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文档简介

、y

东南大学会通告潴

东南大孽交通孕院碉学部整理

东大交院高数历年试卷一研学部制作

第一部分历年试卷

2003级高等数学(A)(上)期中试卷

一、单项选择题(每小题4分,共12分)

1.函数y=/(x)在点r。处可导,田'(儿)=2,则当教->0时,力是()

(A)与Ar等价的无穷小;(B)与Ar同价但非等价的无穷小;

(C)比At低价的无穷小;(D)比Ar高价的无穷小。

2.方程/+2%-1=0在(3,+8)内恰有()

(A)一个实根;(B)二个实根;(C)三个实根;(D)五个实根。

3.已知函数/在x=0的某个邻域内连续/(0)=0,lim"冷=1,

x^Ol-COSX

则/在x=0处()

(A)不可导;(B)可导且((0)工0;(C)取得极大值;(D)取得极小值。

二、填空题(每小题4分,共24分)

cos2x-cos3x

I.若/(x)=|7则当〃=时,/(x)在x=0处连续.

a,x=0.

l+x+九2〃工

2,设函数/(x)=lim----------,则/(处在1=________处间断,其类型是_________.

1+/X

3.函数/(x)=xe“在%。=1处的带Lagsige余项的三阶Thy/8公式为。

4.设函数y=y(x)由方程sin(xy)-ye'=l所确定,则dy=.

5.已知/(x)=ln(l-x),则/(〃)(0)=.

6.设丁=/9052幻+1@11/2,其中/可导,则虫=____________________o

dx

三、(每小题7分,共28分)

1.求极限lim[tan(x+马]。°12入.2.求极限lim(sinVx+1-sinVx)

x-»o4x-

3.已知y=ln〃1-6-7出工,求y'(3.4.设<2‘皿,求生,人,

2[y=cos2rdxdx'

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四、(8分)求证当x>0时X-—<sinx.

6

五、(6分)落在平静水面上的石头产生同心圆形波纹。若最外一圈半径的增大率总是6〃〃s,

问2秒末受到扰动的水面面积的增大率为多少?

2

六、(8分)试就。的不同取值,讨论方程(x-。尸=2+。的实根的个数。

七、(6分)设函数/在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且/⑴=0,证明:至少存在

一点小(0,1),使3/化)+/化)=0。

x2V2

八、(8分)在椭圆r+\=l(a>b>0)上求一点P(x,y),使得它与另外两点A(2a,0),

a2h2

8(0,2。)构成的三角形AAP8的面积最小。

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2004级高等数学(A)(上)期中试卷

填空题(每小题4分,共20分)

1.设xf0时,esi.x-i与%"是等价无穷小,则〃=.

ln(l-2x)

—----x>0

2.设/(x)={%在x=0处连续,则。=.

aex,x<0

3.设f(x)=x2cosx,贝(If0°)(0)=.

4.函数/(x)=2x-In(l+x)在区间内单调减少.

5.函数/(x)=xlnx在X。=1处的带Lagrange余项的一阶Taylor公式为

二.选择题(每小题4分,共16分)

e-v-11

1.设/(x)=—;—arctan-,则尤=0是/(x)的[]

1x

eA+l

(A)连续点(B)第一类(非可去)间断点(C)可去间断点(D)第二类间断点

2.设/(x)=|x—2|g(x),且g(x)在x=2处连续,g(x)#0,则/'(2)[]

(A)=g(2)(B)=-8(.2)(0=0(D)不存在

3.函数/(》)=11X一2+1在(0,+00)内的零点个数为

1[]

e

(A)0(B)1(02(D)3

2

2T+1

4.设曲线。=”;则该曲线[]

2T-1

(A)有渐近线(B)仅有水平渐近

(0仅有垂直渐近线(D)既有水平渐近线,又有垂直渐近线

三.计算题(每小题7分,共35分)

2.1

xsin——/..—

23-evsinx

1.limcotx------——2.lim——7-^-+-----

x->0Isinxxx->oIn(l-f-x)I2+x,

3.设y=y(x)是由方程xex+y-si”2=o确定的隐函数,求由,.

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.2(x=l+Jdyd2y

4.设〈,求上,一Y-

y-arctan/drdx

e*x<0,

5.设函数/(x)=(;',且/"(0)存在,试确定常数a,"c.

ax2+Z?x+c,x>0

四.(8分)证明不等式:当尤21时,(l+x)ln(l+x)<l+x2.

五.(8分)求曲线y=》2(04848)的切线,使切线与直线丁=0及直线》=8所围成的

图形的面积最大.

六.(7分)设石〉O,x“+i=4(1+/)(〃=1,2=),证明数列卜“}收敛,并求1乱4.

4+4〃->8

七.(6分)设/⑴在[a,同上连续,在(a力)内可导,且">0,证明:*,〃e(a,b),使得

3n

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2005级高等数学(A)(上)期中试卷

填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)

,V.2%

1.limxsin——=___________;

厂+1

2.当x-0时,a(x)=Jl+xarcsin尤一Jcosx与夕(x)=kx2是等价无穷小,则攵=_;

3.设y=(l+sinx)”,贝必>,=乃=;

4.函数/(%)=xb在x=1处带有Peano余项的二阶Taylor公式为;

2ae'4-sinx,x<0

可导,贝I」Q=___,b=______o

12b(x-1,+9arctanx,x>0

单项选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分)

6.设函数/(x)=—贝IJ[]

1-e工

(A)x=0,x=1都是/(x)的第一类间断点(B)x=0,x=1都是/(x)的第二类间断点(C)

x=0是/(%)的第一类间断点,x=1是/(%)的第二类间断点

(D)x=0是/(x)的第二类间断点,尤=1是/(x)的第一类间断点

x=t2+2t

7.设函数y=y(x)由参数方程4确定,则曲线y=y(x)在x=3处的切线与x

y=ln(l+Z)

轴交点的横坐标是[]

(A)-ln2+3(B)--ln2+3(C)-81n2+3(D)81n2+38.以下四

88

个命题中,正确的是[]

(A)若/'(x)在(0,1)内连续,则“X)在(0,1)内有界

(B)若/(力在(0,1)内连续,则f(x)在(0,1)内有界

(C)若C'(x)在(0,1)内有界,则〃x)在(0,1)内有界

(D)若f(x)在(0,1)内有界,则r(x)在(0,1)内有界

9.当a取下列哪个数值时,函数/(x)=2x3—9f+12x—a恰有两个不同的零点[]

(A)2(B)4(C)6(D)8

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三.计算题(本题共5小题,每小题7分,满分35分)

10.|11.limln(l+2v')lnfl+-|

30(1一bX)..叫\7X)]

12.limf-L-+—L=+--+—13。设/(x)=・不二「求/⑹(x)

…+1n+T2n+yln)x(l-2x)

14.设函数y=y(x)由方程sin,+y2)+e*-盯2=0所确定,求立。

dx

四.(本题共4道题,满分29分)

15.(本题满分6分)如果以每秒50c〃r的匀速给一个气球充气,假设气球内气压保持常值,

且形状始终为球形,问当气球的半径为5c加时,半径增加的速率是多少?

x-1

16.(本题满分7分)证明不等式:e'Nl+xek(x>0)

17.(本题满分8分)在抛物线y=上求一点(“>()),使弦p。的长度

最短,并求最短长度,其中。是过点尸的法线与抛物线的另一个交点。

18.(本题满分8分)设函数/(x)在闭区间[a,可上连续,在开区间(a⑼内可导,且

f(a)=b,f(b)=a,证明:

(1)至少存在一点C€(",/?),使得/(C)=C;

(2)至少存在互异的两点虞〃€(。力),使得了'管)/何)=1

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2006级高等数学(A)(上)期中试卷

填空题(前四题每题4分,第5题8分,满分24分)

sinx

函数y(x)=的全部间断点分别是,它们的类型依次分别为.

|x|(x-l)

2

(x+l]

2.已知lim----ax-b=0,则b=;

XT0Ov-1

3.^y=arctan/(x),其中/(x)为可微函数,则微分dy=;

ax+b,x>\

4.设/(x)=〈,,若/(x)在x=l处可导,则a=,b=;

X,X<1

5.举出符合各题要求的•例,并将其填写在横线匕

(1)在x=0处不连续,但当xf0时,极限存在的函数有

(2)在x=0处连续,但在x=0时不可导的函数有

(3)在x=0处导数为。,但x=0不为极值点的连续函数有

(4)属于“9”或“艺”未定型,且存在有限极限,但极限不能用洛必达法则求得

000

的有

二.单项选择题(每题4分,满分12分)

1.设/(x)是单调增函数,g(x)是单调减函数,且复合函数/(/(X))J(g(X)),

g(/(X)),g(g(X))都有意义,则下列函数组中全为单调减函数的是[]

(A)/(/(x)),/(g(x))(B)g(/(X)),g(g(X))

(c)f(g(x)),g(f(x))

2.当x-0时,若y=ln(l+x)-ax—匕/是比/更高阶的无穷小,则【〕

(A)a=l,b=—(8)a=\,b=-—(C)a=-\,b=—(D)a=-l,b=-•-

2222

3.下面四个论述中正确的是[]

(4)若0(〃=1,2,…),且数列{%}单调递减,则数列{居}收敛,且其极限a>0

(B)若%>0(〃=1,2,…),且数列{x,,}收敛,则其极限a>0

(C)若limx“=aN0,则x“>0(n=l,2,---)

CD)若limx“=a>0,则存在正整数N,当〃〉N时,都有x”>@。

2

三.计算题(每题7分,满分35分)

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2x-\

x-sinxx—2

1.hm-----------------2.lim

XT°(l-cosx)ln(l+x)A->007+T

x=t+arctantdyi吐।

3.设《,求l,=15|,=1

lnfl+f2±c±^-

y

4.设y=%2e3x,求ya°)(x).

5.设y=y(x)是由方程f+V-ye*'=2所确定的隐函数,求曲线y=y(x)在点

(0,2)处的切线方程.

四.(8分)设/=啦,当=血+令二!一,(〃=1,2/-),证明数列*“}收敛并求极限.

J2+X,I

五.(8分)证明:当x20时,有

(1+x)2(21n(l+x)-l)+1>4xarctanx-2In(14-x2).

六.(7分)设函数/(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,/(0)=0,试证:存在一点

jw(o,i),使得

七.(6分)设力(x)=」一x—arctanx(其中〃为正整数),

〃+1

(1)证明:力(x)在(0,+8)内有唯一的零点,即存在唯一的毛€(0,+8),使力(x“)=0;

X

(2)计算极限lim3.

“T8X

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2007级高等数学(A)(上)期中试卷

一.填空题(每小题4分,满分24分)

1.当〃一>8时,,——---■与1—cos—(。〉0)是等价无穷小,则攵=,CI=;

nnn

r2i

尤+1、

2.已知lim-----ax-h=0,则。=,b-;

1—Y

3.函数/(x)=——带Peano余项的4阶Maclaurin公式是

1+x

%H+S呜+寻)dx=d()

5.当某质点沿曲线y=«运动到点Mo处时,该质点的x坐标和y坐标关于时间的变化率

相等,点的坐标为

1O

6.函数/(x)=—的单调增加区间为,极大值为

x

二.单项选择题(每题4分,满分12分)

7.设对VxeR,有/z(x)W/(x)Wg(x),lim[g(x)-//(x)]=0,则lim/(x)[]

XT8XTOO

(A)存在且等于零⑻存在且不等于零(O一定不存在(D)不一定存在

A/4X2+1+ln^l+—

8.极限lim]

XT-OO-x+2sinx

⑷-2(B)2(0-3(£»3

9.函数/(幻=——可sinx的不可导点的个数为]

⑷0(B)1(02(。)3

三.计算题(每小题8分,满分32分)

一—Vl+xsinx-cosxx=r-ln(l+Od2y

10.lim----------------11.设3

i。sinx-ln(l+x)y=t+/,*dr2,

12.设J(x)=(/+%卜in2x,求/"°)(尤).

13.试确定常数。、8的值,使得曲线yuf+Qx+b和2),=—1+孙3在点处相切,

并求切线方程.

九"2

四(14).(8分)讨论/(x)=lim(x20)的连续性,并指出间断点的类型(应

n->oo

说明理由).

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五(15).(8分)设函数/(x)在(-8,+8)上定义,/(0)=1,并对任意实数x和%,恒有

/(x+/i)=/(x)+fW+2hx,证明〃x)在(一8,+8)上处处可导,并求/'(x).

六(16).(8分)设p>l,q>l,且,+工=1,证明:当x>0时,-xr,+->x.

PqPq

七(17).(8分)设/(x)在闭区间出,包上具有一阶连续导数,在开区间(。/)内二阶可导,

且/⑷=/3),力⑷£(b)>0,试证:至少存在一点六(。,与,使得/"©=0.

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2008级高等数学(A)(上)期中试卷

一.填空题(每个空格4分,本题满分32分)

1.limxln(l---1—|-;

—I2X2+1J

2.当x—>0时,l-cos(l-cosx)与日“是等价无穷小,则女=,a=

3.设':/11',则dy.=;

x=­2

4.设y=y(x)是由方程/+tan(砂)=y所确定的隐函数,则y'(0)=;

5./(x)=xlnx在x=1处带有Peano余项的二阶Taylor公式为

6.已知曲线y=x2-qx-/?和丁=-2+》2/4在点(1,一1)处相切,则。=,b-

二.单项选择题(每小题4分,本题满分12分)

7.设/(幻=(》-4)。一6)。一0)(工一〃),其中常数。、b、c、7互不相等,且

f'(k)=(k-a)(k-b)(k-c),则Z的值等于]

(4)a(B)b(C)c(D)d

8,若极限lim/(x)存在,则下列极限一定存在的是[]

(A)lim(/(x)广(a为实常数)(B)lim|/(x)|

X-^与X-

(C)limIn/(x)(£>)limarcsin/(x)

Xf厢x->/

,(、七“...f~(a+2h)—f-(a—h)「..

9.已知尸(a)存在,n则hm9-----J-----二[]

/i->oh

(4)(尸⑷)2⑻2f\a)f(a)(C)6r(a)/(a)(D)3/⑷

三.计算题(本题满分27分)

/■.八、1.xln(l-2x).......21nx+sinx

10.(7分)lim.___211.(6分)hm----------

Vl+xsinx-e「**Inx+cosx

(7分)设,x=,+arctanr+e2求务

y=P+6/

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12

13.(7分)设丁二豆4/。?)),其中函数/具有二阶连续导数,求箸.

ae2x+cosx,x<0

四(14).(7分)已知函数/(x)=%n优)可导,试求常数。和b的值.

----+x,x>0

X

九%”一Y

五(15).(7分)试求函数f(x)=lim=------的间断点,并指出间断点的类型(需说明

入―e-sinx

理由).

x-1

,X>0,X1r/—1+x,八、

六(16).(9分)设L(x)=<Inx,证明:y[x<L(X)<(X〉0).

1,x=1

七(17).(6分)设函数/在区间出,切上二阶可导,且证明:对于任意的

a>Q,都存在Je(a,b),使得/"《)=兹岂0

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2009级高等数学(A)(上)期中试卷

一.填空题(每小题4分,本题满分24分)

1-y/l-X

--------------------Y<()

1.设/(x)=«x'在x=0处可导,则。=,b=:

a+bx.x>0

2.已知y=arctane*-x+(ln(e2'+l),则第1二;

3.设y=y(x)是由方程xsiny+ye*+[=0所确定的磔函数,则j,'(0)=:

4.函数y=e2*(x?-2)的单调收少区间是:

5./(x)=arcsinx带Peano余项的3阶Maclaiuin公式是:

6.时,/(x)=sinx-2sin3x+sin5x是x的____(川数字作答)阶无穷小址.

二.单项选择题(每小题4分,本题满分12分)

7.若lim/(x)=oo,limg(x)=co,则必有

X-+OX-M]

(A)lim[/(x)+g(x)]=8<B)lim[/(x)-g(x)]=oo

xfax-^a

(C)lim-----------=0(D)limkf(x)=oo(六为||:零常数)

/(x)+g(x)x-»a

8.设/在区间[0,1]上二阶可导,且/则有]

,

(A)r(i)>r(o)>/(i)-/(o)(B)/(i)>/(i)-/(o)>r(o)

(c)/(i)-/(o)>r(i)>r(o)(D)/,(i)>/(o)-/(i)>r(o)

9.下列命题中正确的命题是[]

(A)若f在点X。处可导.则|/|在点/处也可导。

(B)若/在点x0处可导,则f在点Xo的某个邻域内连续。

(C)设/€。。力),/在(。,防内可导,且lim/'(x)=k(一为有限数),则/在点。处

x->0*

存在右导数《(。),且Aa)=linJ(x)=h

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(D)设函数y=/og是由y=/(〃),〃=g(x)复合而成,如果g在点玉)处间断,/在

点%=g(x())处间断,则复合函数y=/。g在点/处也间断。

三.计算题(每小题9分,本题满分36分)

(11.,Y

10.计算极限lini|Id—1--sin-n.

"田[nwJ

e"-1+x2

11.计算极限Inn——.

isin,(&》)

[x=drd2V

12.设了二阶可导,r(o)=3,r(o)=i,且3,一,求手k。及格…

[y=/(e-1]dv<h

13.设/(x'fcos%,求广)(x)(M>3).

四(14).(本题满分8分)求函数尸(》)=」二的间断点,并指出间断点的类型(需

2-3e;

说明理由).

五(15).(本题满分8分)证明:"i0<x<2时,2sinx+tanx>3>-.

2

六(16).(本题满分6分)设〃x)=ax2+bx+c(a.b,c为常数),且当忖W1时,

|/(x)|<1,证明:当k区1时,|/'(x)|w4.

七(17).(本题满分6分)设/eC[0.1],在(0.1)内可导,且/(0)=/(1)=0,

max/(x)=M>0,证明:对于大于1的任意正整数n,存在互异的两点。.刍e(0.1),

阳0.1]

使得_\-------!—=2L

八幻/'4)M

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第二部分参考答案

2003级高等数学(A)(上)期中试卷

一、单项选择题(每小题4分,共12分)1.B2.A3.D

二、填空题(每小题4分,共24分)

1.-2.x=0,第一类(跳跃)间断点

2

3.e+2e(x-1)+y(x-1)2+1(x-1)3+(5+e(x-^e(>('°_^4(O<^<1)

y(ex-cos(xy)),

4.------------------ax5.一(〃-1)!6.-sin2xfr(cos2x)+2xsec2x2

xcos(xy)-ex

三、(每小题7分,共28分)

1.e2.lim(sinVjt+T-sinVx)=0

V->+00

124.设.=-2sin/,步-l.

3.y+—

4(J-1)71

了3

四、(8分)求证当x>0时,%--<sinx.(用函数的单调性来证明)

6

五、(6分)是一个相关变化率的问题,一,_,=144万加/5。

六、(8分)

。>一2时,有两个相异的实根;。=-2时,有一个实根;“<一2时,没有实根。

七、(6分)设尸(x)=x3/(x),对尸(x)在区间[0,1]上用罗尔定理即可得证。

6历

八、(8分)所求点为P(注a,—b).

22

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2004级高等数学(A)(上)期中试卷

四.填空题(每小题4分,共20分)

1.〃=32.a=-23./叫0)=90

4.(-1,一;)/\(1一1)

5.(x-l)+-P_/

五.选择题(每小题4分,共16分)l.C2.D3.C4.D

六.计算题(每小题7分,共35分)

2

xsin—<t

,(11A13-e1

1.limcotx---------=一2.lim______x_+

Isinxx)6.TOln(l+x)、2+x

d\—o+wdy1d2y1+3产

3.

2ycosy2-xer+j,dr2f(l+产)dx24/(1+广)2

5.a=-,b=\,c=l(注意:分段点的导数•定要用导数的定义来求)

2

四.(8分)用函数的单调性来证明。

五.(8分)所求的切点为(g,r),切线方程为旷=日工一等

六.(7分)用单调有界原理来证明数列极限的存在性,然后求得limx“=2.

七.(6分)提示:对〃x)以及g(x)=/用Cauchy中值定理,然后再对/(x)在[a,“上用

拉格朗日中值定理。

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2005级高等数学(A)(上)期中试卷

填空题(本题共5小题,每小题4分,满分20分)

2x3

1.limxsin——=22.k=—3.dyI=-7rdx

2

…x+l4

3e

4.e+2e(x—1)+--(x-I)"+o((x—1)~)5.ci-l,h―—1。

2

二.单项选择题(本题共4小题,每小题4分,满分16分)

6.C7.C8.C9.B

三.计算题(本题共5小题,每小题7分,满分35分)

10.-11o31n212.1

2

1Q#叫r-(一D"〃!,2"+.!dy_e'+2xcos(,J+),)-/

7-xn+l(l-2x)n+l■dv-2xy—2),cos(f+y2)°

四.(本题共4道题,满分29分)

15.(本题满分6分)(相关变化率问题)半径增加的速率是」-(c〃?/s)。

2兀

.V-1

16.(本题满分7分)用单调性来证。(提示:设尸(x)=e'—l—xeh则

x-lx+1x+1

F'(x)=e-(e~-l-^),考虑g(x)=e=-1-二的符号即可)。

17.(本题满分8分)所求点为「(2及,2),弦P。的最短长度为66。

18.(本题满分8分)提示:(1)令F(x)=/(x)-x,用罗尔定理即可得证。

(2)利用⑴的结论,对/(x)在区间(a,c)、(c,b)分别用拉格朗日中值定理即可得证。

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2006级高等数学(A)(上)期中试卷

填空题(前四题每题4分,第5题8分,满分24分)

1.x=0,x=l;第一类(跳跃)间断点,第二类(无穷)间断点

f'()

2.a—\,b—3.dy=―:-xdx4.a-3,b——2

1+/2U)

x2sin—

5.(1)y=Isgnx\(2)y=|x|(3)y=x3(4)lim.....-

1111ioin(l+x)

二.单项选择题(每题4分,满分12分)1.C2.B3.D。

三.计算题(每题7分,满分35分)

4.j(l0)(x)=39(3x2+20x+30)e3v5.4x-3y+6=0

四.(8分)用单调有界原理,数列*“}单调递增,有上界1+V2,故收敛,且=匕且.

“foo2

五.(8分)用单调性证明。

六.(7分)提示:对尸(x)=(l—x)3/(x)用罗尔定理。

nret分nKI

七.(6分)(1)令g.(x)=-----------,xe(0,+oo),limg„(x)=1------>0,

xn+lzo+n+1

limg(x)=———<0,故mO<x<》2<+8,使得g“Oi)>0,g“(X2)<0,

*7+oonn+l

g”(x)在区间上连续,g“(x)在(%,々)内至少存在一个零点。

---j--arctanx,2

g:(x)=------,记//(x)=--arctanx,1(x)=--__<0,

x1+x(l+x,

xe(0,+oo),/?(X)</J(0)=0,X>0,即g“'(x)<0,x>0,g“(x)在(0,+8)内严格单调

递减,g.(x)在(0,+oo)内至多存在一个零点。g.(x)在(0,+8)内存在唯一零点,即/“(x)在

(0,+oo)内存在唯一零点,记为x“e(0,+oo)o

,、,arctanx_,11arctanx„arctanx寸.%、7f

(2)由于-------也nJ=----<——=--------而-----------严格单调11递1减,故

X“+I"+2n+lxnx

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x<x,所以(〃+l)arctan*<%〃<一(〃+1),得lim%=+8,

nn+12〃-8

limUlim(〃+2)arctanx*i。

“TOO七fo(n+1)arctanxn

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2007级高等数学(A)(上)期中试卷

一.填空题(每小题4分,满分24分)

1.k-3,a-V22.a=l,b=-13.1—2x+2x2—2x3+2x4+o(x4)

j411,,

4.——e2jt+xsin——l-2arctanx+C5.6.(l,e2),4e-2

23

二.单项选择题(每题4分,满分12分)7.D8.B9,C

三.计算题(每小题8分,满分32分)

d2y_⑹+5)(1+f)

10.1

dx2t

12./(10)(x)=-210(x2+x)sin2x+210-5(2x+1)cos2x+29-45sin2x.

13.a=-l,b=-1,切线方程为y=x-2.

0,0<x<2

5

四(14).(8分)/(x)=(2*x=2,在[0,2),(2,+8)上连续,间断点x=2为第一类

x2,x>2

的跳跃间断点。

五(15).(8分)用导数的定义证明,/'(x)=2x+L

解在等式/(x+〃)=/a)+/(〃)+2〃x中令h=0,得/(0)=0,则

hm--------------lim----------+2X=2A-+1,于是/(x)在(-8,+8)上处处可导,

A->oh./»->oh

且/'(x)=2x+l

六(16).(8分)

证设/(x)=_LxP+_L—x,

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