初中数学全等三角形旋转模型知识点总结及解析(一)

初中数学全等三角形旋转模型知识点总结及解析(1)

一、全等三角形旋转模型

1.己知0P平分NAOB,NDCE的顶点C在射线0P上，射线CD交射线0A于点F,射线

CE交射线0B于点G.

(1)如图1,若CDJ.OA,CE±OB,请直接写出线段CF与CG的数量关系；

(2)如图2,若NAOB=120o,ZDCE=ZAOC,试判断线段CF与CG的数量关系，并说明

理由.

答案：C

解析：(1)CF=CG；(2)CF=CG,见解析

【分析】

(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.

(2)结论：CF=CG,作CMJ.OA于M,CN_L0B于N,证明△CMF丝ACNG,利用全等三角形

的性质即可解决问题.

【详解】

解：(1)结论：CF=CG；

证明：OP平分ZAOB,CF±OA,CG±OB,

.,.CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等)；

(2)CF=CG理.由如下：如图，

过点C作CMJ.OA,CN±0B.

「OP平分NAOB,CM±OA,CN1OB,ZAOB=120o,

.,.CM=CN（角平分线上的点到角两边的距离相等），

AZAOC=ZBOC=60o（角平分线的性质），

VZDCE=ZAOC,

AZAOC=ZBOC=ZDCE=60o,

：./MCO=90o-60o=30o,NNCO=90o-60o=30o,

NMCN=30o+30o=60o,

AZMCN=ZDCE,

VZMCF=ZMCN-ZDCN,ZNCG=ZDCE-ZDCN,

AZMCF=ZNCG,

在^MCF和△NCG中，

CMFCNG

CMCN

MCFNCG

MCF丝△NCG(ASA),

.,.CF=CG(全等三角形对应边相等)；

【点睛】

本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握

角平分线的性质的应用，熟练证明三角形全等

2.我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”.

(1)如图①，四边形ABCD为对直角四边形，NB=90",若AB2-AD2=4,求CD2-BC2的值；

(2)如图②，四边形ABCD中，ZABC=90°,AB=BC,若BD平分NADC,求证：四边形

ABCD为对直角四边形；

S.3

(3)在(2)的条件下，如图③，连结AC,若•*•必A巴CD•'—，求tanNACD的值.

答案：A1

解析：⑴4；⑵见解析；⑶tanNACD的值为3或・.

【分析】

(1)利用勾股定理即可解决问题；

(2)如图②中，作BE_LCD于E,BF_LDA交DA的延长线于F.只要证明ZEBF=90°即可

解决问题；

S.ACD3

(3)如图③中，设AD=x,BD=y.根据——构建方程即可解决问题

S,..ABC5

【详解】

解：如图①中,

・・•四边形ABCD为对直角四边形,NB=90,

，ND=NB=90，°

22222

AAC=AB+BC=AD+DC,

(2)证明：如图②中，作BE±CD于E,BF±DA交DA的延长线于F.

•••BD平分NADC,BE±CD,BF±AD,

ABE=BF,

VZBFA=ZBEC=90,°BA=BC,BF=BE,

ARtABFA丝RtABEC(HL),

AZABF=ZCBE,

AZEBF=ZABC=90,°

・•・ADC=360-90°90­090

=90°,°VZABC=NADC=90,°

・・・四边形ABCD为对直角四边形.

(3)解：如图③中，设AD=x,BD=y.

VZADC=90,°

X2

AtariZACD—,AC=/x2f，

y

VAB=AC,ZABC=90,0

-ARBCW7k尸’

・•AD=DU=____

2

SACD3

.・・-2____t

S.ABC5

1

_xy

23.

12、，25

—xy

4

整理得：3x2-10xy+3y2,

xx

3(—)2-10?_+3=0,

yy

x-i

一=3或1•

y3

AtanZACD的值为3或1.

3

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，角

平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，

学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题.

3.发现规律：

交于占F.直线RD

(1)如图①，食BC与△ADE都是等边三角形，直线BD,CE

AC交于点H.求BFC的度数

(2)已知；△ABC与ADE的位置如图②所示，直线BD,CE交于点F.直线BD，

AC交于点H.若ABCADE.ACBAED»求BFC的度数

应用结论：

二

dH图

(3)如图③，在平面直角坐标系中，点0的坐标为(0,0),点M的坐标为(3,0),N为

y轴上一动点，连接MN.将线段MN绕点M逆时针旋转60得到线段MK,连接NK,

OK,求线段OK长度的最小值

解析：(1)BFC的度数为60；(2)BFC的度数为180(3)线段OK

3

长度的最小值为一

2

【分析】

(1)通过证明ABAD4CAE可得ABDACE，再由三角形内角和定理进行求解

即可；

ABAC

(2)通过证明ABC~&ADE可得BAGDAE,；——_：，可证

ADAE

4\BD-MCE,可得ABDACE,由外角性质可得BFCBAC,再有三角形

内角和定理进行求解即可；

(3)由旋转的性质可得△MNK是等边三角形，可得MKMNNK,

NMKNKMKNM60,如图③将扁OK绕点M顺时针旋转60,得到

△MQN,连接OQ,可得OMQ60,OK=NQ,MO=MQ,则当NQ为最小值时，OK

有最小值，由垂线段最短可得当QNy轴时，NQ有最小值，由直角三角形的性质即可

求解.

【详解】

(1),/AABC与AADE是等边三角形

；.AB=AC,AD=AE,BACDAEABCACB60BADCAE

ABAD6AE(SAS)

/.ABDACE

•••ABDDBCABC60

...ACEDBC60

BFC180DBCACEACB60；

(2),/ABCADE,ACBAED

/.心BC-AADE

…AB

...BACDAE,一皿

ADAE

ABAD

/.BADCAE,————

ACAE

AABD-ACE

/.ABDACE

BHCABDBACBFCACE

BFCBAC

BACABCACB180

/.BFC180

/.BFC180；

(3),/将线段MN绕点M逆时针旋转60得到线段MK

:.MNMK,NMK60

二AMNK是等边三角形

MKMNNK,NMKNKMKNM60

如下图，将AMOK绕点M顺时针旋转60,得到△MQN,连接OQ

JV10KJVIQN,OMQ60

OK=NQ,MO=MQ

△MOQ是等边三角形

QOM60

NOQ30

OK=NQ

当NQ为最小值时，OK有最小值，由垂线段最短可得当QNy轴时，NQ有最小值

点M的坐标为（3,0）

/.OMOQ3

,/QNy轴，NOQ30

NQLOQ3

22

，线段OK长度的最小值为_.

2

【点睛】

本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，

相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形内角和定理等知识，灵活运用这些性质进

行推理是解决本题的关键.

4.如图，已知ABC和AD区均为等腰三角形，AC=BC,DE=AE,将这两个三角形放置在

一起.

(1)问题发现：

如图①，当ACB=AED=60时，点B,D、E在同一直线上，连接CE,则CEB

=°，线段BD、CE之间的数量关系是,；

(2)拓展探究：

如图②，当ACB=AED=90时，点B、D、E在同一直线上，连接CE,请判断

CEB的度数及线段BD、CE之间的数量关系，并说明理由；

(3)解决问题：

如图③，ACB=AED=90,AC=2#,AE=2,连接CE、BD,在$AED绕点A

旋转的过程中，当DEBD时，请直接写出EC的长.

答案：C

解析：(1)60,BD=CE；(2)CEB=45,BD=46E•理由见解析；(3)CE

的长为2或4、'Q,理由见解析.

【分析】

(1)证明AACE丝AABD,得出CE=BD,AECADB,即可得出结论;

△△ADB,BDgCE,即可得出结论；

(2)证明ACEsABD，得出AEC

cc，再求出2后

(3)先判断出BD“2CEAB

①当点E在点D上方时，先判断出四边形APDE是矩形，求出AP=DP=AE=2,再根据勾

股定理求出，BP=6,得出BD=4；

②当点E在点D下方时，同①的方法得，AP=DP=AE=1,BP=6,进而得出BD=BP+DP

=8,即可得出结论.

【详解】

解：（1）△ABC为等腰三角形，AC=BC,ACB=60,

AABC是等边三角形，

同理可得於DE是等边三角形

BADDACDACCAE60

BADCAE

ADAE

ABAC

EAC=DAB

△ACE丝AABD（SAS）

BDCE

■­'AECADB180ADE120

AECAEDCEB

CEB60

故答案为：CEB60；BDCE.

⑵CEB=45,BD=«/cE'理由如下：

在等腰三角形ABC+,AC=BC,ACB=90,

AB=V2AC,CAB=45,

同理，厂

AD=^2AE,ADE=DAE=45

AEAC

ADAB，DAE=CAB,

EAC=DAB,

△ACEs3BD,

BDAD广

--------------v2，

CEAE

AEC=ADB,BD=GE'

•••点B、D、E在同一条直线上：

ADB=180ADE=135

AEC=135

CEB=AECAED=45；

（3）由（2）知，ACEsABD,

BD=^2CE'

在RbABC中，AC=2$

AB=>/2AC=27To,

①当点E在点D上方时，如图③，

过点A作APBD交BD的延长线于P,

•DEBD

PDE=AED=APD,

四边形APDE是矩形，

・.•AE=DE,

矩形APDE是正方形，

AP=DP=AE=2,

在Rt^APB中，根据勾股定理得，BP=«B2AP2=6

BD=BPAP=4,

1厂

CE=—-BD=2"；

V2

②当点E在点D下方时，如图④

同①的方法得，AP=DP=AE=2,BP=6,

BD=B：+DP=8,

CE=BD—4,^2,

综上CE的长为2足或4P-.

【点睛】

本题是儿何变换的综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和定理，相似三角

形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质，判断出三角形ACE和三角形ABD相似是关键.

5.如图1所示，矩形ABCD中，点E,F分别为边AB,AD的中点，将△AEF绕点A逆时针旋

转a(00<aW360)°,直线BE、DF相交于点P.

(1)若AB=AD,将4AEF绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BE与DF的数

量关系是.

(2)若AD=nAB(nWl),将△AEF绕点A逆时针旋转，则(1)中的结论是否仍然成立？

若成立，请就图3所示的情况加以证明，若不成立，请写出正确结论，并说明理由.

(3)若AB=8,BC=12,将△AEF旋转至AE±BE,请算出DP的长.

答案：B

解析：(1)BE=DF；(2)不成立，结论：DF=nBE；理由见解析(3)6城4或

6点4

【分析】

(1)如图2中，结论：BE=DF,BE±DF.证明△ABE学△ADF(SAS),利用全等三角

形的性质可得结论；

(2)结论：DF=nBE,BE1DF,证明aABEsAADF(SAS),利用相似三角形的性质可

得结论；

(3)分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.

【详解】

解：(1)结论：BE=DF,BE±DF.

理由：：四边形ABCD是矩形，AB=AD,

二四边形ABCD是正方形，

11

AE=——AB,AF=—AD,

22

AAE=AF,

VZDAB=ZEAF=90,0

AZBAE=ZDAF,

・•・△ABE空AADF(SAS),

・・・BE=DF,

故答案为：BE=DF；

(2)结论不成立，结论：DF=nBE,

11

VAE=-AB,AF=-AD,AD=nAB,

22

AF=nAE,

AAF：AE=AD：AB,

・•・AF:AE=AD：AB,

VZDAB=ZEAF=90,°

Z.ZBAE=ZDAF,

・•・△BAEs△DAF,

DF:BE=AF:AE=n,NABE二/ADF,

DF=nBE；

(3)如图4-1中，当点P在BE的延长线上时,

在RtZ\AEB中，・・・ZAEB=90°,AB=8,AE=AB=4,

2

/.BE=~AE^=4^3,

:△ABEs△ADF,

ADDF

9=收

12DF

DF=6V3，

♦.•四边形AEPF是矩形，

AE=PF=4»

；.PD=DF-PF=6百4.

同法可得DF=6褥，PF=AE=4,

/.PD=DF+PF=6/­34，

综上所述，满足条件的PD的值为6y/34或6褥4.

【点睛】

此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性

质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题，是一道较难的儿何综合题.

6.在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，BP平分NABO.

(1)如图1,点T在BA延长线上，若AP平分ZTAO,求NP的度数；

(2)如图2,点C为x轴正半轴上一点，ZABC=2ZACB,且P在AC的垂直平分线上.

①求证：AP//BC；

②D是AB上一点，E是X轴正半轴上一点，连接AE交DP于H.当NDHE与NABE满足什

么数量关系时，DP=AE.给出结论并说明理由.

答案：D

解析：(1)45°；(2)①见解析；②ZDHE+ZABE=180°,理由见解析

【分析】

(1)由三角形的外角性质和角平分线的性质可得NAOB=2ZP=90°,可求解；

(2)①过点P作PEd.AB交BA延长线于E,过点P作PFJ.BC于F,连接PC,由角平分线

的性质可得PE=PF,由垂直平分线的性质可得PA=PC,由“HL”可证成△APE丝RtZXCPF,可

得NEPA=ZCPF,由四边形内角和定理可得ZEBF+ZEPF=180°,由角的数量关系可证

ZACB=ZPAC,由平行线的判定可证AP//BC；

②如图3,在OE上截取ON=OB.连接AN,通过证明△ADP当ANEA,可得DP=AE.

【详解】

解：(1)BP平分ZABO.AP平分ZTAO,

11

AZPBT=—ZABO,ZTAP=-ZTAO,

22

■:ZTAO=ZABO+ZAOB,ZTAP=ZP+ZABP,

AZAOB=2ZP=90°,

AZP=45°；

(2)①如图2,过点P作PE_LAB交BA延长线于E,过点P作PF_LBC于F,连接PC,

又•:PB平分NABC,

APE=PF,

TP在AC的垂直平分线上，

・・・PA=PC,

AZPAC=NPCA,

在RtAAPE和RtACPF中，

APPC

PEPF'

・•・RtAAPE^RtACPF

(HL),AZEPA=ZCPF,

・・・NEPF=ZAPC,

在四边形BEPF中，ZEBF+NBEP+ZEPF+ZPFB=180°,

AZEBF+ZEPF=180,0

AZABC+ZAPC=180,°

•・•/APC+NPAC+NPCA=180,°

・•・/ABC=ZPAC+ZPCA=2ZPAC,

VZABC=2NACB,

・・・NACB=ZPAC,

・・・AP〃BC；

②当NDHE+NABE=180°时，，DP=AE,

・・・AB=AN,

AZABN=ZANB,

♦・,AP〃BE,BP平分NABE,

AZAPB=ZPBE=ZABP,ZABN+ZBAP=180,°

・・・AP=AB,

・・・AP=AN,

VZANB+ZANE=180°,

AZBAP=ZANE,

•・•ZDHE+ZABE=180,°ZDHE+ZABE+ZBDH+NBEH=360,°

AZBDH+ZBEH=180".

VZADP+ZBDP=180,°

AZADP=ZAEN,

在△人口「和△NEA中，

DAPANE

ADPAEN,

APAN

；.△ADP四△NEA(AAS),

/.DP=AE.

【点睛】

本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分

线的性质，四边形内角和定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.

7.已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”.

请利用上面信息解决以下问题：己知Rt^ABC中，ACBC,C90,D为AB边

的中点，EDF90,EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延

长线)于E.F.

(1)当EDF绕D点旋转到DEAC于E时(如图①)，求证：

SADEFSACEF—SAABC：

2

(2)当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述

结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，SADEF、SACEF,SABC又有怎样的数

量关系？请写出你的猜想，不需要证明.

答案：D

解析：(1)见解析；(2)图2成立，图3不成立：SADEFSACEFSAABC

2

【分析】

(1)根据等腰直角三角形和正方形的性质得到&AED、4DFB、-4fDF、Z\ECF为全

等的等腰直角三角形，据此即可证明；

(2)对于图2：过点D作DMAC,DNBC,根据中位线的性质和等量代换证得

MDND和MDENDF,结合DMEDNF90,证得

DMEDNF,根据全等三角形的性质即可求证；对于图3：根据ASA证明

DMEDNF,根据全等三角形的性质即可求证.

【详解】

(1)证明；连接CD

•；D为AB边的中点，ACBC

AD=CD=BD

・,.DACDCADCBDBC45

又・・・DEAC,EDF90,C90,

，四边形ECFD为矩形

/.ZCFD=90°

又•・・ZDCF=45°

ACF=DF

ECFD是正方形

，四边形

ADE=DF

SADEFSACEFSADECSZ\DFC

•・•1

又SADCFSADBFSAABC，且SADCFSADBF

2

二oJ-

SADEFSACEFSAABC

2

(2)图2成立，图3不成立

对于图2：

过点D作DMAC,DNBC,如图2,则DMEDNFMDN90

A

又；C90

/.DM"BC,DN"AC

YD为AB边的中点

1AC,MD1a。

二根据中位线定理得到：DN-rBC

22

VAC=BC

.,.MD=ND

,/EDF90

MDEEDN90,NDFEDN90

MDENDF

在DME与DNF中

DMEDNF

MDND

MDENDF

/.DMEDNF

s

SDMEDNF

s

四边形

sss

DMCN—四娜DECFDEFCEF

・・・s1o

DMCNSAABC

2-

SADEFSACEFSAABC

2

对于图3：

在DEC与DBF中

DCEDBF135

DCDB

CDEBDF

・•・DECDBF田

，S1

DEF

S五边形DBFECSCFESDBCSCFE5ABC

2

SDEFSCEF_SABC.

2

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的性质，等腰直角三角形的性质，题目较为

综合，利用作出的辅助线将不规则的三角形转化为直角三角形进行解决.

8.如图1所示，在RtAABC中BAC90,ABAC,BC2,以BC所在直线

为x轴，边BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，将今ABC绕P点0门顺时

针旋转.

(D填空：当点B旋转到y轴正半轴时，则旋转后点A坐标为；

V

1

(2)如图2所示，若边AB与轴交点为E,边AC与直线yx1的交点为F,求

证：AAEF的周长为定值；

解析：(1)6。2-1；(2)见解析：(3)4

【分析】

(1)作出图形，AA'B'C'是AABC绕P点0,f1顺时针旋转，点B旋转到y轴正半轴

时得到的图形，连接BP,CP,根据BC2,y轴垂直平分BC,ABAC,

P0,1可证得四边形ABPC是正方形，则有BP:B'P-AB'AB—盛，

B'OB'P_POV2-I,可得点A坐标；

(2)作BPQCPF,交AB延长线于Q点，根据四边形ABPC是正方形，得到

QBPFCP90,BPCP,可证aBPO丝ACPFASA,得BQCF,

ASAAQPE94FPE，得QEFE则昌AEF的周长

QPFP,利用再可证得”

ABAC诋

(3)设EFm,AEn,Rt△AEF的内切圆半径为r,由(2)可得

r~则rAEAFEFn2^2mnm.『

AF2助mno~刈2IT)，当m最小

时，r最大.得到《+25m-n=m2整理得：n24m’一少步n4漏n。，关于n

A=­r—44,2fm珞化简得m?4dzm80,,

的一元二次方程有解，即m22

用二次函数图像可得m4玄或ITI4亚（不合题意，舍去）可得m的最小值

为42点，即「的最大值为、厂2-4一.则有，MEF内切圆半径的最大值为

【详解】

解：（1）如图示，AA'B'C'题ABC绕P点0,rd顺时针旋转，点B旋转到y轴正半

轴时得到的图形，连接BP,CP.

V

BC2,'轴垂直平分BC

BOCO1

又•:RtAABC中，ABAC

AO1,ABACyf2

•••P0,1

PO1

AOBOCOPO

四边形ABPC是正方形

/.BPB'PABA'B'<2

B'OB'P-POV2-i

点A坐标为、2'21

(2)如图2所示，作BPQCPF,交AB延长线于Q点

♦.•四边形ABPC是正方形...QBPFCP90,BPCP

/.△BPQ^ACPFASA:.BQCF,QPFP

Y点F在直线yx1/.FPE45BPEFPC45

/.BPEBPQ45QPEFPE45

EPEP,-AQPE^AFPEASAQEFE

MEF的周长AEEFAFAEQEAF

AEBEBQAFAEBEFCAF

AEAFEF

由（2）可得AF2五mn则r

2

n爪2mnm

2

旄m

...当m最小时，r最大.•.•在RfAEF中，AE2AF2EF2

+«--2=+_i,3r..

：.n222mnm2整理得：n2m22n"422m0

•.•关于n的一元二次方程有解△=m-K/份-4*4,逐n区0

**、

,,m246m80

利用二次函数图像可得m422酸m42有(不合题意，舍去)

.，*rn的最小值为4270，r的最大值为vr-22：2/小24

即AAEF内切圆半径的最大值为624.

【点睛】

本题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、旋转、

三角形内切圆等知识，能熟练应用相关性质是解题关键.

9.如图，直线y=-x+c与x轴交于点B(3,0),与y轴交于点C,过点B,C的抛物线y=

-x2+bx+c与x轴的另一个交点为A.

(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；

PD

(2)P是直线BC上方抛物线上一动点，PA交BC于D.设t=)_:,请求出t的最大值和

AD

此时点P的坐标；

(3)M是x轴上一动点，连接MC,将MC绕点M逆时针旋转90°得线段ME,若点E恰

好落在抛物线上，请直接写出此时点M的坐标.

答案：A

09315

解析：(1)y=-X2+2X+3,A(-1,0)；(2)t的最大值为一，此时P(_，_)；

1624

【分析】

(1)利用待定系数法解决问题即可;

(2)连接AC,PC,PB,过点A作AE±BC于E,过等P作PF±BC于F.设P(m,-

m2+2m+3).利用相似三角形的性质构建二次函数解决问题即可；

(3)过点E作EH±x轴于H.设M(m,0),利用全等三角形的性质求出点E的坐标

(用m表示)，再利用待定系数法解决问题即可.

【详解】

解：(1)-/直线y=-x+c与x轴交于点B(3,0),与y轴交于点C,

.,.0=-3+c,解得c=3,

AC(0,3),•.•抛物

线经过B,C,

93bc0b2

,解得，

c3c3

抛物线的解析式为y=-X2+2X+3,

令y=0,得至lj-X2+2X+3=0,解得x=-1或3,

AA(-1,0)；

(2)如图，连接AC,PC,PB,过点A作AE±BC于E,过点P作PF±BC于F.设P(m,

TAE〃PF.

・・・△PFDs△AED,

・・.PD=PF.

ADAE

11

VSAPBC=^?BC?PF,SAACB=，BC?AE,

22

s

/.PD=PBC,

ADSABC

VS=1?AB?OC=1X4X3=6,

△ABC-L-」

22

S121

PDPBC__(3m_3(m2m3)_331231

.'.t=-------------------------222=J—*mkm=

AD66444

216

1

・・•・_<0,

4

39315

，m=一时，t有最大值，最大值为_，此时P（—〃一）；

21624

・・・NEMH+ZCMH=90°,ZEMH+ZMEH=900,

・・・NMEH=ZCMO,

\・MC=ME,

・•・△COM^△MHE(AAS),

/.OC=MH=3,OM=EH,设M(m,0),则E(m-3,-m),

把E(m-3,-m)代入y=-x2+2x+3,可得-(m-3)2+2(m-3)+3=-m,

整理得，m2-9m+12=0,

解得m=9底或9豉,

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AM(,0）或（,0).

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【点睛】

本题考查的是二次函数综合题，涉及全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判

定，解题的关键是利用数形结合的思想，在二次函数图象上构造全等三角形或相似三角

形，利用几何的性质进行点坐标的求解.

10.在AABC中，ABAC,点P在平面内，连接AP，并将线段AP绕A顺时针方向

旋转与BAC相等的角度，得到线段AQ,连接BQ.

（1）如图，如果点P是BC边上任意一点.则线段BQ和线段PC的数量关系是

（2）如图，如果点P为平面内任意一点.前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给

予证明：若不成立，请说明理由.请仅以图所示的位置关系加以证明（或说明）；

(3)如图，在JDEF中，DE8,EDF60,DEF75,P是线段EF上的任

意一点，连接DP,将线段DP绕点D顺时针方向旋转60。，得到线段，连接

EQ.请直接写出线段EQ长度的最小值.

D

解析：（1）相等；（2）成立，证明见解析；（3）犷

【分析】

（1）先判断出ZBAQ=ZCAP,进而用SAS判断出△BAQ名ACAP,即可得出结论；

（2）结论BQ=PC仍然成立，理由同（1）的方法；

（3）先构造出ZXDEQ名△DHP,得出EQ=HP,进而判断出要使EQ最小，当HP±EF（点P

和点M重合）时，EQ最小，最后用解直角三角形即可得出结论.

【详解】

解：（1）由旋转知：AQ=AP,

•••PAQBAG,

PAQBAPBACBAP,

/.BAQCAP,

ABAC,

：.BAQCAPSAS,

/.BQCP

故答案为：相等.

PC

（2）BQ仍成立，理由如下：

证明：由旋转知：AQ=AP,

•:PAQBAC,

PAQBAPBACBAP,

/.BAQCAP,

•••ABAC,

/.BAQCAPSAS,

BQPC

(3)如图：

在DF上取一点H,使DHDE8,连接PH,过点H作HMEF于M,由旋转知,

DQDP,PDQ60,

•••EDF60,

/.PDQEDF,

：.EDQHDP,

/.DEQDHPSAS,

EQHP,

耍使EQ最小，则HP最小，而点H是定点，点P是EF上的动点，

有

...当HMEF（点P和点M重合）时，HP最小，

即：点P与点M重合，EQ最小，最小值为HM,

过点E作EGDF于G,在RtDEG中，DE8,EDF60,

/.DEG30,

，DG1DE

4，

2

EGGG4v3,

在RtEGF中,FEGDEFDEG753045，

F90FEG45FEG,FGEG

DFDGFG4

FHDFDH484,

在RtHMF中,F45,

HMWFHf43426r2,「

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即：EQ的最小值为2娓2立

【点睛】

本题考查旋转的性质、最值问题，属于几何变换综合题，掌握全等三角形的证明方法，点

到直线的距离等知识为解题关键.

11.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF_LBD交BC于F,连接DF,G

为DF中点，连接EG,CG.

（1）求证：EG=CG；

（2）将图①中BEF绕B点逆时针旋转45°,如图②所示，取DF中点G,连接EG,

CG.问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；

（3）将图①中6EF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中

的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）.

答案：E

解析：（1）见解析：（2）依然成立，见解析；（3）依然成立，EG±CG

【分析】

（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG=EG；

（2）结论仍然成立，连接AG,过G点作MNJ.AD于M,与EF的延长线交于N点；再证明△

DAGg△DCG,得出AG=CG；再证出△DMG经△FNG,得到MG=NG；再证明

△AMG名AENG,得出AG=EG：最后证出CG=EG；

（3）结论依然成立，证明方法类似

（2）.【详解】

（1）证明：四边形ABCD是正方形,

，ZDCF=90°,

在RtAFCD中，

••,G为DF的中点，

ACG1

2

同理，在RtADEF中，

1

EG=-FD,

2

・・・CG=EG.

（2）解：（1）中结论仍然成立，即EG=CG.

证法：如图，连接AG,过G点作MNLAD于M,与EF的延长线交于N点,

图②(一)

在4口人6与△DCG中，

•・・AD=CD,NADG=NCDG,DG=DG,

・•・△DAG丝△DCG(SAS),

AAG—CG；

在aDMG与aFNG中，

VZDGM=ZFGN,FG=DG,ZMDG=ZNFG,

・•・△DMGg△FNG(ASA),

/.MG=NG；

VZEAM=ZAEN=ZAMN=90°,

・・・四边形AENM是矩形，

在矩形AENM中，AM=EN,

在4人1\/16与4ENG中，

VAM=EN,NAMG=NENG,MG=NG,

.*.△AMG^AENG(SAS),

・・・AG=EG,

・・・EG=CG.

(3)解：(1)中的结论仍然成立.理由如下：

如图，过F作CD的平行线并延长CG交于M点，连接EM、EC,过F作FN垂直于AB于N,

BS<S>

•・・G为FD中点，

FG=GD>

VMF/7CD,

・・・ZFMG=ZDCG,ZGDC=ZGFM,

・•・△CDG^△MFG,

：.CD=FM,

・・・NF〃BC,

・・・NNFH+ZNHF=NEHB+ZEBH,

又「ZNHF=ZEBH,

AZNFH=ZEBH,

AZEFM=ZEBC,

XVBE=EF,

则4EFMg△EBC,ZFEM=ZBEC,EM=EC

VZFEC+ZBEC=90°,

AZFEC+ZFEM=900,即ZMEC=900,

AAMEC是等腰直角三角形，

•・・G为CM中点，

・・・EG=CG,EG_LCG.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、矩形的判定与性质，正方形的性质，旋转的性质，解

题的关键是掌握相关性质.

12.如图，在等边三角形ABC中，点D是射线CB上一动点，连接DA,将线段DA绕点D

逆时针旋转60°得到线段DE,过点E作EF〃BC交直线AB于点F,连接CF.

(1)如图1,若点D为线段BC的中点，则四边形EDCF胤；

(2)如图2,若点D为线段CB延长线上任意一点，(1)中的结论是否成立？若成立，请证明；

若不成立，请说明理由；

(3)若点D为射线CB上任意一点，当NDAB=15°,AABC的边长为2时，请直接写出线段

BD的长.

答案：A

解析：(1)平行四边形；(2)成立，见解析；(3)42/或/1.

【分析】

(1)证明△ADB^^DEO(AAS)和四边形EOBF为平行四边形，进而求解；

(2)证明△OED四△