第16讲：高频考点分析之函数探讨

【备战2013高考数学专题讲座】

第16讲：高频考点分析之函数探讨

江苏泰州锦元数学工作室编辑

1-2讲，我们对客观性试题解法进行了探讨，3〜8讲，对数学思想方法进行了探讨，9〜12讲对数

学解题方法进行了探讨，从第13讲开始我们对高频考点进行探讨。

函数问题是中学数学的重要内容，在高考中占有比较重要的地位。

结合中学数学的知识，高考中函数问题主要有以下几种：

1.函数定义域问题：

2.函数值和大小比较问题；

3.函数的值域和最值问题；

4.函数的单调性。周期性、奇偶性问题；

5.函数的零点问题；

6.函数图象的交点问题；

7.反函数问题：

8.函数的图形问题；

9.函数的综合问题

结合2012年全国各地高考的实例，我们从以上九方面探讨函数问题的求解。

一、函数定义域问题：

典型例题：

例1.(2012年山东省文5分)函数f(x)=—!—+J4-X?的定义域为【】

ln(x+1)

A[-2,0)U(0,2]B(-1,0)U(0,2]C[-2,2]D(-1,2]

【答案】B,

【考点】函数的定义域。分式、对数、二次根式有意义的条件。

ln(x+l)w0[XNO

【解析】根据分式、对数、二次根式有意义的条件，得<+1>0,解得<x>-l

4-x2>0[-2<x<2

函数f(x)=^；~~!一+J4-X?的定义域为(-1,0)U(0,2]。故选Bo

ln(x+1)

-2-102

例2.（2012年江西省理5分）下列函数中，与函数歹=子定义域相同的函数为【

1Inxsinx

A.y=------B.y=——C.y-xexD.y=-----

sinxxx

【答案】Do

【考点】函数的定义域。

【解析】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围。其求解根据一般有：（1）

分式中，分母不为零;（2）偶次根式中，被开方数非负；（3）对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题

目本身有意义。由函数夕=」的意义可求得其定义域为{x|xeR,XH0},于是对各选项逐一判断即可得

\JX

答案：

对于A,y=」一的其定义域为左左，keZ}f故A不满足；

sinx

InY

对于B,y=---的定义域为x>0},故B不满足；

x

对于C,y=xe*的定义域为,故C不满足；

cinx

对于D,y=——的定义域为xwO},故D满足。

x

Icin

综上所述，与函数》=/定义域相同的函数为：Xo故选D。

yJXX

例3.（2012年四川省文4分）函数/Yx）=/I的定义域是▲。（用区间表示）

yj1—2%

【答案】（-00,-!-）

2

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负

数和分式分母不为0的条件，要使下』=在实数范围内有意义，必须F-2x*°n5nxef-oo.1^。

VP27（l-2x*01I2）

x一

2

例4.（2012年江苏省5分）函数/（x）=Jl-210g6》的定义域为▲

【答案】(0,V6］o

【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。

【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得

x>0fx>0

x>0

n<]n<1=>0<x<\[6o

logx2

l-21og6x>06-2[x<6=V6

例5.(2012年广东省文5分)函数v=在2的定义域为▲.

X

【答案】［-i,o)U(o，+8)。

【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有意义的条件。

【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负

数和分式分母不为0的条件,要使正正在实数范围内有意义，必须［"+12°nF2-1=11,0)U(0,+8)。

xIx0Ix0

二、函数值和大小比较问题：

典型例题：

1

例1.(2012年全国大纲卷理5分)已知x=ln;r,j；=log52,z=e,则【】

A.x<y<zB.z<x<yC.z<y<xD.y<z<x

【答案】Do

【考点】对数、指数的比较大小的运用。

【解析】采用中间值大小比较方法：

22

x=In>Ine=l,j/=log52<log5>/5=—,z=e=-y=>-^=—,z=e=—j=<l,

y<z<xo故选Do

例2.(2012年天津市文5分)已知。=2%b=,C=21og52,Iflija,b,c的大小关系为【】

(A)c<b<a(B)c<a<b(C)b<a<c(D)b<c<a

【答案】A。

【考点】指数函数、对数函数的性质。

【分析】•:b-0.2=20.2<21.2>X<b<a.

又：c=21og$2=logs2?=logs4<1,.,.c<b<a,故选A。

例3.(2012年安徽省理5分)下列函数中，丕懑是：/(2x)=2/(x)的是【】

(A)f(x)=|x|(B)/(x)=x-|x|(C)/(x)=x+l(Z>)f(x)=-x

【答案】Co

【考点】求函数值。

【解析】分别求出各函数的/(2x)值，与2/(x)比较，即可得出结果：

(⑷对于/(x)=:有/(2x)=|2x|=2|x|=2/(x),结论成立；

(8)对于/(x)=x-|x|有f(2x)-2x-|2x|=2x-2|x|=2(x-|x|)=2/'(x),结论成立；

(C)对于/(x)=x+l有/(2x)=2x+l,2f(x)=2x+2,：./(2x)2f(x),结论不成立;

(。)对于/(%)=—x有f(2x)=-2x=2f(x),结论成立。

因此不满足/因此=2f(x)的是/~(x)=x+1,故选C。

例4.（2012年安徽省文5分）log29xlog34=[]

。）7⑻1⑹2（。）4

42

【答案】D。

【考点】对数的计算。

【解析】log,9xlog34=^x妊=理、垩=4。故选。。

1g21g3lg2lg3

X2+1X<1

例5.（2012年江西省文5分）设函数/（x）=12，则/（/（3））=【）

—%>1

12B

A3CD-

5-3-9

【答案】Do

【考点】分段函数的求值。

【解析】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是

外层函数的自变量的值。同时.，要注意自变量X的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式。

••.3""⑶咚„))=后)同+1=—o故选D。

9

X2+1V<1

例6.(2012年江西省理5分)若函数/(x)=('-，则/(7(10))=【

lgx,x>1

A.lglOlB.2C.lD.0

【答案】B。

【考点】分段函数的求值。

【解析】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是

外层函数的自变量的值。同时，要注意自变量x的取值对应着哪一段区间，就使用哪一段解析式。

V1O>1,.,•/(10)=lgl0=K.\/(/(10))=/(l)=l2+l=2o故选B。

jr1

例7.(2012年江西省文5分)已知/(x)=sin2(x+-)若中炉(膜)，6=/(lg-)则1]

45

A..a+b=OB.a-b=OC.a+b=lD.a-b=\

【答案】Co

【考点】二倍角的余弦，诱导公式，对数的运算性质。

71

1—cos(2xH—)

【解析】应用二倍角的余弦公式进行降嘉.处理：/(x)=sin2(x+^)=-----------2_

冗

1一处(2怆5+万)i+sm(21g5)

•"=/(lg5)

F—2

b=/(lg1)=sin2(lg*)=Jsm,g5)。

..a+b=\o故选Co

例8.(2012年湖南省文5分)设夕>b>l,c<0,给出下列三个结论:

①-=7:②/<"；③logA(a-c)>log(,(/>-c),

ab

其中所有的正确结论的序号是【】.

A.①B.①②C.②③D.①②③

【答案】Do

【考点】指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系。

11_

【解析】由不等式知一<一,又。<0,・・r・£=r£。①正确。

abab

由指数函数的图像与性质知②正确。

由c<0知a—c>Z)-c>l-c〉1,由对数函数的图像与性质知③正确。

因此，正确结论的序号是①②③。故选D。

1,x>0,,

1,x为有理数，

例9.(2012年福建省文5分)设段)={0,x=0,蛉)=八公上.邮则德(兀))的值为【】

[0,x为无理数，

「1,x<0,

A.1B.0C.—1D.7t

【答案】B«

【考点】求分段函数的值。

【解析】,兀是无理数，...gGt)=0,./(g(兀))=火0)=0。故选B。

例10.(2012年福建省文5分)已知{x)=x3-6f+9x-"c,a<b<c,且_/(。)=/(6)=/匕)=0.现给出如下

结论：①/(0)/(1)>0；(2M0Ml)<0:励(0)/(3)>0；刨0求3)<0.

其中正确结论的序号是【】

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】Co

【考点】函数的零点和单调性。

【解析】对函数求导得：/(x)=3？-12x+9,|y

令/(X)=O,解得X]=l,X2~3O/

当x<l时，函数/(x)单调递增；当1々<3时，函数/(x)单调递减；当o/a\b\3XX

43时，函数y(x)单调递增。

因为a<b<c,且>(a)=7(6)=/(c)=0,所以函数y(x)与x轴的交点坐标从左到右依次为abc.

根据<6)=0得人6)=63-6b29b—abc—b[(b—3)2—ac]—0,因为厚0，所以(6—3)2—ac—0»

又因为c>0,且方程有解，故〃>0,所以a>0,l<b<3,03。

画出函数./(x)的图象，如图所示.显然负0)<0,犬3)<0,

所以火0)负1)<0,<0)：/(3)>0。所以②③正确。故选C。

例11.(2012年重庆市文5分)已知a=log23+log2仆，6=log29-log26，c=logR,则a,b,c

的大小关系是【】

(A)a=b<c(B)a=b>c(C)a<b<c(D)a>b>c

【答案】Bo

【考点】对数的运算性质和大小比较。

【分析】利用对数的运算性质可求得4，b,C,比较它们的大小:

।3

Va=log23+log2V3=log23+-log23=-log,3,

।3

Z>=log29-log2\/3=21og23--log23=-log23,

।clog,21

c=log,2=------=--------,

log23log23

a=b>l,0<c=--------<1o；・a=b>c。故选B。

log23

例12.(2012年北京市文5分)已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=l,则f[2)+f(b2)=▲

【答案】2。

【考点】对数的化简计算。

【解析】•••f(x)=lgx,f(ab)=l,

f(a2j+f^b2j=lga2+lgb2=21ga+21gb=2(lga+lgb)=21gab=2x1=2。

>0)

例13.(2012年陕西省文5分)设函数/(x)=|(iY，则/(/(-4))=▲

闫G。)

【答案】4。

【考点】分段函数求值。

【解析】；/(—4)=(；尸=16,••./(/(一4))=/(16)=后=4。

例14.(2012年上海市文4分)方程4*一2川-3=0的解是▲

【答案】log23«

【考点】解指数方程。

【解析】根据方程4'-2田—3=0,化简得(2*)2-2-2、-3=0。

令2'=/(/>0),则原方程可化为八一2f—3=0,解得/=3或/=一1(舍)。

：.2X=3,x=log23。.•.原方程的解为log??。

三、函数的值域和最值问题：

典型例题：

例1.(2012年重庆市理5分)设函数/(x)在R上可导，其导函数为/(x),且函数y=(l-x)/(x)的图

像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【】

(A)函数/(x)有极大值/(2)和极小值/(I)

(B)函数/(x)有极大值/(-2)和极小值/(I)

(C)函数/(X)有极大值”2)和极小值/(-2)

(D)函数/(X)有极大值/(-2)和极小值/(2)

【答案】D。

【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。

【分析】由图象知，y=(l-劝收(力与x轴有三个交点,-2,1,2,.(—2)=0,八2)=0。

由此得到x,y,1-x,/(x)和/(x)在(-00,+8)上的情况:

X(-co,-2)-2(-2,1)1(1,2)2—

y+0一0+0——

l-x+++0一一——

——

/'(x)+0———0+

/(x)/极大值非极值极小值/

/.f(x)的极大值为/(-2),/(X)的极小值为/(2)o故选Do

例2.(2012年陕西省理5分)设函数/(x)=xe',则【】

A.x=1为/(%)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点

C.x=-1为/(x)的极大值点D.x=—1为f(x)的极小值点

【答案】Do

【考点】应用导数求函数的极值。

【解析】V/,(x)=(x+l>',令/'(x)=0,得x=—l。

...当x<-1时，f\x)<0,/(x)=xe'为减函数；当x>-1时，/(x)>0,/(x)=xe、为增

函数，所以x=—1为.f(x)的极小值点。

故选D。

2

例3.(2012年陕西省文5分)设函数/(》)=1+111》则【】

A.x=；为/(x)的极大值点B.x=；为/(x)的极小值点

C.x=2为/(x)的极大值点D.x=2为的极小值点

【答案】D。

【考点】应用导数求函数的极值。

21

【解析】••"'(》)=-彳+上x=-一2，令/'(x)=0,得x=2。

XXX

2

.•.当0<x<2时，f\x)<0,/(x)=—+lnx为减函数；

2

当x>2时，/'(x)〉0,/(x)=—+lnx为增函数。

.•.》=2为/(%)的极小值点。

故选D。

例4.(2012年江苏省5分)已知函数/(x)=x2+ax+&(a"eR)的值域为［0,+8),若关于x的不等式

/(X)<C的解集为(W,777+6),则实数C的值为▲.

【答案】9。

【考点】函数的值域，不等式的解集。

【解析】由值域为［0,+8)，当/+依+6=0时有V=a2-4b=0,即6=幺，

2

f(x)=x2+ax+b=x2+ax+=lx+

4

2

Jf(x)=[x+^I<C解得一五Cx+@<VZ,-\[c--<X<yfc

222

,不等式/（x）<c的解集为（w,加+6）,；.（五-9-（-五-9=2五=6,解得c=9。

例5.（2012年广东省理14分）设a<l,集合4=卜€火,〉0},6=[；€火|21-3（1+编工+64〉0卜

D=A[}B

（1）求集合。（用区间表示）

（2）求函数/（X）=21—3（1+。）/+6q在。内的极值点。

【答案】解：⑴设g(x)=2x2—3(l+a)x+6a,

方程g(x)=O的判别式D=9(1+Q)2-484=9(4--)(〃・3)

①当;时，D<0,2》2一3（1+。）》+6。>0恒成立,

8={xeR^2x2-3(l+a)x+6a>o}=R。

：.D=A(}B=A^{x\x>Q],即集合。=(0,+)。

②当0<。;时，D0,方程g（x）=O的两根为

3(7+3-q9a2-30。+9八3(7+3+19az.30〃+9

-----------------------------0,X.

44

/.8={xE7?|2x2-3(1+Q)X+6Q>0

(,3Q+3-\l9a~-30。+9-3Q+3+，94~—30。+9

={x\x<----------------------如>----------------------

44

—2

“cnA(।n3<7+3A/9^—30t7+9_»x34+3+^/942-304+9、

・・.Z)=4n8=/={x|0<x<---------------------------或x>---------------------------},

44

2

即集合。=（0,泡士3d9a2-30〃+9)u(3Q+3+，9〃・30〃+9

)°

③当。£0时，D>0,方程g（x）=O的两根为

3(7+3-《9/-30。+93(7+3+《9/-30a+9八

--------------------------------£0,X.=--------------------------------->0

424

/.8=卜£R^2x2-3(1+。)工+6。〉0}

(,3〃+3-也。2-30。+934+3+.9/-30。+9)

={x\x<------------------------------<0或x>------------------------------}o

44

D=/n8=/={x|x〉34+3+J9a，30£^},

4

即集合D=(3"3+J9/一30"9,十)。

4

(2)令/<x)=[2x3-3(1+a)x2+6ax]'=6x2-6(1+a)x+6Q=6(x一a)(x-1)=0得

/(x)=2x3-3(1+a)x2+6ax的可能极值点为a,1。

①当:<a<l时，由(1)知。=(0,+oo),所以/'(x),/(x)随x的变化情况如下表:

X(0,«)a3D1(L+8)

/'（X）+0—04-

/（X）/极大值极小值/

；・/(X)=2--3(1+4)/+6ax在。内有两个极值点为4,1:极大值点为X=4，极小值

点为x=l。

②当0<。，时，

3

4,八4n小%+3-J酎.3(h+9、1,z3a+3+3ttz+9,xz.xllz、

由(1)知0=(Q---------------------)U(---------------------,+)=(0,Xi)U(X2，+°°)。

*.*f(x)=2x(x-x,)(x-x2),/.0<tz<Xj<1<x2,

・・・/'(x),/G)随X的变化情况如下表：

X（0,。）a(a,xj(々,+00)

/'（X）+0—+

/（X）/极大值/

，/*）=2/-3（1+。）》2+6ax在。内仅有一个极值点：极大值点为x=a，没有极小值

点。

③当。£0时，

,./3"+3+，942-30a+9.

由（1）知£>=（----------------------,+）»

4

•ci£0f••1-3々<1-ci°

.3a+3+y/9a2-30a+9_3a+3+J3(l-3a)(l-a)3a+3+13(1-3/

••----------------------=------------------------->--------------------

444

_3a+3+G(l-3a)_3+G+3a(l-V?)3+g

444

3a+3+，9a~-30a+9

：.a£0<l<---------------------。

4

，/(x)=21—3(1+a)x2+6ax在。内没有极值点。

【考点】分类思想的应用，集合的计算，解不等式，导数的应用。

，11

【解析】(1)根据g(x)=2》2—3(l+a)x+6a根的判别式应用分类思想分]<。<1、0<aa£0

讨论即可，计算比较繁。

(2)求出f\x)=[2x3-3(l+a)x2+6ax]'=6x2-6(l+a)x+6a=6(x-a)(x-l),得到/(x)的

可能极值点为a,l。仍然分a<1、0<a”£0讨论。

33

例6.(2012年浙江省理14分)已知a〉0,bwR,函数/(x)=4a?—2bx-a+6.

(I)证明：当OWxWl时，

(i)函数f(x)的最大值为I2a—回+a；

(ii)/(x)+12<7-6I>0；

(II)若—1</(x)<1对xe[0,1]恒成立，求a+6的取值范围.

【答案】(I)证明：

(i)f'(x)=12ax2-2b.

当6<0时，/'(X)=\2ax2-2b>0在0g1上恒成立，

此时/(x)的最大值为：/(l)=4a—26—a+6=3q—6—\2a-b\+a；

当b>0时，/'(x)=12尔-26在0SE1上的正负性不能判断，

此时/(x)的最大值为：

/、/[h—a^b>2a

/皿(x)=max{/(0),/⑴}=max{(6-“)，(3a-b)K}='=|2。一臼+a。

\3a-bfb<2a

综上所述：函数/(x)在0人1上的最大值为|2。一6|+〃。

(ii)设g(x)=-/(x),

Vg(A)=-4ax3+2bx+a-b,.,.令g'(x)=-126+2b=0=>x=

当后0时，g，(x)=-12ox2+2b<0在OSrWl上恒成立,

此时g(x)的最大值为：g(0)=a-b<3a-b—\la-b\+a；

当6V0时，g'(x)=-12ar2+2b在O0E1上的正负性不能判断,

4

+ct-b,b46a

grnax(x)=max{g(—),g⑴}=max+a-b,b-2a}=*3

6ab>6a

b—2a,

<\2a—b\+aQ

综上所述：函数g(x)在0SW1上的最大值小于(或等于)|2〃一6|+a,

即/(x)+|2夕一b|+a>0在OSxW上恒成立。

(H)解：由(I)知：函数/(力在0SW1上的最大值为|2夕一切+a,

且函数/(x)在0夕S上的最小值比-(|2a—加+〃)耍大。

V-1</(X)<］对X£［0,1］恒成立，|2tZ—+67<1O

取b为纵轴，。为横轴.

a>0fa>0

b>2a和“<2o,目标函数为z=a+/)。

)b-a£\3a-b<,\

作图如下:

由图易得：当目标函数为z=a+b过P(l,2)时，有Zg=3.

二所求的取值范围为：(-1,3］。

【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。

【解析】(1)(i)求导后，分区)和6>0讨论即可。

(ii)利用分析法,要证/(x)-\-\la-b\+a>0,即证g(x)=-f(x)<|2a—Z>|+a,亦即证g(x)在

0<x<l上的最大值小于(或等于)|2o—臼+a。

(II)由(I)知：函数在gxWl上的最大值为［2<7-勿+<7,且函数在0W烂1上的最小值比

-(|2q—句+〃)要大.根据一W1对xG［O,1］恒成立，可得|2“一创+g1,从而利用线性规划知识，

可求的取值范围。

例7.(2012年江西省文14分)已知函数f(x)=(ax2+hx+c)/在［0,1］上单调递减且满足

/(0)=1,41)=0。

(1)求。的取值范围；

(2)设g(x)=/(x)—/［x),求g(x)在［0,1］上的最大值和最小值。

【答案】解：(1)V/(0)=c=l,f(l)=(a+b+c)e=0,：.a+b=-\.

f(x)=［ar2-(a+l)x+Y\exo/./,(x)=［ax2+{^a-\)x-a］ex»

:函数/(x)=(ax2+6x+c)e*在［0,1］上单调递减，

对于任意的xe(O,1),都有/'(x)<0。

.•.由/'(0)=—。<0得4>0；由/'(1)=［。+(。-1)—a］e<0得4<1。

/.0<(7<1o

又当。=0时，对于任意的x«0,1),都有了'(x尸一x<0,函数符合条件；

当。=1时，对于任意的X€(0,1),都有/口)=12-1"'<0,函数符合条件。

综上所述，。的取值范围是OWaWl。

(2)Vg(x)=/(》)-/［丫)=［0%2-(a+l)x+l］e*-［加-(a+l)x-a］e*=(-2or+a+De"

g,(x)=(-2tzr-6f4-l)exo

(i)当a=0时，对于任意XE(O,1)有g<x)=e">0,

，g(x)在［0,1］上的最小值是g(0)=l,最大值是8⑴二？；

(ii)当a=l时，对于任意xc(0,1)有g<x)=-2xe'<0,

・・・g(x)在［0,1］上的最小值是g⑴=0,最大值是g(O)=2；

(iii)当0V4Vl时，山g［x)=0得x=,

①若宁21,即0<aW；时，g(x)在［0,1］上是增函数，

；.g(x)在［0,1］上最大值是g(l)=(l-a)e,最小值是g(0)=l+a；

1—/J11—fj1—zj-_—

②若----<1,即一<4<1时，g(x)^Ex=-------取得最大值g(-------)=2ae2ag,在x=0

2a3v72a2a

或x=l时取到最小值：

Vg(0)=1+a,g(D=Q-〃)e,

1P-\

・•・当§vQ«时，g(x)在x=0取到最小值g(0)=1+o；

P—i

当；时，g(x)在x=l取到最小值g⑴=(l-a)e。

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性。

【解析】(1)由题意，函数,/")=(加+瓜+©/在［0,1］上单调递减且满足/(0)=1,/")=0,可求

出函数的导数，将函数在［0,1］上单调递减转化为导数在［0,1］上的函数值恒小于等于0,再结合/(0)=1,

./(1)=0这两个方程即可求得«取值范围。

(2)由题设条件,先求出g(x)=/(x)-尸(x)的解析式,求出导函数g'(x)=(-2ar-q+l)e"

由于参数“的影响，函数在[0,1]上的单调性不同，结合(1)的结论及g'(x)分a=0,a=1,0<a<1

三类对函数的单调性进行讨论，确定并求出函数的最值。

例8.(2012年湖南省理13分)某企业接到生产3000台某产品的4,8,。三种部件的订单，每台产品需

要这三种部件的数量分别为2,2,1(单位：件).已知每个工人每天可生产/部件6件，或8部件3件，

或。部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件，生产A部件的人数与生产4部

件的人数成正比，比例系数为4(A为正整数).

(I)设生产/部件的人数为x,分别写出完成B,。三种部件生产需要的时间；

(II)假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数人的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间

最短时具体的人数分组方案.

【答案】解：(I)设完成/,B,C三种部件的生产任务需要的时间(单位：天)分别为7；(x)Z(x),7；(x),

2x3000

由题设有工(q=理z(加理Z(吁15。。

6xx2kx3200—(l+k)x

其中x,Ax,200—(1+左)x均为1到200之间的正整数。

(II)完成订单任务的时间为/@)=加{7；(》)，(力，@)},其定义域为卜0<》<笆,工€乂

易知,7](x)Z(x)为减函数,“(X)为增函数。

2

・••依).稔)，于是

10001500|

(1)当上=2时，7j(x)=[(x),此时/(x)=max{7；(x),7；(x))=max二'200—3x『

由函数7](x),/(x)的单调性知,

“，10001500*//、"，/日口I-3”由400

当----=---------时n/(x)取得最小值，解得x=----o

x200-3X9

由于44〈等<45,何(44)E44)=*,〃45)盟(45)=等J(44)<”45),

故当x=44时完成订单任务的时间最短，且最短时间为/(44)=于250。

(2)当人>2时，T}(X)>T2(X),由于左为正整数，故上23,

375

此时T(x)，夕(x)=max{7](x),T(x)},>

50-x

易知T(x)为增函数，则f(x)=max{7](x),7；(x)}>max{7](x),T(x)}

1000375

=*(x)=max

x?50-xJ

由函数小x),T(x)的单调性知,

上1000375时取得最小值，解得》=答

a------=-------°(x)

x50-x

由于36<手<37,而夕(36)=7；(36)=型〉型375250

,9(37)=7(37)=---->,

91113----11

250

此时完成订单任务的最短时间大于上o

11

(3)当左＜2时，T^X)＜T2(X),由于左为正整数，故左=1,

2000750

此时/(x)=max{g(x)Z(x)}=max

x9100-x

由函数4(x),7；(x)的单调性知,

比2000750800

当-----=------时/(x)取得最小值，解得x

x100-x11

250250

类似(2)的讨论，此时完成订单任务的最短时间为且，大于今。

911

综上所述，当左=2时完成订单任务的时间最短，此时生产4,B,C三种部件的人数

分别为44,88,68。

【考点】分段函数、函数单调性、最值，分类思想的应用。

【解析】(I)根据题意建立函数模型。

(H)利用单调性与最值，分％=2、左＞2和左＜2三种情况讨论即可得出结论。

例10.(2012年重庆市文13分)已知函数/