导数概念运算和几何意义

导数概念运算和几何意义例1分别求下列函数的导数：(1)y=exlnx； (2)y=C0SX； (3)f(x)=ln\'1+2x.ex例2.已知函数f(x)的导函数是f'(x)，且满足f(x)=2xf(1)+ln1则f(1)=( )xA.-e B.2 C.-2 D.e［题型特训］求下列函数的导数.lnx(1)y=cosx-sinx； (2)y=(x+1)(x+2)(x+3)； (3)y=八.x2+1(2020•南昌模拟)已知函数f(x)=f［fjcosx+sinx,则"：j的值为.例3(1)(2018•全国I卷)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()TOC\o"1-5"\h\zA.y=-2x B.y=-x C.y=2x D.y=x(2)(2019•湖北百所重点高中联考)已知函数f(x)=xlnx,若直线l过点(0,-1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为.x2 1例4(1)(2019•聊城月考)已知曲线y==-3lnx的一条切线的斜率为*则切点的横坐标为4 2

A.3B.2C.11A.3B.2C.11D.22(2)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=](x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为x例5(1)函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x—y=0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(—8，2] B.(—8，2) C.(2,+8) D.(0,+8)(2)(2019•河南六市联考)已知曲线f(x)=x+a+b(xN0)在点(1，f(1))处的切线方程为yx=2x+5，则a—b=.例6(2016全国卷)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=.2\ 若曲线 若曲线f(x)=acosx与曲线g(x)=x2+bx+1在交点(0，m)处有公切线，则a+b=()A.—1 B.0 C.1 D.2例7已知%,ygR，则(例7已知%,ygR，", x2+a,, 3n(2020・衡阳模拟)曲线f(x)=M在点(1，f(1))处切线的倾斜角为，，则实数a=()A.1 B.—1 C.7 D.—7

(2018•江西南昌二中月考)已知曲线f(x)=lnx的切线经过原点，则此切线的斜率为()TOC\o"1-5"\h\z1 1A.e B.—e C.— D.——e e1 7,(2018・江西新余质检)已知f(x)=lnx,g(x)=~x2+mx^(m<0),直线l与函数f(x),乙 乙g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1,f(1))，则m的值为()A.—1 B.—3 C.—4 D.—2函数g(x)=lnx图象上一点P到直线y=x的最短距离为.［特训作业］下列求导数的运算中错误的是(A."=3下列求导数的运算中错误的是(A."=3xln3(cosxY xsinx—cosxC・[x)=x)B.(x2lnx)z=2xlnx+xD.(sinx•cosx)z=cos2x(2019・日照质检)已知f(x)=xlnx,若f(x°)=2,则x°等于( )A.e2 B.e C.^^ D.ln22(2019•南阳一模)函数f(x)=x—g(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=—x—1,则g(2)+g‘(2)=()A.7 B.4 C.0 D.—4已知。为自然对数的底数，曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex—y—1=0平行，则实数a=()e—12e—1e—12e—1A.eB.eC.2eD.2e5.如图所示为函数5.如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能(2019•广州调研)已知直线y=kx—2与曲线y=xlnx相切，则实数k的值为( )A.ln2B.1C.1—lnA.ln2B.1C.1—ln2D.1+ln2已知曲线f(x)=2x2+1在点M(xo，f(xo))处的瞬时变化率为一8，则点M的坐标为(2017•天津卷)已知aER，设函数f(x)=ax—lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为9.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足关系式f(x)=x2+3xf(2)+lnx，则f‘⑵10.已知函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程为y=2x—1,则曲线g(x)=x2+f(x)在点(2,g(2))处的切线方程为11.(2019•深圳二模)设函数f(x)x+'+b，若曲线y=f(x)在点(a，f11.(2019•深圳二模)设函数f(x)坐标原点，则ab=()A.1B.0C.—1D.—2

A.1B.0C.—1D.—2已知函数f(x)=|x3+ax+b|(a,bER),若对任意的x1,x2e[0,1],f(x1)—f(x2X2|x1-x21恒成立，则实数a的取值范围是.若函数f(x)=1x2—ax+lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .2答案导数概念运算和几何意义[基础回顾]函数y=f(x)在x=x0处的导数(1)定义：称函数y=f(x)在x=x处的瞬时变化率limf(x0+A：)—f(x0)=lim尹为函0 怂T0 Ax 怂T0AxAy数y=f(x)在x=x°处的导数，记作f'(x0)或y'|x=x°，即fz(x0)=lima=limAxt0 Axt0f(x0+Ax)—f(x0)eA。⑵几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率.相应地，切线方程为y—y0=f'(x0)(x—x0).函数y=f(x)的导函数如果函数y=f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，函数f'(函数，函数f'(x)=limAx—0f(x+Ax)—f(x)Ax称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.3.导数公式表基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xa(aEQ*)f(x)=axa-1

f(x)=sinxf，(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=—sinxf(x)=exf(x)=exf(x)=ax(a>0)f，(x)=axlnaf(x)=lnxf，(x)=；xf(x)=logax(a>0,a/1)f，，、 1(x)—1xlna4.导数的运算法则若f'(x),g'(x)存在，则有：[f(x)土g(x)]'=f'(x)土g'(x)；[f(x)・g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g，(x)；m、「f(x)l f'(x)g(x)—f(x)g'(x)⑶1_茶」，= (g(x)K).复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=yu'・ux‘.［完美题型展现］题型一导数的运算【玩转角度1】根据求导法则求函数的导数例1分别求下列函数的导数:(1)y=exlnx；/、(1)y=exlnx；/、cosx(2)y= ex⑶f(x)=lni'1+2x.ex 1【解析】(1)y'=(ex)'lnx+ex(lnx)z=e^lnx+^=ejlnx+二|.(2)因为y/=(C2S3j/excosx ex—cosxexex2.xjsinx+cosxex⑶因为y=ln\/1+2x=?ln(1+2x),2所以y'=2•土・(1+2x)'=志.【玩转角度2】抽象函数的导数计算例2.已知函数f(x)的导函数是f'(x),且满足f(x)=2xf(1)+ln1则f(1)=( )xA.—eB.2C.—2A.—eB.2C.—2D.e【解析】 由已知得f'(x)=2f'(1)一』，令x=1得f'(1)=2f'(1)—1,解得f'(1)x=1,则f(1)=2f'(1)=2.玩转秘籍求函数的导数要准确地把函数分割成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.［题型特训］求下列函数的导数.lnx(1)y=cosx—sinx； (2)y=(x+1)(x+2)(x+3)； (3)y=八.x2十1解：(1)y'=(cosx)z—(sinx)'=—sinx—cosx.(2)Vy=(x+1)(x+2)(x+3)=(x2+3x+2)(x+3)=x3+6x2+11x+6,.'.y‘=3x2+12x+11.(3)yzInx(3)yzInxx2+1—lnxx2+1x2+12x2+1—2x・lnxx2+12x21—2lnx+1TOC\o"1-5"\h\zxx2+12 .(2020•南昌模拟)已知函数f(x)=f[jjcosx+sinx,则f[jj的值为解析：因为f(x)=f‘任[cosx+sinx,所以f'(x)=—f‘[fjsinx+cosx,n\ nn (n\故f〔T=—f/[lsin；+cos了，得f‘[才=S—1.n) n n所以f[^J=02—1)^cos~+sin~=1.答案：1题型二导数的几何意义【玩转角度1】导数求切线方程(两类)例3(1)(2018•全国I卷)设函数f(x)=x3+(a—1)x2+ax.若f(x)为奇函数，则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=—2x B.y=—x C.y=2x D.y=x解析因为函数f(x)=x3+(a—1)x2+ax为奇函数，所以a—1=0,则a=1,所以f(x)=x3+x，所以f'(x)=3x2+1，所以f'(0)=i，所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.答案D(2)(2019•湖北百所重点高中联考)已知函数f(x)=xlnx，若直线l过点(0，—1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线l的方程为答案x—y—1=0解析I,点(0，—1)不在曲线f(x)=xlnx上，设切点为(x0，y0).又•.•f'(x)=1+lnx直线l的方程为y+1=(1+lnx0)x.解得x0=1，y0=0.y0解得x0=1，y0=0.y0+1= 1+lnx0x0，直线l的方程为y=x—1，即x—y—1=0.【玩转角度2】导数求切点坐标x2 1例4(1)(2019•聊城月考)已知曲线y=】一3lnx的一条切线的斜率为5,则切点的横坐标为1A.3 B.2 C.1 D2(2)设曲线y=ex在点(0，1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直，则P的坐标为x【解析】(1)设切点的横坐标为x0(x°〉0)，x2 1•.•曲线y=】一3lnx的一条切线的斜率为2,.,x3x31••y，=2-x即？—0=2，解得x0=3或x°=一2(舍去，不符合题意)，即切点的横坐标为3.(2)7函数y=ex的导函数为y'=ex，曲线y=ex在点(0，1)处的切线的斜率k1=e0=1.设P(x，y)(x>0)，7函数y=1的导函数为y'=—上，二曲线y=1(x>0)在点P处的切线000 x x2 x的斜率匕=—土0

由题意知k1k2=—1,即】•[—X2J=—1,解得x2=1,又乂0>0,「.乂0=1.0,又•.•点P在曲线y=x(x>0)上,Ay0=1,故点P的坐标为(1,1).【玩转角度3】求参数的值或取值范围例5(1)函数f(x)=lnx+ax的图象存在与直线2x—y=0平行的切线，则实数a的取值范围是()A.(—8,2] B.(—8,2) C.(2,+8) D.(0,+8)(2)(2019•河南六市联考)已知曲线f(x)=x+a+b(xN0)在点(1,f(1))处的切线方程为yx=2x+5,则a—b=.【解析】(1)由题意知f'(x)=2在(0,+8)上有解..,.f(x)=1+a=2在(0,+8)上有解，则a=2—」xx因为x>0,所以2—[<2，所以a的取值范围是(一8,2).x(2)fz(x)=1—a,.fz(1)=1—a,x2又f(1)=1+a+b,「.曲线在(1,f(1))处的切线方程为y—(1+a+b)=(1—a)(x—1)，即y=(1—a)x+2a+b,根据题意有1—a=2,根据题意有1—a=2,2a+b=5,但=—1,b=7,；.a—b=—1—7=—8.【玩转角度4】公切线求法例6(2016全国卷)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=.解析：直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切，设切点分别为入区，y「，B(x2，y2)，由y=lnx+2得y'=x，由y=ln(x+1)得y，=x+1，..k=x=x+1，12. 1 1..X]=k，x?=k—1，・・尸]=—lnk+2,y?=—lnk.即A(k，—lnk+2)BR—1,一lnk)，.，A、B在直线y=kx+b上，2-lnk=k2-lnk=k・1+b,<k、一Ink=k•k-1)+bfb=1-ln2,〈一[k=2.答案：1-ln2【玩转角度5【玩转角度5】与切线有关的距离最值问题( 八2所以(x+y)2+x-一的最小值为4"玩转秘籍处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.［题型特训］, X2+a,, 3n(2020•衡阳模拟)曲线f(x)=^1在点(1,f(1))处切线的倾斜角为了，则实数a=()A.1B.-1A.1B.-1C.7 D.-7(X+1)2解析：选C.f'(x)=2X(X+1)(X+1)23nXVfz(1)=ta^^=-1,Aa=7.若曲线f(x)=acosx与曲线g(X)=X2+bX+1在交点(0,m)处有公切线，则a+b=()

A.-1B.0C.1D.2A.-1B.0C.1D.2解析：选C.依题意得，f‘(x)=—asinx,g‘(x)=2x+b,于是有f'(0)=g'(0)，即一asin0=2X0+b,b=0,m=f(0)=g(0),即m=a=1,因此a+b=1.(2018•江西南昌二中月考)已知曲线f(x)=lnx的切线经过原点，则此切线的斜率为()TOC\o"1-5"\h\z1 1A.e B.—e C.— D.——e e解析：选C.解法一：,.,f(x)=lnx,「.xE(0,+8)，f‘(x)=x，设切点P(x0，lnx0),则切线的斜率k=f‘(x)=>='nx(),.・.inx=1,x=e,.・.k=L=【.0x° x° 0 0 x°e解法二：(数形结合法)在同一坐标系中作出曲线f(x)=lnx及曲线f(x)=lnx经过原点的切线，如图所示，数形结合可知，切线的斜率为正，且小于1,故选C.1 7,(2018・江西新余质检)已知f(x)=lnx,g(x)=~x2+mx+(m<0),直线l与函数f(x),22g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1,f(1))，则m的值为()A.—1 B.—3 C.—4 D.—2解析：选D.^flQu1,.直线l的斜率k=f'(1)=1.又f(1)=0,.直线l的方程为yx=x—1.x+m=1,0g'(x)=g'(x)=x+m,设直线l与g(x)图象的切点为(x°,y0),001- 、［/一、ly0=2x2+mx0+2(m<0),17..—m=«(1—m)2+m(1—口)+日，得m=—2,故选D.22函数g(x)=lnx图象上一点P到直线y=x的最短距离为.【解析】设点(x°,lnx0)是曲线g(x)=lnx的切线中与直线y=x平行的直线的切点，因为g'(x)=(lnx)'=x，则1=；,「.x0=1,则切点坐标为(1,0),0.•.最短距离为(1,0)到直线y=x的距离，即为|1—0|即为|1—0|应-■■T+1=2.［特训作业］1.下列求导数的运算中错误的是(1.下列求导数的运算中错误的是(A."=3xln3(cosx\t xsinx—cosxc.CV)= X2)B.(x2lnx)z=2xlnx+xD.(sinx"cosx)z=cos2x【答案】C【解析】』F=—xsin；—cosx，c项错误.x x22.(2019-日照质检)已知f(x)=xlnx,若仁(x°)=2,则x°等于( )In2A.e2 B.e C. D.ln2乙【解析】f(【解析】f(x)的定义域为(0,+8),f(x)=lnx+1,由f'(xo)=2,即lnx°+1=2,解得xo=e.(2019•南阳一模)函数f(x)=x—g(x)的图象在点x=2处的切线方程是y=—x—1,则g(2)+g'(2)=( )A.7 B.4 C.0 D.—4【答案】A【解析】•.•f(x)=x—g(x),「.f(x)=1—g'(x),又由题意知f(2)=—3,f'(2)=一1,.•.g(2)+g'(2)=2—f(2)+1—f'(2)=7.已知。为自然对数的底数，曲线y=aex+x在点(1,ae+1)处的切线与直线2ex—y—1=0平行，则实数a=()e—1A.eB2e—1 ce—1 。2e—1.e .2e .2e【答案】B【解析】,.,y'=aex+1,.，.在点(1,ae+1)处的切线的斜率为y'lx=]=ae+1,又切线与直线2ex—y—1=0平行，2e—1.，.ae+1=2e，解得a= .e如图所示为函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是()

77【答案】D【解析】由y=f'(x)的图象知，y=f'(x)在(0,+8)上是单调递减的，说明函数y=f(x)的切线的斜率在(0,+8)上也是单调递减的，故可排除A,C；又由图象知y=f'(x)与y=g'(x)的图象在x=x0处相交，说明y=f(x)与y=g(x)的图象在x=x0处的切线的斜率相同，故可排除B.故选D.(2019•广州调研)已知直线y=kx—2与曲线y=xlnx相切，则实数k的值为( )A.ln2 B.1 C.1—ln2 D.1+ln2【答案】D【解析】由y=xlnx得y'=lnx+1，设切点为(x°，y0)，则k=lnx0+1，L•切点(x°，y)(x>0)既在曲线y=xlnx上又在直线y=kx—2上，二，* 0，/.kx—2=xlnx，TOC\o"1-5"\h\z00 y=xlnx， 0 0 000 022.•.k=lnx+—，则lnx+—=lnx+1，/.x=2，/.k=ln2+1.0x0 0x0 0 0已知曲线f(x)=2x2+1在点M(x0，f(x0))处的瞬时变化率为一8,则点M的坐标为.【答案】(—2,9)【解析】由题意得f'(x)=4x，令4x0=—8，则x0=—2，.,.f(x0)=9，/.点M的坐标是(一2，9).(2017•天津卷)已知aGR，设函数f(x)=ax—lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为.【答案】1【解析】f(1)=a,切点为(1,a).fz(x)=a—-,则切线的斜率为f'(1)=a—1,切线x方程为：y—a=(a—1)(x—1)，令x=0得出y=1,故l在y轴上的截距为1.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足关系式f(x)=x2+3xf(2)+lnx，则f'(2).9【答案】一4【解析】因为f(x)=x2+3xf'(2)+lnx，所以f'(x)=2x+3f'(2)+1，x19所以仁⑵=4+3fz(2)+-=3fz2)+不乙 乙9所以f'(2)=—4.已知函数y=f(x)的图象