第27课时-图形的相似与位似

第27课 图形的相似与位似考点2考点3

比例的相关概念及性质相似三角形的判定及性质(必考)考点1平行线分线段成比例相似多边形考点4

考点5位似图形本节内容考纲要求考查相似三角形的性质和判定，是初中数学的难点内容。近5年试题规律：相似三角形通常与平行四边形、解直角三角形、圆、二次函数等问题综合考查，但选择、填空题往往是简单的。考情分析考点1

平行线分线段成比例基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．如图，两条直线AC，DF被三条互相平行的直线l1，l2，l3所截，则知识清单结论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．如图，因为DE∥BC，所以也可以说还可以说知识清单考点2

比例的相关概念及性质线段的比：两条线段的比是两条线段的长度之比．比例中项：如果即b2＝____，我们就把b

叫做a，c的比例中项．ac知识清单3.比例的性质性质1＝⇔______＝bc(a，b，c，d≠0)性质2如果，那么＝______性质3如果(b＋d＋…＋n≠0)，则＝______ad知识清单4.黄金分割：如果点C把线段AB分成两条线段，使那么点C叫做线段AB的黄金分割点，

AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做黄金比．知识清单1.定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．2.性质：(1)相似三角形的对应角_______；

(2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)_______；

(3)相似三角形的周长比等于________，面积比等于

_____________．考点3

相似三角形的判定及性质(必考)相等成比例相似比相似比的平方知识清单3．判定：(1)_______对应相等，两三角形相似；(2)两边对应成比例且_______相等，两三角形相似；(3)三边_____________，两三角形相似；(4)两直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．两角夹角对应成比例知识清单1.定义：各角对应相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．2.性质：(1)相似多边形的对应边________；(2)相似多边形的对应角______；(3)相似多边形周长的比______相似比，相似多边形面积的比等于________________．考点4

相似多边形成比例相等等于相似比的平方知识清单1.定义：如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比．2.性质：(1)在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为中心,相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k；(2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于

________．考点5

位似图形位似比知识清单3.找位似中心的方法：将两个图形的各组对应点连接起来，若它们所在的直线相交于一点，则该点即是位似中心．4.画位似图形的步骤：(1)确定位似中心；(2)确定原图形的关键点；(3)确定位似比，即要将图形放大或缩小的倍数；(4)作出原图形中各关键点的对应点；(5)按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点.知识清单1.(2016河北)如图­1，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.

将△ABC沿图中的虚

线剪开，剪下的阴

影三角形与原三角

形不相似的是()C图­1真题再现A，B选项利用“两角对应相等的两个三角形相似”可判定两三角形相似．D选项利用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”可判定两三角形相似．C选项无法判定两三角形相似，故选C.真题再现2．(2016巴中)如图，点D，E分别为△ABC的边

AB，AC的中点，则△ADE的面积与四边形

BCED的面积的比为(

)

A．1∶2

B．1∶3C．1∶4D．1∶1B真题再现3．(2016临沂)如图，在△ABC中，点D，E，F

分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若

AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为____

．真题再现1.(2016乌鲁木齐二模)如图，不等长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是()A．甲、丙相似，乙、丁相似

B．甲、丙相似，乙、丁不相似

C．甲、丙不相似，乙、丁相似

D．甲、丙不相似，乙、丁不相似题型一相似三角形的证明及性质的相关计算B题型训练2.(2016唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，

EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE∶EA＝3∶4，

EF＝3，则CD的长为()A．4

B．7C．3D．12B题型训练2依题意，有△ADE∽△ABC.因为△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，所以由AD＝4，得AB＝6，所以DB＝6－4＝2.3．(2016乐山)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，

AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝____．题型训练4.(2015南京)如图，△ABC中，CD是边AB上的高，且

(1)求证：△ACD∽△CBD；

(2)求∠ACB的大小．

(1)∵CD是边AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.

又∵∴△ACD∽△CBD.(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，在△ACD中,∵∠ADC＝90°,∴∠A＋∠ACD＝90°,∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.证明：解：题型训练5.(2016洛阳模拟)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，

BC＝3，D为AC延长线上一点，AC＝3CD，过点D

作DH∥AB，交BC的延长线于点H.(1)求BD·cos∠HBD的值；

(2)若∠CBD＝∠A，求AB的长．题型训练(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，又∵∠ACB＝∠DCH，∴△ABC∽△DHC，∴∵AC＝3CD，BC＝3，∴CH＝1，∴BH＝BC＋CH＝4.

在Rt△BHD中，cos∠HBD＝∴BD·cos∠HBD＝BH＝4.解：题型训练(2)∵△ABC∽△DHC，∴∴AB＝3DH.∵∠A＝∠CBD，∠ABC＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴∴DH＝2，∴AB＝6.题型训练规律点拨判定两个三角形相似的四种方法：(1)当图形中有平行线时，多用两角对应相等判定；(2)当已知两个三角形的一组角相等时，可以再找一组角，尝试证明相等，或是证明夹相等的这组角的两边对应成比例；(3)当已知两个三角形中三边的长度时，可以用三组边的比相等来证明两个三角形相似；(4)当条件中给出比例式时，可考虑证三边对应成比例，或者用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明．题型训练1.(2016烟台)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD

与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为()A．(3，2)

B．(3，1)C．(2，2)D．(4，2)题型二位似图形A题型训练∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为∴∵BG＝6，∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴∴解得：OA＝1，∴OB＝3，∴C点坐标为(3，2)．题型训练2.(2016连云港一模)如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是()A．(－4，－3)B．(－3，－3)C．(－4，－4)D．(－3，－4)A题型训练3．(2016咸