测绘基础知识

何谓最小二乘法？最小二乘法是处理各种观测数据进行测量平差的一种基本方法。如果以不同精度多次观测一个或多个未知量，为了求定各未知量的最可靠值，各观测量必须加改正数，使其各改正数的平方乘以观测值的权数的总和为最小。因此称最小二乘法。所谓“权”就是表示观测结果质量相对可靠程度的一种权衡值。法国数学家勒让德于1806年首次发表最小二乘理论。事实上，德国的高斯于1794年已经应用这一理论推算了谷神星的轨道，但迟至1809年才正式发表。此后他又提出平差三角网的理论，拟定了解法方程式的方法等。为利用最小二乘法测量平差奠定了基础。最小二乘法也是数理统计中一种常用的方法，在工业技术和其他科学研究中有广泛应用。方位角定义从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，叫方位角。由于每点都有真北、磁北和坐标纵线北三种不同的指北方向线，因此，从某点到某一目标，就有三种不同方位角。（1）真方位角。某点指向北极的方向线叫真北方向线，而经线，也叫真子午线。从某点的真北方向钱起，依顺时针方向到目标方向钱间的水手夹角，叫该点的真方位角。通常在精密测量中使用。（2）地球是一个大磁体，地球的磁极位置是不断变化的，某点指向磁北极的方向线叫磁北方向线，也叫磁子午线。在地形图南、北图廓上的磁南、磁北两点间的直线，为该图的磁子午线。从某点的磁北方向线起，依顺时针方向到目标方向线间的水平夹角，叫该点的磁方位角。（3）坐标方位角。从某点的坐标纵线北起，依顺时针方向到目标方向钱间的水平夹角，叫该点的坐标方位角。方位角在测绘、地质与地球物理勘探、航空、航海、炮兵射击及部队行进时等，都广泛使用。不同的方位角可以相互换算。WGS-84大地坐标系WGS－84（WorldGeodeticSystem，1984年）是美国国防部研制确定的大地坐标系，其坐标系的几何定义是：原点在地球质心,z轴指向BIH1984．0定义的协议地球极(CTP）方向，X轴指向BIH1984.0的零子午面和CTP赤道的交点。Y轴与Z、X轴构成右手坐标系（如图所示）。WGs-84椭球及有关常数：对应于WGS-8大地坐标系有一个WGS-84椭球，其常数采用IUGG第17届大会大地测量常数的推荐值。下面给出WGS-84椭球两个最常用的几何常数：长半轴：6378137±2（m）扁率：1：298.257223563关于小面的地形图（电子图件）坐标系统的转换一.前言

南方CASS5.1是南方测绘公司在AUTOCAD2002平台的基础开发的地形、地籍成图软件,CASS5.1在成图效率、电子平板、地形地籍及工程应用方面有突破性进展。

二.概述

利用南方CASS5.1地形,地籍成图软件结合microsoftexcel电子表格的相关功能进行相关转换,由于当前诸多城市存在两种坐标系统及高程系统,由于两种系统控制成果存在不统一,往往会给施工用图单位带来许多麻烦。本文就如何解决该问题进行详细阐述。

三.论述

首先,应清楚两种坐标系统的差异,这就要求我们把两种坐标系进行联测,进行坐标系统转换,并且联测点不少于3个,例如:江门市区的控制为两种坐标系统,分别为江门独立坐标系和西安坐标系,高程系统有珠江高程基准(以下简称珠高)和黄海高程基准(以下简称黄高),珠高和黄高相差0.586m,前面我们业已完成两种坐标系统的联测。之后,我们进入CASS5.1成图系统进行图形间转换，将原控制点展绘到原有的地形图(旧图.dwg)中,接着新建一图形文件把新控制点展绘到图形中,然后把原地形图(旧图.dwg)作为一图块插入其中,利用AUTOCAD命令move将其中已联测的控制点1号移到另外一种坐标系统相应位置，鉴于两种坐标系仍然存在一定的夹角，再利用AUTOCAD命令rotate旋转对业已平移的图形进行处理，关键要以控制点1号为基准点将2号控制点旋转到另外一种坐标系统对应位置，由于原地形图是个图块则图形也作相应的平移及旋转,再以3号控制点为检查点进行核对，鉴于坐标系统的统一，故坐标相差甚微。最后用explode命令将整个图形炸碎即可。此时我们看到业已处理的图形又存在新的问题，高程点的注记及文字注记方向没有朝向正北方向，这时我们又利用CASS5.1的工程应用计算菜单下的高程点生成数据命令重新生成数据文件，然后冻结关闭其他所有图层仅留下GCD图层并删掉图形中高程注记层，此时我们要对高程系统要进行处理，要将珠高转换到黄高，我们把刚才所生成的数据文件用Microsoftexcel电子表格打开，在高程那列进行转换，在其后面一列利用函数计算式将高程添加0.586的常数，然后另存为*.csv（带逗号间隔）的文件，再到资源管理器把*.csv文件的扩展名改换成*.dat文件即可,重新展绘高程点即可解决。针对文字注记的处理办法，则利用Ａutocad的对象特性管理来处理，首先应用图层管理LAYER命令来冻结关闭所有图层仅打开图层ＺＪ层，接着框选所有文字执行properties命令，将对象特性的文字旋转角度改为零度即可使图形中的文字的字头朝向北向。这样一来完美的新坐标系的地形图就展现在面前了（见图形１）。(图形一)

四、结论

此种方法亦可应用到小面积范围的地形测图，当测区内暂时没有当地控制点时，我们可利用假设独立坐标系进行施测，当提供了控制资料再把原假设坐标系引测到该区的控制范围内，再按照以上方案进行图形转换就顺利完成该区成图。这样一来就大大地提高了工作效益。中国平面坐标系统(54和80平面坐标系统)54国家坐标系建国初期，为了迅速开展我国的测绘事业，鉴于当时的实际情况，将我国一等锁与原苏联远东一等锁相连接，然后以连接处呼玛、吉拉宁、东宁基线网扩大边端点的原苏联1942年普尔科沃坐标系的坐标为起算数据，平差我国东北及东部区一等锁，这样传算过来的坐标系就定名为1954年北京坐标系。因此，P54可归结为：a．属参心大地坐标系；b．采用克拉索夫斯基椭球的两个几何参数；c.大地原点在原苏联的普尔科沃；d．采用多点定位法进行椭球定位；e．高程基准为1956年青岛验潮站求出的黄海平均海水面；f．高程异常以原苏联1955年大地水准面重新平差结果为起算数据。按我国天文水准路线推算而得。自P54建立以来，在该坐标系内进行了许多地区的局部平差，其成果得到了广泛的应用。80国家坐标系C80是为了进行全国天文大地网整体平差而建立的。根据椭球定位的基本原理，在建立C80坐标系时有以下先决条件：（1）大地原点在我国中部，具体地点是陕西省径阳县永乐镇；（2）C80坐标系是参心坐标系，椭球短轴Z轴平行于地球质心指向地极原点方向，大地起始子午面平行于格林尼治平均天文台子午面；X轴在大地起始子午面内与Z轴垂直指向经度0方向；Y轴与Z、X轴成右手坐标系；（3）椭球参数采用IUG1975年大会推荐的参数因而可得C80椭球两个最常用的几何参数为：长轴：6378140±5（m）；扁率：1：298.257椭球定位时按我国范围内高程异常值平方和最小为原则求解参数。（4）多点定位；（5）大地高程以1956年青岛验潮站求出的黄海平均水面为基准。北京54坐标系与西安80坐标系坐标转换公式与算法地形图由北京54坐标系转换到西安80坐标系应在高斯平面上进行。由于新旧椭球参数不同，参心所在位置也不同，在高斯平面上其纵横坐标轴不重合，因此地形图上各点在两坐标系统下x，y均有一差值。将北京54坐标地形图转换到西安80坐标地形图，就是对每幅旧地图上求出测图控制点的新旧坐标系统之高斯平面坐标的差值，即改正量，通过这些改正量，在旧图上建立新系统的公里网线确定新的图廓点，使之成为一幅新图。通过对我国1∶10万地形图内数千个一二等大地点的计算统计证明，每幅图只要计算一个控制点的高斯平面坐标改正量作为整幅图的公共改正量。而我国的大部分GIS工程均采用大于1∶10万比例尺建库，因此每幅均可用选一点计算高斯平面的改正量作为该图幅公共改正量进行新的地形图转换。新旧地形图转换方法分为两步：

第一步：坐标系统转换，其方法如下：

1.1.1大地坐标转换

式中△e2为第一偏心率平方之差；a，e2分别为克氏椭球的长半径和第一偏心率的平方；L，B为这个点的大地经纬度；△x，△y，△z为两椭球参心的差值。

则这个点在1980西安坐标系中的大地坐标为：

1.1.2根据Ｂ80，Ｌ80采用高斯投影正算公式计算Ｘ80，Ｙ80高斯投影正算公式为：

式中x0＝C0B－cosB（c1sinB＋c2sin3B＋c3sin5B）；m0＝lcosB；l＝L－中央子午线经度值（弧度）；L，B为该点的经纬度值。上列二式中：

1.1.3求取转换改正量

平差改正量的计算1954年北京坐标系所提供的大地点成果没有经过整体平差，而1980西安坐标系提供的大地成果是经过整体平差的数据，所以新旧系统转换还要考虑平差改正量的问题。计算平差改正量比较麻烦，没有一定的数学模式，不同地区，平差改正量差别很大，在我国中部某些地区，平差改正量在1m以下，而在东北地区的某些图幅则在10m以上。在实际计算中，根据这些差值和它们的大地坐标在全国分幅图上分别绘制两张平差改正量分布图（即dx，dy分布图），在分布图上可以直接内播出任何图幅内所求点的平差改正量，即ＤＸ2，ＤＹ2。

根据转换改正量和平差改正量按下列公式计算总改正量：

式中ＤＸ1，ＤＹ1为新旧坐标系的转换改正量，ＤＸ2，ＤＹ2为控制点经整体平差后的平差改正量。

总改正量（DX，DY）就是新旧坐标系统地形图转换的基础数据。

第二步：改造旧地形图

按上面给出的总改正量在地形图上移动公里网线，对我国而言地形图由北京54至西安80转换，其改正量DX，DY均为负值，故只要将公里网线北移│DX/M│，东移│DY/M│（M为比例尺分母），则移动后的公里网格就是新系统图幅的公共坐标格网。用EXCEL完成GPS坐标转换简易方法摘要]对利用EXCEL电子表格进行高斯投影换算的方法进行了较详细的介绍，对如何进行GPS坐标系转换进行了分析，提出了一种简单实用的坐标改正转换方法，介绍了用EXCEL完成转换的思路。[关键字]电子表格；GPS；坐标转换作为尖端技术GPS，能方便快捷性地测定出点位坐标，无论是操作上还是精度上，比全站仪等其他常规测量设备有明显的优越性。随着我国各地GPS差分台站的不断建立以及美国SA政策的取消，使得单机定位的精度大大提高，有的已经达到了亚米级精度，能够满足国土资源调查、土地利用更新、遥感监测、海域使用权清查等工作的应用。在一般情况下，我们使用的是1954年北京坐标系或1980年西安坐标系（以下分别简称54系和80系），而GPS测定的坐标是WGS-84坐标系坐标，需要进行坐标系转换。对于非测量专业的工作人员来说，虽然GPS定位操作非常容易，但坐标转换则难以掌握，EXCEL是比较普及的电子表格软件，能够处理较复杂的数学运算，用它来进行GPS坐标转换、面积计算会非常轻松自如。要进行坐标系转换，离不开高斯投影换算，下面分别介绍用EXCEL进行换算的方法和GPS坐标转换方法。一、用EXCEL进行高斯投影换算从经纬度BL换算到高斯平面直角坐标XY（高斯投影正算），或从XY换算成BL（高斯投影反算），一般需要专用计算机软件完成，在目前流行的换算软件中，存在一个共同的不足之处，就是灵活性较差，大都需要一个点一个点地进行，不能成批量地完成，给实际工作带来许多不便。笔者发现，用EXCEL可以很直观、方便地完成坐标换算工作，不需要编制任何软件，只需要在EXCEL的相应单元格中输入相应的公式即可。下面以54系为例，介绍具体的计算方法。完成经纬度BL到平面直角坐标XY的换算，在EXCEL中大约需要占用21列，当然读者可以通过简化计算公式或考虑直观性，适当增加或减少所占列数。在EXCEL中，输入公式的起始单元格不同，则反映出来的公式不同，以公式从第2行第1列（A2格）为起始单元格为例，各单元格的公式如下：单元格

单元格内容

说明A2

输入中央子午线，以度.分秒形式输入，如115度30分则输入115.30

起算数据L0B2

=INT(A2)+(INT(A2*100)-INT(A2)*100)/60+(A2*10000-INT(A2*100)*100)/3600

把L0化成度C2

以度小数形式输入纬度值，如38°14′20″则输入38.1420

起算数据BD2

以度小数形式输入经度值

起算数据LE2

=INT(C2)+(INT(C2*100)-INT(C2)*100)/60+(C2*10000-INT(C2*100)*100)/3600

把B化成度F2

=INT(D2)+(INT(D2*100)-INT(D2)*100)/60+(D2*10000-INT(D2*100)*100)/3600

把L化成度G2

=F2-B2

L-L0H2

=G2/57.2957795130823

化作弧度I2

=TAN(RADIANS(E2))

Tan(B)J2

=COS(RADIANS(E2))

COS(B)K2

=0.006738525415*J2*J2

L2

=I2*I2

M2

=1+K2

N2

=6399698.9018/SQRT(M2)

O2

=H2*H2*J2*J2

P2

=I2*J2

Q2

=P2*P2

R2

=(32005.78006+Q2*(133.92133+Q2*0.7031))

S2

=6367558.49686*E2/57.29577951308-P2*J2*R2+((((L2-58)*L2+61)*O2/30+(4*K2+5)*M2-L2)*O2/12+1)*N2*I2*O2/2

计算结果XT2

=((((L2-18)*L2-(58*L2-14)*K2+5)*O2/20+M2-L2)*O2/6+1)*N2*(H2*J2)

计算结果Y

表中公式的来源及EXCEL软件的操作方法，请参阅有关资料，这里不再赘述。按上面表格中的公式输入到相应单元格后，就可方便地由经纬度求得平面直角坐标。当输入完所有的经纬度后，用鼠标下拉即可得到所有的计算结果。表中的许多单元格公式为中间过程，可以用EXCEL的列隐藏功能把这些没有必要显示的列隐藏起来，表面上形成标准的计算报表，使整个计算表简单明了。从理论上讲，可计算的数据量是无限的，当第一次输入公式后，相当于自己完成了一软件的编制，可另存起来供今后重复使用，一劳永逸。

二、GPS坐标转换方法与面积计算GPS所采用的坐标系是美国国防部1984世界坐标系，简称WGS-84，它是一个协议地球参考系，坐标系原点在地球质心。GPS的测量结果与我国的54系或80系坐标相差几十米至一百多米，随区域不同，差别也不同，经粗落统计，我国西部相差70米左右，东北部140米左右，南部75米左右，中部45米左右。由此可见，必须将WGS-84坐标进行坐标系转换才能供标图使用。坐标系之间的转换一般采用七参数法或三参数法，其中七参数为X平移、Y平移、Z平移、X旋转、Y旋转、Z旋转以及尺度比参数，若忽略旋转参数和尺度比参数则为三参数方法，三参数法为七参数法的特例。这里的Z、Y、Z是空间大地直角坐标系坐标，为转换过程的中间值。在实际工作中我们常用的是平面直角坐标，是否可以跳过空间直角坐标系，省略复杂的运算，进行简单转换呢？为此，笔者进行了长期的实践，证明是可行的。其在原理是：不把GPS所测定的WGS-84坐标当作WGS-84坐标，而是当作具有一定系统性误差的54系坐标值，然后通过国家已知点纠正，消除该系统误差。我们暂把该方法称作坐标改正法，下面以WGS-84坐标转换成54系坐标为例，介绍数据处理方法：首先，在测区附近选择一国家已知点，在该已知点上用GPS测定WGPS-84坐标系经纬度B和L，把此坐标视为有误差的54系坐标，利用54系EXCEL将经纬度BL转换成平面直角坐标X’Y’，然后与已知坐标比较则可计算出偏移量：△X=X－X’

△Y=Y－Y’式中的X、Y为国家控制点的已知坐标，X’、Y’为测定坐标，△X和△Y为偏移量。求得偏移量后，就可以用此偏移量纠正测区内的其他测量点了。把其他GPS测量点的经纬度测量值，转换成平面坐标X’Y’，在此XY坐标值上直接加上偏移值就得到了转换后的54系坐标：X=X’+△X

Y=Y’+△Y在上述EXCEL计算表的最后两列，附加上求得的改正数并分别与计算出来的XY相加后，即得到转换结果。若测量路线是一闭合区域的话，可把计算结果按路线顺序排列起来，再输入相应的计算公式，即可计算出该区域的面积。有关用坐标计算面积的原理与公式，这里不再叙述，读者可参阅有关资料。需要说明的是，面积的计算精度基本上不受坐标转换精度的影响，若只需要求算面积的话，可不进行坐标系转换这一步，只需要把BL化成XY就行了。就1：1万比例尺成图而言，在一般的县行政区范围内（如40Km×40Km），用此简单的坐标改正法进行转换与较复杂的七参数法没有多大差别。能否满足1：1万比例尺变更调查的要求，主要取决于GPS接收机本身的精度，与转换方法的选择关系不大。当面积较大时，使用该方法可能会使误差增大，这时可考虑分区域转换。线路独立坐标系的建立方法研究摘要】

本文以公路测量为例，较详细地论述了在线路测量中应考虑的变形因素，以及解决变形的办法，详细地叙述了建立独立坐标系的作用及建立这种坐标系的六种方法，并介绍了因提高归化高程面而产生新椭球后的一些椭球常数的计算方法和步骤。此外，本文还对当路线跨越相邻投影带时，需要进行相邻带的坐标换算这一问题进行了阐述。【关键字】独立坐标系高斯投影带抵偿高程面新椭球常数坐标转换归化高程面线路控制测量中坐标系统的建立与统一方法第一章概述铁路、公路、架空送电线路以及输油管道等均属于线型工程，它们的中线统称线路。一条线路的勘测和设计工作，主要是根据国家的计划与自然地理条件，确定线路经济合理的位置。为达此目的，必须进行反复地实践和比较，才能凑效。线路在勘测设计阶段进行的控制测量工作，称线路控制测量，在线路控制测量过程中，由于每条线路不可能距离较短,有的可能跨越一个带,二个带甚至更多,所以,在线路控制测量中,长度变形是一个不可避免的问题，但我们可以采取一些措施来使长度变形减弱，将长度变形根据施测的精度要求和测区所处的精度范围控制在允许的范围之内。最有效的措施就是建立与测区相适应的坐标系统.坐标系统是所有测量工作的基础.所有测量成果都是建立在其之上的,一个工程建设应尽可能地采用一个统一的坐标系统.这样既便于成果通用又不易出错.对于一条线路,如果长度变形超出允许的精度范围,我们将建立新的坐标系统加以控制.这就涉及到一个非常关键的问题,既,坐标系统的建立与统一.对于不同的情况,我们可以采用适应的方法尽可能建立统一的坐标系统,且使其长度变形在允许范围之内.本文以公路控制测量为例，详细论述了线路控制测量中坐标系统的建立与统一方法.第二章坐标系统的建立当对一条线路进行控制测量时,首先应根据已有资料判断该测区是否属同一投影带和长度变形是否在允许范围之内.这样我们就可以判断是否需要建立新的坐标系统和怎样建立,下面对此进行详细讨论.§2.1相对误差对变形的影响与国家点联测的情况：我们的每项测量工作都是在地球表面上进行的,而要将实地测量的真实长度归化到高斯平面上,应加入二项改正.这样就改变了其真实长度,这种高斯投影平面上的长度与地面长度之差,称之为长度综合变形,其计算公式为,£=+Ym²*S/2R²-Hm*s/Ra取：R=Ra=6371Km.S=s将其写成相对变形的形式并代入数子：£/s=(0.00123y²-15.7H)*10y：测区中心横坐标（Km）H：测区平均高程（Km）依据我国的工程测量规范规定，建立平面控制网的坐标系统应该保证长度综合变形不超过2.5cm/km.（相对变形不超过1/40000）。与国家电联侧的情况。2.1.1当长度综合变形小于2.5cm/km,（相对变形小于1/40000）时因为这时的长度变形符合精度要求,即在允许的误差范围之内,故这时的变形不予考虑。直接采用国家统一的坐标系统。2.1.2当长度综合变形大于2.5cm/km,（相对变形超过1/40000）时因为这时的长度综合变形已不符合精度要求，所以必须对变形予以考虑，那么我们要采取何措施才能最大程度地限制变形，将变形控制在允许的范围之内呢?方法就是建立适应于该测区的地方独立坐标系.§2.2建立地方独立坐标系2.2.1建立地方独立坐标系的作用在工程建设地区(如公路，铁路，管线，水库)布设测量控制网时,其成果不仅要满足1:500比例尺测图需要,而且还应满足一般工程放样的需要.在线路测量中，最总是要将测的收据经计算在放倒实地而施工放样时要求控制网由坐标反算的长度与实测的长度尽可能相符,但国家坐标系的成果很难满足这样的要求,这是因为国家坐标系每个投影带（高斯投影）都是按一定的间隔(6°或3°)划分,由西向东有规律地分布.而每项工程建设地区的中眼再者,国家坐标系的高程归化面是参考椭球面,各地区的地面位置与参考椭球面都有一定的距离,这两项将产生高斯投影变形改正和高程归化改正,经过这两项改正后的长度不可能与实测的长度相等.建立独立坐标系的主要目的就是为了减小高程归化与投影变形产生的影响,将它们控制在一个微小的范围,使计算出来的长度在实际利用时(如工程放样)不需要做任何改算.2.2.2建立独立坐标系主要考虑哪些方面的因素建立独立坐标系主要考虑两个方面的因素：一是分带;一是建立抵偿高程面.2.2.2.1分带方法地球的形状与大小,即大地水准面的形状与大小,十分接近一个两极稍扁的旋转椭球体.我们平常所用的地形图一般采用高斯投影,即横轴椭圆柱正形投影.如图(略),椭球与椭圆柱面相切的子午线成为中央子午线或轴子午线,即高斯平面直角坐标系的X轴.将中央子午线东西方向一定经差(一般为6°或3°)范围地区投影到椭圆柱面上再把椭圆柱面按某一棱线展开,便构成了高斯平面直角坐标系统。高斯投影中,除中央子午线外,椭球面上上任何两点投影到椭圆柱面上,两点间线段的长度均发生变形，且随着中央子午线两侧经差的增大，长度变形加剧。为了控制这种长度变形，使它在测图和用图时影响很小，在相隔一定地区另立中央子午线，即采用分带投影。我国国家测量规定采用6°带和3°代两种分带办法。一般地，对于1/25000~1/100000的地形图采用6°带，对于1/10000或更大比例尺的地形图采用3°带，同时还规定每一个6°带向东加宽30′，向西加宽15′或7.5′，以保证在投影带的边缘部分有两套坐标和地形图，便于在边缘部分补点、计算。有些测绘单位为了控制长度变形，满足工程放样的需要，往往对1/1000、1/500或更大比例尺的地形图采用1.5°带或独立投影带。由于采用分带投影，椭球面上统一的坐标系被分割成相互独立的坐标系。在公路施工测量中，常常会遇到内容完全相同的地形图中点的坐标不一样的情况，就是在测图时采用了不同中央子午线的缘故，需要进行坐标换带计算。2.2.2.2投影带的选择国家坐标系统为了控制长度变形，虽然采用了分带投影，以满足测图的基本要求，但长度变形依然存在，尤其是在投影带的边缘，长度变形不能满足高等级公路勘测和施工的要求。减弱长度变形的办法是根据精度要求和测区所处的精度范围来选择中央子午线和投影带的大小重新确定分带投影。<<工程测量规范>>规定，当长度变形超过1/40000时，必须进行分带投影。2.2.2.2.1长度变形在高斯投影中，首先要把地面上的长度换算到参考椭球面上，然后再换算到参考椭球面上。设地面上的长度为S,Hm为平均高程面高程，hm表示大地水准面超出参考椭球面的高度，R表示地面长度方向法截线的曲率半径，那么，将地面上的长度换算到参考椭球面上的改正数为：⊿=-……当=2000m时，二次项的影响小于10，的影响也很小，可以忽略。因此⊿=-┅┅┅┅┅┅⑴将参考椭球面上的长度换算到高斯平面上的改正数为：⊿当<70km和<350km时（6º带边缘），公式误差小于10m；对于边长较短的三、四等计算，完全可以只取第一项：⊿┅┅┅┅┅┅⑵由上面两式可以看出，两项改正符号互为相反。理论上，当两项改正大小相等时，长度变形为零。即┅┅┅┅┅┅⑶按式⑴选择测区中心点，理论上可以满足地面距离与高斯平面上的距离保持一致。2.2.2.2.2测区中心点大地坐标（B,L）的计算设公路起点坐标为(,),中点坐标为（,）,令已知子午圈弧长公式为┅┅┅┅┅⑷对我国采用的克氏椭球来说高斯投影反算公式（高斯投影中由平面直角坐标计算该点在椭球面上的地理坐标的公式）为

┅┅┅┅┅┅┅┅⑸计算时尚需将换成。┅┅┅┅┅┅⑹由公式⑵⑶⑷可计算出点（,）的大地坐标(,)按式⑴计算出,同样可求出′,则新投影的中央子午线为：2.2.2.2.3投影范围的确定实际上，测区范围不是一个理想的水平面，总是高低不平，y值变动有正有负，虽然采用新投影，但残余变形依然存在。对式⑴、式⑵微分：两项误差的共同影响为将式⑶带入并整理得：┅┅┅┅┅┅⑺即为某点相对于测区中心变动的最大幅度。因此，投影带的最大宽度为。如果测区范围内值变动大于，则要进行分带处理。下面通过实例帮助分析理解这一点。2.2.2.2.4例：从国家3°带基本图上查得某高速公路起点坐标为（3272722，40605050），终点坐标为（3273592，40667890），该测区为平原微丘，高程变化为170∽230m，平均海拔高程为200m，要求测区内长度变形不超过1/15000，试分析是否要进行换带投影。第一步：分析是否可以直接套用国家坐标系统由已知数据计算得：由式⑴、式⑵计算得到长度变形之和为1/5050，超出精度要求范围，故不能套用国家坐标系统，必须进行换带投影。第二步：投影带宽度的确定要求长度变形小于1/15000，按式⑺求得,而测区内值变动为故只需选择一个投影带即可。第三步：求测区中心点的大地坐标由坐标值可知，°。由、按式⑸、式⑹可计算出：B=29°34′30″l=1°24′33″按式⑶求得=50481.68,由、按式⑸、式⑹可计算出：l′=0°31′16″选取中央子午线的原则是，以靠近国家坐标系统标准投影带中央子午线的值作为新的投影带的中央子午线。因此120°53′14″新的投影带中央子午线确定后，原国家点坐标要换算到新的坐标系中方能使用。2.2.2.3如何确定抵偿高程面我们知道，将实地测量的真实长度归化到国家统一的椭球面上时，应加如下改正数⊿┅┅┅┅┅┅⑻式中——长度所在方向的椭球曲率半径；——长度所在高程面对于椭球面的高差；——实地测量水平距离。然后再将椭球面上的长度投影至高斯平面,则加入如下改正数⊿┅┅┅┅┅┅⑼式中——测区中点的平均曲率半径；——距离的末端点横坐标平均值。这样地面上的一段距离，经过上面两次改正计算，被该改变了真实长度。这种高斯投影平面上的长度与地面长度之差，我们称之为长度综合变形，其计算公式为为了计算方便，又不致损害必要精度，可以将椭球视为圆球，取圆球半径≈≈6371km,又取不同投影面上的同一距离近似相等，即S≈s,将上式写成相对变形的形式，则为┅┅┅┅┅┅⑽公式⑴表明，将距离由较高的高程面化算至较低的椭球面时，长度总是减小的；公式⑵则表明，将椭球面上的距离化算至高斯平面时，长度总是增加的。所以两个投影过程对长度变形具有抵偿的性质。如果适当选择椭球的半径，是距离化算到这个椭球面上所减小的数值，恰好等于由这个椭球面化算至高斯平面所增加的数值，那么高斯平面上的距离同实地距离就一致了。这个适当半径的椭球面，就称为“抵偿改称面”。欲使长度综合变形得以抵偿，，必须将推证式⑶时所用的关系和数据代入，则式中，若以百公里作单位，以m作单位则┅┅┅┅┅┅⑾利用上式可以确定抵偿高程面的位置。例如，某地中心在高斯投影3º带的坐标,该地平均高程为400m，按式⑷算得即抵偿面应比平均高程面低650m,如图1所示。图1于是抵偿面的高程为2.2.3建立地方独立坐标系的方法建立地方独立坐标系的方法较多，下面讨论几种可供选择的方案。讨论之前，让我们先看看长度元素高程归化改正与高斯投影长度改化计算。一个导线网观测边长的归算可分为高程归化和长度改化，而方向观测值也要经过方向改化后，才能作为平面的边与边之间的连接方向值，但由于其值较小，不作叙述。这里主要看一看高程归化和长度改化对边长带来的影响。将地面上观测的长度元素归算到参考椭球面上按以下公式计算：,,。式中：为归化到参考椭球体面上的长度；为地面上的观测长度；为高程归算改正；为观测边的平均大地高；为观测边相对于大地水准面的平均高程；为大地水准面至参考椭球面的距离；为该地区平均曲率半径；为参考椭球子午圈曲率半径；为参考椭球卯酉圈曲率半径。对于不同的大地高，长度归算的每千米相对数值见表1（设Rm=6370km）。Hm(hm1+hm2)∕m-Hm∕Rm101:60万201:30万501:10万1001:6万1501:4万2001:3万3001:2万4001:1.5万5001:1.2万10001:600020001:300030001:200040001:1000表1将椭球面的长度改化到高斯平面的长度按下列公式计算：式中：为改化到高斯平面上的长度；为在参考椭球面上的长度；为在高斯平面上离中央子午线垂距的平均值；为该地区平均曲率半径。设，边长离中央子午线垂距的相对变形见表2。101:80万201:20万301:9万401:5万451:4万501:3万1001:80001501:36002001:20003001:900表22.2.3.1方法一：把中央子午线移到城市或工程建设地区中央，归化高程面提高到该地区的平均高程面（严格地讲，要提高到那个地区的大地高平均面）。这样既可以使该测区的高程归化改正和中央地区的投影变形几乎为零，又可保证在离中央子午线45km以内的地区其投影变形的相对误差小于1/4万。这种独立坐标系最适合工程建设区的需要，因为工程建设的所辖面积不会太大，东西跨度90km完全可以满足需要。2.2.3.2方法二：在建立城市独立坐标系时，上面第一种方法对某些城市不太适合，因为城市独立坐标系不但要满足市区的测图，而且还要满足它所管辖郊县地区的测图精度。跨度90km可能对某些城市来说是不够的，这就需要利用高程归化改正和投影变形可以相互抵消的特点，可以把它们结合起来进行设计。如果把中央子午线设在城市中央，而把高程归化面设在城市地区平均高程面以下100m左右的地方，可以算处在城市中央地区的长度变形小于1/6.4万，而离开中央子午线各55km左右的距离亦可保证长度综合变形小于1/4万。东西110km的跨度一般可以满足城市及郊县的测图精度的需要.2.2.3.3方法三：变动高程归化面的计算是比较复杂的，这不仅要计算出新的椭球参数和一切常数，而且还要把本地区国家坐标系控制点（作为独立坐标系的起算点）转换到新产生的椭球面上，工作量比较大。为了避免这些复杂的计算，建立新坐标系可以不变动高程归化面（即还是把长度归算到国家坐标系的参考椭球面上），而只移动中央子午线的办法。根据下式可以计算出中央子午线离开测区中央地带的远近：设某城市或工程建设地区的平均大地高为，则这就是说将中央子午线设在西离城市或工程建设中心50km的地方，可是中央地区的相对误差为零。该坐标系控制的最大距离用下式计算：式中：表示相对误差。设=1/4万，则按上面假设数据上例说明，如果那个地区大地高为200m时，而又不改变高程投影面，只要将中中央子午线设在西离测区中央50km的位置，就可以保证在测区中央东西各距18km范围内，两项改正之和小于1/4万。以上两式可以计算任何地区独立坐标系中央子午线的位置及控制的最大范围。在以上建立地方独立坐标系的三种方法中：将中央子午线西移一个常数（如50km），形成纵坐标轴，其横坐标轴是在赤道处与纵坐标轴垂直相交，如需要亦可向北移动一个常数。2.2.3.4方法四：选择“抵偿高程面”作为投影面，按高斯正形投影3°带计算平面直角坐标“抵偿高程面”位置的确定方法,上面已作了详细的论述（见1.2.2.3），此处不再敖叙。抵偿面位置确定后，就可以选择其中一个国家大地点作（原点），保持它在3º带的国家统一坐标值(,)不变，而将其它大地控制点坐标(,)换算到抵偿高程面相应的坐标系中去。换算公式为式中，为该地平均纬度处的椭球平均曲率半径。这样，经过上式换算的大地控制点坐标就可以作为控制测量的起算数据。需要时，还可将控制点在独立坐标系中的坐标，按下式换算成国家统一坐标系中的坐标2.2.3.5方法五：保持国家统一的椭球面作投影面不变，选择“任意投影带”，按高斯投影计算平面直角坐标不同投影带的出现，是因为选择了不同经度的中央子午线的缘故。如果我们合理选择中央子午线的位置，使长度投影到该投影带所产生的变形，恰好抵偿这一长度投影到椭球面所产生的变形，此时高斯投影平面上的长度仍和实地长度保持一致。我们称这种抵偿长度变形的投影带为“任意投影带”。为了确定任意投影带的中央子午线的位置，需要在公式⑤中引入经度查“”。取高斯投影坐标正算公式带入式⑤，略加变换即得″=7362″式中——测区中心位置的纬度和经度；——椭球在纬度B处的卯酉圈曲率半径；——测区的平面高程；——经度与任意带的中央子午线经度之差。2.2.3.6方法六：选择平均高程面作投影面，通过测区中心的子午线作为中央子午线，按高斯投影计算平面直角坐标选择这种独立坐标系统的实质，在于保证测区中心处≈0,≈0,使得按式⑽计算的δ≈0，做到测区范围内的长度综合变形为最小。为此，应对用作控制测量起算数据的国家大地点坐标进行如下处理：（1）利用高投影坐标正反算的方法，将国家点的平面坐标换算成大地坐标()；并由大地坐标计算这些点在选定的中央子午线投影带内的平面直角坐标()。（2）选择其中一个国家点作为“原点”,保持该点在选定的投影带内的坐标不变，其他国家点按下式将坐标换算到选定的坐标系中去式中符号意义同前。按上式换算的坐标值(xˊ,yˊ)，均可作为控制网的起算数据。将方法四、五、六加以比较可以看出：方法四是通过变更投影面来抵偿长度综合变形的，具有换算简便、概念直观等优点，而且换系后的新坐标与原国家统一坐标系坐标十分接近，有利于测区内外之间的联系。方法五是通过变更中央子午线、选择任意带来抵偿长度综合变形的，同样具有换算简便、概念清晰等优点，但是换系后的新坐标与原国家统一坐标系坐标差异很大。方法六使用即改变投影面，又改变投影带来抵偿长度综合变形的办法，这种既换面又换带的方法不够简便、不易实行，同时换系后的新坐标与原国家统一坐标系的坐标差异较大，不利于和国家统一坐标系之间的联系。*上面详细讲述了建立地方独立坐标系的六种方法，但是在新建地方独立坐标系时，如果想变动高程归化面，这将产生一个新椭球。这就必须计算新椭球常数。§2.3计算新椭球常数2.3.4计算新椭球常数及将控制点的大地坐标转换到地方坐标系新椭球常数按下列方法和步骤进行。2.3.4.1新椭球是在国家坐标系的参考椭球上扩大形成的，它的扁率应与国家坐标系参考椭球的扁率相等。即第一偏心率和第二偏心率