空间点直线平面之间的位置关系

第八章立体几何与空间向量§8.3空间点、直线、平面之间的位置关系内容索引根底知识自主学习题型分类深度剖析思想与方法系列思想方法感悟提高练出高分根底知识自主学习1.四个公理公理1：如果一条直线上的

在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2：过

的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们

过该点的公共直线.公理4：平行于同一条直线的两条直线

.两点不在一条直线上有且只有一条平行知识梳理1答案2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类平行相交任何(2)异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的

叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).锐角(或直角)②范围：.答案3.直线与平面的位置关系有

、

、

三种情况.4.平面与平面的位置关系有

、

两种情况.5.等角定理空间中如果两个角的

，那么这两个角相等或互补.平行相交在平面内平行相交两边分别对应平行答案判断下面结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.()(3)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于A点，并记作α∩β＝A.()(4)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.()(5)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()(6)没有公共点的两条直线是异面直线.()√×××√×答案思考辨析1.以下命题正确的个数为()①梯形可以确定一个平面；②假设两条直线和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；④如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合.A.0 B.1 C.2 D.3解析②中两直线可以平行、相交或异面，④中假设三个点在同一条直线上，那么两个平面相交，①③正确.C考点自测2解析答案123452.a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b()A.一定是异面直线 B.一定是相交直线C.不可能是平行直线 D.不可能是相交直线解析由得直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线，但不可能为平行直线，假设b∥c，那么a∥b，与a、b为异面直线相矛盾.C解析答案123453.(教材改编)两两平行的三条直线可确定_____个平面.解析三直线共面确定1个，三直线不共面，每两条确定1个，可确定3个.

1或3解析答案123454.(教材改编)如下图，在长方体ABCD－EFGH中，AB＝，AD＝，AE＝2，那么BC和EG所成角的大小是___，AE和BG所成角的大小是_____.∴∠EGF＝45°，∴∠GBF＝60°.45°

60°解析答案12345解析答案12345返回在△MON中，MN<OM＋ON∴④正确.答案④

解析

如图，取BC的中点O，连接MO、NO，返回题型分类

深度剖析例1如下图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E、C、D1、F四点共面；证明如图，连接EF，CD1，A1B.∵E、F分别是AB、AA1的中点，∴EF∥BA1.又A1B∥D1C，∴EF∥CD1，∴E、C、D1、F四点共面.平面根本性质的应用题型一解析答案(2)CE、D1F、DA三线共点.证明∵EF∥CD1，EF<CD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如下图.那么由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.解析答案思维升华公理1是判断一条直线是否在某个平面的依据；公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据；公理3是证明三线共点或三点共线的依据.思维升华如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝

AD，BE∥AF且BE＝

AF，G、H分别为FA、FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；证明由FG＝GA，FH＝HD，∴四边形BCHG为平行四边形.跟踪训练1解析答案(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？∴BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面.解析答案例2(1)(2023·广东)假设直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，那么以下命题正确的选项是()A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交判断空间两直线的位置关系题型二解析答案解析假设l与l1，l2都不相交，那么l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交.答案D(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，那么以下判断错误的选项是()A.MN与CC1垂直B.MN与AC垂直C.MN与BD平行D.MN与A1B1平行解析答案解析连接B1C，B1D1，那么点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，BD∥B1D1，∴MN⊥CC1，MN⊥AC，MN∥BD.又∵A1B1与B1D1相交，∴MN与A1B1不平行，应选D.答案D(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，那么表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)解析答案解析图①中，直线GH∥MN；图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，因此GH与MN异面.所以图②④中GH与MN异面.答案

②④思维升华空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决.思维升华如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是________.跟踪训练2解析答案解析把正四面体的平面展开复原，如下图，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.答案②③④例3(1)如下图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，AA1∶AB＝∶1，那么异面直线AB1与BD所成的角为___.解析取A1C1的中点E，连接B1E，ED，AE，在Rt△AB1E中，∠AB1E即为所求，故∠AB1E＝60°.60°求两条异面直线所成的角题型三解析答案思维升华(2)空间四边形ABCD中，AB＝CD且AB与CD所成的角为30°，E、F分别为BC、AD的中点，求EF与AB所成角的大小.解析答案思维升华解如图，取AC的中点G，连接EG、FG，解析答案思维升华由AB＝CD知EG＝FG，∴∠GEF(或它的补角)为EF与AB所成的角，∠EGF(或它的补角)为AB与CD所成的角.∵AB与CD所成的角为30°，∴∠EGF＝30°或150°.由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°；当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°.故EF与AB所成的角为15°或75°.思维升华(1)求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.(2)求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求〞.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点〞，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.思维升华(1)(2023·大纲全国)正四面体ABCD中，E是AB的中点，那么异面直线CE与BD所成角的余弦值为()跟踪训练3解析答案设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，那么EF∥BD，那么∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角.△ABC为等边三角形，那么CE⊥AB，解析画出正四面体ABCD的直观图，如下图.解析答案答案B故CE＝CF.因为OE＝OF，所以CO⊥EF.(2)直三棱柱ABC－A1B1C1中，假设∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，那么异面直线BA1与AC1所成的角等于()A.30° B.45° C.60° D.90°解析答案返回∴AC1∥BD1.∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.又易知△A1BD1为正三角形，∴∠A1BD1＝60°.即BA1与AC1成60°的角.答案C解析如图，可补成一个正方体，返回思想与方法系列典例m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有以下四个命题：①假设m⊥α，n⊥β，m⊥n，那么α⊥β；②假设m∥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；③假设m⊥α，n∥β，m⊥n，那么α∥β；④假设m⊥α，n∥β，α∥β，那么m⊥n.其中所有正确的命题是()A.①④ B.②④ C.① D.④思维点拨构造一个长方体模型，找出适合条件的直线与平面，在长方体内判断它们的位置关系.思想与方法系列15.构造模型判断空间线面位置关系思维点拨解析答案温馨提醒返回解析借助于长方体模型来解决此题，对于①，可以得到平面α，β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确.答案A返回温馨提醒(1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，防止了因考虑不全面而导致解题错误；(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.返回温馨提醒思想方法

感悟提高1.主要题型的解题方法(1)要证明“线共面〞或“点共面〞可先由局部直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法〞).(2)要证明“点共线〞可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3可知这些点在交线上，因此共线.方法与技巧2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内〞的含义，不要理解成“不在同一个平面内〞.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线〞条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].失误与防范返回练出高分12345678910111213141.在以下命题中，不是公理的是()A.平行于同一个平面的两个平面相互平行B.过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C.如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D.如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线15解析答案1234567891011121314解析

选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的.答案A152.(2023·广东)假设空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4，满足l1⊥l2，l2∥l3，l3⊥l4，那么以下结论一定正确的选项是()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定123456789101112131415解析答案解析在如下图的长方体中，23456789101112131415不妨设l2为直线AA1，l3为直线CC1，那么直线l1，l4可以是AB，BC；也可以是AB，CD；也可以是AB，B1C1；这三组直线相交，平行，垂直，异面，应选D.答案D1234567891011121314153.直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，那么直线b和c的位置关系是()A.相交或平行 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交、平行或异面解析依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，应选D.D解析答案123456789101112131415A解析答案123456789101112131415解析因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，那么CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.B解析答案1234567891011121314156.(教材改编)如下图，平面α，β，γ两两相交，a，b，c为三条交线，且a∥b，那么a与c，b与c的位置关系是________.解析∵a∥b，a⊂α，b⊄α，∴b∥α.又∵b⊂β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.a∥b∥c解析答案1234567891011121314157.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，那么直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为__.解析EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.4解析答案1234567891011121314158.(2023·浙江)如图，三棱锥A-BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，那么异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________.解析答案123456789101112131415解析如下图，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.∵M为AD的中点，∴MK∥AN，∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角.∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，解析答案123456789101112131415在△CKM中，由余弦定理，得19.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，那么在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条.23456789101112131415解析答案123456789101112131415解析方法一在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，M取不同的位置就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直线MN与这3条异面直线都有交点.如下图.解析答案1方法二在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连接PQ，那么PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线.由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交.23456789101112131415答案无数12345678910111213141510.如图，空间四边形ABCD中，E、F、G分别在AB、BC、CD上，且满足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，过E、F、G的平面交AD于点H.(1)求AH∶HD；解析答案123456789101112131415∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.123456789101112131415(2)求证：EH、FG、BD三线共点.∴EF≠GH，∴四边形EFGH为梯形.令EH∩FG＝P，那么P∈EH，而EH⊂平面ABD，又P∈FG，FG⊂平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD.∴EH、FG、BD三线共点.解析答案12345678910111213141511.以下四个命题中，①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②假设点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，那么点A、B、C、D、E共面；③假设直线a、b共面，直线a、c共面，那么直线b、c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.3解析答案123456789101112131415解析①中显然是正确的；②中假设A、B、C三点共线，那么A、B、C、D、E五点不一定共面；③构造长方体或正方体，如图显然b、c异面，故不正确；④中空间四边形中四条线段不共面，故只有①正确.答案B112.如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.假设M为线段A1C的中点，那么在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的选项是()A.|BM|是定值B.点M在某个球面上运动C.存在某个位置，使DE⊥A1CD.存在某个位置，使MB∥平面A1DE23456789101112131415解析答案1解析取DC中点N，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝

A1D，23456789101112131415FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得A、B正确.由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得D正确；A1C在平面ABCD中的射影与AC