条件概率(公开课)

事件概率加法公式：注:1.事件A与B至少有一个发生的事件叫做A与B的

和事件,记为(或);3.若为不可能事件,则说事件A与B互斥.复习引入：若事件A与B互斥，则.2.事件A与B都发生的事件叫做A与B的积事件,记为(或);第一页第二页，共43页。探究：

三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回的抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小。思考1？

如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？

已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？一般地，在已知另一事件A发生的前提下，事件B发生的可能性大小不一定再是P(B).即条件的附加意味着对样本空间进行压缩.

第二页第三页，共43页。一般地，我们用W来表示所有基本事件的集合，叫做基本事件空间（或样本空间）一般地，n(B)表示事件B包含的基本事件的个数第三页第四页，共43页。P(B)以试验下为条件,样本空间是二、内涵理解:ABP(B|A)以A发生为条件,样本空间缩小为AP(B|A)相当于把Ａ看作新的样本空间求AB发生的概率样本空间不一样为什么上述例中P(B|A)≠P(B)？A∩B第四页第五页，共43页。一般地，设A，B为两个事件，且P(A)>0，则称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。一般把P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率。注意：（1）条件概率的取值在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1（2）如果B和C是互斥事件，则

P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)条件概率的定义：在原样本空间的概率3、条件概率的判断：（1）当题目中出现“在……前提（条件）下”等字眼，一般为条件概率。（2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率。第五页第六页，共43页。(通常适用古典概率模型)(适用于一般的概率模型)第六页第七页，共43页。

一般地,设Ａ，Ｂ为两个事件,且Ｐ（A）＞０，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．1、定义条件概率

ConditionalProbability一般把P（B︱A）读作A发生的条件下B的概率。第七页第八页，共43页。2.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把Ａ看作新的基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的概率A∩B第八页第九页，共43页。3.概率P(B|A)与P(AB)的区别与联系基本概念第九页第十页，共43页。例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.（1）从5道题中不放回地依次抽取2道的事件数为第十页第十一页，共43页。反思求解条件概率的一般步骤：（1）用字母表示有关事件（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A)(3)利用条件概率公式求第十一页第十二页，共43页。例1、在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；解：设第1次抽到理科题为事件A，第2次抽到理科题为事件B，则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB.第十二页第十三页，共43页。例1：在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，求：（1）第一次抽取到理科题的概率；（2）第一次和第二次都抽取到理科题的概率；（3）在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率。第十三页第十四页，共43页。法一：由（1）（2）可得，在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为法二：因为n(AB)=6，n(A)=12，所以法三：第一次抽到理科题，则还剩下两道理科、两道文科题，故第二次抽到理科题的概率为1/2第十四页第十五页，共43页。例2

一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。第十五页第十六页，共43页。1.条件概率的定义.2.条件概率的性质.3.条件概率的计算方法.一、基本知识二、思想方法1.由特殊到一般2.类比、归纳、推理(1)有界性（2）可加性

（古典概型）（一般概型）3.数形结合收获4.

求解条件概率的一般步骤用字母表示有关事件求相关量代入公式求P(B|A)第十六页第十七页，共43页。练习：设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则

（1）因为100件产品中有70件一等品，（2）方法1：方法2：

因为95件合格品中有70件一等品，所以70955第十七页第十八页，共43页。反思求解条件概率的一般步骤：（1）用字母表示有关事件（2）求P(AB），P(A)或n(AB),n(A)(3)利用条件概率公式求第十八页第十九页，共43页。练一练1.掷两颗均匀骰子,问:

⑴“

第一颗掷出6点”的概率是多少？

⑵

“掷出点数之和不小于10”的概率又是多少?

⑶

“已知第一颗掷出6点，则掷出点数之和不小于10”的概率呢？111213141516212223242526313233343536414243444546515253545556616263646566616263646566A∩BA∩BBA解：设Ω为所有基本事件组成的全体，“第一颗掷出6点”为事件A，“掷出点数之和不小于10”为事件B,则“已知第一颗掷出6点，掷出点数之和不小于10”为事件AB（2)（3）第十九页第二十页，共43页。

2.

如图所示的正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机的投掷一个点（每次都能投中），设投中最左侧3个小正方形的事件记为A，投中最上面3个小正方形或中间的1个小正方形的事件记为B，求P(A|B),P(B|A),解：∵，,第二十页第二十一页，共43页。在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝只需求事件A发生的条件下，事件B的概率即Ｐ（B｜A）52134,6解法一（减缩样本空间法）例题2解1：第二十一页第二十二页，共43页。例2

考虑恰有两个小孩的家庭.（1）若已知（2）若已知

（假定生男生女为等可能）例3设P(A|B)=P(B|A)=,P(A)=,求P(B).某家第一个是男孩，求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率某一家有一个女孩，求这家另一个是男孩的概率；第二十二页第二十三页，共43页。在某次外交谈判中，中外双方都为了自身的利益而互不相让，这时对方有个外交官提议以抛掷一颗骰子决定,若已知出现点数不超过3的条件下再出现点数为奇数则按对方的决议处理，否则按中方的决议处理，假如你在现场，你会如何抉择？B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝设A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝只需求事件A发生的条件下，事件B的概率即Ｐ（B｜A）52134,6例题2解2：由条件概率定义得：解法二（条件概率定义法）第二十三页第二十四页，共43页。引例:掷红、蓝两颗骰子,设事件A=“蓝色骰子的点数为3或6”事件B=“两颗骰子点数之和大于8”求(1)P(A)，P(B)，P(AB)(2)在“事件A已发生”的附加条件下事件Ｂ发生的概率？

(3)比较(2)中结果与P(AB)的大小及三者概率之间关系P(B)=10/36=5/18P(A)=12/36=1/3P(AB)=5/36第二十四页第二十五页，共43页。P(B|A)相当于把Ａ看作新的基本事件空间求Ａ∩Ｂ发生的概率思考

对于上面的事件A和事件B，P(B|A)与它们的概率有什么关系呢？第二十五页第二十六页，共43页。1.条件概率对任意事件A和事件B，在已知事件A发生的条件下事件B发生的条件概率”，叫做条件概率。记作P(B|A).基本概念2.条件概率计算公式:第二十六页第二十七页，共43页。3.概率

P(B|A)与P(AB)的区别与联系基本概念第二十七页第二十八页，共43页。例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题（1）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.第二十八页第二十九页，共43页。例1在5道题中有3道理科题和2道文科题，如果不放回的依次抽取2道题（1）第一次抽到理科题的概率（2）第一次与第二次都抽到理科题的概率（3）第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率.第二十九页第三十页，共43页。练习、1、5个乒乓球，其中3个新的，2个旧的，每次取一个，不放回的取两次，求：（1）第一次取到新球的概率；（2）第二次取到新球的概率；（3）在第一次取到新球的条件下第二次取到新球的概率。3/53/51/22、盒中有25个球，其中白球若干个，黄球5个，黑球10个，从盒中任意取出一个球，已知它不是黑球，试求它是黄球的概率。第三十页第三十一页，共43页。条件概率计算中注意的问题1、条件概率的判断：（1）当题目中出现“在……前提（条件）下”等字眼，一般为条件概率。（2）当已知事件的发生影响所求事件的概率，一般也认为是条件概率。2、相应事件的判断：首先用相应的字母A、B表示出相应的事件，然后分析清楚在哪个事件发生的条件下求哪个事件的概率。第三十一页第三十二页，共43页。例2

一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0—9中任选一个。某人在银行自动取款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：（1）任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。第三十二页第三十三页，共43页。例3

甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20%和18%，两地同时下雨的比例为12%，问：（1）乙地为雨天时，甲地为雨天的概率为多少？（2）甲地为雨天时，乙地也为雨天的概率为多少？解：设A=“甲地为雨天”，B=“乙地为雨天”，则P（A）=0.20，P（B）=0.18，P（AB）=0.12第三十三页第三十四页，共43页。练一练1.某种动物出生之后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解设A表示“活到20岁”(即≥20)，B表示“活到25岁”(即≥25)则所求概率为0.560.75第三十四页第三十五页，共43页。2.抛掷一颗骰子,观察出现的点数B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝

若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率

解：即事件A已发生，求事件B的概率也就是求：Ｐ（B｜A）

AB都发生，但样本空间缩小到只包含A的样本点5213第三十五页第三十六页，共43页。3.

设100件产品中有70件一等品，25件二等品，规定一、二等品为合格品．从中任取1件，求(1)取得一等品的概率；(2)已知取得的是合格品，求它是一等品的概率．解设B表示取得一等品，A表示取得合格品，则（1）因为100件产品中有70件一等品，（2）方法1：方法2：

因为95件合格品中有70件一等品，所以70955第三十六页第三十七页，共43页。

4、一批产品中有4%的次品，而合格品中一