经济数学（第三版） 课件 第六章 投入产出模型的建立

第六章

投入产出模型的建立目

录CONTENTS1总产值价值形成问题及解决方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue2使用EXCEL讨论投入产出问题UsingExceltoDiscussInput-outputProblems3进一步学习的数学知识：线性代数初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra总产值价值形成问题及解决方案ProblemsandSolutionsintheFormationofTotalOutputValue1一、问题引入试建立线性方程组来确定当工业、农业和服务业面临的最终需求分别为33、8和16万亿元时，各部门的总产出应该是多少？表6-1投入产出表(万亿元)1.总产值价值形成问题一、问题引入任何产品生产的技术过程都是一个投入产出过程，引例要求我们回答的就是分析系统各部门之间相互输入(投入)和输出(产出)的产品的数量关系。当我们考虑一个工业体系时，会发现每种工业都需要使用其它工业的“产出”作为自己的原材料，反过来，它所“产出”的产品又必然是某些别的工业的“投入”，从而构成了相互依赖的关系。那么，如何把各部门的投入来源和产出方向去向纵横交叉地编制成投入产出表？如何根据产出表的平衡关系，建立投入产出模型？如何借助投入产出表和投入产出模型进行各种经济分析？1.总产值价值形成问题一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型平衡关系③每一个部门的总投入等于该部门的总产出。①从纵向看，中间投入+最初投入=总投入。②从横向看，中间使用+最终需求=总产出。一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型直接消耗系数：计算每个部门总产出1元价值的产品时，相应各部门向该部门的直接输出所占的比例。表6-2直接消耗系数表你能解释其经济意义吗？一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型表6-3计划投入产出表(万亿元)一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型根据投入产出表行的平衡关系，有以下消耗平衡方程组：一、问题引入2.总产值价值形成问题的数学模型消耗平衡方程组最终需求分别为33、8和16时，三个部门的总产出应该为50、30和40。本章重点：解线性方程组(6.2)二、矩阵的概念线性方程组(6.2)的系数、右端常数按照原来的位置摆放，构成一个矩形数表：引例2不难发现，数表(6.3)决定了方程组(6.2)是否有解，以及如果有解，解是什么等问题.因而研究这个数表就很有必要.(6.3)二、矩阵的概念二、矩阵的概念几种特殊矩阵行矩阵列矩阵N阶方阵所有元素均为零的矩阵，记为Om×n零矩阵二、矩阵的概念单位矩阵几种特殊矩阵二、矩阵的概念定义：矩阵相等

如果都是m

n矩阵,并且它们的对应元素都相等,则称矩阵A和矩阵B相等,记作A=B.例1已知

且A=B,求a,b,c,d.解由矩阵相等的概念,有三、矩阵的运算1.矩阵的线性运算两个m

n矩阵对应的元素相加得到m

n矩阵,称为矩阵A与矩阵B的和,记作A+B.定义注：只有两个矩阵是同型矩阵时，才能进行矩阵的加法运算三、矩阵的运算1.矩阵的线性运算定义

以数k乘以矩阵的每一个元素所得的矩阵，称为数k与矩阵A的乘积，记作kA.三、矩阵的运算

例2已知解三、矩阵的运算解

2个产地与3个销地每吨的运费用矩阵表示为三、矩阵的运算三、矩阵的运算2.矩阵与矩阵的乘法定义矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和作为一个新矩阵的第i行第j列的元素注意：⑴只有当左边矩阵A的列数等于右边矩阵B的行数时，矩阵A与B才能作乘法运算.⑵矩阵C的行数等于矩阵A的行数m，列数等于矩阵B的列数n

.三、矩阵的运算2.矩阵与矩阵的乘法例4已知求AB与BA．解三、矩阵的运算矩阵的乘积不满足交换律例4已知求AB与BA．三、矩阵的运算2.矩阵与矩阵的乘法矩阵的乘法满足以下规律：（其中k为常数）．注意两矩阵的乘法与两数的乘法有很大的差别.（1）结合律（2）分配律（3）数乘结合律三、矩阵的运算3.矩阵的转置定义

矩阵A的行列互换得到的矩阵称为A的转置矩阵。记作例5

已知矩阵，求解三、矩阵的运算3.矩阵的转置例6

已知,求解

(1)

首先计算于是，(2)(AB)T=BTAT三、矩阵的运算3.矩阵的转置矩阵的转置满足以下运算规律：三、矩阵的运算4.逆矩阵设A是一个n阶方阵,E是一个n阶单位矩阵.如果存在一个n阶方阵B,使AB=BA=E,则称B为A的逆矩阵,简称为A的逆阵,或A的逆．这时称A为可逆矩阵,简称可逆阵.定义例如三、矩阵的运算4.逆矩阵性质1如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是惟一的．因此，矩阵A的逆矩阵常记作例如：性质2可逆矩阵A的逆矩阵满足注意：A的逆矩阵可通过EXCEL中的函数MINVERSE求得。四、投入产出方程组的矩阵表示1.线性方程组的有关概念系数矩阵右端常数四、投入产出方程组的矩阵表示1.线性方程组的有关概念系数矩阵右端常数增广矩阵四、投入产出方程组的矩阵表示2.投入产出方程组的矩阵表示直接消耗系数表和最终需求可表示如下表示每生产单位价值第j种产品所需直接消耗的第i种产品的价值。投入产出方程组可以表示为对应的解为称为里昂惕夫逆矩阵。四、投入产出方程组的矩阵表示2.投入产出方程组的矩阵表示求解一个投入产出方程组,通常有两种方法,即(1)逆矩阵法:

先求出里昂惕夫逆矩阵(I－A)-1,再利用式(6.7)求出X.(2)消元法:通过对方程组施以同解变换,逐步消元,从而求出X.第二节我们将讨论如何借助Excel软件实现逆矩阵法解线性方程组,其数学原理将在第三节讨论.下面先介绍求解线性方程组的消元法.五、消元法解线性方程组1.消元法解线性方程组

每一个方程两端同乘以10，将方程未知量的系数化为整数，得增广矩阵五、消元法解线性方程组交换第一个方程和第三个方程的位置，得第一个方程的－1倍加到第二个方程，第一个方程的8倍加到第三个方程五、消元法解线性方程组第二个方程的两端同除以8，得第二个方程的9倍加到第三个方程五、消元法解线性方程组线性方程组的同解变换：

交换某两个方程的位置；

用一个非零数乘某一个方程的两边；

将一个方程的倍数加到另一个方程.通常把过程①-⑥称为消元过程，矩阵⑥称为行阶梯形矩阵，与之对应的方程组⑥则称为行阶梯形方程组.五、消元法解线性方程组继续上述方程组，第三个方程两边同除以38，得第三个方程的1倍加到第二方程，第三个方程的－6倍加到第一个方程五、消元法解线性方程组第二个方程的1倍加到第一个方程第一个方程的两边同乘以(－1)至此，我们可以通过增广矩阵直接“读”出该线性方程组的解.五、消元法解线性方程组定义下面的三种变换称为矩阵的初等行（列）变换：(1)交换矩阵的两行（列）；(2)用非零数k乘以矩阵的某行（列）；(3)把矩阵的某一行（列）乘以数k后加到另一行（列）．矩阵的初等行变换与初等列变换,统称为矩阵的初等变换．2.矩阵的初等变换五、消元法解线性方程组2.矩阵的初等变换例如：矩阵B依其形状的特征称为阶梯形矩阵，具体定义如下：五、消元法解线性方程组2.矩阵的初等变换一般地，称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵：⑴若有零行(元素全为零的行),则零行在矩阵的最下方；⑵非零行的第一个非零元素左边的零的个数随行标递增.矩阵B依其形状的特征称为阶梯形矩阵。五、消元法解线性方程组一般地，称满足下列条件的阶梯形矩阵为简化行阶梯形矩阵：⑴各非零行的首非零元都是1；⑵非零行的第一个非零元所在列的其余元素都是零。对上述矩阵B再作初等行变换矩阵C依其形状的特征称为简化行阶梯形矩阵。五、消元法解线性方程组例7

求解线性方程组解记矩阵称为线性方程组的增广矩阵五、消元法解线性方程组例7

求解线性方程组由简化行阶梯形矩阵可以得到原方程组的等价方程组为方程组有无穷多解，上式是所给方程组的一般解。使用EXCEL讨论投入产出问题UsingExceltoDiscussInput-outputProblems2一、

利用Excel求直接消耗系数矩阵典型问题1利用Excel求解第一节表6-1的直接消耗系数矩阵第一步：在H4栏输入“=C4/C$8”，得出直接消耗系数，即单位价值工业部门产品直接消耗0.2单位的工业部门自身产品。第二步：利用拖曳的方法将H5栏公式复制到H4至J6的范围，如图6-1所示。图6-1直接消耗系数矩阵A二、利用Excel解线性方程组典型问题2利用Excel求解投入产出方程组6.2第一步：在工作表的E2至G4区域建立一个单位矩阵I，在I2至I4区域依次输入33，8，16。第二步：计算I－A。在A6栏输入“=E2-B2”,利用拖曳的方法将A6栏公式复制A6至C8的区域，如图6-2所示。图6-2方程组的系数矩阵二、利用Excel解线性方程组第三步：计算

。选中E6至G8区域，输入公式“=MINVERSE(A6:C8)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】组合键，如图6-3所示。图8-3昂惕夫逆矩阵二、利用Excel解线性方程组第四步：利用公式求方程组(2)的解。选中I6至I8区域，输入公式“=MMULT(E6:G8,I2:I4)”,按下【Ctrl】+【Shift】+【Enter】组合键，得方程组的解。图6-4线性方程组(2)的解三、煤电系统的投入产出模型现阶段各企业的总产出为多少？外部需求分别增加15万元、5万元和7万元，各企业又该如何安排生产？表6-4，投入产出表(万元)三、煤电系统的投入产出模型解决方案x1,x2,x3分别表示3个企业现阶段的总产出或三、煤电系统的投入产出模型利用EXCEL求解上述方程组，得即3个企业现阶段的总产出分别为105.16万元、51.58万元和54.87万元三、

煤电系统的投入产出模型外部需求分别增加15万元、5万元和7万元，记则相应地有或三、煤电系统的投入产出模型利用EXCEL求解上述方程组，得3个企业的总产出应分别增加27.09万元、12.16万元和16.57万元四、企业产销预测模型2021年计划三种产品的库存不变，销量分别比2009年增加30%、20%、40%。预测该企业的总产品、中间产品、外购产品的投入产出情况。表6-52019年投入产出表(万元)四、企业产销预测模型解决方案2021年三种产品的最终产出直接消耗系数矩阵x1,x2,x3分别表示三种产品的总产值四、企业产销预测模型下面讨论该企业2021年中间产品和外购产品的投入产出情况。以产品2为例，2021年的中间产品使用产品2总投入为3179.5万元单位价值产品2所消耗的产品1为0.1818元产品2所消耗的产品1价值为3179.5×0.1818=578万元。2021年外购产品的投入产出外购产品占总投入的比例系数分别为0.5003、0.2814和0.2804产品生产过程中的外购产品价值分别为1115.7万元、894.6万元和381.2万元四、企业产销预测模型2021年中间产品和外购产品的投入产出情况(汇总)结论：总产品、中间产品、外购产品以及其它投入会随着三种产品的销量增长而增长。进一步学习的数学知识线性代数初步Furthermathematicsknowledge：LinearAlgebra3一、二阶、三阶行列式的概念与性质在初等代数中，用加减消元法求解二元一次方程组可得若，则方程组的解为

为了研究和记忆的方便一、二阶、三阶行列式的概念与性质易知，二阶行列式是由4个数按一定的规律运算所得到的代数和.次对角线主对角线一、二阶、三阶行列式的概念与性质一、二阶、三阶行列式的概念与性质解按第一行展开，得一、二阶、三阶行列式的概念与性质类似于二元线性方程组的讨论，对三元线性方程组记若系数行列式D≠0，则该方程组有唯一解：一、二阶、三阶行列式的概念与性质例9解三元线性方程组解

系数行列式同理，可得故所求方程组的解为二、矩阵的秩定义

经过有限次初等行变换将矩阵A化为行阶梯形矩阵,其非零行的行数称为矩阵A的秩,记作秩(A)或r(A).注意：矩阵的秩是矩阵的本质属性.可以证明,初等变换不改变矩阵的秩.例10求矩阵的秩.解矩阵B已经是行阶梯形矩阵,且非零行的行数为3,故r(A)=3.三、可逆矩阵的性质与求逆矩阵1.可逆矩阵的性质基本思路：由，根据矩阵相等列方程组求解.三、可逆矩阵的性质与求逆矩阵2.求可逆矩阵的逆矩阵在矩阵可逆的前提下,求它的逆矩阵主要有：定义法和初等行变换法(1)定义法(2)