东华高级中学 东华松山湖高级中学2022-2023学年第二学期高一3月考数学试题（有答案）

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2022—2023学年第二学期高一3月考

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.已知集合人={工|一1<2、<2,xwR},集合5={x|-l<log2Xv2,xwR},则集合AB=()

A.{%|0<x<l)B.{x|x<l}C.D.{x|x<4}

2.设斗6是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的一组是（）

A.2q—e,和—4qB.q_2,和q

C.q+s和q—2%D.4+4和羽+乌

x>1,M+乂>2,

3.设命题P：电>1命题"：中》则p是q的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件

已知角。终边在第四象限，且2sin2a+1=cos2a,则tan（a-：

4.)

1

A.B.3cD.2

3-4

力=!，cosA=—,则sinC=()

5.8c中,内角A、B、。所对的边分别为。、b、c,若。=1,

22

]_B.平DA+6

A.

4*8­

6.函数，（x）=（3"3T）cos（r）在区间—安

7.己知Q=logs2,Z?=sin55°,c=0.506,则()

A.c>b>aB.a>c>hC.b>c>aD.b>a>c

8.定义在R上的函数y=/(x)的图象关于点成中心对称，对任意的实数x都有

/(%)=-/x+4,且/(—1)=1，/(0)=-2,则/(1)+/⑵+/⑶+…+/(2024)的值为()

A.2B.1C.-1D.-2

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.对于AABC,有如下判断，其中正确的判断是()

A.若A>3,则sinA>sin8B.若sin2A=sin2B,则A4BC为等腰三角形

C.若sir?A+sin?B〈sin?C,则AABC是钝角三角形

D.若a=8,c=10,8=60°,则符合条件的AABC有两个

其中|夕否.若伯=/图=；，则(

10.记函数/(x)=sin(2x+0),xeR,)

A.=1B.=0C.为奇函数D.+为奇函数

y

11.若3一“一3-<log3x-log3y,则()

A.x<yB.ex~y>1C.ln(x-y+l)>0D.

X+1X

12.如图所示，设3,O)，是平面内相交成4"卷角的两条数轴,

4、.分别是与尤，y轴正方向同向

的单位向量，则称平面坐标系宜》为，斜坐标系，若。加=&]+泗2，则把有序数对c，y)叫做向量OM的

(I/oA

斜坐标，记为OM=(x,y).在。=:的斜坐标系中，。=,b=(g,-l).则下列结论中，箱送的是()

A.a—b—――5/3,——+1B.同=1

(22

’2&+后2#+3、

仁albD.人在。上的投影向量为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知A,B,C三点共线，若DA=2ADB+3CB，则4=.

14.已知函数y=优”+1(。＞0月.awl)的图象经过定点P,且点P在角a的终边上，则sinacosa=.

15.第二次古树名木资源普查结果显示，我国现有树龄一千年以上的古树10745株，其中树龄五千年以上

的古树有5株.对于测算树龄较大的古树，最常用的方法是利用碳一14测定法测定树木样品中碳一14衰

变的程度鉴定树木年龄.已知树木样本中碳-14含量与树龄之间的函数关系式为-〃)=%(g)丽，其中即

为树木最初生长时的碳-14含量，〃为树龄(单位：年)，通过测定发现某古树样品中碳-14含量为0.6即，

则该古树的树龄约为万年.(精确到0。1)(附:1g3»0.48,1g5«0.70).

16.已知函数行)=[吧*\，

[x--12x+34,x＞4

(1)当方程有三个不同的实根，，=.

(2)当方程f(x)=f有四个不同的实根，且玉，巧，与，匕，满足玉＜々＜%＜看，则土上的值是.

X\'X2

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知向量a=(l,0),6=(小1),且a与6的夹角为2.

(1)求,-2,；(2)若4+劝与匕垂直，求实数/的值.

18.在△4BC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知J%sin(8+C)+acos8=c.

⑴求角A的大小；(2)若a=6,8+c=6+6百，求△4BC的面积.

19.已知函数/(x)=log.(l-x)-log“(l+x),其中a>0.且awl.

⑴求函数的定义域；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由;

⑶若/仁)=2,求使f(x)>0成立的x的集合.

20.已知函数/(x)=2x2-ur+5,xe[-l,2].

⑴当。=4时，求/(x)的最值；

⑵若/")的最小值为-5,求实数。的值.

21.在①asinB=bsin(A+1)；②S=曰BA.CA；③ctanA=(2/?-c)tanC.三个条件中选一个，补充在下

面的横线处，并解答问题.

在A4BC中，内角人B、C的对边分别为久久c,△ABC的面积为S,且满足

(1)求A的大小；

⑵设AABC的面积为26,点。在边BC上，且8£>=2£>C,求AE)的最小值.

22.本市某路口的转弯处受地域限制，设计了一条单向双排直角拐弯车道，平面设计如图所示，每条车道

宽为4米，现有一辆大卡车，在其水平截面图为矩形ABCO,它的宽AO为2.4米，车厢的左侧直线8与

中间车道的分界线相交于E、F,记ND4E=®.

■jr

(1)若大卡车在里侧车道转弯的某一刻，恰好，=9，且A、B也都在中间车道

6

的直线上，直线C。也恰好过路口边界。，求此大卡车的车长.

(2)若大卡车在里侧车道转弯时对任意。，此车都不越中间车道线，求此大卡车

的车长的最大值.

(3)若某研究性学习小组记录了这两个车道在这一路段的平均道路通行密度(辆

/km),统计如下:

时间7:007:157:307:458:00

里侧车道通行密度11()12011()100110

外侧车道通行密度110117.5125117.5110

现给出两种函数模型：①/(x)=Asin①x+8(A>O,0>O)②g(x)=dx-〃|+c；

请你根据上表中的数据，分别对两车道选择最合适的一种函数来描述早七点以后的平均道路通行密度(单

位：辆/km）与时间x（单位：分）的关系（其中x为7:00后所经过的时间，例如7:30即x=30分），注意

两个车道不用同一种模型，并根据表中数据求出相应函数的解析式.

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2022—2023学年第二学期高一3月考数学答案

一、选择题

123456789101112

CAABDDCAACBDBCBCD

二、填空题

1O

13.-；14.--;15.0.42；16.0或2；12

25

三、解答题

17.解：（1）因为。=（1,0））=（私1）,且4与人的夹角为I，

所以〃为=加,同=1，W=.................................................................3分

[1\a,brr

因为COS0〃）=丽，故/q=cosw，解得机=1或机=T（舍）............................5分

所以a-2b=（-1,—2）,则h一2司=J（T）2+（_2>=石.........................................7分

（2）因为乃=（1+4/1）,〃+劝与6垂直，

所以（。+/16）加=0,即1+22=0,解得又=-；..............................................10分

18.解:（1）因为sin（B+C）=sin（兀一A）=sinA,

所以由6庆由（3+。）+〃<：053=（;得+———=c,................................................................2分

2ac

贝！]2y/3hcsinA+a2+c2-b1=2c2,即/=/+c2-2y/3hcsinA,.................................3分

y^a2=b2+c2-2hccosA,所以J^sinA=cosA,则tanA=——，...................................4分

3

又Ae（O,兀），故A=g.（不写A范围，扣1分）.............................................6分

6

（2）因为A=弓,“=6,力+c=6+6>/i,所以/+/-石/?c=3+c）2-（2+石）6c,.............8分

所以36=36+72石+108-（2+6性，解得松=36心......................................10分

所以△4BC的面积S=-hcsinA=9>/3.........................................................12分

2

19.解：（1）要使函数有意义，则J*＞。，解得—l＜xvl，即函数“X）的定义域为（T1）;…♦…2分

（2）/（X）是奇函数，....................................................................3分

理由如下：函数的定义域关于原点对称，....................................................4分

f(-X)=logu(1+X)-log(,(1-X)=-[10g„(1-x)-log„(1+x)]=-/(x),/(x)是奇函数..........6分

(3)若/(1)=2,.•.1。8“卜一|)一1强“(1+：=1。8“；=2,解得：”=.......................8分

.-./(x)=logl(l-x)-log,(1+x)...............................................................................................................9分

22

若/(x)>O'则logjl-X)>logjl+X),,-.x+l>l-x>0,..............................................................11分

故不等式的解集为(0,1)...........................................................................................................................12分

20.解：(1)a=4[l^/(x)=2x2-4x+5xe[-l,2]

.­./(JC)=2(X2-2^)+5=2(X-1)2+3\/(x)关于x=l对称，

当xw(-Ll)时，/(x)单调递减，当xe(l,2)时，“X)单调递增..............................2分

2

/(-0=2.(-l-l)+3=ll,42)=2・(2-lf+3=5,/(x)min=/(l)=3.

"(x)11Hx="-1)=11./W,rtn=/(!)=3...........................................................................................4分

(2)=2x?-or+5=+5--^-,

对称轴为彳=£,函数图象开口向上，..............................5分

4

①当时，/(x)在[-1,2]上单调递增，

4

-<-lla<^

所以《4，即｛,：,a=-12；......................................................................7分

/(-1)=7+«=-5I"”

②当一i<@<2时,/'（x）在-1,且上单调递减，在-,2上单调递增,

444

-4<a<8

所以＜即《5〜5无解;........................................................................9分

I8

③当:22时，/(x)在上单调递减，

所以.产,即产8,...“=9,

11分

/⑵=13—2。=一51”9

综上，当/(X),“M=_5时，a=9或。=一12......12分

21.解：(1)选①，由asinB=Z?sin[A+m)，由正弦定理得sinAsin5=sinBsin(A+g

•1分

△4BC中sinBwO,sinA=sinlA+y.•3分

AG(O,7t),则sinA>0,-4分

J31

所以，-^cosA+—sinA=sinA,可得sinA=\/JcosA>0,则tanA=G，••5分

22

因止匕，A=1；............................•6分

选②，S=—BACA=—bccosA=—/?csinA,-3分

222

Aw(0,7t),贝l」sinA>0,.................-4分

••tanA=^3,得4=.............................••6分

选③，ctanA=(26-c)tanC,由正弦定理和切化弦得

winAsin

sinC----=(2sinB-sinC)-----,△48c中sinC^O,••••••2分

cosAcosC

/.2sinBcosA=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sin8-3分

△48c中sin5wO,AG(O,7T),cosA=—-5分

•6分

(2)由5从4==；^csinA,有匕。=8,........

••7分

212

由4。二回十32AD=-AB+-AC9.........••8分

4

222222+

+16一48

16一-=

・•・AD=-AB+-ABAC+-AC=-c+-b+—>2.99-99-10分

999999

(c=2bfc=2

等号成立时/BPt,11分

[Z?c=8[h=4

AO的最小值为迪.....

12分

3

22.解：(1)作EM_LOM,垂足为例，作FN_LON,垂足为N,

N

MO

EA

TT冗

因为/ZME=—,所以NMEO=NNOF=NBFO=—,

66

74c”二2.412.

在RtzMDE中，ED=2.4xtan-=—,在Rtz^BC尸中，兀一5

65tan-J

o

48也,_4

OnEr=-K=­，在RtzXONF中，nOfF__^_8

在RtZkOME中,

cos—sin-

66

^^CD=OE+OF-ED-CF=-+8---^!^=8--

2分

35515

4424

(2)因为NOAE=，，所以OE=-OF=,ED=2.4tan0,CF=------

cosJsin。tan。

44c)「2.4

所以A3=C£＞=OE+OP—EQ—CF=-----------1------------2.4tan0---------

cos0sin0tan，

4sin6+4cos。一2.4sin?。-2.4cos204(sin0+cos0)-2.4，(。<方

0<4分

sin。cos。sinOcos。

令sine+cos9=1,则/=0sin(，+¥),0＜。＜三,/.。+：£7T371

4244