等比数列练习题(有答案)

一、等比数列选择题1．在数列中，，对任意的，，若，则（）A．3 B．4 C．5 D．62．在等比数列中，，，则（）A． B． C． D．3．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝2，且a1，a3，a4成等比数列，则Sn取最大值时n的值为（）A．4 B．5 C．4或5 D．5或64．若1，，4成等比数列，则（）A．1 B． C．2 D．5．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．6．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为（）A．-3+(n+1)×2n B．3+(n+1)×2nC．1+(n+1)×2n D．1+(n-1)×2n7．在和之间插入个数，使这个数成等比数列，则公比为（）A． B． C． D．8．已知等比数列满足，则等于（）A． B． C． D．9．数列是等比数列，，，则（）A． B． C． D．110．设，，数列的前项和，，则存在数列和使得（）A．，其中和都为等比数列B．，其中为等差数列，为等比数列C．，其中和都为等比数列D．，其中为等差数列，为等比数列11．题目文件丢失！12．在数列中，，，则（）A．32 B．16 C．8 D．413．已知是各项均为正数的等比数列，，，则（）A．80 B．20 C．32 D．14．在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是（）A．25 B． C．5 D．15．若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2022积数列”，且a1>1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的最大值为（）A．1009 B．1010 C．1011 D．202016．已知等比数列中，，，则（）A． B． C． D．17．已知等比数列的通项公式为，则该数列的公比是（）A． B．9 C． D．318．正项等比数列的公比是，且，则其前3项的和（）A．14 B．13 C．12 D．1119．已知等比数列中，，，，则（）A．2 B．3 C．4 D．520．等比数列的各项均为正数，且.则（）A．3 B．505 C．1010 D．2020二、多选题21．在数列中，如果对任意都有（为常数），则称为等差比数列，k称为公差比下列说法正确的是（）A．等差数列一定是等差比数列B．等差比数列的公差比一定不为0C．若，则数列是等差比数列D．若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比22．已知等差数列，其前n项的和为，则下列结论正确的是（）A．数列|为等差数列 B．数列为等比数列C．若，则 D．若，则23．设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数、，都有，若，，数列的前项和组成数列，则有（）A．数列递增，且 B．数列递减，最小值为C．数列递增，最小值为 D．数列递减，最大值为124．若数列的前项和是，且，数列满足，则下列选项正确的为（）A．数列是等差数列 B．C．数列的前项和为 D．数列的前项和为，则25．设是无穷数列，，，则下面给出的四个判断中，正确的有（）A．若是等差数列，则是等差数列B．若是等差数列，则是等差数列C．若是等比数列，则是等比数列D．若是等差数列，则都是等差数列26．在公比为等比数列中，是数列的前n项和，若，则下列说法正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．27．设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是（）A．S2019<S2020 B．C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值28．设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（）A．数列为等比数列B．数列的通项公式为C．数列为等比数列D．数列的前项和为29．已知数列的首项为4，且满足，则（）A．为等差数列B．为递增数列C．的前项和D．的前项和30．已知等比数列的公比为q，前n项和，设，记的前n项和为，则下列判断正确的是（）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则31．将个数排成行列的一个数阵，如下图：该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列（其中）.已知，，记这个数的和为.下列结论正确的有（）A． B．C． D．32．数列为等比数列（）.A．为等比数列B．为等比数列C．为等比数列D．不为等比数列（为数列的前项）33．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若

，

，则下列说法正确的是（）A． B．数列是等比数列C． D．数列是公差为2的等差数列34．已知数列是等比数列，则下列结论中正确的是（）A．数列是等比数列B．若，，则C．若，则数列是递增数列D．若数列的前和，则35．等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足.，，下列选项中，正确的结论有（）A．B．C．的值是中最大的D．使成立的最大自然数等于198【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、等比数列选择题1．C【分析】令，可得，可得数列为等比数列，利用等比数列前n项和公式，求解即可.【详解】因为对任意的，都有，所以令，则，因为，所以，即，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，解得n=5，故选：C2．C【分析】根据条件计算出等比数列的公比，再根据等比数列通项公式的变形求解出的值.【详解】因为，所以，所以，所以，故选：C.3．C【分析】由等比数列的性质及等差数列的通项公式可得公差，再由等差数列的前n项和公式即可得解.【详解】设等差数列的公差为，成等比数列，即，则，，所以当或时，取得最大值.故选：C.4．B【分析】根据等比中项性质可得，直接求解即可.【详解】由等比中项性质可得：，所以，故选：B5．D【分析】由利用，得到数列是以1为首项，为公比的等比数列，进而得到是以1为首项，为公比的等比数列，利用等比数列前n项和公式得到，，将恒成立，转化为对恒成立，再分为偶数和为奇数讨论求解.【详解】当时，，得；当时，由，得，两式相减得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列.因为，所以.又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，，由，得，所以，所以.又，所以，所以，即对恒成立，当为偶数时，，所以，令，则数列是递增数列，所以；当为奇数时，，所以，所以，所以.综上，实数的取值范围是.故选：D.【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种：一是判断数列问题中的一些不等关系；二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.6．D【分析】利用已知条件列出方程组求解即可得，求出数列{an}的通项公式，再利用错位相减法求和即可.【详解】设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得，两式相除得1+q3=9，解得q=2，进而可得a1=1，所以an=a1qn-1=2n-1，所以nan=n×2n-1.设数列{nan}的前n项和为Tn，则Tn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1，2Tn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n，两式作差得-Tn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=-n×2n=-1+(1-n)×2n，故Tn=1+(n-1)×2n.故选：D.【点睛】本题主要考查了求等比数列的通项公式问题以及利用错位相减法求和的问题.属于较易题.7．D【分析】根据等比数列定义知，解得答案.【详解】个数成等比数列，则，故.故选：D.8．C【分析】根据已知条件先计算出等比数列的首项和公比，然后根据等比数列的前项和公式求解出的结果.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，故选：C.9．A【分析】分析出，再结合等比中项的性质可求得的值.【详解】设等比数列的公比为，则，由等比中项的性质可得，因此，.故选：A.10．D【分析】由题设求出数列的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.【详解】解：，当时，有；当时，有，又当时，也适合上式，，令，，则数列为等差数列，为等比数列，故，其中数列为等差数列，为等比数列；故C错，D正确；因为，，所以即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错.故选：D.【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.11．无12．C【分析】根据，得到数列是公比为2的等比数列求解.【详解】因为，所以，所以数列是公比为2的等比数列．因为，所以．故选：C13．A【分析】由条件求出公比，再利用前4项和和公比求的值.【详解】根据题意，由于是各项均为正数的等比数列，，，∴，，则.故选：A14．B【分析】由等比数列的性质，求得，再结合基本不等式，即可求得的最大值，得到答案.【详解】由等比数列的性质，可得，又因为，所以，所以，当且仅当时取等号．故选：B.15．C【分析】根据数列的新定义，得到，再由等比数列的性质得到，再利用求解即可.【详解】根据题意：，所以，因为{an}等比数列，设公比为，则，所以，因为，所以，所以，所以前n项的乘积取最大值时n的最大值为1011.故选：C.【点睛】关键点睛：本题主要考查数列的新定义以及等比数列的性质，数列的最值问题，解题的关键是根据定义和等比数列性质得出以及进行判断.16．B【分析】根据等比中项的性质可求得的值，再由可求得的值.【详解】在等比数列中，对任意的，，由等比中项的性质可得，解得，，，因此，.故选：B.17．D【分析】利用等比数列的通项公式求出和，利用求出公比即可【详解】设公比为，等比数列的通项公式为，则，，，故选：D18．B【分析】根据等比中项的性质求出，从而求出，最后根据公式求出；【详解】解：因为正项等比数列满足，由于，所以.所以，，因为，所以.因此.故选：B19．B【分析】本题首先可设公比为，然后根据得出，再然后根据求出，最后根据等比数列前项和公式即可得出结果.【详解】设等比数列的公比为，则，即，因为，所以，则，即，解得，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查根据等比数列前项和求参数，能否根据等比数列项与项之间的关系求出公比是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.20．C【分析】利用等比数列的性质以及对数的运算即可求解.【详解】由，所以.故选：C二、多选题21．BCD【分析】考虑常数列可以判定A错误，利用反证法判定B正确，代入等差比数列公式判定CD正确.【详解】对于数列，考虑，无意义，所以A选项错误；若等差比数列的公差比为0，，则与题目矛盾，所以B选项说法正确；若，，数列是等差比数列，所以C选项正确；若等比数列是等差比数列，则，，所以D选项正确.故选：BCD【点睛】易错点睛：此题考查等差数列和等比数列相关的新定义问题.解决此类问题应该注意：（1）常数列作为特殊的等差数列公差为0；（2）非零常数列作为特殊等比数列公比为1.22．ABC【分析】设等差数列的首项为，公差为,，其前n项和为，结合等差数列的定义和前n项的和公式以及等比数列的定义对选项进行逐一判断可得答案.【详解】设等差数列的首项为，公差为,其前n项和为选项A.，则（常数）所以数列|为等差数列，故A正确.选项B.,则（常数），所以数列为等比数列，故B正确.选项C.由，得，解得所以，故C正确.选项D.由，则，将以上两式相减可得：，又所以，即，所以D不正确.故选：ABC【点睛】关键点睛：本题考查等差数列和等比数列的定义的应用以及等差数列的前n项和公式的应用，解答本题的关键是利用通项公式得出，从中解出，从而判断选项C，由前n项和公式得到，，然后得出，在代入中可判断D，属于中档题.23．AC【分析】计算的值，得出数列的通项公式，从而可得数列的通项公式，根据其通项公式进行判断即可【详解】解：因为，所以，所以，，……所以，所以，所以数列递增，当时，有最小值，故选：AC【点睛】关键点点睛：此题考查函数与数列的综合应用，解题的关键是由已知条件赋值归纳出数列的通项公式，进而可得数列的通项公式，考查计算能力和转化思想，属于中档题24．BD【分析】根据，利用数列通项与前n项和的关系得，求得通项，然后再根据选项求解逐项验证.【详解】当时，，当时，由，得，两式相减得：，又，所以数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，所以，，数列的前项和为，则，所以，所以，故选：BD【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，②等比数列的前n项和公式；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．25．AD【分析】利用等差数列的通项公式以及定义可判断A、B、D；利用等比数列的通项公式可判断B.【详解】对于A，若是等差数列，设公差为，则，则，所以是等差数列，故A正确；对于B，若是等差数列，设公差为，，即数列的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B不正确，D正确.对于C，若是等比数列，设公比为，当时，则，当时，则，故不是等比数列，故C不正确；故选：AD【点睛】本题考查了等差数列的通项公式以及定义、等比数列的通项公式以及定义，属于基础题.26．ACD【分析】根据等比数列的通项公式，结合等比数列的定义和对数的运算性质进行逐一判断即可.【详解】因为，所以有，因此选项A正确；因为，所以，因为常数，所以数列不是等比数列，故选项B不正确；因为，所以选项C正确；，因为当时，，所以选项D正确.故选：ACD【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的应用，考查了等比数列前n项和公式的应用，考查了等比数列定义的应用，考查了等比数列的性质应用，考查了对数的运算性质，考查了数学运算能力.27．AB【分析】由已知确定和均不符合题意，只有，数列递减，从而确定,，从可判断各选项．【详解】当时，，不成立；当时，，不成立；故，且,，故，A正确；，故B正确；因为,，所以是数列中的最大值，C，D错误；故选：AB【点睛】本题考查等比数列的单调性，解题关键是确定,．28．AD【分析】由已知可得，结合等比数列的定义可判断A；可得，结合和的关系可求出的通项公式，即可判断B；由可判断C；由分组求和法结合等比数列和等差数列的前项和公式即可判断D.【详解】因为，所以．又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故A正确；所以，则．当时，，但，故B错误；由可得，即，故C错；因为，所以所以数列的前项和为，故D正确．故选:AD．【点睛】本题考查等比数列的定义，考查了数列通项公式的求解，考查了等差数列、等比数列的前项和，考查了分组求和．29．BD【分析】由得，所以可知数列是等比数列，从而可求出，可得数列为递增数列，利用错位相减法可求得的前项和，由于，从而利用等差数列的求和公式可求出数列的前项和.【详解】由得，所以是以为首项，2为公比的等比数列，故A错误；因为，所以，显然递增，故B正确；因为，，所以，故，故C错误；因为，所以的前项和，故D正确.故选：BD【点晴】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，涉及到递推公式求通项，错位相减法求数列的和，等差数列前n项和等，考查学生的数学运算能力，是一道中档题.30．BD【分析】先求得的取值范围，根据的取值范围进行分类讨论，利用差比较法比较出和的大小关系.【详解】由于是等比数列，，所以，当时，，符合题意；当时，，即，上式等价于①或②.解②得.解①，由于可能是奇数，也可能是偶数，所以.综上所述，的取值范围是.，所以，所以，而，且.所以，当，或时，，即，故BD选项正确，C选项错误.当时，，即.当或时，，A选项错误.综上所述，正确的选项为BD.故选：BD【点睛】本小题主要考查等比数列的前项和公式，考查差比较法比较大小，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.31．ACD【分析】根据题设中的数阵，结合等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式，逐项求解，即可得到答案.【详解】由题意，该数阵第一列的个数从上到下构成以为公差的等差数列，每一行的个数从左到右构成以为公比的等比数列，且，，可得，，所以，解得或（舍去），所以选项A是正确的；又由，所以选项B不正确；又由，所以选项C是正确的；又由这个数的和为，则，所以选项D是正确的，故选ACD.【点睛】