增加了项俨+1）+（%2+2）+（公+3）+…+（k+i）2.

故选C.

11.用数学归纳法证明能被3整除”的第二步中〃=左+1时，为了使用假设，

应将51_2川变形为（）

A.（5"—2"）+4x5*—2&B.5（5*—2*）+3x2*

C.（5-2）（5*-2*'）D.5（5*-2。-3x5*

【答案】B

【解析】根据数学归纳法，

当〃=攵+1时，

应将5日—2A+I变形为5（5«—2"）+3x2。

此时，5（5"—2”）和3x2k都可以被3整除.

故该变形是合理的.

故选瓦

12.已知数列｛q｝的前w项和S”=/,数列也卜满足“=log“4卢（0<。<1）,7；是

数列也｝的前〃项和，若此=Jog“a用，则q与此的大小关系是（）

A.Tn>MnB.Tn>MnC.Tn<MnD.T„<Mn

【答案】C

【解析】因为S,=〃2,所以4=1,4=5.-51=2"-1（〃22）适合11=1,所以%二2〃-1.

2〃

所以a=log"：；_

2n-l

i2[4]6]2ni2462n.

所以7；=log„-+log„-+log“-+log„-~~-=log（z-x-x-x...-~-）

1352n-la1352n-l

=；log„«,I+I=1log„（2n+1）=log„J2〃+1,

下面利用数学归纳法证明不等式…X嚓（嵩（女心

右边W

（1）当〃=1时，左边左边（右边，不等式成立,

2

,2n—12n

(2)•.•4n2-l<4n2,即(2〃+1)(2〃-1)<(2〃y.HP^—<-~~-

2〃2/1+1

.以+1_1_

"2(k+1)(J2k+3'

假设当〃=%时，原式成立，BP^X1X...X^-1<-=L=,

232k2k+1

m,,，…i12k2k+112k+\12k+l1

那么当〃=Z+1时，1即1rl1X—X...X-----X------<—,«-------=-------<—],

232k2(^+1)V2I+T2(*+1)2a+1)

即〃=%+1时结论成立.

根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数〃都成立.所以

246277

—X—X—X->V2n+1,

1352n-l

2462n1-----

因为0<aVl,所以----)<logrt5/277+1,

1352〃一1

所以r

故选c

二、填空题

13.用数学归纳法证明“1+,+!+…时，由"=-4>1）不

等式成立，推证〃=k+1时，则不等式左边增加的项数共项

【答案】2k

【解析】当〃=左（左>1）时，不等式左边为1+,+工+…+一一，

232*-1

当“=%+1伏>1）时，不等式左边为1H----1-----1■…H—------1——+,••H——-----,

232*-12k2k+'-1

则由〃=/（%>1）不等式成立，推证〃=左+1时，

则不等式左边增加的项数共一1—2*+1=2*项，

故填

14.用数学归纳法证明等式，1+2+3+...+2〃=〃（2"+1）时，由〃=々到“=k+l时，

等式左边应添加的项是.

【答案】（24+1）+（2%+2）

【解析】因为要证明等式的左边是连续正整数，所以当由〃=%到〃=%+1时，等式左边

增加了

口+2+3+.—+2女+（2左+1）+2（女+1）］—（1+2+3+.—+2女）=（2女+1）+（2左+2）

故填（2Z+l）+（2Z+2）.

15.凸n边形的对角线的条数为/（〃），则凸〃+1边形有对角线条数/（〃+1）为

【答案】fW+n-l

【解析】在凸n边形的一边外加一点，此点与该边的两点连接可得到凸〃+1边形，因此原

凸n边形的这条边变为对角线，增加的第〃+1个顶点与原来凸n边形的〃-2顶点的连线

也是增加的对角线，共增加了〃-2+1=〃一1条，所以/（〃+1）=/（"）+”-1.

故填/（〃）+〃—1.

16.用数学归纳法证明」一+―!—+……时，从〃=%到〃=%+1,不等式左

H+1〃+23〃6

边需添加的项是.

【答案】,/,+_/_+_/_--r~—

3k+13Z+23%+3攵+1

【解析】当〃=%时，所假设的不等式为丁工+丁工+……,

k+\k+23k6

当〃=%+1时，要证明的不等式为

+-------+.....+-----1-

A+2k+23k3&+13k+23k+36

故需添加的项为:

3A+13k+23A+3Z+l

故填------1-----------1-------------------.

3k+l3k+23k+3k+\

17.已知正项数列｛4,｝满足q=1,前〃项和S“满足4s“=(《-+3)2(〃N2,〃wN*),

则数列｛4｝的通项公式为an=.

【答案】2〃一1

【解析】当〃=1时，4=1；

当〃